proyecto de calculo integral
carlos
JORGE ENRIQUE DELGADO
CARLOS ANDRÉS ZAPATA
Asesor
FUAN EVANGELISTA BEREMÍS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
MEDELLÌN
2005
1. INTRODUCCIÓN
Al pasar de todos los tiempos hemos estado interactuando con fuerzas
que anteriormente eran desconocidas para toda la humanidad.
Anteriormente nos preguntábamos por ejemplo ¿Por qué todo lo que
sube vuelve a bajar? Y no sabíamos a ciencia cierta cual era la
razón, o por el contrario soñábamos e imaginábamos con hacer lo que
hacen los pájaros, pero era sólo un sueño. Anteriormente queríamos
viajar grandes distancias y nos demorábamos horas, días o incluso
meses. En fin en tiempos pasados eran tantas las cosas que se creían
imposibles, eran tantos los sueños que se tenían y tantas cosas que
se querían lograr, pero ahora muchas de esas cosas antes creídas
imposibles las vemos nosotros en realidad. Tal es el caso de grandes
hallazgos como son por ejemplo los diferentes tipos de energía, el
átomo, los diferentes modelos de aviación, la visita a la luna, los
diferentes medios de transporte y en fin muchos otros aparatos que
hacen de que nuestra vida sea un poco más fácil.
¿Y todo esto de donde salió?, ¿quién lo inventó?, pues bien todo
lo que ahora tenemos es gracias al ingenio e inteligencia de muchas
personas que día a día han ido descubriendo lo que ahora tenemos hoy,
por ejemplo la ley gravitacional formulada por Isaac Newton, Michael
Faraday quien realizó importantes contribuciones sobre electricidad y
magnetismo, etc.
En fin todos estos hallazgos realizados que son tan importantes para
nosotros están inmersos en un mundo llamado física que es la ciencia
que investiga los conceptos fundamentales de materia, energía y
espacio y las relaciona entre ellos. Pero estos fenómenos están
divididos de a cuerdo a la causa que los produce así por ejemplo la
mecánica que estudia la fuerza, el movimiento y la energía; la
termología que estudia los fenómenos que tiene que ver; la acústica
los fenómenos en los que interviene el sonido; la óptica que
investiga la naturaleza y propagación de la luz; el magnetismo y
electricidad que trata la imantación de los cuerpos, la distribución
y aplicación de la energía eléctrica y el funcionamiento de los
motores; y la física atómica y nuclear, la cual la podemos llamar
física moderna, quienes se ocupan principalmente de los problemas en
que hay acción mutua entre materia y radiación, conservándose el
átomo como estable e invisible y los fenómenos que tienen lugar
cuando hay rompimiento o fisión del átomo y por consiguiente
liberación de energía almacenada (Bomba Atómica).
2. JUSTIFICACIÓN
Nosotros como estudiantes y ganas de superarnos hemos abordado el
siguiente proyecto con miras a entender un poco más algunos de los
fenómenos físico - matemáticos vistos en la materia, tales
como son la fuerza, la electricidad, el magnetismo y la electrónica.
Creemos y estamos seguros de que los conocimiento en este proyecto
adquiridos nos serán de gran importancia en nuestra vidas, ya que casi
a diario interactuamos y vivimos con ellos; además, esta es la manera
más práctica de aprender los fenómenos de la física y el cálculo y
como es una materia que nos gusta y nos interesa muchísimo nos hemos
planteado y propuesto el siguiente proyecto, no sólo con el fin de
ganar la materia sino con el fin de adquirir nuevos e interesantes
conocimientos.
El siguiente proyecto se basa en el planteamiento y funcionamiento de
un móvil de forma mecánica con la ayuda de la electricidad y la
electrónica, además del funcionamiento práctico en el diario vivir
que tiene una herramienta en el campo de tecnología como lo son los
piñones que son Engranajes, ruedas o cilindros dentados empleados para
transmitir un movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una
máquina a otra. También se analizará el área bajo la curva que se
forma desde la base hasta la parte superior de la pluma de la grúa.
3. OBJETIVOS
3.1 GENERAL.
Reconocer y aplicar lo importante que es para nosotros el estudio de la
física y del cálculo en el transcurso de nuestras vidas, tomando como
ejemplo práctico el funcionamiento de un móvil a escala de una
sencilla grúa, con el fin de poner en práctica algunos de los
fenómenos físicos y el análisis de áreas vistos en la materia.
3.2 ESPECÍFICOS:
Ø Aprender y poner en práctica los conocimientos adquiridos en el
área del cálculo integral.
Ø Analizar e identificar las partes que componen un motor de corriente
continúa con el fin de entender su funcionamiento básico.
Ø Demostrar y poner en práctica el uso de los piñones en el
levantamiento de objetos pesados con el uso de una mínima fuerza.
Ø Demostrar y poner en práctica el uso de la polea como una
herramienta práctica en el levantamiento y deslizamiento de objetos.
Ø Aplicar y poner en práctica el uso que tiene la energía eléctrica
(corriente continua o directa alterna) para la sociedad.
