救命啊！一道数学解三元三次方程的题目！！！

[fai...@163.com]

问题如下：
x＋y＋z＝4
x平方＋y平方＋z平方＝10即x2＋y2＋z2＝10
x立方＋y立方＋z立方＝22即x3＋y3＋z3＝22
求x4＋y4＋z4＝？？？

这个题目我解了好久，终于还是没有解出来
我要的是方法，过程，以及此类的推广，如有四元四次，

如求x99＋y99＋z99＝？等，就是说一定要说清方法·····

谢谢··········

[fai...@163.com]

x＋y＋z=4 x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=10，
x3+y3+z3=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz=22．
由以上三式不难得到：xy+yz+zx=3 xyz=-2
下面需要用到一元三次方程的韦达定理:
令x1、x2、x3为方程x3+ax2+bx+c=0的三个根,则有 x1+x2+x3=-a
x1x2+x2x3+x3x1=b x1x2x3=-c 得到这个公式也很简单
假设x1、x2、x3是方程的三个根，则有(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,再展开与上面对照就可得到了
利用韦达定理可知:
x,y,z是一元三次方程t3-4t2+3t+2=0的三个根,即2,1+√2,1-√2
由对称性知原方程有六组解
根据对称性,只要将2,1+√2,1-√2代入x4＋y4＋z4中即可求出
x4＋y4＋z4=50 其实本题的关键在于根据已知条件
x＋y＋z＝4 x2＋y2＋z2＝10 x3＋y3＋z3＝22 求出x,y,z的解
再将x,y,z的解代入所求表达式 x4＋y4＋z4＝？
x5＋y5＋z5＝？ x6＋y6＋z6＝？ ......... x99＋y99＋z99＝？
求出表达式的结果也就不是什么难事了