Fonksiyonun Tersini Alma

[Athenasby Regalado]

Birfonksiyonun tanım kmesinden 2 farklı eleman değer kmesinde aynı elemanla eşleşebilir ve aynı zamanda değer kmesinde eşleşmeyen elemanlar kalabilir. Bir fonksiyonun tersini dşndğmzde değer kmesinde birden fazla eşleşen eleman artık tanım kmesi olduğu iin fonksiyonun kuralları gereği değer kmesinden birden fazla elemanla eşleşemez veya tanım kmesinde boşta eleman olamaz. Bunun direkt baştan halledilmesi aısından fonksiyonun tersi alınmadan nce bire bir ve rten fonksiyon olup olmadığını kontrol ederek tersinin alınabileceğini anlarız. Bir fonksiyon bire bir ve rten ise bu fonksiyonun tersi alınabilir. Anlattığımız bu durumu aşağıda grsellerle de aıklayalım.

fonksiyonunun tersini almak iin ncelikle fonksiyonun x bilinmeyenini yalnız bırakmalıyız. Daha sonra y ve x değerlerinin yerlerini değiştirdiğimizde yeni oluşan x bilinmeyenli blm ters fonksiyon olacaktır.

Bir fonksiyonun tersini alırken yukarıdaki adımları takip ederiz fakat bazı kısayollar sayesinde bu işlemleri uzun uzun yapmaya gerek kalmaz. Bu kısayollar sayesinde soruları daha işlemsiz ve hızlı bir şekilde zebilirsiniz.

Grldğ zere iki yoldan da aynı sonuca ulaştık. Yani bir bileşke fonksiyonun tersi istendiğinde istersek bileşke fonksiyonu zp en son tersini alabiliriz veya ilk baştan bileşke fonksiyonun iindeki fonksiyonların terslerini alıp yerlerini değiştirerek normal bileşke fonksiyon gibi zebiliriz.

Bir \( a \) değerinin \( f \) fonksiyonuna gre grntsnn yine \( f \) fonksiyonuna gre ters grnts kendisine eşittir. Benzer şekilde, bir \( b \) değerinin \( f^-1 \) fonksiyonuna gre grntsnn yine \( f^-1 \) fonksiyonuna gre ters grnts kendisine eşittir.

Ters fonksiyonun gsteriminde kullanılan \( -1 \) sl ifadelerde kullanılan s ile karıştırılmamalıdır, yani bir fonksiyonun tersi o fonksiyonun -1. kuvveti yani arpmaya gre tersi demek değildir.

\( f \) fonksiyonunun tersi olan \( f^-1 \) de bir fonksiyon olduğu iin bu iki koşulu sağlamalıdır. Aşağıda gstereceğimiz zere, \( f^-1 \) fonksiyonunun bu iki koşulu sağlaması iin \( f \) fonksiyonu birebir ve rten olmalıdır.

\( f^-1 \) fonksiyonunun birinci fonksiyon olma koşulunu sağlaması iin, \( B \) kmesinde \( A \) kmesinin bir elemanıyla eşlenmemiş aıkta eleman kalmamalıdır, yani \( f \) rten olmalıdır.

Yukarıdaki rnekteki gibi \( f \) fonksiyonunun rten olmadığı durumda \( B \) kmesinde aıkta eleman kalır ve bu elemanlar \( f^-1 \) fonksiyonunda \( A \) kmesinin bir elemanıyla eşlenemez ve \( f^-1 \) fonksiyonu iin birinci fonksiyon olma koşulu sağlanmamış olur.

Yukarıdaki rnekteki gibi \( f \) fonksiyonunun birebir olmadığı durumda \( A \) kmesinin iki elemanı \( B \) kmesinde aynı elemanla eşlenir. Bu durum \( f^-1 \) fonksiyonunda bu elemanın \( A \) kmesinde iki grnts olması anlamına gelir ve \( f^-1 \) fonksiyonu iin ikinci fonksiyon olma koşulu sağlanmamış olur.

