Dear Dr. Paturi,
You said this does not occur in the Mahābhārata. Which edition of the Mahābhārata do you have in mind?
I ask because the killing of Reṇukā by Rāma (this is how Paraśurāma is mostly referred to in the Mahābhārata) indeed occurs in the popular Gita Press edition of the Mahābhārata. I have not had the time to check the critical edition or the Chitrashala Press edition with the commentary by Nīlakaṇṭha: scholars may please confirm if it also occurs there.
The killing of Reṇukā by [Paraśu]Rāma is described in the Kārtavīryopākhyāna, which is a part of the Tīrthayātrāparvan in the Vanaparvan. Akṛtavraṇa narrates the account of [Paraśu]Rāma to Yudhiṣṭhira and others. Here are the relevant verses (3.116.13–18) in the Gita Press edition which describe the killing and subsequent bringing back to life of Reṇukā by [Paraśu]Rāma.
ततो रामोऽभ्ययात्पश्चादाश्रमं परवीरहा।
तमुवाच महाबाहुं जमदग्निर्महातपाः॥
जहीमां मातरं पापां मा च पुत्र व्यथां कृथाः।
तत आदाय परशुं रामो मातुः शिरोऽहरत्॥
ततस्तस्य महाराज जमदग्नेर्महात्मनः।
कोपोऽभ्यगच्छत्सहसा प्रसन्नश्चाब्रवीदिदम्॥
ममेदं वचनात्तात कृतं ते कर्म दुष्करम्।
वृणीष्व कामान् धर्मज्ञ यावतो वाञ्छसे हृदा॥
स वव्रे मातुरुत्थानमस्मृतिं च वधस्य वै।
पापेन तेन चास्पर्शं भ्रातॄणां प्रकृतिं तथा॥
अप्रतिद्वन्दतां युद्धे दीर्घमायुश्च भारत।
ददौ च सर्वान् कामांस्ताञ्जमदग्निर्महातपाः॥
And to be doubly sure, Reṇukā is mentioned as the name of the mother of Rāma in this chapter. Here are the verses (3.116.2–7) in the Gita Press edition
स प्रसेनजितं राजन्नधिगम्य नराधिपम्।
रेणुकां वरयामास स च तस्मै ददौ नृपः॥
रेणुकां त्वथ संप्राप्य भार्यां भार्गवनन्दनः।
आश्रमस्थस्तया सार्धं तपस्तेपेऽनुकूलया॥
तस्याः कुमाराश्चत्वारो जज्ञिरे रामपञ्चमाः।
सर्वेषामजघन्यस्तु राम आसीञ्जघन्यजः॥
फलाहारेषु सर्वेषु गतेष्वथ सुतेषु वै।
रेणुका स्नातुमगमत्कदाचिन्नियतव्रता॥
सा तु चित्ररथं नाम मार्तिकावतकं नृपम्।
ददर्श रेणुका राजन्नागच्छन्ती यदृच्छया॥
क्रीडन्तं सलिले दृष्ट्वा सभार्यं पद्ममालिनम्।
ऋद्धिमन्तं ततस्तस्य स्पृहयामास रेणुका॥
Thanks, Nityānanda