我新写的科普小文：《相变、临界与重整化1：渗流模型》，与大家分享
jake
也请给为物理，特别是统计物理专业的人多提宝贵意见
写在前面
标度行为（Scaling）是现在复杂系统研究中的一个非常典型的现象，它体现为系统的若干宏观指标或者某个变量的分布函数满足具有不同幂指数的幂律行为。例如，社会上的收入分布就满足著名的Pareto律，也就是收入分布的密度函数f(x)~x-1.75，这是一个幂律分布；再如英语单词中，按其出入频率从大到小排序，则排序为r的单词的出现频率为f(r)~r-1，这是著名的Zipf律。另外还有两变量的关系也是幂律的，如生物体新陈代谢和它的Body Size之间满足3/4幂律关系，即F~M3/4，这被称为Kleiber律。再如大家熟知的无标度网络，真实世界很多复杂网络的度分布都满足幂律分布，即p(x)~x-3
这是一大类标度行为，另外还有一大类标度行为就是我们所熟知的分形！如果你还记得如何计算一个分形图的分形维，那么实际上分形的测度值y（如曲线长度、面积）是和你测量它的尺的精度x呈现出幂律关系的，一般y~x-D，其中幂指数D就是这个几何体的分形维。当然，对于随机分形来说（诸如布朗运动Brownian Motion、列维游走Levy Flight），也普遍存在着标度行为(Scaling)。
越来越多的标度现象呈现出来，迫使人们追踪溯源，究竟标度行为，幂律现象最早起源于什么研究呢？当然，严格来说，很早很早以前，牛顿时代，人们就开始跟幂律较劲了，例如牛顿著名的万有引力公式F~M1M2/r2就是一个幂律关系。但是，在物理中，真正将标度行为一词提出来，并展开相对大规模研究的大概有两个源头，一个就是液体中的湍流，人们发现湍流就存在着多标度现象，也就是你在不通的标度（尺度，Scale）下去看它，它都展现出了相似的规律。
另外一个源头，也就是我们今天要讨论的重点，也就是统计物理中的相变，尤其是临界相变现象了。人们对处于相变的复杂系统，例如磁体在热环境下的相变行为进
行详细地研究发现，当处于相变临界点（诸如临界温度）附近的时候，系统的很多宏观指标都会展现为一系列标度行为（也就是说，很多指标之间的关系都可以用幂
律来刻画），而且系统本身也在相变点附近的时候展现出了很多自相似的行为（我们会在后面具体说明），所以，临界与标度行为被划归为统计物理的一个非常重要
的分支之一。
更有趣的是，正当理论家们针对相变行为没有什么得手的处理工具的时候，人们发现最早诞生于量子场论中的重正化的方法刚好可以拿过来分析临界现象，而且能够
相对精确地预测出发生镶边时候的临界参数。笔者以为，重正化方法是发现于20世纪70年代一种非常新而且意味深刻的研究方法。它其实开辟了一条全新的研究
系统的思路。我们都知道，物理研究客观世界的标准做法就是为待研究系统写下演化方程x=f(t)，注意，这个方程都是针对时间t去写的，或者是写下物理量
随空间的变化；但是重正化方法却开辟了一条新的路，针对处于临界状态下的系统来说，我们并不关心系统随时间或者空间是怎么变的，而是写出某个物理量随着它的标度如何变化x=f(s)，这里的s就是你研究这个系统的标度。因此，按照Nottle的标度相对论的做法，标度s应该被视为与时间、空间同等重要的一种全新的基本维度。
为了让读者更清楚地了解什么是标度现象，什么是临界相变，以及什么是重正化方法，等等，我们以两个非常容易理解的模型化系统作为例子。注意，这两个例子仅
仅是模型（人造的东西），而不是真实的系统。但是，正是因为大多数读到此文章的人不是物理学专业出身的，所以，我们才抛开实际的物理背景不谈，而直接进入
最核心的模型世界，其目的就在于读者能够真正实现跨学科的领悟。
全文见：
http://www.swarmagents.cn/bs/viewforum.asp?id=15652
troy dongdong troy
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lingfei wu
Wu Lingfei
wlf8...@gmail.com
Dept. of Media & Communication
City University of Hong Kong
jake
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发送时间:2011年2月28日 星期一
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主题:Re: 我新写的科普小文：《相变、临界与重整化1：渗流模型》，与大家分享
赞一个！写的非常的清楚明白有两个问题：1. 为什么粗粒化规则是不对称的（2*2的大格子,9白7黑）？因为粗粒化规则决定了临界参数的。文中的粗粒化规则是有道理的，还是是凑出来的？2. 计算相变临界参数的时候，假设了临界参数的尺度不变特性，这个假设在实验中是成立的吗？
也请给为物理，特别是统计物理专业的人多提宝贵意见
写在前面
