Fractales Mandelbrot

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Amenudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en mdulo) la sucesin correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos clculos se sabe que el punto no est en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho ms en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfn de valores, es preciso poner un lmite y decidir que si los p primeros trminos de la sucesin estn acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisin de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, x 2 + y 2 > 4 \displaystyle x^2+y^2>4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo trmino de la sucesin que verifique z n > 2 z_n para estar seguro de que c no est en el conjunto.

El conjunto de Mandelbrot tambin puede definirse como el lugar de conectividad de la familia de polinomios cuadrticos f ( z ) = z 2 + c \displaystyle f(z)=z^2+c , el subconjunto del espacio de parmetros c \displaystyle c para el que el conjunto de Julia del polinomio correspondiente forma un conjunto conexo. Del mismo modo, la frontera del conjunto de Mandelbrot puede definirse como el lugar de bifurcacin de esta familia cuadrtica, el subconjunto de parmetros cerca del cual el comportamiento dinmico del polinomio (cuando es iterada repetidamente) cambia drsticamente.

Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran regin cardioide en el centro. Esta cardioide principales la regin de parmetros c \displaystyle c para la cual el mapa

Una propiedad fundamental de los fractales es la invariabilidad total o parcial de ciertas caractersticas con relacin a diversas escalas, en particular, al ampliar ciertas partes de la imagen de un fractal, reaparece una imagen similar a la inicial y as sucesivamente. A continuacin se muestran las ampliaciones de la imagen principal:

Al agrandar el recuadro gris situado en el extremo izquierdo de la imagen inicial, se tiene que su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfn de veces eligiendo bien la imagen a ampliar.

Acerqumonos al cuadro blanco de la ltima imagen (a la izquierda):Aqu se nota una ligera deformacin de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.

En la serie que se detalla debajo podemos ver cmo va mejorando la definicin del fractal, a medida que incrementamos el nmero de iteraciones. Los puntos que convergen a un valor determinado aparecen de color amarillo plido, y pertenecen propiamente al conjunto de Mandelbrot. Los puntos que presentan divergencia al infinito se han coloreado con una gama cromtica que va desde el gris al negro, en funcin del nmero de iteraciones necesarias (algoritmo de la velocidad de escape). Cuantas menos iteraciones son necesarias para divergir al infinito, se aplica un color ms oscuro.

The problem with loving baking is that if you have a sweet tooth, well, it is hard not to partake of your own hard work. It is a hobby with consequences. As a result I am always looking for reasons to bake for other people.

So when my husband got all excited at discovering a fractal (remember he is a math/computer science guy) with the name Mandelbrot, and asked me to bake mandelbrots for his class in conjunction with an assignment he gave them, I jumped at it. One of his co-workers observed that it was a lot of my time/effort for a relatively small joke (which made me laugh), but John knows I am always happy to have a reason to bake. And these cookies are not difficult.

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