Ответы к выпуску задач от 17 февраля 2014 г.

[Kate]

Ответы к выпуску задач от 17 февраля 2014 г.

Сезон: зима 2013/2014

Математика	Средняя скорость
Подпандопий, отдыхая летом в Судаке, решил съездить на экскурсию в Ялту. Во время путешествия он заметил, что дорога из посёлка Весёлое в посёлок Морское идёт то в гору, то под гору. Микроавтобус, которым он ехал, двигался со средней скоростью 40 км/ч в гору и 60 км/ч под гору.
Вопрос:	Найдите среднюю скорость микроавтобуса на пути из Весёлого в Морское и обратно?
Баллы: 1.0	Правильных ответов: 59.52% (25 из 42) Мнение участников: 4 (+4/-0)	Код задачи: AVERAGE_SPEED	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	48 км/ч
Комментарий:	Пути, которые проехал автобус в гору и под гору равные, поскольку эти участки дороги он проезжал дважды и тот путь который туда был в гору, назад уже под гору. Пусть каждый из них равен x км. Время автобуса в гору будет x/40 часов, а под гору - x/60 часов. Всего Подпандопий проехал 2x за время x/40 + x/60 = x/24 часа. А средняя скорость всего пути равна 2x / (x/24) = 48 км/ч
А также отвечали... • ответ: не принят Невозможно рассчитать. Средняя скорость = расстояние / время в пути • ответ: не принят 50 км\ч • ответ: не принят Средняя скорость микроавтобуса туда и обратно будет 40 км/ч в гору и 60 км/ч под гору • ответ: не принят 55 • ответ: не принят 0 • ответ: принят 48 км/год • а не быстрее ли пешком? принято, но будьте внимательнее...
Задачу прислал(а) kba (bog∗.ru)
Загадки	Сила или могила
Слово из пяти букв, с одной гласной. С буквой "О" - это "сила", с буквой "И" - это "могила".
Вопрос:	Назовите эти слова?
Баллы: 1.5	Правильных ответов: 100.00% (37 из 37) Мнение участников: 1 (+2/-1)	Код задачи: POWER_OR_GRAVE	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	если рисунка не видно... (80.3Kb)
Задачу прислал(а) Elena Shevtsova (tib∗.com)
Комбинаторика	Красители
В лаборатории стоят 24 флакона с разными по цвету красителями. Пришел лаборант и каждый из цветов смешал с каждым другим.
Вопрос:	Сколько всего новых цветов красителей появится в лаборатории?
Баллы: 2.0	Правильных ответов: 73.33% (33 из 45) Мнение участников: -2 (+1/-3)	Код задачи: COLORINGS	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	276 цветов
Комментарий:	Каждый цвет может быть смешан с 23 другими, т.е. у нас имеется 24 × 23 возможных комбинаций. Однако в силу того, что в каждом смешивании принимают участие два цвета, мы должны разделить это число на 2. В результате: (24 × 23) / 2 = 276
А также отвечали... • ответ: не принят 12 • ответ: не принят 24 • ответ: не принят 300 • ответ: не принят 552 • ответ: не принят 24 склянки имеют всего 24!/2 вариантов цветов 310 224 200 866 619 719 680 000 • ответ: не принят 620448401733239439360000
Задачу прислал(а)  • ♀ • ♀  Юлия (ulc∗.ru)
Шифры	Чёрный ящик - 3
Есть некое устройство с клавиатурой и экраном. Если ввести с клавиатуры какой-то текст, на экране покажется другой текст, который был получен преобразованием введённого текста. Вот примеры таких операций ввода-вывода: Ввод Вывод 1 Ошибка А А Б А В А АБ Б АВ Б БА Б ВБ Б АБВ В АБГ В БВА В АБВГД Д АААААА Е ДДДДД Д ДГВБА Д БЭБИ Г ВЕГА Г КЛИНО ? БАЦ ? АЛКОМН ? ? Е ? Ё ? Ж
Вопрос:	Какой текст может быть скрыт знаками вопроса?