Ø Poner en práctica el uso que tienen los interruptores electrónicos
en el desarrollo de nuestro proyecto (Mini grúa), usándolos en
conjunto con la electricidad, motores, poleas y piñones para: dar
marcha atrás, marcha adelante, girar a la derecha e izquierda y subir
o bajar determinados elementos.
Ø Cumplir con el objetivo propuesto por la Universidad en el área de
física y cálculo integral.
Ø Calcular el área bajo la curva en el presente proyecto.
4. MARCO TEÓRICO
4.1 HISTORIA DEL CÁLCULO
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar
con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de
contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles.
El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre
vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la
creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con
la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la
necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más
avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se
presentaban con continuidad.
4.2 CIVILIZACIONES ANTIGUAS
En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la
pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios
papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer
sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos.
El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números
clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...),
los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas
figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy
conocemos como el sistema romano.
Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica,
crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la
solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la
implementación de un método sexagesimal. Este método tenia la
particularidad de escribir un mismo signo como la representación de
varios números diferenciados por el enunciado del problema.
Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un
sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas
implementaron el número cero.
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema
numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los
egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo. La
correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte
de los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de
los números irracionales, a demás que ayudó a la resolución de
sistemas de ecuaciones de la forma.
En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso,
a demás de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e
incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma, y
Su avance fue tal que crearon algoritmos para el calculo de sumas de
progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de
Pitágoras, aunque no como un teorema general.
China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su
aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento
celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la
resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones
decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.
4.2.1 Matemáticas en Grecia. Sin embargo las matemáticas obtuvieron
su mayor aporte de la cultura Greco Romana. Fue en Grecia, don de se
hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores
de la época daban resolución a los problemas más populares de
geometría, álgebra, y trigonometría.
Los aportes de esta cultura a las matemáticas son de enorme magnitud.
Por ejemplo en el campo de la geometría, se dio la demostración del
teorema de Pitágoras, a demás que fue hallado el método para
conseguir la serie indefinida de ternas de números pitagóricos, que
satisfacen la ecuación . Incluso se trabajó enormemente en la
resolución y demostración de distintos problemas, como en la
trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por
una curva. Esto conllevó a al avance en él calculo del número pi y a
la creación del método de exaución (predecesor del cálculo de
limites), creado por Euxodo.
El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y la
geometría, los llevó a la constricción de una nueva rama de las
matemáticas, llamada, álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía
entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de
proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades
algebraicas, y la expresión de la arista de un poliedro regular a
través del diámetro de la circunferencia circunscrita.
En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la
construcción de límites, por lo que en su época, Demócrito y otros
grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificación de las
matemáticas y la teoría filosófica atomicista. Considerando de esta
forma la primera concepción del método del límite.
El interés que produjeron las matemáticas en Grecia, hace que se
considere como la cuna de esta ciencia. Por lo cual se bautizó a la
época comprendida de los años 300 a.c y 200 a.c, como la edad de oro
de las matemáticas.
Después de esta época, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las
matemáticas, conflictos sociales y políticos que se vivían en esa
época alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta situación otro
imperio toma las riendas de los avances matemáticos.
4.2.2 Matemáticas en la cultura árabe. Los Árabes, que en esos
momentos vivían un momento de expansión, no sólo territorial sino
intelectual, en poco tiempo logran descifrar más conocimientos de esta
materia. La historia de las matemáticas en Los pueblos árabes
comienza a partir del siglo VIII.
El imperio musulmán fue el primero en comenzar este desarrollo,
intentando traducir todos los textos Griegos al árabe. Por lo que se
crean gran cantidad de escuelas de gran importancia, en donde se
traducen libros como el Brahmagupta, en donde se explicaba de forma
detallada el sistema de numeración hindú, sistema que luego fue
conocido como "el de Al-Khowarizmi", que por deformaciones
lingüísticas terminó como "algoritmo".
Los avances obtenidos en esta época, enmarcan al concepto del límite,
la introducción de los números racionales e irracionales,
especialmente los reales positivos, y el desarrollo en la
trigonometría, en donde se construyeron tablas trigonométricas de
alta exactitud.
4.2.3 Renacimiento y matemáticas modernas. La siguiente época
importante en la historia de las matemáticas esta comprendida en la
época del renacimiento. En este momento de la historia es cuando
aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. Aunque
la historia de las matemáticas en el cercano oriente, no es tan
antigua como en el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud,
especialmente con la aparición de gran cantidad de
obras escritas por los grandes matemáticos de la época.
Es de destacar la obra de Leonardo de Pissa, titulada Liber Abaci, en
donde se explicaba de una forma clara el uso del ábaco y el sistema de
numeración posicional. Igualmente entre otras obras importantes, se
puede mencionar Él practica Geometrie, en donde se resolvían
problemas geométricos, especialmente los de calculo de áreas de
polígonos.
Uno de los grandes aportes de esta cultura se obtuvo en la
introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números
radicales, a demás se estableció un sistema único de números
algebraicos, con lo que se izo posible expresar ecuaciones en forma
general.
Después de esta larga evolución, las matemáticas entraron en el
siglo XIX, en donde se postularon los fundamentos de las matemáticas
modernas. Avances en la resolución de ecuaciones y en lo que hoy se
conoce como calculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para
esta ciencia.
