Matematika Zaporedja

[Beronike Watkin]

Zaporedjaso opredeljena kot niz elementov, ki sledijo določenemu vzorcu ali pravilu. Vsak element v zaporedju je znana kot člen zaporedja. To so temeljni koncepti v različnih področjih matematike vključno z analizo, kombinatoriko in teorijo števil.

Te koncepti so osnovni gradniki za razumevanje in analiziranje matematičnih struktur in naravnih pojavov. Njihova sposobnost opisovanja vzorcev in modeliranja sprememb je ključnega pomena za razvoj teorij in rešitev v matematiki in drugih znanstvenih disciplinah. Razumevanje in uporaba zaporedij tako odpira vrata globljemu vpogledu v matematično analizo.

Zapordje je v matematiki vsaka množica objektov, po navadi števil, ki je razporejena tako, da je en njen element a 0 \displaystyle a_0 prvi, en element a 1 \displaystyle a_1 drugi, en element a 3 \displaystyle a_3 itd. in lahko za vsak element množice določimo, na katerem mestu zaporedja stoji. Zaporedja kakor množice vsebujejo elemente in posamezne elemente v zaporedju imenujemo člene zaporedja. Členi zaporedja so lahko tudi enaka števila, negativna števila, ulomki. Z razliko od običajnih množic je vrstni red členov (elementov) zaporedij pomemben in členi se lahko ponovijo večkrat na različnih mestih. Zaporedje črk c, r, y je različno od zaporedja y, c, r. Zaporedje je diskretna funkcija.

Tudi končna zaporedja so možna. Takšna zaporedja imajo zadnji člen. Pravimo jim tudi končni seznami. Tukaj v matematičnem delu obravnavamo neskončna zaporedja, saj je to v skladu z obema definicijama. Vsako neskončno zaporedje nima zadnjega člena. Velikokrat podamo zaporedje s splošnim členom a n \displaystyle a_n , drugače pa s pravilom, po katerem tvorimo poljubne člene. Zaporedje si geometrijsko predstavimo s točkami na realni številski premici.

Če so členi zaporedja podmnožica urejene množice, je v monotono naraščajočem zaporedju vsak člen večji ali enak od predhodnega člena. Če je vsak člen strogo večji od predhodnega, je zaporedje strogo monotono naraščajoče. Monotono padajoča zaporedja so definirana sorodno. Vsako zaporedje, ki ima značilnost monotonosti, se imenuje monotono. To je poseben primer bolj splošne predstave o monotonih funkcijah.

V prejšnjem rešenem primeru smo pokazali, da je to zaporedje padajoče. Vidimo, da se zaporedje bliža 1. Pokažimo, da je 9 zgornja meja zaporedja (saj so vsi členi manjši od 9 - začetnega člena) in, da je 1 spodnja meja zaporedja (saj so vsi členi večji od 1).

Pričujoča zbirka rešenih nalog je učni pripomoček, v prvi vrsti namenjen študentom 1. letnika visokošolskih študijskih programov Računalništvo in informacijske tehnologije in Informatika in tehnologije komuniciranja na UM FERI, ki poslušajo predmet Matematika 1. Ker večina naravoslovnih in tehniških študijskih smeri drugih fakultet v prvem letniku pokriva enako snov, je tako namenjen tudi širši publiki. Prvi del zbirke pokriva teme iz osnov logičnega sklepanja, množice, kompleksnih števil in funkcij. V tem (drugem) delu zbirke so obravnavane limite, odvodi, integrali, zaporedja in vrste. Zbirka kot celota študenta nagovori k pripravi dobrih zapiskov, kar je eden izmed temeljev dobre priprave na izpite.

Literatura. M. Bren, J. Gaber: Matematika, naloge iz linearne algebre M. Bren, S. Kapus, A. Žnidaršič: Matematika, naloge iz analize 1 J. Jesenko, M. Bren: Vaje iz matematike, 2. del J. Jesenko, F. Šifrer: Matematika v organizacijski teoriji in praksi, 1., 2. in 3. zvezek. ZAPOREDJA.

Zaporedja: uvodni primeri PRIMER: glavnica, obresti in čas varčevanja. Na bančni račun vložimo 10 000 EUR. Obrestna mera je 3% letno. Kolikšno bo stanje na račun po 5 letih? Koliko časa bi morali varčevati, da bi bilo stanje na računu 20 000 EUR?