Баллы: 2.0	Правильных ответов: 97.92% (47 из 48) Мнение участников: 0 (+1/-1)	Код задачи: BLACK_BOX_3	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	Д, В, Е, ВОПРОС, НАПРЯГИ, МОЗГМОЗГ
Задачу прислал(а) Александр Александрович (ale∗.ru)
Геометрия	На плоскости 4 точки - 2
Даны 4 точки на плоскости.
Вопрос:	Можно ли расположить эти 4 точки на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними были натуральными, причём как минимум 5 - нечётными, а площадь каждого треугольника, образованного произвольными тремя точками, была целым числом?
Комментарий:	Если нет, то объяснить почему, если да, то приведите пример.
Баллы: 4.0	Правильных ответов: 85.71% (6 из 7) Мнение участников: 2 (+2/-0)	Код задачи: FOUR_POINTS_2	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	Нельзя, доказывается через формулу Герона.
Комментарий:	Формула Герона гласит, что: 16S2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) Слева, так как нам нужна целая площадь, чётное число. Справа при трёх нечётных сторонах произведение четырёх нечётных чисел, т.е. также число нечётное. При 5 нечётных расстояниях два из 4 возможных треугольников включают только нечётные стороны, т.е. площадь такого треугольника не может быть целым числом, и решение задачи не существует.
Задачу прислал(а) zel (zel∗.ua)
Геометрия	Шесть спичек
Подпандопий выкладывал на столе шестиугольник из спичек. Спички у Подпандопия были двух разных размеров - по три спички каждого размера. Когда шестиугольник был закончен, Подпандопий отметил, что все его вершины лежат на окружности радиусом менее 12 см. Оказалось, что радиус окружности, как и длины спичек, целые числа.
Вопрос:	Какой длины спички у Подпандопия и какой радиус окружности получился при построении?
Комментарий:	Толщиной спичек можно пренебречь
Баллы: 4.5	Правильных ответов: 78.57% (11 из 14) Мнение участников: 1 (+1/-0)	Код задачи: SIX_MATCHES	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	Спички 2 и 11 см, радиус окружности 7 см.
Комментарий:	если рисунка не видно... (20.4Kb) Посмотрим на рисунок. Окружность радиусом R проходит через вершины шестиугольника. Если каждая маленькая спичка замыкает собой дугу α, а большая - β, то 3 маленькие спички и 3 большие замыкают круг, т.е. 3α + 3β = 360°, а следовательно α + β = 120°. Наша задача - найти такие целые R (радиус), AB и AC (длины короткой и длинной спичек), чтобы α + β = 120° Рассмотрим треугольник ABC. Угол при вершине A равен 120° Так как это вписанный в окружность угол и он опирается на дугу 240°, а вписанный угол равен половине дуги. BC можем найти как длину хорды окружности, длина составляет 2R × sin 60° = R√3 Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABC: BC2 = AB2 + AC2 - 2×AB×AC×cos 120° 3R2 = AB2 + AC2 + AB×AC Помня, что R не более 12, без особого труда маленьким перебором находим решение (R = 7, AB = 2, AC = 11)
А также отвечали... • ответ: не принят 12 и 16, R=10 • ответ: не принят Спички 2 и 4, радиус 3 • ответ: не принят Радиус 10 Спички 12 и 8
Комбинаторика	Три волшебных кубика
