Oppervlakteberekening overlappende cirkels
Jan
mekaar gedeeltelijk overlappen.
Hoe kan ik dan de gemeenschappelijke oppervlakte van
deze cirkels berekenen?
Ik heb hier wel een formule gevonden die klopt voor
het geval de stralen gelijk zijn, maar er staat niet
bij hoe er aan gekomen is, en ik zie niet direct hoe
ik hier het algemene geval moet uit halen.
Alvast bedank!
Jan
Tom Deryckere
Ik zou het met integraalrekening doen:
teken de twee cirkels; trek een rechte door de twee middelpunten -> dit
wordt de x-as; trek door het middelpunt van 1 cirkel de y-as loodrecht op de
x-as.
wegens symmetrie moet je nog enkel rekening houden met het oppervlak boven
de x-as.
Zoek nu de x-coördinaat voor het snijpunt van de twee cirkels -> je hebt dit
nodig voor de integraalgrenzen(stel eerst de vergelijkingen op van de
cirkels: de algemene vergelijking is:
R^2 = (x-x1)^2+(y-y1)^2 met R de straal van de cirkel, het ^ teken betekent
kwadraat en x1 en y1 zijn de coördinaten van het middelpunt.)
Door een stelsel op te lossen met de twee vergelijkingen, krijg je twee
snijpunten (1 boven en 1 onder de x-as).
nu los je de integreer je de cirkel vergelijkingen over de gewenste
intervallen
Hopelijk heb je het principe door ( en klopt het)
groeten
Tom
--
******************************
http://www.guitarfiles.be
******************************
"Jan" <s502...@NOSPAM.khk.be> schreef in bericht
news:3ad6390d$0$11471$73be...@news.be.uu.net...
Seabert
* Gegeven: twee cirkels (met respectievelijke stralen R1 en R2) en
waarvan de middelpunten op een afstand D liggen.
* Waar zit het probleem dan? beide cirkels snijden elkaar in S1 en S2 en
je moet te weten proberen te komen waar het snijpunt (Sx) van het
lijnstuk S1-S2 ligt en de rechte doorheen de twee middelpunten ligt. Met
waar wordt er bedoelt tov van de middelpunten: dus zoek x (= afstand tot
middelpunt 1), dan is de afstand tot het tweede middelpunt D-X.
* Berekening van x.
Begin met te veronderstellen dat 2d = lengte lijnstuk S1-S2.
==> d^2 = R1^2 - x^2
==> (D-x)^2 = R2^2 - d^2 = R2^2 - (R1^2 - x^2)
==> x = <blablabla... vul zelf maar in, mooie vierkantsvergelijking>
* Bepaal de grote van de hoek tussen middelpunt-S1 en middelpunt-S2 voor
beide cirkels. Noem deze hoeken respectievelijk alpha1 en alpha2. Dan is
alpha* = 2 * arcsin(d/R*)
* Met een regeltje-van-drie kun je nu gemakkelijk voor beide cirkels
nagaan wat de oppervlakte is behorend bij die hoek:
opp-spie* = pi * R*^2 * (alpha*/360)
* Bepaal nu de oppervlakte van de driehoeken middelpunt-S1-S2
==> opp-driehoek1 = 2d * x / 2 = d * x
opp-driehoek2 = d * (D - X)
* Tel nu de oppervlakte van de spietjes op en van de driehoeken en trek
beide waarden van elkaar af, dit zou de overlap moeten geven.
==> opp-overlap = pi*[R1^2*(alpha1/360)+R2^2*(alpha2/360)] - d*[x +
(D-x)] = pi*[R1^2*arcsin(d/R1)+R2^2*arcsin(d/R2)]/180 - d*D
Denk ge dat dit ongeveer kan kloppen? Dit zou betekenen voor R1=R2=R:
==> opp-overlap = pi*R^2*arcsin(d/R)/90 - d*D
Slaapwel,
Seabert
Jan
Seabert schreef ...
> * Bepaal de grote van de hoek tussen middelpunt-S1 en middelpunt-S2
voor
> beide cirkels. Noem deze hoeken respectievelijk alpha1 en alpha2. Dan
is
> alpha* = 2 * arcsin(d/R*)
>
> * Met een regeltje-van-drie kun je nu gemakkelijk voor beide cirkels
> nagaan wat de oppervlakte is behorend bij die hoek:
> opp-spie* = pi * R*^2 * (alpha*/360)
Ik heb de hele uitleg eens bekeken ('t heeft effe geduurd), en het
klopt wel
denk ik (ik ben niet zo'n crack in wiskunde).
Alleen: stel dat het middelpunt van de kleine cirkel zich ver genoeg
binnen
de grote cirkel bevindt. In dat geval wordt 1 van de hoeken groter dan
180°. Hier moet je rekening mee houden als je alpha berekent dmv een
arcsin.
alpha* wordt dan iets van 2 * [180 - arcsin(d/R*)] als ik me niet
vergis.
Via de tip van Tom ben ik tot een algemeen geldende formule gekomen die
wel klopt volgens mij. Alleen ziet ze er niet zo heel mooi uit.
Als je ze wil bekijken: http://www.sin.khk.be/~nero/
De afleiding staat er niet bij, want ik had geen zin (en tijd) om die
helemaal in te tikken.
Ik wil u beiden bedanken voor de tips, u hebt mij geweldig geholpen!
Jan
Tom Deryckere
Tom
--
******************************
http://www.guitarfiles.be
******************************
"Jan" <s502...@NOSPAM.khk.be> schreef in bericht
news:3adb4f1b$0$11471$73be...@news.be.uu.net...
Timj*-
stap dan in Geel eens het studiecentrum (F101 geloof ik) van de ingenieurs
binnen op een dag dat er een wiskunde docent zit (de lijst hangt aan de
deur). Zij zullen je zeker willen helpen. (of de formule nakijken).
groeten,
tim.