\( f^-1 \) ters fonksiyonu tanımlı ise \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tm eşlemelerini \( (b, a) \) şeklinde tersine evirir. Bunun bir sonucu olarak bir fonksiyonun tanım ve grnt kmeleri ters fonksiyonda yer değiştirir, yani \( f \) fonksiyonunun grnt kmesi \( f^-1 \) fonksiyonunun tanım kmesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kmesi \( f^-1 \) fonksiyonunun grnt kmesi olur.

Yukarıdaki fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu ve \( f(x) = 4 \) değerini alamadığı iin iinedir, dolayısıyla ters fonksiyonu tanımlı değildir. Fonksiyonun değer kmesi grnt kmesine eşit olacak şekilde daraltılırsa fonksiyon rten olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.

Birebir olmayan bazı fonksiyonların tanım kmesi fonksiyon her \( y \) değerini sadece bir kez alacak şekilde daraltılarak fonksiyon birebir yapılabilir ve ters fonksiyonu tanımlı hale getirilebilir.

Yukarıdaki parabol fonksiyonu aynı \( y \) değerini birden fazla noktada aldığı iin birebir değildir, dolayısıyla ters fonksiyonu tanımlı değildir. Fonksiyonun tanım kmesi aşağıdaki şekilde daraltılırsa fonksiyon birebir olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.

Bir fonksiyonun rten veya birebir olup olmadığını anlamak iin kullandığımız yatay doğru testine gre, bir fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesen yatay bir doğru yoksa fonksiyon birebirdir.

Fonksiyon tanım kmesindeki tm elemanların grnts farklı olduğu iin birebir, değer kmesinde hibir eleman aıkta kalmadığı iin rtendir. Dolayısıyla fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır ve sıralı ikililerin bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilir.

Fonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kmesindeki tm elemanlar iin fonksiyonun tanımlı olması gerektiği iin paydayı sıfır yapan \( x \) değeri tanım kmesinin dışında bırakılan \( a \) değeri olmalıdır.

Ters fonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kmesindeki tm elemanlar iin fonksiyonun tanımlı olması gerektiği iin paydayı sıfır yapan \( x \) değeri ters fonksiyonun tanım kmesinin dışında bırakılan \( b \) değeri olmalıdır.

Bir fonksiyonda ters fonksiyonun bulunması iin o fonksiyonun birebir ve rten olması şartı vardır. Eğer fonksiyon bu şartları taşımıyorsa o fonksiyonun tersini bulmak mmkn değildir. Eğer elimizdeki fonksiyon birebir ve rten ise bu fonksiyon bir fonksiyonun tersi olabilir.

Her fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı değildir. Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması iin mutlaka birebir ve rten olması gerekir. nk fonksiyon birebir ve rten olduğunda ters fonksiyonun da iki fonksiyon olma koşulu sağlanır.

f-1 ters fonksiyonu tanımlı ise f fonksiyonunu (a , b) şeklindeki tm eşlemelerini (b , a) şeklinde tersine evirir. Bunun bir sonucu olarak bir fonksiyonun tanım ve grnt kmeleri ters fonksiyonda yer değiştirir, yani f fonksiyonunun grnt kmesi f-1 fonksiyonunun tanım kmesi, f fonksiyonunun tanım kmesi f-1 fonksiyonunun grnt kmesi olur.

Trevin tanımı, bir doğrunun eğimi formlnden tretilir. Bir doğrunun eğiminin, y'deki değişimin x'teki değişime oranı olarak hesaplanan doğrunun değişim oranı olduğunu hatırlayın. Geometrik olarak trev, belli bir noktada eğriye teğet doğrunun eğimidir. Bazen anlık değişim oranı olarak adlandırılır. Tipik olarak, bir doğrunun eğimini, doğru zerindeki iki noktayı kullanarak hesaplarız. Bir eğrinin eğimi noktadan noktaya değiştiği iin bu bir eğri iin mmkn değildir. Aşağıdaki şekle bir bakalım.

