NURBS概念
buxiny
NURBS是一种非常优秀的建模方式，在高级三维软件当中都支持这种建模方式。NURBS能够比传统的网格建模方式更好地控制物体表面的曲线度，从而能够创建出更逼真、生动的造型。NURBS曲线和NURBS曲面在传统的制图领域是不存在的，是为使用计算机进行3D建模而专门建立的。在3D建模的内部空间用曲线和曲面来表现轮廓和外形。它们是用数学表达式构建的，NURBS数学表达式是一种复合体。在这一章里，只是简要地介绍一下NURBS的概念，来帮助了解怎样建立NURBS和NURBS物体为什么会有这样的表现。
NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写，是非统一有理B样条的意思。具体解释是：
.Non-Uniform(非统一）：是指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。当创建一个不规则曲面的时候这一点非常有用。同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说这是一个严重的缺陷。
.Rational(有理）：是指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。
.B-Spline(B样条）：是指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插值替换的。
简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。
所有的曲线都有Degree(度数）。一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主要的指数。一个直线的等式度数是1，一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数是3.可以把度数设得很高，但通常不必要这样做。虽然度数越高曲线越圆滑，但计算时间也越长。一般只要记住Degree(度数）值越高曲线越圆滑就可以了。
曲线也都有Continuity(连续性）。一条连续的曲线是不间断的。连续性有不同的级别，一条曲线有一个角度或尖端，它的连续是是C0。一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1。如果一条曲线是连续的，曲率不改变，连续性是C2，如图所示。
一条曲线可以有较高的连续性，但对于计算机建模来说这三个级别已经够了。通常眼睛不能区别C2连续性和更高的连续性之间的差别。
连续性和度数是有关系的。一个度数为3的等式能产生C2连续性曲线。NURBS造型通常不需要这么高度数的曲线。
一条不同片断的NURBS曲线可以用不同级别的连续性。具体来说，在同样的位置或非常靠近的地方放置一些可控点，会降低连续性的级别。两个重叠的可控点会使曲率变尖锐。三个重叠的可控点会在曲线里建立一个有角度的尖角。附加一个或两个可控点会在曲线的附近联合它们的影响力。
从可控点中删除一个离开它们，就增加了曲线的连续性的级别。在3DMAX里，Fuse(熔化）可控点会在曲线里建立一个假象的曲率或尖角。如果要恢复原状，Unfuse(反熔化）那个点就可以了。
精炼一条NURBS曲线的方法是在上面加更多的可控点。精炼能更精细地控制曲线。当在3DMAX里精炼一条曲线的时候，软件会保持原始的曲率（从技术上说，它保持着统一的节点矢量）。换句话说，曲线的形状不会改变，但是相邻的可控点会从新加的可控点那里移开。
NURBS曲面与NURBS曲线本质上有一亲的属性。
在3DMAX里可以用点曲线和点曲面来建立模型。控制这些物体的点是被强制依附于曲线或曲面上的。它没有黄色的虚线控制格和重量控制。这是一个比较简单的界面，初学者可能更喜欢用。这并不是说高级用户就用不上了，如果是那样的话开发商就不会把它加到3DMAX中去了。可以用基础点来构建一条曲线，然后构建从属曲面。
可以使用 按钮来把点曲线或点曲面转换成独立的可控曲线或可控曲面。另一方面，尽量不要把可控曲线或曲面转换成点曲线或曲面，因为这样会有多种点的解决方案，会有难以遇料的结果。
1.5 Tolerance(容差）