Entre los grandes desarrollos de esta época se puede mencionar, la
resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del
concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometría
hiperbólica no euclidiana, a demás de la realización una muy
profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites
y la teoría del número real.
Se separaron crearon varias ramas de las matemáticas en ecuaciones
diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de
funciones de variable compleja. En el ámbito de la teoria de los
conjuntos, se compuso una serie de teorías altamente desarrolladas:
los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos
continuos, entre ellos los grupos de Lie. Durante los años 1879 a 1884
se elaboraron de forma sistemática la teoría de conjuntos,
introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de
punto límite, de conjunto derivado. La teoría general de las
potencias de conjuntos, las transformaciones y
operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos
ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de
conjuntos En relación con el análisis matemático en este siglo, se
fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de
numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun
podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo
diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones
diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como
teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este
siglo.
Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus
trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una
definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió
profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en
relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el
denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los
valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de
acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones
originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y
conocida actualmente como función de Bolzano Otro de los grandes
avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la variable
compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo
que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la
teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace
acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue
desarrollando el método de resolución de
ecuaciones lineales diferenciales.
Ya e el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de
academias reconocidas en ámbito de las matemáticas, como la Academia
de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las
disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los
métodos diferenciales e infinitesimales, y el cálculo de
probabilidades.
Alrededor del año 1636 Apolonio comienza sus estudios en geometría
analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría
analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos
incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de
uno de ellos una línea, recta o curva".
Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2;
a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 como la hipérbola, parábola,
circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones
cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de
segundo grado, aplicaron rotaciones de los ejes con objeto de
reducirlas a los términos anteriores.
A nivel de los métodos integrales, la mayor fama la adquirió la
geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un
método universal de la geometría. Este método fue creado para la
determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los
cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de
dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas
paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método
era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes
indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la
integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió
fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de
problemas que podían resolver.
La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un
largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la
acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo
diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo
de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo;
introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas;
ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes;
problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes... Las causas que
motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la
mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas
de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución
y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos
científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis,
Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, y Euler.
El concepto de Calculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo
XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático,
creando ramas como el calculo diferencial, integral y de variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat,
Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la
fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x);
fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo
ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo
diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato
fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en
series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor,
desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los
matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la
convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la
introducción de términos residuales, así como con la transformación
de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de
potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como
son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y
Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial
transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que
caracterizan su estructura actual Introducir el calculo integral, se
logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso
sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien
llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma
que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente
su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a
comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de
resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las
funciones gamma y beta, el logaritmo
integral o las funciones elípticas.
Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre
vió la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran
cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas
denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base
de la mayor parte de las ciencias actuales.
4.3 FÍSICA
Física, ciencia que se ocupa de los componentes fundamentales del
Universo, de las fuerzas que éstos ejercen entre sí y de los efectos
de dichas fuerzas.
En ocasiones la física moderna incorpora elementos de los tres
aspectos mencionados, como ocurre con las leyes de simetría y
conservación de la energía, el momento, la carga o la paridad. La
física está estrechamente relacionada con las demás ciencias
naturales, y en cierto modo las engloba a todas. La química, por
ejemplo, se ocupa de la interacción de los átomos para formar
moléculas; gran parte de la geología moderna es en esencia un estudio
de la física de la Tierra y se conoce como geofísica; la astronomía
trata de la física de las estrellas y del espacio exterior. Incluso
los sistemas vivos están constituidos por partículas fundamentales
que siguen el mismo tipo de leyes que las partículas más sencillas
estudiadas tradicionalmente por los físicos. El hincapié que la
física moderna hace en la interacción entre partículas (el llamado
planteamiento microscópico) necesita muchas veces como complemento un
enfoque macroscópico que se ocupe de elementos o sistemas de
partículas más extensos. Este planteamiento macroscópico es
indispensable en la aplicación de la física a numerosas tecnologías
modernas. Por ejemplo, la termodinámica, una rama de la física
desarrollada durante el siglo XIX, se ocupa de determinar y cuantificar
las propiedades de un sistema en su conjunto, y resulta útil en otros
campos de la física; también constituye la base de las ingenierías
química y mecánica. Propiedades como la temperatura, la presión o el
volumen de un gas carecen de sentido para un átomo o molécula
individual: estos conceptos termodinámicos sólo pueden aplicarse
directamente a un sistema muy grande de estas partículas. No obstante,
hay un nexo entre los enfoques microscópico y macroscópico: otra rama
de la física, conocida como mecánica estadística, explica la forma
de relacionar desde un punto de vista estadístico la presión y la
temperatura con el movimiento de los átomos y las moléculas (ver
Estadística).
4.3.1 La física a partir de newton. A partir de 1665, cuando tenía
23 años, Newton desarrolló los principios de la mecánica, formuló
la ley de la gravitación universal, separó la luz blanca en sus
colores constituyentes e inventó el cálculo diferencial e integral.
