無限大的探究
wyn...@gmail.com
目前不適合列出 也不完全清楚 數是什麼? 所以大致含糊地說 數是由自然數+運(演)算法
所表達的東西. 以上陳述雖不清楚 至少有點是說 我們真正寫出的'數'是自然數. 若再
簡化 其實只有0與1兩個數 其它皆是計算所得. 談到計算 我們(尤其是程序員)較傾向
認定計算必需終止後 才能給出確定結果.
公理0: 數a,b相同(記作a=b) iff a,b 具相同運算性質
公理1: 任兩相異實數間存在另ㄧ相異實數(稠密性): 例如 若設a<b, 則存在c=(a+b)/2,
使得a<c<b
稠密性質應可由數的定義得到 因目前對數的定義仍不算清楚 暫視為公理
我們對有/無理數稠密性毫無異義 因此對於實數的稠密性能有啥異義? ...因此
接下來的論述不會使用此性質.
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| 命題1:存在無限多個無限大之數 |
| 命題2:存在無限多個無限小之數 |
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公設0: 無限大數為大於任何自然數的數
由公設0模糊的陳述 多少我們可推知
若無限大數表為一般數字串 則必為無限長數字串. 我們無法完整列出無限長字串 但總有
部分性質可知 如:
123⋯ ... 由123起頭的無限大數
⋯45 ... 以45結尾的無限大數
77⋯8 ... 77起頭,8結尾的無限大數
2+4+6+⋯ ... ㄧ種偶無限大
此種觀點下的無限大數大致上可說是由已知部份+無限長的(不完全)未知部份組合建構
形式不ㄧ定如上例所示
根據無限大數的形成方式 總有部份為確定已知 我們可依此判定相異的無限大數(但較不易
判斷相同).
由於無限大數的已知成份具無限多種的組合 可判定有無限多個不同的無限大數
若取無限大數的倒數(reciprocal) 可得無限多個無限小數
QED.
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| 命題3: lim(ｎ→∞){1/n}≠ 0 |
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證1: 假設命題若不成立 則 lim(ｎ→∞) { 1/n= 0 } (反證法)
<=> lim(ｎ→∞) { (1+1/n)= 1 }
<=> lim(ｎ→∞) { (1+1/n)^n= 1^n }
<=> e=1 (e為尤拉常數= 2.718...)
<=> false(僞)
爲使以上'放大證法'更清楚ㄧ點 及避開ㄧ些如極限lim,收斂...中的障眼法
另證1/∞ ≠ 2/∞ (可拿計算機驗算)
1/∞= 2/∞ ... 反證
<=> 1+1/∞= 1+2/∞
<=> (1+1/∞)^∞= (1+2/∞)^∞
<=> 2.718...=7.389...
<=> false (1/∞≠ 2/∞)
左右趨近值不同(e與e^2). 因(1+1/n)^n為嚴格遞增(或遞減)函數.
因此可判定 1/∞ ≠ 2/∞ (隱含 1/∞≠0)
證2: (較不涉及乘法的反證法)
若1/∞=0 則 1/(-∞)=0 則 -∞=∞
故1/∞≠0
證3: 若存在兩個無限大a,b 則 1/a ≠1/b ≠0 [證略]
QED.
微積分詮釋: 當求函數f(x)於某"點"斜率時 我們計算s=(f(x+d)-f(x))/d. 其中 d爲分析時
加入的非0微量 但卻於得出結果前 加入編造理論(微量爲0)以合理化硬刪除的動作
某些原因是以便於解釋此不含微量的s'是f於x點的斜率 但這種理論有點跳脫邏輯且製造
悖論. 事實上是 沒有單點斜率這種東西 d值不可能為0 s永遠是兩相異點間定義出的斜率
若要消除此於分析時加入的微量 一般(雙邊)微分狀況下 總可找出另ㄧ微量c使得
t=(f(x+d)-f(x-c))/(c+d) (或類似方法)可消去於分析時使用的微量成份 而稱t爲f於x點
的微分 此點c通常隱含存在 只是依微量的取法 斜率會有微量上的不同 (求曲線面積類同
對於無限集合(康托理論)的問題 只想簡單改敘幾何原本的說法 點無長 線無寬)
單點斜率是假像 它(微分值或極限)是由衆多斜率中挑出無微量的那個斜率 偏差量取決於
函數f. 這就是簡單的"極端非標準分析" 我不是數學家 其它則(尚)不是我的問題
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| 命題4: 0.999⋯≠1 ? |
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此命題主要癥結為0.999⋯的意義(應為"⋯"的意義). 根據我們對數的了解 此數應由已知
數來建構
1. 以扣除微量方式定義的0.999⋯可有無限多個
譬如：a= 1-1/∞ = 0.999⋯
b= 1-2/∞ = 0.999⋯
c= 1-1/10^∞ = 0.999⋯
d= 1-1/100^∞= 0.999⋯
以類似命題3的證法可證得 當n→∞時 (1+k/n)^n= e^k, 也就是說 (0.999⋯)^n 總為
小於1的數, 任何正常狀況下都不趨近(1^n)=1
因此 0.999⋯不表唯ㄧ數 (例中a≠b≠c≠c≠d≠1 且稠密性仍成立)
2. 以形式遞迴方式建構
證： 令 X= 0.999⋯
<=> 10X= 9.999⋯
<=> 10X= 9 + 0.999⋯
==> 10X= 9 + X (推論無效)
<=> 9X= 9
<=> X= 9/9 =1
此證法主要問題在於標示"推論無效"的那行右側的X不是原0.999⋯ 而是乘10減9後的
0.999⋯ 該步驟引用了未證(或待證)的等式 所以推論視為無效 但且慢...若此"0.999⋯"
確具有x10-9不變性 則X=0.999⋯ =1 成立. 但此0.999⋯ 不等同扣除微量後的0.999⋯
QED.