У Подпандопия есть три "волшебных" игральных кубика. Эти кубики предназначены для одной очень простой игры. Правила игры заключаются в том, что каждый из двух игроков в начале игры выбирает себе 1 кубик, а затем в каждом раунде делая ставку (каждый кладёт в банк равную сумму), оба игрока бросают кубики на стол. Если у Подпандопия число больше, чем у соперника, сумму в банке забирает Подпандопий. Иначе - соперник Подпандопия забирает всю сумму. Да-да, в случае равенства выпавших чисел сумму в банке также забирает соперник Подпандопия. Вот и сейчас Миринда стала свидетелем того, как очередная жертва (дальний самоуверенный родственник) пытается найти выгоду для Подпандопия в этой игре, и не найдя таковой, выбирает 1 из 3 кубиков для игры, собираясь укрепить своё материальное благополучие за счёт горе-игрока. Но Подпандопий, как всегда, останется в выигрыше.
Вопрос:	Как Подпандопий постоянно выигрывает в этой игре?
Комментарий:	Подпандопий не умеет бросать кубики так, чтобы они выпали "нужной" гранью, сами кубики имеют кубическую форму с равными вероятностями остановиться при броске на каждой из граней, сумма очков на каждом кубике - 21, кубики разных цветов, чтобы не спутать с кубиком соперника.
Баллы: 5.0	Правильных ответов: 73.33% (11 из 15) Мнение участников: 3 (+3/-0)	Код задачи: THREE_MAGIC_DICE	Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:	Кубики пронумерованы, например, следующим образом: (1+4+4+4+4+4), (2+2+2+5+5+5), (3+3+3+3+3+6). Тогда, при выборе любого кубика соперником, из двух оставшихся можно выбрать такой, что вероятность выигрыша у соперника будет ниже 50%.
Комментарий:	Действительно, рассмотрим три кубика: • 1: (1 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4) • 2: (2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5) • 3: (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6) Кубик 1 у кубика 2 может выиграть только при комбинации 4-2, которая составляет 15 комбинаций граней (5 × 3) на 36 возможных, т.е. вероятность выигрыша кубиком 1 у кубика 2 составляет 5/12. Кубик 2 у кубика 3 может выиграть только при комбинации 5-3, которая составляет также 15 комбинаций граней (5 × 3) из 36, т.е. вероятность победы также 5/12. Кубик 3 кубику 1 проиграет при 3-4, а это 25 комбинаций (5 × 5), выигрывает кубик 3 только при 11 оставшихся, шанс выиграть - 11/36. Поэтому, какой бы кубик не выбрал соперник (Подпандопий любезно предоставляет право выбора кубика сопернику первым, что указано в задаче), Подпандопий просто берёт из оставшихся такой, что шанс выиграть у соперника ниже 50%. Например, если соперник выберет кубик 2, Подпандопий берёт кубик 3 и шанс выиграть у Подпандопия составляет 7/12 против 5/12 у соперника.
А также отвечали... • ответ: не принят Каждый раунд Попандопий выставляет сумму в 2 раза больше проигранной в предыдущем + 1. При первом его выигрыше игра прекращается. • ...а если деньги закончатся? • ответ: не принят у него 2 кубика, у соперника один • цитата. каждый из двух игроков в начале игры выбирает себе 1 кубик. конец цитаты. • ответ: не принят На гранях кубика 1 (например, красного) должны быть нанесены следующие цифры: 2 3 3 4 4 5 На гранях кубика 2 (например, черного) должны быть нанесены следующие цифры: 1 1 3 5 5 6 На гранях кубика 3 (например, белого) должны быть нанесены следующие цифры: 1 2 2 4 6 6 • такая нумерация не даст преимущества для регулярных выигрышей. • ответ: не принят Соперник располагает намного меньшей суммой денег • как это влияет на саму игру? ставки делаются равные.
Задачу прислал(а)  • •  RAM (ram∗.com)