Las contribuciones de Newton cubrieron una gama muy amplia de
fenómenos naturales. Por ejemplo, demostró que tanto las leyes de
Kepler sobre el movimiento planetario como los descubrimientos de
Galileo sobre la caída de los cuerpos se deducen de la segunda ley del
movimiento (segunda ley de Newton) combinada con la ley de la
gravitación. Newton también logró explicar el efecto de la Luna
sobre las mareas, así como la precesión de los equinoccios. El
posterior desarrollo de la física debe mucho a las leyes del
movimiento o leyes de Newton (ver Mecánica), especialmente a la
segunda, que afirma que la fuerza necesaria para acelerar un objeto es
igual a su masa multiplicada por su aceleración. Si se conocen la
posición y velocidad iniciales de un cuerpo, así como la fuerza
aplicada, es posible calcular las posiciones y velocidades posteriores
aunque la fuerza cambie con el tiempo o la posición; en esos casos es
necesario aplicar el cálculo infinitesimal de Newton. La segunda ley
del movimiento también contiene otro aspecto importante: todos los
cuerpos tienen una propiedad intrínseca, su masa inercial, que influye
en su movimiento. Cuanto mayor es esa masa, menor es la aceleración
que adquiere cuando se aplica una fuerza determinada sobre el cuerpo.
Hoy sabemos que esta ley es válida siempre que el cuerpo no sea
extremadamente pequeño, grande o rápido. La tercera ley de Newton,
que afirma que "a cada fuerza de acción corresponde una fuerza de
reacción igual y opuesta", podría expresarse en términos modernos
como que todas las fuerzas entre partículas se producen en pares de
sentido opuesto, aunque no necesariamente situados a lo largo de la
línea que une las partículas.
4.4 LA GRAVEDAD
La contribución más específica de Newton a la descripción de las
fuerzas de la naturaleza fue la explicación de la fuerza de la
gravedad. En la actualidad los científicos saben que sólo hay otras
tres fuerzas, además de la gravedad, que originan todas las
propiedades y actividades observadas en el Universo: el
electromagnetismo, la llamada interacción nuclear fuerte (que mantiene
unidos los protones y neutrones en los núcleos atómicos) y la
interacción nuclear débil (o interacción débil) entre algunas de
las partículas elementales, que explica el fenómeno de la
radiactividad (véase Fuerzas fundamentales). La comprensión del
concepto de fuerza se remonta a la ley de la gravitación universal,
que reconocía que todas las partículas materiales, y los cuerpos
formados por estas partículas, tienen una propiedad denominada masa
gravitacional. Esta propiedad hace que dos partículas cualesquiera
ejerzan entre sí una fuerza atractiva (a lo largo de la línea que las
une) directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta fuerza
gravitatoria rige el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de
los objetos en el campo gravitatorio terrestre; también es responsable
del colapso gravitacional que, según se cree, constituye el estado
final del ciclo vital de las estrellas masivas y es la causa de muchos
fenómenos astrofísicos. Ver Agujero negro; Estrella.
Una de las observaciones más importantes de la física es que la masa
gravitacional de un cuerpo (que es el origen de la fuerza gravitatoria
que existe entre el cuerpo y otros cuerpos) es igual a su masa
inercial, la propiedad que determina el movimiento del cuerpo en
respuesta a cualquier fuerza ejercida sobre él (ver Inercia). Esta
equivalencia, confirmada experimentalmente con gran precisión (se ha
demostrado que, en caso de existir alguna diferencia entre ambas masas,
es menor de una parte en 1013), lleva implícita el principio de
proporcionalidad: cuando un cuerpo tiene una masa gravitacional dos
veces mayor que otro, su masa inercial también es dos veces mayor.
Esto explica la observación de Galileo -realizada con anterioridad a
la formulación de las leyes de Newton- de que todos los cuerpos caen
con la misma aceleración independientemente de su masa: aunque los
cuerpos más pesados experimentan una fuerza gravitatoria mayor, su
mayor masa inercial disminuye en un factor igual a la aceleración por
unidad de fuerza, por lo que la aceleración total es la misma que en
un cuerpo más ligero.
4.5 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Aunque los antiguos griegos conocían las propiedades electrostáticas
del ámbar, y los chinos ya fabricaban imanes con magnetita en el 2700
a.C., los fenómenos eléctricos y magnéticos no empezaron a
comprenderse hasta finales del siglo XVIII, cuando comenzaron a
realizarse experimentos en estos campos. En 1785, el físico francés
Charles de Coulomb confirmó por primera vez de forma experimental que
las cargas eléctricas se atraen o se repelen con una intensidad
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
(ley de Coulomb). Más tarde el matemático francés Siméon Denis
Poisson y su colega alemán Carl Friedrich Gauss desarrollaron una
potente teoría para calcular el efecto de un número indeterminado de
cargas eléctricas estáticas arbitrariamente distribuidas.
