对幂律分布的一个介绍

[东方隐]

昨天听了王公说法，真是天花乱坠，黑夜如昼！今天还在反复回味随机分布、指数分布和泊松分布这三种看似无关的分布通过点过程联系在一起的微妙道理，真是了不起！期待下次再闻王公法音！又希望胡王二公抽空把讲义发一下以便复习（不知道发了没有）。

 

下面是贫僧写的一个关于幂律分布的解释：原贴前面还有计算士的大作，请诸位抽空浏览原贴：

 

http://www.swarmagents.cn/bs/viewforum.asp?id=12645&UrlTail=

下面是我想到的心得：所谓幂律分布、无尺度分布、分形分布、Zipf律分布等等，其实基本上都是一回事情，就是在双对数坐标系上面画出来是一条直线，简言之，x和y乘起来要是一个定值，这样取对数以后加起来才是定值，才会是一条直线。

在分布曲线上，x轴表示的是数量（概率），y轴表示的是大小，x和y乘起来是定值就是说大小乘上概率是定值。符合这个条件的分布就是无尺度的，这个意思不容易理解，现在举一个直观的例子：

取一叠圆形的纸，每一张都是一样大小的圆形。现在把这些纸剪开，第一张不动，第二张剪成两个半圆形，第三张剪成四个等大的扇形，第四张剪成八个扇形……

这样剪好以后再照原来样子叠在一起，再取一根长针，从上面戳下去，肯定每一层都有且只有一个分割被戳到。请注意：分割的大小乘上分割的数量为定值，（比如第三层，每一个扇面只有1/8的大小，被戳到的机会也是1/8，但是却有8个扇面，乘起来正好是1）所以在这种情况下面，无论分割大小，被选中的机会是相等的。

现在再把所有的这些大大小小的扇面全部摊平到一张大桌子上面，稍微想一想就知道，虽然只选一个，但是不管大小，被选中的机会还是相等的。（所以你不能通过观察得知分布的尺度）。这就是幂律分布！

各种大小的扇面被选中的机会相等，所以说是无尺度分布；每个扇面都是一个圆不断“分”分出来的，所以说是分形分布。至于Zipf律，你只要把圆的大小当成单词的长度理解，就可以得到了。（这也就是说单词的长度不包含信息）从记忆的角度说，也可以知道记长的单词肯定难记，所以长单词少，短单词多（最小化记单词的成本）。

也容易直观的知道，在这种情形底下，几何平均值是固定的（因为都是一个大圆的相等分割么，乘起来再开方，算来算去都是1，呵呵），所以限定几何平均值必然得到幂律分布。

继续再说分形的维度，所谓维度，就是上面剪纸片例子里面，上一层和下一层纸片数量的倍数（维度=2），维度是很有意思的东西。要能够以最短方式描述一个系统，你的描述维度一定要等于生成的维度，多了少了都不行。举个猜电话号码的例子，最好的办法是一次猜1个号码，每次有10个选项。至于实际情况维度为什么是一个确定的值，比如2.2，这是另外一个更加有意思的问题。这里就不多展开了。

[lingfei wu]

我的思路还不是很成熟，而且在数学上也不是原创，主要是引用文献的思路。

 

有对网络中的幂律分布感兴趣的，两个能导出幂律分布的网络演化模型 可能是更好的介绍

 

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Wu  Lingfei
wlf8...@gmail.com
Dept. of Media & Communication
City University of Hong Kong

[jake]

和尚讲幂律分布就跟我讲随机过程一样，都不是很擅长的。

和尚的这些比喻，看起来很“科普”，但其实都比较麻烦、冗长，

不如来两个干净利落的数学式子，加上一些实际案例。

关于幂律分布在各行各业的应用，请诸位参看Mark Newmann的论文：

http://www.swarmagents.cn/thesis/detail.asp?id=268

 

其中有关于为什么说Power law是Scale free的精确定义。我想大家还是先看准科学定义，再来谈“科普”更好一些。

在2010-03-02，"东方隐" <dfy...@hotmail.com> 写道：

-----原始邮件-----
发件人:"东方隐" <dfy...@hotmail.com>
发送时间:2010年3月2日 星期二
收件人:ci-en...@googlegroups.com
主题:对幂律分布的一个介绍

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