这里先介绍一个容差的概念，以后将要用到。容差是指在3DMAX所使用的度量单位里的一个距离。如果连接的曲线间的间距大于这个值，3DMAX实际上是先建立一条融合曲线，然后再把三个部分连接在一起形成一条完整的曲线。如果间距小于这个值，则3DMAX不建立融合曲线。
先在两条曲线间建立一条Blend(融合）曲线，然后把三条曲线连接在一起形成一条单个的曲线，这是一种比较好的方法，得到的结果与父曲线匹配得很好。
当有一个距离，但是它太小的时候会出现问题。在这种情况下，3DMAX要产生融合，但是因为那里没有足够的空间给它，结果曲线会有一个环形在那里。要避免这个环形，把Tolerance(容差）设置得比间距大就可以了。如果设置容差为0，3DMAX会为它选择一个值。
NURBS模型
像3DMAX的其它物体一样，一个NURBS模型也能集合多个NURBS次物体。例如，一个NURBS物体可能包含两个曲面，而它们在空间里是相互独立的，没有依附关系。无论是NURBS曲线还是NURBS曲面都是可以进入其次物体级别，用点或者可控点来调节。这里的点和可控点与传统的3DMAX的Spline Objects(样条物体）的控制点表现都很出色。
在NURBS模型的父物体如果是一个NURBS曲面，下面列出了NURBS Sub-Objects(次物体）有可能包含的所有项目：
.Surfaces(曲面）：在3DMAX中有两种NURBS曲面。一种是用点来控制的Point surface(点曲面），这些点总是在曲面上。另一种使用CV（可控点）来控制的CV surface(可控曲面），这些点可以在曲面的外部来控制曲面的形态，调节起来更加灵活。
.Curves(曲线）：在3DMAX中也有两种NURBS曲线。这两种是完全符合上面提到的那两种曲面的。Point Curve(点曲线）是由曲线上的点来控制的，这些点总在曲线上。CV Curve(可控曲线）是由可控点来控制的，这些点不一定在曲线上。
.Points(点）：点曲面和点曲线的Sub- Objects(次物体）里有这个项目。能建立一个点次物体，可以不是曲线或曲面的一部分。
.CV(可控点）：可控曲面和可控曲线有CV（可控点）次物体。不像点那样，CV（可控点）总是曲线或曲面的一部分。
.Import(引入）：引入是NURBS物体把其它3DMAX物体引入到自身造型内的一个过程。在NURBS造型内部，被引入的物体会被当作NURBS造型来渲染，但是保持最初的参数和变动修改
3DMAX提供了多种途径来建立NURBS曲面。下面是建立NURBS物体的几种方法：
.可以在 Create(建立）命令面板的 Shape(图形）面板中建立NURBS Curves(曲线）。
.可以在 Create(建立）命令面板的 Geometry(几何体）面板中建立NURBS Surfaces(曲面）。当使用这种方法的时候，NURBS Surfaces(曲面）只是一个原始的平面矩形，可以使用Modify(变动）命令面板来改变。
.可以使用 Modify(变动）命令面板的 Edit Stack(编辑堆栈层）按钮，把一个原始几何体转化为NURBS物体。
.可以把Torus Knot环形节转化为NURBS物体。
.可以把Prism棱柱转化为NURBS物体。
.可以把Loft放样物体转化为NURBS物体。
.可以把Spline样条曲线转化为NURBS物体。
.可以把Patch Gird物体转化为NURBS物体。
2.2 创建NURBS模型
当创建NURBS模型的时候，通常是遵循下面这些步骤的：
.建立一个简单的物体作为NURBS的起始物体，可以是一个曲面物体或是被转化的原始几何体。
.进入Modify(变动）命令面板。在这里能编辑原始的物体，或者建立附加的次物体来修饰造型。也可以选择删除原始物体，在Sub-Objects(次物体）里面重新建立一个起始物体。
可以直接进入到Modify(变动）命令面板，以避免建立一个附加的Top-Level(顶级）NURBS物体会出现的问题。在一个NURBS物体里，次物体可分从属的次物体和独立的次物体，从属的次物体被显示为绿色，而独立的次物体则显示为白色。
2.3 Surfaces Trimming(曲面剪切）
剪切曲面是使用一条在这个面上的封闭曲线，来剪掉曲线以外的部分，或者是在曲面上剪出一个洞。也能把剪切的部分翻转或者颠倒过来，不过这仅限于剪出的那个洞或最初剪掉的曲线以外的部分。这个功能在2.0版之前是无法实现的。
在剪切一个面之前，必须在这个面上建立一条曲面上的曲线。下列这些曲线能够剪切曲面。