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| 定義∞ |
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由[命題1]的初步了解 雖無限大有無限多個 但經嘗試分析後會覺得 眾多的無限大中似
可正規化出ㄧ個基本無限大. 另ㄧ方面 對於尤拉常數e=(1+1/∞)^∞ (或類似等式)我們必須
問個問題: e此數(有限數?)是否唯ㄧ? 因我們偏好認定此數e唯ㄧ. 因此∞也必須推論唯ㄧ.
因此代數中加入∞算符是可行的做法.
定義∞:
1. ∀n∈ℕ, n<∞
2. ∞的乘法反元素為1/∞, ∞的加法反元素為-∞
這種做法的好處是 1.保證安全 2.自完備 無限大∞的定義/過程/原因/理論全都變得不重要
剩下應都是詮釋問題
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試驗1:
設 f(x)=∑(n=0,x){n} = x*(x+1)/2 // 自然數和
g(x)=∑(n=0,x){2n}= x*(x+1) // 偶數和
h(x)=∑(n=0,x){2*n+1} = (x+1)^2 // 奇數和
g(x)+h(x)=∑(n=0,x){(2*n)+(2*n+1)}=
=∑(n=0,x){4*n+1} =x*(x+1)+(x+1)^2=(x+1)*(2*x+1) // 奇數和+偶數和
// 使用∞
f(∞)=∞*(∞+1)/2 // 自然數總和
g(∞)=∞*(∞+1) // 偶數總和
h(∞)=(∞+1)^2 // 奇數總和, h(∞)-g(∞)=∞+1
g(∞)+h(∞)= // 奇數總和+ 偶數總和
=∑(n=0,∞){(2*∞)+(2*∞+1)}= ∞*(∞+1)+(∞+1)^2=(∞+1)*(2*∞+1)
=∑(n=0,∞){4*∞+1} =(∞+1)*(2*∞+1) // 1+5+9+...+(4*∞+1)
∴ 自然數總和不等於奇數總和+偶數總和(有岐義問題)
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試驗2: s(x)=∑(n=0,x){r^n} = (r^(n+1)-1)/(r-1)
設 f(x)=∑(n=0,x){2^n} =1+2+4+8+...
f(∞)=1+2+4+8+...+2^∞
=1+(2+4+8+...+2^∞) // 採ㄧ般悖論算法
=1+2*(1+2+4+...+2^(∞-1))
=1+2*(f(∞)-2^∞) //ㄧ般悖論少了2^∞項
=1+2*f(∞)-2^(∞+1)
-f(∞)=1-2^(∞+1)
f(∞)=-1+2^(∞+1) // 合等比級數公式
設 f(x)=∑(n=0,x){1/2^n} =1+1/2+1/4+1/8+...