标度行为（Scaling）是现在复杂系统研究中的一个非常典型的现象，它体现为系统的若干宏观指标或者某个变量的分布函数满足具有不同幂指数的幂律行为。例如，社会上的收入分布就满足著名的Pareto律，也就是收入分布的密度函数f(x)~x-1.75，这是一个幂律分布；再如英语单词中，按其出入频率从大到小排序，则排序为r的单词的出现频率为f(r)~r-1，这是著名的Zipf律。另外还有两变量的关系也是幂律的，如生物体新陈代谢和它的Body Size之间满足3/4幂律关系，即F~M3/4，这被称为Kleiber律。再如大家熟知的无标度网络，真实世界很多复杂网络的度分布都满足幂律分布，即p(x)~x-3
这是一大类标度行为，另外还有一大类标度行为就是我们所熟知的分形！如果你还记得如何计算一个分形图的分形维，那么实际上分形的测度值y（如曲线长度、面积）是和你测量它的尺的精度x呈现出幂律关系的，一般y~x-D，其中幂指数D就是这个几何体的分形维。当然，对于随机分形来说（诸如布朗运动Brownian Motion、列维游走Levy Flight），也普遍存在着标度行为(Scaling)。
越来越多的标度现象呈现出来，迫使人们追踪溯源，究竟标度行为，幂律现象最早起源于什么研究呢？当然，严格来说，很早很早以前，牛顿时代，人们就开始跟幂律较劲了，例如牛顿著名的万有引力公式F~M1M2/r2就是一个幂律关系。但是，在物理中，真正将标度行为一词提出来，并展开相对大规模研究的大概有两个源头，一个就是液体中的湍流，人们发现湍流就存在着多标度现象，也就是你在不通的标度（尺度，Scale）下去看它，它都展现出了相似的规律。
另外一个源头，也就是我们今天要讨论的重点，也就是统计物理中的相变，尤其是临界相变现象了。人们对处于相变的复杂系统，例如磁体在热环境下的相变行为进行详细地研究发现，当处于相变临界点（诸如临界温度）附近的时候，系统的很多宏观指标都会展现为一系列标度行为（也就是说，很多指标之间的关系都可以用幂律来刻画），而且系统本身也在相变点附近的时候展现出了很多自相似的行为（我们会在后面具体说明），所以，临界与标度行为被划归为统计物理的一个非常重要的分支之一。
更有趣的是，正当理论家们针对相变行为没有什么得手的处理工具的时候，人们发现最早诞生于量子场论中的重正化的方法刚好可以拿过来分析临界现象，而且能够相对精确地预测出发生镶边时候的临界参数。笔者以为，重正化方法是发现于20世纪70年代一种非常新而且意味深刻的研究方法。它其实开辟了一条全新的研究系统的思路。我们都知道，物理研究客观世界的标准做法就是为待研究系统写下演化方程x=f(t)，注意，这个方程都是针对时间t去写的，或者是写下物理量随空间的变化；但是重正化方法却开辟了一条新的路，针对处于临界状态下的系统来说，我们并不关心系统随时间或者空间是怎么变的，而是写出某个物理量随着它的标度如何变化x=f(s)，这里的s就是你研究这个系统的标度。因此，按照Nottle的标度相对论的做法，标度s应该被视为与时间、空间同等重要的一种全新的基本维度。
为了让读者更清楚地了解什么是标度现象，什么是临界相变，以及什么是重正化方法，等等，我们以两个非常容易理解的模型化系统作为例子。注意，这两个例子仅仅是模型（人造的东西），而不是真实的系统。但是，正是因为大多数读到此文章的人不是物理学专业出身的，所以，我们才抛开实际的物理背景不谈，而直接进入最核心的模型世界，其目的就在于读者能够真正实现跨学科的领悟。
我们选择的这两个模型分别是渗流模型（Percolation）和Ising模型（自旋玻璃的伊辛模型）。第一个格点上的渗流模型非常简单直接，使你一下子就能抓住问题的本质，而且在这里我也尽量采用计算机模拟的方法，而回避难度较大的数学，但是这样做的代价是忽略了很多有趣的东西。第二个模型是二维的 Ising模型，在这里我放弃了计算机模拟的做法，而是尽量用数学演绎的方法给大家展示重正化的处理方法。
全文见：
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troy dongdong troy
2. 就是说在64 128 256 512 。。。随着格子数目逐渐增加的情况下，临界参数是不变的，或者是逐渐收敛的，这种特性应该能够通过实验观察到。
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东方和尚
jake
在2011-03-01，"troy dongdong troy" <not...@gmail.com> 写道：
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发送时间:2011年3月1日 星期二
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主题:Re: Re: 我新写的科普小文：《相变、临界与重整化1：渗流模型》，与大家分享
troy dongdong troy
jake
在2011-03-01，"troy dongdong troy" <not...@gmail.com> 写道：
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