Préfaisceaux et monadicité
Samuel Mimram
Supposons que j'aie deux catégories C et D et un foncteur I : C -> D (I pour "inclusion"). Par précomposition, ce foncteur induit un foncteur U : D^ -> C^ entre les catégories de préfaisceaux correspondantes (je note C^ la catégorie des préfaisceaux sur C). Et ce foncteur admet un adjoint à gauche. Ma question est : le foncteur U est-il monadique ?
Ça ne sera pas vrai dans le cas général mais j'ai l'impression que c'est le cas lorsque I est fidèle et est l'identité sur les objets. Un exemple qui m'intéresse typiquement est le cas du foncteur d'oubli des ensembles simpliciaux vers les présimpliciaux (ie C et D ont les entiers naturels comme objets, les morphismes de C sont les fonctions injectives croissantes et les morphismes de D sont les fonctions croissantes).
Qqn aurait-il une idée ou une référence à ce sujet ?
Merci !
Samuel.
PS : par curiosité, j'ai aussi une variante de cette question pour les théories de Lawvere : par exemple, le foncteur Grp -> Mon est-il monadique ? pareil pour les PROs : étant donnée une catégorie monoidale C, le foncteur Grp(C) -> Mon(C) est-il monadique ?
bur...@math.jussieu.fr
> Supposons que j'aie deux catégories C et D et un foncteur I : C -> D (I pour
> "inclusion"). Par précomposition, ce foncteur induit un foncteur U : D^ ->
> C^ entre les catégories de préfaisceaux correspondantes (je note C^ la
> catégorie des préfaisceaux sur C). Et ce foncteur admet un adjoint à gauche.
> Ma question est : le foncteur U est-il monadique ?
Je ne connais pas à fond la question (et je doute qu'elle ait été
étudiée, à vrai dire je n'en sais rien).
> Ça ne sera pas vrai dans le cas général mais j'ai l'impression que c'est le
> cas lorsque I est fidèle et est l'identité sur les objets. Un exemple qui
> m'intéresse typiquement est le cas du foncteur d'oubli des ensembles
> simpliciaux vers les présimpliciaux (ie C et D ont les entiers naturels
> comme objets, les morphismes de C sont les fonctions injectives croissantes
> et les morphismes de D sont les fonctions croissantes).
> PS : par curiosité, j'ai aussi une variante de cette question pour les
> théories de Lawvere : par exemple, le foncteur Grp -> Mon est-il monadique ?
On sait que le composé de deux foncteurs monadiques n'est pas
nécessairement monadique, mais, en revanche il y a un thm ("thm du
sandwich")qui dit que si un composé VU est monadique ainsi que V,
alors U est monadique. Je crois que tu peux trouver ce thm dans le
livre de Manes (GMT, springer...). Je ne l'ai pas avec moi, mais je ne
pense pas qu'il y a des conditions supplémentaires (la preuve est très
technique). Ca te donne aussitôt la réponse dans divers cas, par
exemple pour Grp --> Mon, ainsi que pour I fidèle (et identités sur
les objets) (une petite catégorie est une théorie à plusieurs sorte et
dont toutes les opérations sont 1-aire, la composition donne les
axiomes équationnels). Le fait que I doive être fidèle n'est pas une
condition nécessaire ainsi I : C --> D donne la monadicité pour
C="deux flèches parallèles" et D="une flèche ouverte", en revanche non
pour D="un point".
Albert
----------------------------------------------------------------
This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
Samuel Mimram
Merci pour ta réponse, je ne connaissais pas ce théorème !
En fait, dans le cas qui m'intéresse, j'ai fini par trouver une preuve directe et élémentaire dans "Galois Theories" de Borceux Janelidze:
http://books.google.com/books?id=fNJTFzYSgMUC&lpg=PA105&ots=G-M01fArZ3&dq=%22kan%20extension%22%20monadicity&pg=PA105#v=onepage&q=%22kan%20extension%22%20monadicity&f=false
Effectivement, la seule hypothèse utilisée est la bijectivité sur les objets de I...
Amicalement,
Samuel.