>What exactly is the difference between अर्घ्य and तर्पण in terms of why we do it, and how we do it.< -----
Here is the passage from तैत्तिरीयारण्यकम् , called स्वाध्यायब्राह्मणम् , 2-2 , that explains the purpose of अर्घ्यम् --
रक्षाग्ंसि ह वा पुरो’नुवाके तपो’ग्रमतिष्ठन्त तान्प्रजापतिर्वरेणोपामन्त्रयत तानि वरमव्रुणीत आदित्यो नो योद्धा इति तान् प्रजापतिरब्रवीत् योधयध्वमिति तस्मादुत्तिष्ठन्तग्ं ह वा तानि रक्षाग्ंस्यादित्यं योधयन्ति यावदस्तमन्वगात् तानि ह वा एतानि रक्षाग्ंसि गायत्रियाभिमन्त्रितेनांभसा शाम्यन्ति तदु ह वा एते ब्रह्मवादिनः पूर्वाभिमुखास्सन्ध्यायां गायत्रियाभिमन्त्रिता आप ऊर्ध्वं विक्षिपन्ति
ता एता आपो वज्रीभूत्वा तानि रक्षाग्ंसि मन्देहारुणे द्वीपे प्रक्षिपन्ति यत्प्रदक्षिणं प्रक्रमन्ति तेन पाप्मानमभिधून्वन्ति उद्यन्तमस्तंयन्तमादित्यमभिध्यायन् कुर्वन्ब्राह्मणो विद्वान् सकलं भद्रमश्नुते’सावादित्यो ब्रह्मेति ब्रह्मैव सन् ब्रह्माप्येति य एवं वेद ।
Long ago राक्षसs performed terrible तपस् - प्रजापति offered a वर - they asked ' आदित्य should fight with us ' - प्रजापति said - okay , do fight - due to this reason the राक्षसs fight with आदित्य , right from उदय to अस्तमय ।
वेद offers परिहारोपाय -- these राक्षसs are calmed down by waters powered with गायत्री - therefore the ब्रह्मवादिन्s
, during सन्ध्या , turn to east and throw up waters powered with गायत्री - those waters become वज्रायुध - toss the
राक्षसs called मन्देहs into अरुणद्वीप -- by performing प्रदक्षिणम् the पाप can be destroyed .
A विद्वान् - ब्राह्मण , while meditating आदित्य by chanting ' असावादित्यो ब्रह्म ’ , during उदय and अस्तमय would get
all auspicious things - being ब्रह्म merges in ब्रह्म ।
This is the reason for the prescription that one , even during अशौच , should do अर्घ्यप्रदान (at least मानसिक) ।
तर्पणम् means to satisfy / please a deity with water .