Equação de Maxwell Cattaneo, Dúvidas!

[DENYS]

Olá, tudo bem? Estou com duvidas na resolução da equação de maxwell
cattaneo! To lutando aqui para conseguir um resultado, e não sai nada
plausível. A equação está sendo aplicada para descrever o
comportamento do campo de temperatura numa barra. Estava querendo
comparar os resultados com o clássico metodo de Fourier. A equação é a
seguinte,

tal. d²T\dt² + dT\dt =
alfa*d²T\dx²,

onde tal é o tempo de "relaxação" e alfa a difusidade
térmica do material

Como se ve, existe um termo adicional ao modelo de fourier, "tal.
d²T\dt²" . Esse termo esta relacionado com o "delay" térmico que a
onda de energia tem, muito presente em materiais biologicos, como a
propria pele! Analiticamente, tentei resolver pela separaçao de
variaveis, mas nao encontrei mta coisa boa. Decidi partir entao para a
solução numerica, usando as diferenças finitas descentradas
atrasadas.. o resultado nao esta convergindo! O problema que estou
estudando é basicamente de uma barra(unidimensional) que está a
temperatura 0 grau, na qual se aplica e mantem,para t>0, uma
temperatura de 10 graus Celsius num dos extremos da barra! Queria
comparar os resultados obtidos numericamente da equaçao de Maxwell
Cattaneo, com a solução analitica de fourier. A solução analitica de
Fourier é dada por

T = Ts + (Ts - Ti)* erf( x \ sqrt(2*alfa*t))
Onde, Ts - Temperatura subita que um dos extremos é submetido
Ti - Temperatura inicial
erf - Funçao de Erro de Gauss
Alfa- Difusidade Térmica do Material

Bom, acho que já falei ate demais.. mas era só para dar uma idéia do
problema que estou a resolver e talvez conseguir algumas dicas e
conselhos! Sou iniciante em programação, ainda estou na graduaçao e
portanto toda dica é bem vinda!!! Desde já fico grato pela atenção
dispensada!

Abraços,
Denys

[DENYS]

Ah.. esqueci de falar.. tem como simular isso pelo CFD?
Abraços

[Luiz F.]

Olá, Denys.

Quanto ao seu problema, acredito que exista solução analítica, sim.
Note que não tenho certeza, mas acho que talvez vc resolva esta
equação por Laplace. Ontem eu tive que procurar uma informação no meu
caderno da disciplina de métodos matemáticos do mestrado e acabei
esbarrando com uma solução parecida com a sua (mais simples). Fiquei
pensando se vc não conseguiria resolver o seu problema por
transformada de Laplace. Vc tentou essa alternativa?

Quanto à solução numérica, sim, ela é bem plausível... Pessoalmente,
eu não usaria o método das diferenças finitas, mas é uma opção. Qual
tipo de discretização temporal vc está usando? Sua melhor chance é
usar uma abordagem implícita (backward ou Cranck-Nicholson), de modo a
evitar a divergência numérica. É isso que vc está usando?

Fiquei curioso com o seu problema e resolvi resolvê-lo em um pacote
CFD de código livre, o OpenFOAM. Levei uns 5 minutos com a programação
da solução da sua equação e outros 10 minutos para montar o caso
simulado. Nos testes que fiz, funciona perfeito! Mas ainda gostaria de
comparar os resultados numéricos com uma solução analítica.

Atualmente, estou escrevendo um post no meu blog (http://
notasemcfd.blogspot.com/) sobre a programação da solução da equação da
difusão pura no OpenFOAM. Assim que terminar com esse post, vou
escrever sobre como adaptar o código da eq. da difusão para resolver o
seu problema em específico. E publico no blog também.

Contudo, acho que ainda vale um esforço para tentar resolver o seu
problema (analítico ou numérico).

Espero que eu tenha ajudado de alguma forma.

Um abraço e boa sorte,
Luiz F.

[Luiz F.]

Como referência, dê uma olhada nesse site:
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpdetoc2.htm

Em especial, nesse link:
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde207.pdf

Abraço,
Luiz F.