Но как отвечали участники...

Зеленым цветом отмечены верные ответы, серым - неверные,
оранжевым - участник, приславший эту задачу (если таковой есть).
Если Вы не согласны с решением ведущей не засчитать (или, наоборот, засчитать)
Ваш ответ на какой-либо вопрос, пишите магистрам и ведущей.
Ваш ответ будет пересмотрен и, вполне возможно, решение изменится.
Если Вы уверены в своей правоте и готовы это доказать - не стесняйтесь!

Три волшебных кубика 73.33% (11 из 15)
Шесть спичек 78.57% (11 из 14)
На плоскости 4 точки - 2 85.71% (6 из 7)
Чёрный ящик - 3 97.92% (47 из 48)
Красители 73.33% (33 из 45)
Сила или могила 100.00% (37 из 37)
Средняя скорость 59.52% (25 из 42)
Баллы ⇒ Участник ⇓	1.0	1.5	2.0	2.0	4.0	4.5	5.0	Итог
Alex White (ale∗.net)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
bom (bom∗.ru)		+1.5		+2.0				+3.5
Borys Lyudmyrsky (bor∗.de)	0.0	+1.5	0.0	+2.0			0.0	+3.5
Diana Balasanyan (dia∗.com)			0.0					+0.0
Elena Shevtsova (tib∗.com)		+1.5						+1.5
Galka (ne_∗.net)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0				+6.5
Ilya Petrov (ily∗.com)							+5.0	+5.0
Ira Han (iha∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0		+4.5	+5.0	+16.0
Julia Poltoratskaya (jul∗.ru)		+1.5						+1.5
kba (bog∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
Kolia Shrek (shr∗.net)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
kondakov1 (kon∗.ru)	+1.0		+2.0	+2.0		+4.5	+5.0	+14.5
Korovina Olga (yo-∗.ru)		+1.5		+2.0				+3.5
KupriianovaEV (kup∗.ru)			+2.0	+2.0				+4.0
Maksymchouk Vitaly (vit∗.com)	+1.0		+2.0	+2.0		0.0		+5.0
maria golikova (som∗.com)	0.0	+1.5	+2.0	+2.0		0.0	0.0	+5.5
Natalie Laput (lna∗.ru)	0.0		+2.0	+2.0				+4.0
nestav (nes∗.ru)	0.0		+2.0	+2.0				+4.0
Olov11 (kal∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0		+4.5	+5.0	+16.0
PussyWagon (bug∗.ru)	0.0							+0.0
• •  RAM (ram∗.com)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
rim-2 (rim∗.ru)	0.0							+0.0
Vadim Krimsky (huj∗.com)	0.0	+1.5	+2.0	+2.0			0.0	+5.5
Vitaly Kolmanovsky (kol∗.net)		+1.5	+2.0	+2.0				+5.5
vtl_kio (kio∗.ru)	+1.0							+1.0
zel (zel∗.ua)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
Абишев Рустам (rus∗.ru)	0.0	+1.5	+2.0	+2.0			+5.0	+10.5
Александр Александрович (ale∗.ru)				+2.0				+2.0
Александр из Перми (tig∗.com)	0.0		0.0	0.0				+0.0
Алёна Кофанова (ale∗.ru)		+1.5	0.0	+2.0			0.0	+3.5
Анна (ann∗.ru)		+1.5	+2.0	+2.0				+5.5
• ♀  Анна Лазюк (ann∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0		+5.0	+15.5
Бачило Д.В. (bac∗.ru)	0.0		0.0	+2.0				+2.0
Василий Фомичев (fom∗.com)	+1.0		0.0	+2.0				+3.0
Вера Меркулова (bep∗.ru)	0.0		+2.0	+2.0				+4.0
Гергель Анастасия (dis∗.ru)	+1.0	+1.5	0.0	+2.0				+4.5
Денис (lde∗.ru)	+1.0							+1.0
Дерюгин Н.П. (nde∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	0.0	+4.5		+11.0
Елена Кузенкова (kuz∗.com)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0				+6.5
Иванов Иван (wsx∗.ru)	0.0							+0.0
Карим Mail (k3k∗.ru)	+1.0		+2.0	+2.0				+5.0
Кирилл Венский (ven∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0				+6.5
Коробова В.П. (vko∗.ru)		+1.5						+1.5
Леонид (leo∗.ru)	+1.0	+1.5	0.0	+2.0				+4.5
Максим Урбанович (max∗.ru)	+1.0		+2.0	+2.0				+5.0
Мальков Александр (amm∗.ru)	0.0		+2.0	+2.0		0.0		+4.0
Марина Губа (gub∗.ru)			0.0					+0.0
Мария (mar∗.ru)			+2.0	+2.0				+4.0
Матвеева Елена Вячеславовна (mat∗.ru)				+2.0				+2.0
Михаил Кондратьев (mon∗.ru)		+1.5	+2.0	+2.0				+5.5
Наталья Маслова (nat∗.ru)		+1.5	+2.0	+2.0				+5.5
• • •  Олег Свидрук (swi∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0	+4.0	+4.5	+5.0	+20.0 +4.0 = +24.0
Ольга (zay∗.com)	0.0	+1.5	0.0	+2.0				+3.5
Полина Шатерникова (ada∗.ru)				+2.0				+2.0
Попов Дмитрий Михайлович (pop∗.ru)	0.0		0.0					+0.0
Сергей (ser∗.ru)	0.0	+1.5						+1.5
Сергей Борисов (bor∗.ru)		+1.5						+1.5
Сергей Липин (lip∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0		+4.5		+11.0
Сергей Одинцов (s.o∗.ru)	+1.0	+1.5	+2.0	+2.0				+6.5
Удод Ю.В. (goo∗.ua)		+1.5						+1.5
• ♀ • ♀  Юлия (ulc∗.ru)			+2.0					+2.0
♀  Юля (ju-∗.ru)				+2.0				+2.0
Янгаров Алексей (yan∗.ru)	+1.0	+1.5		+2.0				+4.5

Общее мнение участников о выпуске: 9 (+14/-5)
Верных ответов за выпуск: 81.73% (170 из 208)
Решив все задачи, можно было заработать 24.0 балл(а)(ов) (с учётом бонуса 20% за решение всех задач выпуска)

Для связи:
Ведущая: Kate

«Напряги Мозг» (2005-2014)
Это всего лишь игра...