Dos partículas con cargas opuestas se atraen, por lo que tienden a
acelerarse una hacia la otra. Si el medio a través del cual se mueven
ofrece resistencia, pueden acabar moviéndose con velocidad constante
(en lugar de moverse con aceleración constante) a la vez que el medio
se calienta y sufre otras alteraciones. La posibilidad de mantener una
fuerza electromotriz capaz de impulsar de forma continuada partículas
eléctricamente cargadas llegó con el desarrollo de la pila química
en 1800, debido al físico italiano Alessandro Volta. La teoría
clásica de un circuito eléctrico simple supone que los dos polos de
una pila se mantienen cargados positiva y negativamente debido a las
propiedades internas de la misma. Cuando los polos se conectan mediante
un conductor, las partículas cargadas negativamente son repelidas por
el polo negativo y atraídas por el positivo, con lo que se mueven
hacia él y calientan el conductor, ya que ofrece resistencia a dicho
movimiento. Al llegar al polo positivo las partículas son obligadas a
desplazarse dentro de la pila hasta el polo negativo, en contra de las
fuerzas que se oponen a ello según la ley de Coulomb. El físico
alemán Georg Simon Ohm descubrió la existencia de una constante de
proporcionalidad sencilla entre la corriente que fluye por el circuito
y la fuerza electromotriz suministrada por la pila. Esta constante es
la resistencia eléctrica del circuito, R. La ley de Ohm, que afirma
que la resistencia es igual a la fuerza electromotriz, o tensión,
dividida entre la intensidad de corriente, no es una ley fundamental de
la física de aplicación universal, sino que describe el
comportamiento de una clase limitada de materiales sólidos.
4.6 MOTORES
4.6.1 Motores de corriente continua (DC)
En la imagen anterior se observan algunos clásicos micromotores DC
(Direct Current) o también llamados CC (corriente continua) de los
usados generalmente en robótica. Los hay de distintos tamaños, formas
y potencias, pero todos se basan en el mismo principio de
funcionamiento.
Accionar un motor DC es muy simple y solo es necesario aplicar la
tensión de alimentación entre sus bornes. Para invertir el sentido de
giro basta con invertir la alimentación y el motor comenzará a girar
en sentido opuesto. A diferencia de los motores paso a paso y los
servomecanismos, los motores DC no pueden ser osicionados y/o
enclavados en una posición específica. Estos simplemente giran a la
máxima velocidad y en el sentido que la alimentación aplicada se los
permite.El motor de corriente continua está compuesto de 2 piezas
fundamentales :
· Rotor
· Estator
Dentro de éstas se ubican los demás componentes como :
· Escobillas y portaescobillas
· Colector
· Eje
· Núcleo y devanado del rotor
· Imán Permanente
· Armazón
· Tapas o campanas
Rotor: Constituye la parte móvil del motor, proporciona el torque para
mover a la carga. Está formado por :
· Eje: Formado por una barra de acero fresada. Imparte la rotación
al núcleo, devanado y al colector.
· Núcleo: Se localiza sobre el eje. Fabricado con capas laminadas de
acero, su función es proporcionar un trayecto magnético entre los
polos para que el flujo magnético del devanado circule.
Las laminaciones tienen por objeto reducir las corrientes parásitas en
el núcleo. El acero del núcleo debe ser capaz de mantener bajas las
pérdidas por histéresis. Este núcleo laminado contiene ranuras a lo
largo de su superficie para albergar al devanado de la armadura
(bobinado).
· Devanado: Consta de bobinas aisladas entre sí y entre el núcleo
de la armadura. Estas bobinas están alojadas en las ranuras, y están
conectadas eléctricamente con el colector, el cual debido a su
movimiento rotatorio, proporciona un camino de conducción conmutado.
· Colector: Denominado también conmutador, está constituido de
láminas de material conductor (delgas), separadas entre sí y del
centro del eje por un material aislante, para evitar cortocircuito con
dichos elementos. El colector se encuentra sobre uno de los extremos
del eje del rotor, de modo que gira con éste y está en contacto con
las escobillas.La función del colector es recoger la tensión
producida por el devanado inducido, transmitiéndola al circuito por
medio de las escobillas (llamadas también cepillos)
Estator: Constituye la parte fija de la máquina. Su función es
suministrar el flujo magnético que será usado por el bobinado del
rotor para realizar su movimiento giratorio. Está formado por :
· Armazón: Denominado también yugo, tiene dos funciones
primordiales : servir como soporte y proporcionar una trayectoria de
retorno al flujo magnético del rotor y del imán permanente, para
completar el circuito magnético.
· Imán permanente: Compuesto de material ferromagnético altamente
remanente, se encuentra fijado al armazón o carcaza del estator. Su
función es proporcionar un campo magnético uniforme al devanado del
rotor o armadura, de modo que interactúe con el campo formado por el
bobinado, y se origine el movimiento del rotor como resultado de la
interacción de estos campos.
· Escobillas: Las escobillas están fabricadas se carbón, y poseen
una dureza menor que la del colector, para evitar que éste se desgaste
rápidamente. Se encuentran albergadas por los portaescobillas. Ambos,
escobillas y ortaescobillas, se encuentran en una de las tapas del
estator.
La función de las escobillas es transmitir la tensión y corriente de
la fuente de alimentación hacia el colector y, por consiguiente, al
bobinado del rotor. La función del portaescobillas es mantener a las
escobillas en su posición de contacto firme con los segmentos del
colector. Esta función la realiza por medio de resortes,
los cuales hacen una presión moderada sobre las escobillas contra el
colector. Esta presión debe mantenerse en un nivel intermedio pues, de
ser excesiva, la fricción desgastaría tanto a las escobillas como al
colector; por otro lado, de ser mínima esta presión, se produciría
lo que se denomina "chisporroteo", que es cuando aparecen chispas entre
las superficies del colector y las escobillas, debido
a que no existe un buen contacto.