.Surface-Surface Intersection Curve(面与面交叉线）
.U Iso Curve(水平Iso曲线）和V Iso Curve（垂直Iso曲线）
.Normal Projected Curve（标准投影曲线）
.Vector Projected Curve（矢量投影曲线）
.CV Curve on Surface（曲面上的可控曲线）
.Point Curve on Surface（曲面上的点曲线）
实例：在CV Surface(可控曲面）上剪出一个洞
1、在Top视图里建立一个CV Surfacd(可控曲面）
2、然后进入Modify(变动）命令面板，按下 按钮，打开建立工具箱。然后按下 按钮，激活Top视图，在已建好的曲面上建立一条封闭的CV曲线。
3、进入Curve Level(曲线级），选择新建的曲线，把滚动面板向上托，勾选Trim(剪切）和Flip Trim(翻转剪切）就可以在曲面上剪出一个洞。
注意：如果把NURBS曲面的General(总体设置）里面的Surface Trim(曲面剪切）关掉的话（清除勾选），那么所剪切的结果则不会显示在视图中。
当进入Modify(变动）命令面板的时候，可以直接编辑NURBS模型。但不能应用一个修改器来作用于全部种类3DMAX物体。
当在Modify(变动）命令面板里编辑NURBS物体的时候，可以在浮动的工具箱里建立次点、曲线、曲面等次物体，而不用再返回到建立面板。如果经常使用3DMAX的话，会感到这是一种很特别的方法。在NURBS曲线和曲面的Modify(变动）命令面板中，增加了很多新的功能，可以建立新的NURBS次物体，如图所示。
下面将简要地介绍怎样建立NURBS Sub-objects(次物体），使我们有一个初步的概念，在后面的章节中再系统地进行学习。
.在曲线和曲面的滚动面板中都能建立Point(点）次物体。在这里所创建的点相对于这个NURBS物体来说，要么是独立的点，要么是从属于NURBS几何体的一个点。
.在曲线和曲面的滚动面板中也都能建立Curves(曲线）次物体。创建的曲线次物体和点一样有两种状态，一种是独立的Point Curve(点曲线）或CV Curve(可控曲线），另一种状态是在造型中已经存在的曲线和曲面的从属曲线。例如，用Blend Curves(融合曲线）命令将两条分离的曲线末端互相连接，中间的那条圆滑的过渡曲线就是从属曲线。
.曲面有一个自己的滚动面板。曲面次物体也分为两种。要么是独立的Point Surface(点曲面）或CV Surface(可控曲面），要么是从属于造型中已经存在的曲面。例如，用Blend Surface(融合曲面)将两个分离的曲面的边连接起来，在中间形成一个圆滑的过渡曲面，这个过渡曲面就是从属曲面。
.可以结合其它3DMAX物体。如果结合的物体不是NURBS物体，它将被转换为NURBS几何体。在3DMAX3.0版
bux...@gmail.com
NURBS是Non-Uniform Rational
B-Splines（非均勻有理貝式雲型線也有翻成"那不勒斯"）的縮寫。NURBS可以表現出
3-D的幾何物體。
NURBS之所以能夠成為主要的電腦製作模形方法，有五個重要原因：
有許多大型的知名企業，都使用NURBS作為主要的幾何模型交換方式。這代表了它們的客戶，都可以使用這種方式來轉
換他們的幾何模型，於各種不同的建構模型軟件，算圖軟件，動畫軟件和工程分析軟件之間。它們可以使用這樣的方
式存儲幾何模型資料，而且從現在起至少二十年內都可用。
NURBS擁有精確性和眾所周知的定義。在各個大專院校裡，無論在數學，電腦科學領域裡，NURBS幾何學都是必修的學
問，是很重要的數學學科。這代表了大部分的電腦軟件業者，工程小組，工業設計公司和動畫公司；在需要撰寫自行
研法的軟件時，都可以找到適當的程序設計師，來撰寫使用以NURBS為主要幾何架構的軟件。
NURBS可以很精確的描繪出大部分的幾何模型，如：線段，圓，橢圓，球體，環形和像車體和人體的複雜自由曲面模形
。
在描繪幾何模型時，以NURBS方式所描繪出的幾何信息比其它的描繪方式，文件要小許多。
關於NURBS曲線的細節，以及為何是電腦繪圖工具中最有效和準確性最高的原因，如下所列：
何謂NURBS幾何學
這個問題有很多種回答的方式。如果你對於閱讀數學方程式不感吃力的話，那你在RHINO的網站中相關連接可得到更多