[DENYS]

Olá Luiz,
Já tinha visto seus comentários, mas esperei ter uma resolução
numérica para lhe responder. Confesso que a parte de soluçao analitica
ainda nao mexi. É uma parte que tenho que estudar um pouco mais para
encontrar a solução. Mas por acaso, meu orientador já me tinha falado
para procurar sobre a equação do telegráfo, assim como você me
mostrou. Como ainda não cursei a discipla Equaçoes Diferenciais
Parciais, tenho conhecimento muito baixo na área!
A solução numérica eu realmente usei o MEF Backward, pois é metodo
numerico que mais domino. Já ouvi falar em outros e até me
recomendaram o dos volumes finitos. Comparei as 3 soluções (analitica
fourier, numerica fourier, numerica cattaneo) que obtive. Os
resultados Fourier apresentam uma pequena divergencia no ínicio, mas
depois caminham juntos. Estou tentando descobrir se é um erro de
resolução. Estou desconfiando da função erro de gauss que estou
usando, como por enquanto estou fazendo os testes no excell estou
desconfiando da precisão da funçao. Quanto a parte da equação de
Cattaneo, realmente se vê que o gradiente térmico é menor. Unica coisa
que ainda estou "encucado", é por que na realidade era para existir
depois de um certo tempo um pulo na temperatura e esta acompanhar o
comportamento fourier. Pelo que entendi, ocorre a superposiçao de
ondas térmicas que elevam bruscamente a temperatura. A minha solução
nao mostra isso de nenhuma forma, apresentando no final um temperatura
estacionária abaixo da temperatura estacionária de fourier. Sua
solução conseguiu resultados diferentes?!? Se voce desejar, posso lhe
passar alguma literatura que tenho em PDF sobre tal problema.
Acessei seu blog e me interessei, porem ainda nao domino a linguagem
C++. O OpenFOAM é todo em C++? Onde posso obter mais informações do
programa? Me interesso mto pela área e gostaria de conhecer um pouco
mais dos softwares na área CFD! Desde já fico grato.

Um abraço,
Denys

[Luiz F.]

Olá Denys,

Vc implementou o seu MEF todo do início ou partiu de algum outro
código? É perigoso assumir que os nossos códigos estejam perfeitos e
sem erro logo de início. Para conferir isso, teste o código aplicadao
a uma caso onde exista solução analítica. Pode ser um caso bem
simples. O ponto aqui é que vc acaba com uma das dúvidas referentes à
sua solução numérica... "Será que está implementado direito? Será que
é falta de resolução no número de elementos? Será que se eu testasse
em outro caso, a oscilação no início da minha solução iria aparecer?".
Faça a validação do seu código antes de passar para o seu problema em
si. Note que eu digo isso pois é o que eu faria no seu lugar. Após
testar uma função simples, vá aumentando gradativamente sua
complexidade até chegar ao problema que vc quer.

Eu não sei postar gráficos aqui, mas posso te passar as soluções que
obtive pelo seu e-mail pessoal. Eu chutei os dados da simulação (tau e
alpha) apenas para ver o resultado. Não sei se são fisicamente viáveis
ou não. Se quiser também posso te passar o código, mas ele só vai
funcionar em uma máquina com OpenFOAM instalado.

Sim, ele é todo escrito em C++. No blog tem bastante informação sobre
o OpenFOAM e acredito que seja um bom lugar para começar a se
familiarizar com o pacote CFD (e Linux).

Um abraço,
Luiz F.

[DENYS]

Olá Luiz,

Fiz isto. Testei a solução fourier com um exemplo que tenho a
soluçãoanalítica mais simples! Até agora bateu legal os resultados,
vou tentar me aprofundar neste exemplo que estamos discutindo, e
tentar passar para a solução cattaneo (nao fourier)! Se voce me puder
passar os gráficos e código lhe agradeceria mesmo.. Estou tentando
aqui resolver! é bom que já é um paralelo para comparação.. posso lhe
enviar minha solução também para vermos se existem congruência. Meu
email é denys_s...@hotmail.com ! Quando voce me enviar o email lhe
respondo com meus dados! Fico no aguardo entao Luiz. Desde já fico mto
grato!!


Abraço,

Denys