ambcon pazice waklea

[Arabella Kochanski]

De rij van Fibonacci is genoemd naar Leonardo van Pisa, bijgenaamd Fibonacci, zoon van Bonaccio, van Guglielmo dei Bonaccio. Hij noemt de rij in zijn boek Liber abaci, Boek over rekenen, uit 1202. De rij blijkt interessante eigenschappen te bezitten en verbanden te hebben met onder andere de gulden snede. De rij begint met 0 en 1, men kiest ook wel 1 en 1, en vervolgens is elk volgende element van de rij steeds de som van de twee voorgaande elementen. De eerste elementen van de rij[1] zijn dan als volgt:

Ieder positief geheel getal kan volgens de stelling van Zeckendorf op een unieke wijze worden geschreven als de som van een of meer elkaar niet opvolgende getallen uit de rij van Fibonacci. Overeenkomende rijen zijn de rij van Lucas en de rij van Padovan.

Toen Fibonacci 20 jaar was, ging hij naar Algerije waar hij Indiase en Arabische wiskunde bestudeerde en wellicht leerde hij daar de rij kennen. Hij was in het westen de eerste die de rij in zijn Liber abaci, Boek van de rekenkunst, noemde, bij het 'konijnenprobleem'.[3]

Een nieuwe historische analyse van Fibonacci en zijn werk wijst niet op konijnen maar op bijen. Gedurende zijn verblijf in Algerije bracht Fibonacci tijd door in of bij de stad Bjaa, in die tijd een belangrijke exporteur van bijenwas. Anders dan bij het konijnenprobleem, waar een aantal niet in alle gevallen even realistische regels gebruikt worden, blijkt de ontwikkeling van een bijenpopulatie ook in werkelijkheid volgens de rij van Fibonacci te verlopen. Er wordt gesuggereerd dat feitelijk de bijenhouders van Bjaa en kennis van de bijenstambomen de inspiratie voor de rij van Fibonacci vormden.[4]

De manier waarop de rij van Fibonacci gedefinieerd is, is een voorbeeld van wat in de wiskunde een recursieve definitie wordt genoemd. Dit betekent dat de elementen op basis van een of meer voorgaande elementen worden vastgelegd, dus in de vorm van een differentievergelijking. Het n \displaystyle n -de getal van Fibonacci wordt gegeven door:

De eerste twee elementen zijn per definitie 0 en 1, sommigen hanteren 1 en 1. Ieder volgend element is de som van de twee voorafgaande waarden. Andere waarden voor de eerste twee elementen zijn ook mogelijk, maar leveren een andere rij, bijvoorbeeld de rij van Lucas. Veel differentievergelijkingen hebben geen gesloten uitdrukking of expliciet voorschrift, waarmee het n \displaystyle n -de element aan de hand van alleen het getal n \displaystyle n kan worden bepaald. Voor de rij van Fibonacci bestaat een dergelijke uitdrukking wel, namelijk:

Bovenstaande formule, voor het eerst gepubliceerd in 1730 door Abraham de Moivre, is op het eerste gezicht opvallend omdat f n \displaystyle f_n een geheel getal is, terwijl de formule wortels bevat. Dat de termen waarin een wortel overblijft, wegvallen, is direct te begrijpen uit de binomiums voor de beide machten in de teller. Het bewijs van deze formule berust op het oplossen van een vierkantsvergelijking.

Behalve dat de getallen van Fibonacci met de gulden snede in verband staan, blijken zij ook in de natuur voor te komen. Bekijk bijvoorbeeld de structuur van een zonnebloem en tel het aantal spiralen waarin de zonnebloempitten gerangschikt zijn. De rij van Fibonacci komt ook terug in de verdeling van takken aan bomen, de ordening van bladeren aan takken, de vruchten van een ananas, de bloemen van een artisjok, zich ontvouwende varens, de ordening van de schubben van een dennenappel en de reeds genoemde honingbijenpopulaties. Dergelijke rangschikkingen met betrekking tot opeenvolgende Fibonacci-getallen komen voor in een grote variteit aan planten. Het vermeerderen van bloembollen, zoals die van sneeuwklokjes en krokussen, gaat even snel, net zoals in de rij van Fibonacci ieder jaar 1,618 keer meer bollen, oftewel een groei van ruim 60%.

Er bestaan varianten op de rij van Fibonacci waarbij de elementen niet ontstaan uit de som van twee, maar uit de som van drie of meer voorgaande elementen. Indien we de drie eerste elementen vastleggen en vanaf het vierde de som van de drie voorgaande nemen, dan verkrijgen we een rij die wel de rij van Tribonacci wordt genoemd. Op analoge wijze spreekt men van de rij van Tetra(bo)nacci indien we de som van de vier voorgaande getallen nemen. Men kan dit verder veralgemenen naar de som van de n \displaystyle n voorgaande elementen. Hoewel Fibonacci (van filius Bonacci, zoon van Bonacci) een naam is, zijn tribonacci en tetra(bo)nacci dit natuurlijk niet.

Deze getalrijen bevatten echter niet de karakteristieke eigenschappen die aan de Fibonacci-getallen toegeschreven worden; er is geen relatie met de gulden snede, en deze rijen kunnen dus ook niet fungeren als hulpmiddel bij het creren van wat men als 'esthetisch ideaal' betitelt.