詳細資料。
RHINO使用NURBS來呈現曲線和曲面。NURBS曲線和曲面的行為模式是很相近的，而且有很多共同的專有名稱。曲線是較
容易描述，理解的，我們將會詳細說明。RHINO的曲面工具很類似我們接下來所提及的曲線工具：
一條NURBS曲線中有四個重要的定義項目：degree值,Control
points控制點，knots節點和evaluation rule評定的規
則。
degree 值
degree的值是一個正整數。
這個值通常為1，2，3或5。RHINO的線段和復合線段的degree的值為1。圓degree的值為2，而大部分RHINO的自由曲線
的degree的值為3或5。RHINO所使用的NURBS曲線的degree的值可以設置從1到32。而通常我們把這些degree的值，稱之
為Linear，Quadratic, Cubic， Quintic。
Linear代表著degree的值為1，Quadratic代表著degree的值為2，
Cubic
代表著degree的值為3 ，Quintic代表著degree的值為5。
你可以參閱參考文獻裡關於NURBS曲線的order部分。NURBS曲線的order是個正整數，且等於degree+1。所以degree的
值等於order –1。
在改變NURBS曲線的degree的值的過程中，你有可能只增加degree的值而不影響到NURBS曲線的形狀。但是，你無法在
減小degree的值的過程中不影響到NURBS曲線的形狀。RHINO所提供的工具能讓你自由地設定NURBS曲線的degree的值，
從1到32。
Control points 控制點
Control points最少是degree+1個點。
移動控制點，是改變NURBS曲線最簡單的方法。RHINO提供了很多方法來移動控制點。如果需要有較大彈性的自由曲面
，你可以只使用鼠標來快速的移動和改變控制點，以繪製你的模型。而相對於準確性要求較高的曲線，RHINO則提供了
其它精確性高的工具，以供使用。
Control
points有一個相關的值---Weight。除了少數例子外，weight的值通常是正數。Control
points是一串至少是
degree+1個點，此曲線狀況稱之為non-rational；而如果weight的值並不完全相同時，此曲線狀況稱之為rational。
NURBS曲線中的R為rational的縮寫。但這只是代表這條曲線有可能是rational。在範例裡，有大部分的NURBS曲線都是
non-rational。只有一些NURBS曲線是rational，如：圓，橢圓等明顯的案例。RHINO提供一些工具來檢測和更改
Control points的weight值。
knots節點
knots節點是一串degree+N-1的數字，其中N為Control
points的數字編號。有時我稱這串數字為knot
vector。在這裡
的vector並不是指3-D向量或方向性。
這串節點數字必須符合一些技術上的條件。這裡列出了幾項符合knot技術上所需要的條件值。基本的條件為：這連串
的數字必須相同，或順序越後的數字越大，而且如果數字重複了，重複的次數不可以超過degree的值。例如一degree
的值為3的NURBS曲線，其Control
points的數量為11，而這串數字為0，0，0，1，2，2，2，3，7，7，9，9，9，符合
knot數字串的要求。但假如knot數字值為0，0，0，1，2，2，2，2，7，7，9，9，9，這就不符合技術上所需要的條件
值了。因為有4 個2，已超出了degree的值3的數量。
相同的knot數字值的數量，我們稱之為multiplicity.在上一個範例中，符合了knot技術上所需要的條件值，其knot
值為0的有multiplicity 3，其knot值為1的有multiplicity
1，其knot值為2的有multiplicity 3，其knot值為7的有
multiplicity 2，其knot值為9的有multiplicity
3。當knot的multiplicity值與其degree的值一樣時，我們將之稱為
Full –
multiplicity。在上一個範例中，knot的值為0，2，9，都是Full
– multiplicity。當knot的multiplicity
