hierarchie de Levy et RLP (right lifting property)

[Très Grand Débutant]

Bonjour,

Je suis en train de lire l'article http://front.math.ucdavis.edu/1101.2792.
Dans cet article, les auteurs démontrent entre autre que si une classe
de morphismes d'ensembles simpliciaux n'est pas trop complexe dans la
hiérarchie de Levy, la localisation homotopique par rapport à cette
classe existe. J'ai un problème pour bien comprendre ce qu'est un
énoncé Sigma_n et Pi_n, plus précisément ce qu'est un quantificateur
borné. Je comprends bien la définition en haut de la page 8 mais je ne
comprends pas pourquoi la formule de la page 9 définissant l'ensemble
des parties est Pi_1; on peut en effet remplacer le morceau de
formule Ax(x inclus dans B -> x dans A) par Ax dans P(B), x dans A et
donc le quantificateur A devient borné... Quelque chose doit
m'échapper.

Basiquement je me pose la question suivante. Soit C une catégorie
localement présentable et i:A-->B un morphisme de C. Quelle est la
complexité de la classe des morphismes qui vérifie la RLP par rapport
à i ? Comme la catégorie est localement présentable, elle est
définissable par un énoncé Pi_0 et Sigma_0 (p8 en bas). En particulier
sa classe de morphismes et Pi_0 et Sigma_0. Ensuite il faut utiliser
la page 16 de l'article... Un coup de main serait le bienvenu.

Merci. pg.

[Très Grand Débutant]

On 18 jan, 17:49, Très Grand Débutant
<granddebutantcatego...@gmail.com> wrote:
> Bonjour,
>
> Je suis en train de lire l'articlehttp://front.math.ucdavis.edu/1101.2792.

> Dans cet article, les auteurs démontrent entre autre que si une classe
> de morphismes d'ensembles simpliciaux n'est pas trop complexe dans la
> hiérarchie de Levy, la localisation homotopique par rapport à cette
> classe existe. J'ai un problème pour bien comprendre ce qu'est un
> énoncé Sigma_n et Pi_n, plus précisément ce qu'est un quantificateur
> borné. Je comprends bien la définition en haut de la page 8 mais je ne
> comprends pas pourquoi la formule de la page 9 définissant l'ensemble
> des parties est Pi_1; on peut en effet  remplacer le morceau de
> formule Ax(x inclus dans B -> x dans A) par Ax dans P(B), x dans A et
> donc le quantificateur A devient borné... Quelque chose doit
> m'échapper.

J'ai partiellement compris après une bonne nuit. Pour qu'un
quantificateur dans un énoncé de la théorie des ensembles soit borné,
il faut qu'il soit de la forme (Ax in a) ou (Ex in a) où a est "juste"
un ensemble, mais on n'a pas le droit à (Ax in P(a)) où P(-) est
l'ensemble des parties. Je ne sais pas si je suis clair... Donc c'est
un peu plus fort que le fait que la variable n'évolue que dans un
ensemble. J'avais en effet compris dans un premier temps qu'on passait
à un niveau de complexité supérieur dans cette hiérarchie si la
variable évoluait dans une classe propre. Par contre, je m'aperçois ce
matin que c'est rapidement "l'inflation en complexité". Si on prend
une catégorie localement présentable C, l'énoncé "f in C(A,B)" est
bien Sigma_0 et Pi_0 par contre le singleton {dom(f)} est défini par
l'énoncé à une variable libre x "EB, f in C(x,B)" donc c'est un énoncé
Sigma_1 juste pour un singleton... J'ai bon ?

Merci d'avance. pg.