Wahrscheinlichkeiten Mathematik

[Mirtha Hinrichs]

DieWahrscheinlichkeit ist ein allgemeines Ma der Erwartung fr ein unsicheres Ereignis.[1] Auf der einen Seite sollen Vorhersagen (Prognosen) ber den Ausgang zuknftiger Ereignisse gemacht werden.[2] Auf der anderen Seite soll aber auch bei bereits eingetretenen Ereignissen beurteilt werden, wie gewhnlich oder ungewhnlich sie sind.[3] In der Mathematik hat sich mit der Wahrscheinlichkeitstheorie ein eigenes Fachgebiet entwickelt.[4] Es hat mit Versuchen bei Glcksspielen begonnen und ist heute in so gut wie allen Lebensbereichen anzutreffen.[5]

Die klassische Wahrscheinlichkeit nach Laplace dafr, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis eintritt, ist das Zahlenverhltnis (Quotient) der Anzahl der gnstigen Ergebnisse zur Anzahl der berhaupt mglichen Ergebnisse.[6] Hierin unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeit von der Chance, die als Quotient aus der Anzahl der gnstigen zur Anzahl der ungnstigen Ergebnisse definiert ist.[7]

Dies ist die sogenannte klassische Definition, wie sie von Christiaan Huygens[8] und Jakob I Bernoulli[9] entwickelt und von Laplace formuliert wurde. Sie ist die Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Elementarereignisse besitzen hierbei gleiche A-priori-Eintrittswahrscheinlichkeiten.[10]

Die Propensittstheorie interpretiert Wahrscheinlichkeit als Ma fr die Neigung eines Prozesses zu einem bestimmten Ergebnis.[12] Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff ist zum Beispiel in der Physik bei der Zerfallswahrscheinlichkeit eines Radionuklids gemeint; die Experimente sind hier die einzelnen, voneinander unabhngigen Zerflle der Atomkerne. Fr jeden einzelnen Atomkern nimmt man eine charakteristische Neigung (propensity) zum Zerfall an, die unabhngig von seinem Alter und der Nachbarkerne ist.[13]

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Wellenfunktion eines Teilchens als seine fundamentale Beschreibung verwendet. Das Integral des Betragsquadrates der Wellenfunktion ber ein Raumgebiet entspricht dort der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen darin anzutreffen.[14] Es handelt sich also nicht um eine blo statistische, sondern um eine nicht-determinierte Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeiten sind Grade des Vertrauens in eine ungewisse Sache, sie sind beste Schtzungen. Sie erhalten dadurch den Charakter von Hypothesen. Auch bei einmaligen Zufallsereignissen kann man deren Eintretenswahrscheinlichkeit schtzen. Zentrale Gesichtspunkte sind hier Expertenwissen, Erfahrung und Intuition. Manche Hypothesen werden fr wahrscheinlicher als andere gehalten, manche mssen aufgrund neuer Informationen gendert, andere ganz verworfen werden. Man spricht von einer subjektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassung, siehe auch Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff.[15]

Die Stochastik ist die Mathematik des Zufalls[18] oder die Mathematik der Daten und des Zufalls[19], also ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik zusammen.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Wahrscheinlichkeitstheorie als Teilgebiet der Stochastik stellt die Begriffe zur mathematischen Modellierung von Vorgngen bereit, in denen zufllige Ereignisse auftreten. Auf dieser Grundlage liefert die Mathematische Statistik Verfahren, um aus Beobachtungsdaten Modellparameter zu bestimmen und Aussagen ber die Angemessenheit der Modellierung machen zu knnen.[20]

Es ist eine offene Frage, ob sich aleatorische Wahrscheinlichkeit auf epistemische Wahrscheinlichkeit reduzieren lsst (oder umgekehrt): Erscheint uns die Welt zufllig, weil wir nicht genug ber sie wissen, oder gibt es fundamental zufllige Prozesse, wie etwa die objektive Deutung der Quantenmechanik annimmt? Obwohl fr beide Standpunkte dieselben mathematischen Regeln zum Umgang mit Wahrscheinlichkeiten gelten, hat die jeweilige Sichtweise wichtige Konsequenzen dafr, welche mathematischen Modelle als gltig angesehen werden.

Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sehr etwas zutrifft oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eines Zufallsexperiments eintritt, liegt zwischen 0 und 1. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit zutrifft mit 1 (bzw. 100%), und dass ein Ereignis nicht eintritt mit 0 (bzw. 0%) bezeichnet. Die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller mglichen Ereignisse ist stets 1 (bzw. 100%).

Die Wahrscheinlichkeit (auf Englisch probability) ist also ein Ma, das bestimmt wie sehr erwartet wird, dass genau dieses Ereignis eintritt. Mathematisch geschrieben wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X ausgedrckt als P(X).