值為1時，我們將之稱為Simple –
multiplicity。在上一個範例中，knot的值為1，3，都是Simple
– multiplicity
。
假如一曲線其knot的值開始於Full –
multiplicity，然後接著Simple – multiplicity，結尾又是Full
–
multiplicity，而且其值之間的間隔相同，那這個knot稱之為uniform。例如一NURBS曲線，其degree的值為3，
Control
points的數量為7，knot的值為0，0，0，1，2，3，4，4，4，那此曲線就可稱之為uniform曲線。而假如knot
的值為0，0，0，1，2，5，6，6，6，那此曲線就不是uniform曲線，我們稱之為non-uniform。NURBS裡的NU字母就是
non-uniform的縮寫。表示knots節點在NURBS曲線中是允許non-uniform的情形。
相同的knot數字值的數量，如果集中在值的中央部位，那這一NURBS曲線是較不圓滑的。例如有一曲線其knot值的中
央有一Full –
multiplicity，那就是表示此NURBS曲線會被彎成一銳角。因此，有些人會想要以增加或減少knots的
數量，然後調整Control
points使得曲線變得更加平順或更銳利。RHINO提供了工具讓你自由的增加或減少knots的數
量。之前有提到過knots的值為degree+N-1，其N為Control
points的值。所以當你增加knots的數量，同時也增加了
Control
points的數量；減少knots的數量，同時也減少了Control
points的數量。knots的數量可以被增加，而不會
影響到NURBS曲線的外形。而在一般情況下，減少數量會影響到NURBS曲線的外形。RHINO提供了一個減少knots的進階
工具，當你刪除Control
points時，它會自動調整knots的位置到最適當的位置。
Knots和control points
一般人常會誤解，在NURBS曲線裡的一個Control
points會對應一個knot。而這種情況通常只會發生在degree的值為
1的NURBS曲線上（通常是polylines）。在degree的值較高的NURBS曲線上，是由degree+1個Control
points群組對應2
倍degree值的knots群組。例如：假設我們有一個degree值為3的NURBS曲線，其Control
points為7和knots為0，0，0
，1，2，5，8，8，8。這時，前四個Control
points和前六個knots為一組。而第二到第五個Control
points和knots
0，0，1，2，5，8，為一組。而第三到第六個Control
points和knots 0，1，2，5，8，8為一組。最後四個Control
points和最後六個knots為一組。
現在還有些軟件使用舊版本的NURBS轉換法。舊版本的NURBS轉換法在計算knots值時，須在總額為degree+N+1
knots
再額外多加兩個knots值。當RHINO在輸入或輸出NURBS幾何資料到這些軟件時，會自動地增加或減少兩個多餘的knots
值以符合其正確性。
評定的規則
Evaluation
rule評定的規則，是使用一個數學公式，得到一個數值用來定義到一點上。
這是一個包含degree, Control
points，knots和B-spline函數的數學方程式。NURBS曲線中的BS就是指B-spline。評
定的規則從一個稱之為parameter的數字開始。你可以將評定的規則想像成一個神奇的箱子，而這個箱子每吃掉一個
parameter值，就會運算出一個點的資料。而degree, Control
points，和knots則決定了這個箱子如何運做的方法。
NURBS的評定工具
RHINO
提供評定工具，你可以選取一條NURBS曲線，鍵入parameter的值，從而產生其相對應點。
觀念上，knots的值決定了B-spline的基本函數。而B-spline的函數在parameter中決定了如何平均Control
points和
weights來產生點。關於Evaluation
rule（評定的規則）和B-spline函數更詳細的討論和說明，你可以在許多的文獻
和其它的網頁中找到。