4.6.2 Motores de corriente alterna. Se diseñan dos tipos básicos de
motores para funcionar con corriente alterna polifásica: los motores
síncronos y los motores de inducción. El motor síncrono es en
esencia un alternador trifásico que funciona a la inversa. Los imanes
del campo se montan sobre un rotor y se excitan mediante corriente
continua, y las bobinas de la armadura están divididas en tres partes
y alimentadas con corriente alterna trifásica. La variación de las
tres ondas de corriente en la armadura provoca una reacción magnética
variable con los polos de los imanes del campo, y hace que el campo
gire a una velocidad constante, que se determina por la frecuencia de
la corriente en la línea de potencia de corriente alterna. La
velocidad constante de un motor síncrono es ventajosa en ciertos
aparatos. Sin embargo, no puede utilizarse este tipo de motores en
aplicaciones en las que la carga mecánica sobre el motor llega a ser
muy grande, ya que si el motor reduce su velocidad cuando está bajo
carga puede quedar fuera de fase con la frecuencia de la corriente y
llegar a pararse. Los motores síncronos pueden funcionar con una
fuente de potencia monofásica mediante la inclusión de los elementos
de circuito adecuados para conseguir un campo magnético rotatorio.
El más simple de todos los tipos de motores eléctricos es el motor de
inducción de caja de ardilla que se usa con alimentación trifásica.
La armadura de este tipo de motor consiste en tres bobinas fijas y es
similar a la del motor síncrono. El elemento rotatorio consiste en un
núcleo, en el que se incluye una serie de conductores de gran
capacidad colocados en círculo alrededor del árbol y paralelos a él.
Cuando no tienen núcleo, los conductores del rotor se parecen en su
forma a las jaulas cilíndricas que se usaban para las ardillas. El
flujo de la corriente trifásica dentro de las bobinas de la armadura
fija genera un campo magnético rotatorio, y éste induce una corriente
en los conductores de la jaula. La reacción magnética entre el campo
rotatorio y los conductores del rotor que transportan la corriente hace
que éste gire. Si el rotor da vueltas exactamente a la misma velocidad
que el campo magnético, no habrá en él corrientes inducidas, y, por
tanto, el rotor no debería girar a una velocidad síncrona. En
funcionamiento, la velocidad de rotación del rotor y la del campo
difieren entre sí de un 2 a un 5%. Esta diferencia de velocidad se
conoce como caída.
Los motores con rotores del tipo jaula de ardilla se pueden usar con
corriente alterna monofásica utilizando varios dispositivos de
inductancia y capacitancia, que alteren las características del
voltaje monofásico y lo hagan parecido al bifásico. Estos motores se
denominan motores multifásicos o motores de condensador (o de
capacidad), según los dispositivos que usen. Los motores de jaula de
ardilla monofásicos no tienen un par de arranque grande, y se utilizan
motores de repulsión-inducción para las aplicaciones en las que se
requiere el par. Este tipo de motores pueden ser multifásicos o de
condensador, pero disponen de un interruptor manual o automático que
permite que fluya la corriente entre las escobillas del conmutador
cuando se arranca el motor, y los circuitos cortos de todos los
segmentos del conmutador, después de que el motor alcance una
velocidad crítica. Los motores de repulsión-inducción se denominan
así debido a que su par de arranque depende de la repulsión entre el
rotor y el estátor, y su par, mientras está en funcionamiento,
depende de la inducción. Los motores de baterías en serie con
conmutadores, que funcionan tanto con corriente continua como con
corriente alterna, se denominan motores universales. Éstos se fabrican
en tamaños pequeños y se utilizan en aparatos domésticos.
4.7 POLEAS
Polea, dispositivo mecánico de tracción o elevación, formado por una
rueda (también denominada roldana) montada en un eje, con una cuerda
que rodea la circunferencia de la rueda. Tanto la polea como la rueda y
el eje pueden considerarse máquinas simples que constituyen casos
especiales de la palanca. Una polea fija no proporciona ninguna ventaja
mecánica, es decir, ninguna ganancia en la transmisión de la fuerza:
sólo cambia la dirección o el sentido de la fuerza aplicada a través
de la cuerda. Sin embargo, con un sistema de poleas móviles (también
llamado polipasto) sí es posible obtener una ventaja o ganancia
mecánica, que matemáticamente se define como el cociente entre la
fuerza de salida (carga) y la fuerza de entrada (esfuerzo). En el caso
ideal la ganancia mecánica es igual al número de segmentos de cuerda
que sostienen la carga que se quiere mover, excluido el segmento sobre
el que se aplica la fuerza de entrada (véase la animación adjunta).
El rozamiento reduce la ganancia mecánica real, y suele limitar a
cuatro el número total de poleas.
4.8 PIÑONES O ENGRANAJES
Engranaje, rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un
movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una máquina a
otra. Un conjunto de dos o más engranajes que transmite el movimiento
de un eje a otro se denomina tren de engranajes. Los engranajes se
utilizan sobre todo para transmitir movimiento giratorio, pero usando
engranajes apropiados y piezas dentadas planas pueden transformar
movimiento alternativo en giratorio y viceversa.