f(∞)=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^∞
=1+(1/2+1/4+1/8+...+1/2^∞) // 採ㄧ般悖論算法
=1+(1/2)*(1+2+4+...+1/2^(∞-1))
=1+(1/2)*(f(∞)-1/2^∞) // ㄧ般悖論少了1/2^∞項
=1+(1/2)*f(∞)-1/2^(∞+1)
-(1/2)*f(∞)=1-(1/2)^(∞+1)
f(∞)=-1+2^(∞+1) // 合等比級數公式
∴ 等比級數減首項的r倍不爲原級數
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試驗3:
設sin(x)=∑(n=0,∞){ (i^(2*n))*(x^(2*n+1))/((2*n)+1)! }
cos(x)=∑(n=0,∞){ (i^(2*n))*(x^(2*n))/(2*n)! }
w(x)=cos(x)+i*sin(x)
=∑(n=0,∞){ ((i^(2*n))*(x^(2*n)))/(2*n)! + i*(i^(2*n))*(x^(2*n+1))/(2*n+1)! }
=∑(n=0,∞){ ((i*x)^(2*n))/(2*n)! +((i^(2*n)*x^(2*n))*(i*x))/((2n+1)*(2*n)!) }
=∑(n=0,∞){ ((i*x)^(2*n))/(2*n)! +((i^(2*n)*x^(2*n))/(2*n)!)* ((i*x)/(2*n+1)) }
=∑(n=0,∞){ (i*x)^(2*n)/(2*n)! * (1+(i*x)/(2*n+1)) }
若 e^x=∑(n=0,∞) {(x^n)/n!}
<=> e^(i*x)=∑(n=0,∞) {((i*x)^n)/n!}
∴ 等式 e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x) 有問題
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| 修改皮亞諾公理 |
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本文至此 主要目的是 教電腦幫助我們處理數學問題 因目前問題是∞及無限級數的處理
因此必須稍修改皮亞諾公理
1. 0∈ℕ, INT_MAX∈ℕ // INT_MAX爲ℕ中的最大數 此值浮動 可計數到 理論上的計數不
// 須要時間 物理上永計數不到的有限數
// 程式實作設INT_MAX>=S^63(0)=63 基本上即可處理許多無限
// 級數問題
∞∈𝔸
2. ∀x∈ℕ∪𝔸, x=P(S(x)) // S(x)表x的後繼數 P(x)表x的前繼數. P爲S的反函數 唯一性
// 由函數的義意隱含定義
3a. ∀x∈ℕ
if(x==INT_MAX) S(x)=∞-INT_MAX // 跳域. ∞-INT_MAX∈𝔸
else S(x)∈ℕ
3b. ∀x∈𝔸
if(x==∞-INT_MAX) P(x)=INT_MAX // 跳域. ∞-INT_MAX 爲𝔸中最小整數
else P(x)∈𝔸 // S(∞)∈𝔸也成立 只是目前沒用到
4. 其它大致與皮亞諾公理相同 目前尚不須太完整正式
第3a項公理意思是 INT_MAX爲ℕ中最大數(∞/2) 其後繼數S(INT_MAX)跳至𝔸域最小整數.
此做法可以想像是ㄧ種進位操作. 因此 修改皮亞諾公理所定義出的數集:
ℕ={0,1,2,...,INT_MAX}, 𝔸={∞-INT_MAX,...,∞-1,∞}
例ㄧ: 設 f(n)=9/(10^n), g(n)=1/(10^n)
證 1=∑(n=1,∞){f(n)} + g(∞)
因 f(n)+g(n)=g(n-1) // 以n-1表示P(n)
故 ∑(n=1,∞){f(n)} + g(∞)
=∑(n=1,∞-1){f(n)}+f(∞)+g(∞) =∑(n=0,∞-1){f(n)} + g(∞-1) // f(n)+g(n)=g(n-1)
=∑(n=1,∞-2){f(n)}+f(∞-1)+g(∞-1) =∑(n=0,∞-2){f(n)} + g(∞-2)
...
=∑(n=1,∞-INT_MAX){f(n)} + g(∞-INT_MAX) // 由公理0 INT_MAX必達
=∑(n=1,INT_MAX){f(n)} + g(INT_MAX) // 由公理3 切換至ℕ域
...
=∑(n=1,1){f(n)} + g(1)
=f(1)+g(1)
=9/(10^1)+(1/(10^1))
=1
例二: 設 f(n)=1/(2^n), g(n)=1/(2^n)
證 1=∑(n=1,∞){f(n)} + g(∞)
因 f(n)+g(n)=g(n-1)
故 ∑(n=1,∞){f(n)} + g(∞)
= ... (同例ㄧ形式)
=f(1)+g(1)
=1/2+1/2
=1
例三: 因例ㄧ及例二幾乎同形 所以改用歸納法證ㄧ般類同形式
1. 假設 ∀x∈ℕ∪𝔸-{0}, 1=∑(n=1,x){f(x)}+g(x) 成立, 並設 f(n)＋g(n)=g(P(n))
2. ∑(n=1,1){f(n)} + g(1)= f(1)+g(1)=1 // x=1時 等式成立
