실수 = 유리수 + 무리수

[김영태]

이왕 수학에 대한 이야기가 나왔으니 한 가지 더 이야기 해 보겠습니댜. 

모든 실수를 수직선 상에 표시할 수 있다는 것은 고등학교에서 이미 배웠지요. 즉 하나의 수직선 상에 유리수와 무리수가 뒤섞여 있다는 것이지요. 그런데 만약 어떤 사람이 아주 예리한 바늘(원자 하나 두께보다 더 가느다란, 더 정확히는 점의 개념이기 때문에 두께가 아예 없는)로 수직선 상의 임의의 한 점을 찔렀을 때, 그 수가 유리수일 확률은 얼마나 될까요? 수학자들 정말 별 것을 다 생각합니다. 언젠가 수학자들은 문제를 푸는 사람들이 아니라 문제를 내는 사람들이라는 말을 들은 적이 있는데, 정말로 일반인은 생각지도 못한 별별 문제를 다 만들어 내고 또 이것을 끙끙거리며 풀어내는 사람들 같습니다. 

답은 거의 0%에 가깝다입니다. 반대로 무리수일 확률이 거의 100%라는 얘기입니다. 무리수가 압도적으로 많은 것이 아니라 거의 전부 무리수라는 겁니다. 이것은 다음과 같은 예로 쉽게 설명이 될 수 있을 것 같습니다.

x,y 좌표 평면을 생각해 보죠. 일단은 1사분면만 생각하기로 합니다. x축과 y축에는 같은 간격으로 자연수로 숫자가 쓰여 있고, 이 자연수로 된 순서쌍의 좌표마다에 모두 점을 찍습니다. 예를 들면 (1,1) (1,2), (1,3)... (2,1), (2,2), (2,3)..., (3,1), (3,2), (3,3) ... 이런 식으로요. 이제 각 순서쌍의 x 좌표를 분자로, y 좌표를 분모로 하는 유리수를 만듭니다. 즉, 1/1, 1/2, 1/3, ... 2/1, 2/2, 2/3, ... 3/1, 3/2, 3/3, ... 이런 식으로요. 이렇게 나열하면 모든 양의 유리수를 좌표 평면 안에 전부 표시할 수 있습니다. 유리수의 정의가 분수로 표시할 수 있는 수이니까요.

이 상황에서 아까 이아기 했던 아주 가느다란 바늘을 그 좌표 평면 상에 임의로 던진다고 생각하면, 그것이 유리수에 해당하는 점(자연수의 순서쌍)에 맞을 확률은 0에 가깝다는 것을 알 수 있습니다. 점은 원래 면적이라는 개념이 없지만, 시각화를 위해 점이 원자 하나만한 크기를 가지고 있다고 가정해 보죠. 그럼 1사분면에 찍힌 모든 점들(유리수)의 면적을 더한 것과, 그 점을 제외한 나머지 모든 점들(무리수)의 면적을 전부 더한 것의 비율를 생각해 보면, 유리수일 확률이 무리수일 확률에 비해 얼마나 미미한 것인지를 시각화해 볼 수 있습니다.