`
4.8.1 Engranajes simples. El engranaje más sencillo es el engranaje
recto, una rueda con dientes paralelos al eje tallados en su
perímetro. Los engranajes rectos transmiten movimiento giratorio entre
dos ejes paralelos. En un engranaje sencillo, el eje impulsado gira en
sentido opuesto al eje impulsor. Si se desea que ambos ejes giren en el
mismo sentido se introduce una rueda dentada denominada 'rueda loca'
entre el engranaje impulsor o motor y el impulsado. La rueda loca gira
en sentido opuesto al eje impulsor, por lo que mueve al engranaje
impulsado en el mismo sentido que éste. En cualquier sistema de
engranajes, la velocidad del eje impulsado depende del número de
dientes de cada engranaje. Un engranaje con 10 dientes movido por un
engranaje con 20 dientes girará dos veces más rápido que el
engranaje impulsor, mientras que un engranaje de 20 dientes impulsado
por uno de 10 se moverá la mitad de rápido. Empleando un tren de
varios engranajes puede variarse la relación de velocidades dentro de
unos límites muy amplios.
Los engranajes interiores o anulares son variaciones del engranaje
recto en los que los dientes están tallados en la parte interior de un
anillo o de una rueda con reborde, en vez de en el exterior. Los
engranajes interiores suelen ser impulsados por un piñón, un
engranaje pequeño con pocos dientes. La cremallera (barra dentada
plana que avanza en línea recta) funciona como una rueda dentada de
radio infinito y puede emplearse para transformar el giro de un piñón
en movimiento alternativo, o viceversa.
Los engranajes cónicos, así llamados por su forma, tienen dientes
rectos y se emplean para transmitir movimiento giratorio entre ejes no
paralelos.
4.8.2 Engranajes helicoidales. Los dientes de estos engranajes no son
paralelos al eje de la rueda dentada, sino que se enroscan en torno al
eje en forma de hélice. Estos engranajes son apropiados para grandes
cargas porque los dientes engranan formando un ángulo agudo, en lugar
de 90º como en un engranaje recto. Los engranajes helicoidales
sencillos tienen la desventaja de producir una fuerza que tiende a
mover las ruedas dentadas a lo largo de sus ejes. Esta fuerza puede
evitarse empleando engranajes helicoidales dobles, o bihelicoidales,
con dientes en forma de V compuestos de medio diente helicoidal
dextrógiro y medio diente helicoidal levógiro. Los engranajes
hipoides son engranajes cónicos helicoidales utilizados cuando los
ejes son perpendiculares pero no están en un mismo plano. Una de las
aplicaciones más corrientes del engranaje hipoide es para conectar el
árbol de la transmisión con las ruedas en los automóviles de
tracción trasera. A veces se denominan de forma incorrecta engranajes
en espiral los engranajes helicoidales empleados para transmitir
rotación entre ejes no paralelos.
Otra variación del engranaje helicoidal es el engranaje de husillo,
también llamado tornillo sin fin. En este sistema, un tornillo sin fin
largo y estrecho dotado de uno o más dientes helicoidales continuos
engrana con una rueda dentada helicoidal. La diferencia entre un
engranaje de husillo y un engranaje helicoidal es que los dientes del
primero se deslizan a lo largo de los dientes del engranaje impulsado
en lugar de ejercer una presión de rodadura directa. Los engranajes de
husillo se utilizan para transmitir rotación (con una gran reducción
de velocidad) entre dos ejes perpendiculares.
4.9 CORRIENTE ELÉCTRICA
Si dos cuerpos de carga igual y opuesta se conectan por medio de un
conductor metálico, por ejemplo un cable, las cargas se neutralizan
mutuamente. Esta neutralización se lleva a cabo mediante un flujo de
electrones a través del conductor, desde el cuerpo cargado
negativamente al cargado positivamente (en ingeniería eléctrica, se
considera por convención que la corriente fluye en sentido opuesto, es
decir, de la carga positiva a la negativa). En cualquier sistema
continuo de conductores, los electrones fluyen desde el punto de menor
potencial hasta el punto de mayor potencial. Un sistema de esa clase se
denomina circuito eléctrico. La corriente que circula por un circuito
se denomina corriente continua (c.c.) si fluye siempre en el mismo
sentido y corriente alterna (c.a.) si fluye alternativamente en uno u
otro sentido.
El flujo de una corriente continua está determinado por tres
magnitudes relacionadas entre sí. La primera es la diferencia de
potencial en el circuito, que en ocasiones se denomina fuerza
electromotriz (fem), tensión o voltaje. La segunda es la intensidad de
corriente. Esta magnitud se mide en amperios; 1 amperio corresponde al
paso de unos 6.250.000.000.000.000.000 electrones por segundo por una
sección determinada del circuito. La tercera magnitud es la
resistencia del circuito. Normalmente, todas las sustancias, tanto
conductores como aislantes, ofrecen cierta oposición al flujo de una
corriente eléctrica, y esta resistencia limita la corriente. La unidad
empleada para cuantificar la resistencia es el ohmio (O), que se
define como la resistencia que limita el flujo de corriente a 1 amperio
en un circuito con una fem de 1 voltio. La ley de Ohm, llamada así en
honor al físico alemán Georg Simon Ohm, que la descubrió en 1827,
permite relacionar la intensidad con la fuerza electromotriz. Se
expresa mediante la ecuación e = I × R, donde e es la fuerza
electromotriz en voltios, I es la intensidad en amperios y R es la
resistencia en ohmios. A partir de esta ecuación puede calcularse
cualquiera de las tres magnitudes en un circuito dado si se conocen las
otras dos. Véase Medidores eléctricos.
5. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
FECHA ACTIVIDADES OBJETIVOS RESPONSABLES
Agosto Entrega y posterior análisis del proyecto por parte de la
universidad Analizar detenidamente el problema planteado por la
universidad para lugar entrar en un análisis de cómo se llevara a
cabo la construcción del mismo. Grupo de trabajo
Septiembre Conseguir los materiales a utilizar en el proyecto.
Recolección de información teórica del proyecto. Identificar los
materiales necesarios para la realización del proyecto. Investigar los
principales conceptos de física utilizados en el proyecto. Grupo de
investigación
Octubre Inicio y avance del proyecto. Recolección de información
teórica del proyecto. Iniciar la construcción del proyectoAnalizar
posibles fallas en la construcción del mismo para una inmediata
corrección Grupo de investigación
Noviembre Revisión del proyecto. Entrega del proyecto. Transcribir
el proyecto. Revisar el funcionamiento del proyecto y reparar posibles
fallas. Finalización y entrega del proyecto Grupo de investigación
6. RECURSOS
6.1 MATERIALES
Libros
Madera
Colbon
Herramientas de carpintería
Piñones
Componentes electrónicos
Cables
Cinta pegante
Computador
Software DesignWorks Lite 4
Lapiceros
Transformador y regulador de corriente alterna a directa.
Varios
6.2 HUMANOS
Fuan Evangelista Beremís (Tutor UNAD)
Diego Montoya (Tutor UNAD)
Uriel Andrés Cardona (Carpintero de la región)
Clemente Pérez (Profesor de física)
6.3 INSTITUCIONALES
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
6.4 FINANCIEROS
Este proyecto tuvo un valor aproximado de $50.000
BIBLIOGRAFÍA
ZAPATA MONSALVE, Armando. Tecnología practica II. Electricidad y
electrónica. Santa Fe de Bogota: Norma, 1994. 150 p.
LEITHOLD Louis. El cálculo con geometría analítica. Segunda
edición. 1973. 1100 p.
Enciclopedia CEKIT. Electrónica básica.
Enciclopedia Encarta 2003.
ANEXOS
ANEXO A
PLANOS ELECTRÓNICOS
`
ANEXO C
CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DEL MÓVIL
PESO APROXIMADO: 1,5 Kilogramos
LONGITUD: 38 Cm
ANGULO DE ELEVACIÓN DEL GANCHO: 35 grados
VOLTAJE DE ACELERACIÓN: 12 Voltios
VOLTAJE DE GIROS: 12 Voltios
VOLTAJE DE LA GRÚA: 3 Voltios
VOLTAJE REVERSA: 12 Voltios - 3 Voltios Zumbador = 9 Voltios
VOLTAJE ALIMENTADOR DE LUCES: 9 Voltios
ALIMENTACIÓN PRIMARIA: Transformador primario 110 Voltios -
segundario 12 Voltios DC 1,25 Amperios.
FUNCIONES DEL CONTROL ANÁLOGO:
Activación de marcha adelante (Invierte la polaridad del motor)
Activación de marcha atrás (reversa) (Invierte la polaridad del
motor)
Activación mecanismo de elevación de objetos (Interruptor Pulsador)
ANEXO D
APLICACIÓN AL CÁLCULO
PROYECTO DE CÁLCULO INTEGRAL
CARLOS ANDRÉS ZAPATA
JORGE ENRIQUE DELGADO
Asesor
FUAN EVANGELISTA BEREMÍS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
MEDELLÌN
2005
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. JUSTIFICACIÓN
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
4. MARCO TEÓRICO
4.1 HISTORIA DEL CÁLCULO
4.2 CIVILIZACIONES ANTIGUAS
4.2.1 Matemáticas en Grecia
4.2.2 Matemáticas en la cultura árabe
4.2.3 Renacimiento y matemáticas modernas
4.3 FÍSICA
4.3.1 La física a partir de newton
4.4 LA GRAVEDAD
4.5 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
4.6 MOTORES
4.6.1 Motores de corriente continua (DC)
4.6.2 Motores de corriente alterna
4.7 POLEAS
4.8 PIÑONES O ENGRANAJES
4.8.1 Engranajes simples
4.8.2 Engranajes helicoidales
4.9 CORRIENTE ELÉCTRICA
5. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
6. RECURSOS
6.1 MATERIALES
6.2 HUMANOS
6.3 INSTITUCIONALES
6.4 FINANCIEROS
BIBLIOGRAFÍA
ANEXO A (PLANOS ELECTRÓNICOS)
ANEXO B (CONSTRUCCIÓN DE LA GRÚA
ANEXO C (CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DEL MÓVIL
ANEXO D (APLICACIÓN AL CÁLCULO)