Stell dir vor du drehst einmal an einem Glcksrad mit drei gleich groen Flchen, auf denen die Zahlen 1, 2, und 3 stehen. Wie lsst sich das mathematisch ausdrcken? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit etwa eine 2 zu erhalten?

Bei unserem Experiment knnen die Ergebnisse 1, 2, oder 3 vorkommen. Dies nennt man den Ergebnisraum oder Stichprobenmenge, geschrieben als Omega. Er umfasst alle mglichen Ergebnisse, in unserem Fall eins, zwei und drei. Mathematisch schreibt man die mglichen Ergebnisse in geschweifte Klammern und mit einem Omega:

Doch was ist nun die Eintrittswahrscheinlichkeit von konkreten Ergebnissen? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine gerade Zahl drehst? Na logisch: Ein Drittel. Aber um das mathematisch zu berechnen, musst du eine bestimmte Schreibweise beachten.

Die Wahrscheinlichkeit fr ein Ereignis lsst sich bestimmen, indem du die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis auftritt, durch die Anzahl der mglichen Ergebnisse teilst. Achte hier besonders auf den Unterscheid der Worte Ergebnis und Ereignis!

In unserem Ergebnisraum findet sich nur eine gerade Zahl nmlich die Zwei. Also ist die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis gerade Zahl zu trifft, eins. Die Anzahl unserer mglichen Ergebnisse ist Omega Betrag, also 3. Mathematisch zusammengefasst ist das dann die Eintrittswahrscheinlichkeit P fr das Ereignis Gerade Zahl. Mathematisch geschrieben schaut das Ganze so aus:

Zu guter Letzt betrachten wir noch ein etwas schwierigeres Beispiel. Angenommen du hast zwei Laplace-Wrfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine Augensumme zu werfen, die hher als 7 ist? Wir werfen also zwei Wrfel, zhlen die Augen zusammen und dieses Ergebnis soll hher als sieben sein.

Die sogenannten ste des Baumdiagramms fhren zu den beiden Mglichkeiten Kopf oder Zahl. Auf diesen sten steht jeweils die Wahrscheinlichkeit in der Dezimalschreibweise - in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit bei beiden mglichen Ergebnissen $0,5$.

Nachdem du die Mnze einmal geworfen hast, besteht beim zweiten Wurf fr jedes Ergebnis, also Kopf oder Zahl, jeweils wieder eine 50%ige Wahrscheinlichkeit. Man schreibt diese zwei neuen Mglichkeiten einfach an jedes Ereignis, dass sich aus dem ersten Wurf ergeben hat, heran.

Ergeben sich bei einem Wahrscheinlichkeitsversuch mehr als zwei Mglichkeiten, die dann auch noch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen, mssen wir ein greres Baumdiagramm zeichnen, als es noch beim Mnzwurf der Fall war.

In der Abbildung erkennst du auerdem, wie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationsmglichkeiten berechnet werden. Dazu musst du einfach die Wahrscheinlichkeiten auf den entsprechenden Pfaden multiplizieren. Dies nennt man auch die Produktregel.

Wir mchten die Wahrscheinlichkeit fr die Mglichkeit berechnen, beim ersten Drehen auf einem grnen und beim zweiten Drehen auf einem blauen Feld zu landen. Dazu schauen wir uns den entsprechenden Pfad an:

Mchten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafr berechnen, dass mindestens einmal die rote Kugel gezogen wird, mssen wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten der Kombinationen, in denen das rote Feld vorkommt, addieren.

Stochastik als moderne mathematische Disziplin steht zwischen angewandter und reiner Mathematik. Einerseits befasst sie sich seit jeher mit Fragestellungen zu Anwendungen aus Gebieten wie Physik, Biologie, Informatik, Wirtschaft, Finanz- und Versicherungswesen, andererseits ist die Stochastik eine lebendige mathematische Disziplin mit engen Beziehungen zu anderen Bereichen der Mathematik.

Auf dem Gebiet der Finanzmathematik kombinieren wir Ideen der stochastischen und funktionalen Analysis und entwickeln sie weiter. Verbunden mit Ideen der Theorie des Optimaltransports gewinnen wir somit neue Erkenntnisse ber grundlegende Fragen der Portfolio-Optimierung. Ebenso erhalten wir neue Erkenntnisse ber die Bewertung und Absicherung von Derivaten, die auf dem Prinzip der Nicht-Arbitrage beruhen.

Unsere Forschungen im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie konzentrieren sich auf zufllige Systeme und werden hauptschlich von Fragen aus der Physik, besonders der statistischen Mechanik, inspiriert. Die Hauptaktivitten liegen in der Erforschung von Prozessen in zuflliger Umgebung und der Perkolationstheorie.

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