Als een polynoom een rele oplossing heeft kan men een oplossing bepalen met behulp van een variant van de Fibonacci-rij die gebruikmaakt van meer voorgaande termen en verschillende cofficinten. Deze variant is:

De gulden snede, ook wel bekend als de Fibonacci-reeks, is een verhouding gebaseerd op een reeks getallen waarin elk getal gelijk is aan de som van de twee daaraan voorafgaande getallen. De reeks is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Leonardo Pisano (bijgenaamd Fibonacci) en ziet er als volgt uit: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Het delen van een Fibonacci-getal door het voorgaande getal in de rij leidt tot de gulden snede van 1,618 (aangeduid met de Griekse letter phi).

Voortbouwend op deze gulden snede kan een gulden rechthoek gemaakt worden waarin de zijden de verhouding van de gulden snede hebben. Door bogen tussen de tegengestelde hoeken van de gulden rechthoeken te tekenen, ontstaat de gulden spiraal.

Wiskundig gezien interessante informatie, maar wat betekent dit in de echte wereld? De gulden snede komt terug in allerlei natuurlijke fenomenen, maar ook in menselijke creaties zoals architectuur en kunst.

De gulden snede is in de natuur bijvoorbeeld te zien in het spiraalvormige patroon van de zaadjes in het hart van een zonnebloem, de schubben van een dennenappel, het ontvouwen van een groeiende varen en de spiraal van een nautilusschelp. Ook het menselijk lichaam heeft veel elementen waarin de gulden snede terugkomt, waaronder de verhoudingen tussen de kootjes van een vinger, de verhouding tussen hand en onderarm, de verhoudingen tussen gezichtskenmerken, de schelp van een oor, en zelfs DNA-spiralen. De gulden snede komt daarnaast voor in niet-levende natuurfenomenen, bijvoorbeeld het wervelende patroon van orkanen en de armen van spiraalvormige melkwegstelsels.

Kunstenaars gebruiken de gulden snede bij het maken van schilderijen en illustraties. Het Laatste Avondmaal van Leonardo da Vinci, Het Boottochtje van Mary Cassatt en Baders bij Asnires van Georges Seurat zijn slechts enkele voorbeelden van schilderijen die gebruikmaken van gulden rechthoeken. Binnen de architectuur wordt eveneens gebruikgemaakt van de gulden snede, bijvoorbeeld in de pyramides van Giza, het Parthenon, de Taj Mahal en het Guggenheim Museum. De verhoudingen tussen de verschillende secties zijn gebaseerd op de gulden snede, wat deze gebouwen esthetisch aantrekkelijk maakt. Ook in verschillende elementen in de wereld van muziek spelen Fibonacci-getallen en de gulden snede een rol, van toonladders tot de fundamenten van akkoorden en harmonien gebaseerd op frequentieverhoudingen.

Een door de mens ontwikkeld fenomeen waar u misschien niet direct kenmerken van de gulden snede zou verwachten, is de beurs. Ook hier is echter een verrassend voorbeeld te zien: investeerders kunnen gebruikmaken van technieken als Fibonacci-retracements, Fibonacci-bogen en Fibonacci-waaiers bij het voorspellen van de richting waarin de prijs van individuele aandelen of de beurs in zijn geheel gaat bewegen.

De rij van Fibonacci en de gulden snede komen in onze wereld in veel uiteenlopende vormen voor, van het menselijk DNA tot de Melkweg; de verhoudingen die in de gulden snede worden beschreven lijken overal te zijn.

In de bekende film De Da Vinci Code van Dan Brown wordt Jacques Sauniere vermoord en achtergelaten. Op zijn lichaam worden 8 getallen als aanwijzing aangetroffen.Na bestudering van deze getallen (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8 en 5) en door deze op volgorde te zetten, ontdekte men een bijzondere cijferreeks.De reeks 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... noemen we de Fibonacci-rij of Fibonacci-reeks. Deze getallen reeks is een van de beroemdste in de Wiskunde.De Fibonacci-rij is wereldberoemd vanwege de vele magische eigenschappen die kunnen worden ontdekt door met de rij te experimenteren.

De basiseigenschap is dat iedere term in de rij, de som is van de 2 termen er voor. Je begint met 1,1,.. dus de derde term is 1+1=2. Je krijgt dan 1,1,2,...De vierde term is dan 1+2=3. Je krijgt dan de rij 1,1,2,3,... De vijfde term is dan 2+3=5. Je krijgt dan de rij 1,1,2,3,5,... Met een computerprogramma kun je zo een oneindig lange rij laten genereren. De Fibonacci-rij wordt in de praktijk op vele plekken aangetroffen.In de natuur vinden we deze terug in het aantal windingen die door de pitjesspiralen van zonnebloemen worden gevormd. Ook in verhoudingen die architecten gebruiken om kamers in hotels te definieren, zijn bekend. Ook in de klassieke muziek vinden we vele oorsprongen van de Fibonacci-reeks.

De oorsprong van de Fibonacci-rij ligt in het konijnenpaar probleem. Fibonacci wilde weten hoe de voortplanting bij konijnen zou gaan op basis van een aantal aannamens. Hij wilde weten hoeveel konijnen er zouden zijn als een nieuw konijnenpaar na 1 maand zou werpen.

Fibonacci is similar to a "hello world" for many functional programming languages, since it can involve paradigms like pattern matching, memoization, and bog-standard tail recursion (which is equivalent to iteration). However, iteration or tail-recursion in linear time is only the first step: more clever exponentiation runs in logarithmic time.

Although the Binet/Lucas formula is technically also exponentiation, ita use of floating-point numbers makes it less attractive than the matrix-based solution. In addition, the above discussion of complexity and indeed most of the code here assumes that both addition and multiplication are done in a single step, which is not the case for big, exponentially-growing numbers easily created by fibonacci calculation.

c01484d022