DEFINICIJA Zaporedje je monotono naraščajoče natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja večji ali enak predhodnemu členu. Zaporedje je monotono padajoče natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja manjši ali enak predhodnemu členu. Strogo naraščajoče: Strogo padajoče:

Omejenost zaporedij DEFINICIJA Zaporedje je navzgor omejeno natanko tedaj, ko obstaja tako realno število G, da velja za vsak neenakost Število G je zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, ima neskončno mnogo zgornjih mej. Najmanjša zgornja meja je natančna zgornja meja (oznaka: M)

DEFINICIJA Zaporedje je navzdol omejeno natanko tedaj, ko obstaja tako realno število g, da velja za vsak neenakost Število g je spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, ima neskončno mnogo spodnjih mej. Največja spodnja meja je natančna spodnja meja (oznaka: m)

DEFINICIJA. Zaporedje je omejeno natanko tedaj, ko je omejeno navzgor in navzdol. Velja: Vsako naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, njegova natančna spodnja meja je prvi člen . Vsako padajoče zaporedje je navzgor omejeno, njegova natančna zgornja meja je prvi člen .

DEFINICIJA Število s je stekališče zaporedja natanko tedaj, ko je v poljubni ε-okolici števila s neskončno mnogo členov zaporedja. WEIERSTRASSOV IZREK Omejeno neskončno zaporedje ima vsaj eno stekališče.

1.3. Konvergentna zaporedja in Cauchyjev pogoj IZREK. Število L je limita zaporedja natanko tedaj, ko so v vsaki ε-okolici limite vsi členi zaporedja od nekega dovolj poznega člena naprej. tako, da velja sklep Zunaj poljubne ε-okolice limite leži le končno mnogo členov zaporedja. Pravimo, da ležijo v poljubni okolici limite skoraj vsi členi zaporedja.

DEFINICIJA. Zaporedje zadošča Cauchyjevemu pogoju natanko tedaj, ko lahko za vsak ε > 0 najdemo tak , da velja za naravni števili m in n sklep: Enakovredna varianta zgornjega sklepa: IZREK. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko zadošča Cauchyjevemu pogoju.

2. Številske vrste 2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot 2.2. Geometrijska vrsta 2.3. Vrste s pozitivnimi členi 2.4. Kriteriji konvergence 2.5. Absolutno in pogojno konvergentne vrste

2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot DEFINICIJA. Naj bo številsko zaporedje. Številska vrsta je izraz . (1) Števila so členi vrste. Zapis: Seštevanje je binarna operacija, zato vrednost izraza (1) ni določena.

Če je zaporedje delnih vsot konvergentno, torej če obstaja limita (in seveda ), definiramo vsoto vrste z limito S in pravimo, da je vrsta je konvergentna. Če ne obstaja, je vrsta divergentna.

DEFINICIJA. Dano je zaporedje pozitivnih števil Izraz je alternirajoča številska vrsta. IZREK. Alternirajoča številska vrsta je konvergentna natanko tedaj, ko je PRIMER. Alternirajoča vrsta je konvergentna.

2.3. Vrste s pozitivnimi členi DEFINICIJA. Vrsta s pozitivnimi členi je izraz , pri čemer je IZREK. Vrsta s pozitivnimi členi je konvergentna natanko tedaj, ko je zaporedje delnih vsot te vrste navzgor omejeno.

Osnovni pojmi o množicah in preslikavah.

Osnove izjavnega računa: in, ali.

Realna in kompleksna števila.

Številska zaporedja in vrste.

Osnovno o realnih funkcijah.

Pregled elementarnih funkcij.

Odvajanje funkcij. Rollov in Lagrangeev izrek.

Višji odvodi. Uporaba odvoda.

Nedoločeni integral.

Določeni integral. Lastnosti določenega integrala. Zveza med določenim in nedoločenim integralom.

Uporaba integrala.

Posplošeni integral.

Taylorjeva formula in vrsta.

Funkcijska zaporedja in vrste.

Študenti bodo spoznali in usvojili osnovne pojme iz: teorije množic in izjavnega računa, preslikav, številskih množic, zaporedij in vrst, realnih funkcij, diferencialnega in integralskega računa.

Zelo dobro bodo razumeli in znali uporabljati elementarne funkcije. Pridobili bodo osnovna znanja, ki so potrebna v matematični analizi.

Spoznavanje integralnega računa več spremenljivk, diferencialne enačbe in verjetnostni račun; odvajanje in integriranje integralov s parametrom; večkratni integrali, primeri uporabe; geometrični in fizikalni pomen, enačbe z ločljivimi spremenljivkami; pogojna verjetnost, neodvisnost, zaporedja, slučajne spremenljivke, povprečna vrednost in razpršenost, korelacija in odvisnost.

3a8082e126