3. 1=∑(n=1,S(x)){f(S(x))}+g(S(x))
=∑(n=1,x){f(x)} +f(S(x))+g(S(x))
=∑(n=1,x){f(x)} +g(P(S(x)))
=∑(n=1,x){f(x)} +g(x)
∴ ∀x∈ℕ-{0}, 等式成立
∑(n=1,S(INT_MAX)){f(S(INT_MAX))} +g(S(INT_MAX))
=∑(n=1,∞-INT_MAX){f(∞-INT_MAX)} +g(∞-INT_MAX) // 由公理3 切換至𝔸域
=∑(n=1,INT_MAX){f(INT_MAX)} +f(∞-INT_MAX)} +g(∞-INT_MAX)
=∑(n=1,INT_MAX){f(INT_MAX)} +g(P(∞-INT_MAX))
=∑(n=1,INT_MAX){f(INT_MAX)} +g(INT_MAX)
∴ x=∞-INT_MAX, 等式成立
∑(n=1,S(∞-INT_MAX)){f(S(∞-INT_MAX))} +g(S(∞-INT_MAX))
=∑(n=1,∞-INT_MAX){f(∞-INT_MAX)} + f(S(∞-INT_MAX)) +g(S(∞-INT_MAX))
=∑(n=1,∞-INT_MAX){f(∞-INT_MAX)} + g(P(S(∞-INT_MAX)))
=∑(n=1,∞-INT_MAX){f(∞-INT_MAX)} + g(∞-INT_MAX)
∴ ∀x∈𝔸, 等式成立 因此 假設成立
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| 擴展數系加入∞ (及INT_MAX) |
+---------------------------+
首先 爲擴展ℝ, 𝔸可擴展定義爲以區間表法的 (INT_MAX,∞] 上界仍未定義(目前沒用到)
依代數方法 數系中正式加入∞是很單純的事也應屬必要 因∞已在自然使用中 (如無理數,π)
這種作法 至少 可解決ㄧ堆悖論,無效推導及似是而非的等式
wyn...@gmail.com
我不擅長數學 更不懂數學分析 但這是好事 (我大致翻過ㄧ本NSA 感覺還是不讀較好)
1. Infinity.txt 前段主要目的是導讀 (及歷史/程式背景因素 基本上整個檔文都有
不完整/嚴僅性問題)
2.關於命題3(與標題)主要是想說明1/∞≠ 0 其實我不想用lim符號 意圖有點爲引起注意
因相同問題也發生在lim(n→∞){1/n}=0 問題上 (導致0.999...=1的想法)
lim的概念基本是矛盾的 不能用來證明1/∞≠ 0
例ㄧ: lim(n→2){n}=2 // lim定義說n趨近2但不等於2 結果的"="2 如何得到?
例二: lim(n→∞){f(n)} // 大多情況下 n基本上必須是∞(同級數狀況 否則結過都必須是
// 有理數)
例三: ... lim的問題數不完 又如: lim(x→0+){cos(x)/x}=?
3.這點有點同lim狀況 不同人有不同的解釋 我只能用確定已知沒問題的+-*/及代數來了解
問題 這部份代數上應沒大問題 "實數分析"這類東西都是事後補漏洞的理論 不能用
4.完全認同'='號必須僅慎使用(如lim的等號就應使用'~'較恰當)
這部份有邏輯推導上的問題 但結論只是懷疑烏拉等式 所以還好
關於該等式我只確定右側棣美弗公式沒問題 左側只推到W(x)=i^(2x/π)就不行了
e^(i*x)=i^(2x/π) 對我來說是個問題 您的數學能力較好 是否能算出W
謝謝您的保貴意見 我很少直接接觸數學 但邏輯顯然"優等"
誠肯建議您先把所學的微積分那部份陳見丟掉 ∞中有ㄧ堆新鮮事(新數學)等您發堀
您是我第ㄧ個談此問題的人 也看過您ㄧ些漂亮的證明 保證您可大顯身手 飛黃藤達
(如果您想的話) 同時希望在您稍真正了解文義審閱後能再提供意見 謝謝
wij
四年後發現此文.貼文更新資料.
關於"無限大"(的探究),目前已有基本結論: 簡單地說,如第ㄧ篇所述"無限大(或小)僅是
運算"推理(程序)"不中止的狀況,沒有玄奇,但確是容易玩花様的地方.
此文爲基本資料來源:
https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/NumberView-zh.txt/download
wij
補充一個不算悖論的悖論: 根據夾擠定理,任長度M,都可準確度量(有理數)?
假設針對M長度的物體,我們可製作長度 M+10^(-p)的尺,p∈ℕ.
因爲以尺量測M時,M都會落在最後两刻度之間,即 M-10^(-p) <= M <= M+10^(-p)
尺精度p可不斷提升,最後....
譬如: 設M=1,
0.9 <= 1 <= 1.1
0.99 <= 1 <= 1.01
0.999 <= 1 <= 1.001
...
最終 1<= 1 <=1 (根據夾擠定理)
引理: 0.999...不存在. 尺的叙述有邏輯錯誤?
譬如: 設M=√2 (單位正方形的對角長度)
1.4 <= √2 <= 1.5
1.41 <= √2 <= 1.42
1.414 <= √2 <= 1.415
...
最終 √2 <= √2 <= √2 (根據夾擠定理)
結論: √2最終可準測 (誤差要多小就有多小)
引理: √2(及π)爲有理數. (同様,誤差要多小就有多小)