Az nce bahsettiğimiz trevin tanımına benziyor, değil mi? Ancak bu forml bize eğrinin eğiminin ortalaması olan iki nokta arasındaki eğimi verir. x'teki trev şekilde kırmızı izgi ile gsterilmiştir. Bu doğrunun eğimini hesaplamak iin, eğim formln tek bir nokta iin kullanılabilecek şekilde değiştirmemiz gerekir. Bunu, h ile gsterilen x'teki (Δx) değişim 0'a yaklaşırken eğim formlnn sınırını hesaplayarak yaparız. Bunu yaparak, ok kk bir farkla ayrılmış iki nokta arasındaki eğimi buluruz. Tek bir noktadaki eğim, bizi yukarıda belirtilen trevin tanımına gtrr.

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada trevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak iin fonksiyonun sağdan ve soldan trevlerine bakılır. Sağdan ve soldan trevler eşit ise fonksiyon bu noktada trevlidir. Değilse trevli değildir.

zel dersler, alışma ve ğrenme becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olabilir. Bu da hayatınız boyunca başarıya ulaşmanızı sağlamaya yardımcı olur. zel derslerin birok avantajı vardır.

Bireysel ve benzersiz ğrenme deneyimini tadarsınız. ğretmeniniz dersleri size ve ihtiyalarınıza gre uyarlayabilir. Ayrıca zel derslerde ğretmenin dikkati sizde olur. Bireysel ğrenme stilinizi tanır ve ğretim yntemlerini buna gre uyarlayabilir.

zel dersler almak, akademik performansı artırır. zel derslerde ğretmeniniz sizi testlere ve sınavlara hazırlarken gl yanlarınızı ortaya ıkarır ve zayıf olduğunuz noktalarda size yardımcı olur. Hem tek başınıza nasıl ders alışacağınızı daha iyi anlarsınız. ğretmeninizden farklı alışma teknikleri ğrenirsiniz. Kendisinden size bir alışma programı hazırlamasını isteyebilirsiniz.

Alacağınız zel derslerle kendinize olan gveniniz de artar. ğretmeniniz başarılı olmak iin ihtiya duyduğunuz kaynakları ve becerileri sağlayarak z gveninizi arttırabilir. Pozitif alışma alanı yaratarak zel derslerde ğrenmeye daha iyi odaklanırsınız. Etrafınızda dikkat dağıtan kimse olmaz.

zel matematik ğretmeni, ğrenme engellerinizin stesinden gelmenize yardımcı olur. ğrenmenin hangi alanında sorun yaşıyorsanız ğretmeniniz onu zellikle hedef alacaktır. Tam ihtiyacınız olan eğitimi alırsınız. Bylece vaktinizi en iyi şekilde değerlendirmiş olursunuz. Emin adımlar atarak hızla ilerlersiniz!

Superprof'taki zel ders ğretmenlerinden isterseniz sadece trev konusunda yardım alabilirsiniz. Sadece soru zmleri yapabilirsiniz. Matematik zel ders ve matematik zel ders Ankara seenekleriniz iin Superprof'u takip edebilirsiniz.

Derslere istediğiniz zaman başlayıp istediğiniz zaman bırakabilirsiniz. Sınava hazırlanıyorsanız bu sre boyunca yanınızda rehberlik edecek biri olması iin ders almaya devam edebilirsiniz. Derslerinizin gnn ve saatini programınıza gre uydurabilirsiniz. Hangi yntem başarılı olmanızı sağlayacaksa derslerinizi o ynteme uyarlayabilirsiniz!

Matematikte nemli konular arasında olan fonksiyonların ğrenilmesi gerekir. Fonksiyonlar kadar ters fonksiyon işlemleri de nemlidir. Ters fonksiyonun tersinde fonksiyonda yapılan tm eşlemeler tersine evrilir. Normalde f (3) = 5 olmuşsa fonksiyon 3 sayısını 5'e eşliyor demektir. Bu durumda da ters fonksiyon yapılmak istenirse 5'in 3' eşlemesi gerekmektedir.

3a8082e126