Esercizi Svolti Di Su Linee Di Influenza Pdf 12
Mina Delahoussaye
Esercizi Svolti Di Su Linee Di Influenza Pdf 12
Le linee di influenza sono degli strumenti utili per analizzare il comportamento delle strutture sottoposte a carichi mobili, come i ponti. Le linee di influenza rappresentano le variazioni di una grandezza (reazione, sforzo, spostamento, ecc.) in una sezione o in un punto della struttura al variare della posizione del carico. Le linee di influenza possono essere determinate con diversi metodi, tra cui il metodo diretto, il metodo indiretto e il metodo delle equazioni differenziali della linea elastica.
In questo articolo, si presentano alcuni esercizi svolti di su linee di influenza, tratti da diverse fonti . Gli esercizi riguardano la determinazione delle linee di influenza delle reazioni vincolari, delle sollecitazioni e degli spostamenti in travi isostatiche e iperstatiche sottoposte a carichi concentrati o distribuiti. Gli esercizi sono risolti con il metodo indiretto, basato sui principi di reciprocità, e con il metodo delle equazioni differenziali della linea elastica, che richiede la conoscenza delle funzioni di spostamento e rotazione della trave.
Esercizio 1
Si consideri la trave isostatica in figura, sottoposta a un carico verticale concentrato F. Determinare la linea di influenza della reazione vincolare in A.
Soluzione: Per il metodo indiretto, si applica un'unità di forza verticale in A e si calcola lo spostamento verticale v del punto P al variare della posizione del carico F. La linea di influenza della reazione in A è data dall'opposto dello spostamento v.
Per calcolare lo spostamento v, si utilizza il teorema di Betti: il lavoro compiuto dalla forza unitaria per lo spostamento indotto dal carico F è uguale al lavoro compiuto dal carico F per lo spostamento indotto dalla forza unitaria. Si ha quindi:
$$1 \cdot v = F \cdot u$$
dove u è lo spostamento verticale del punto A dovuto al carico F. Per calcolare u, si utilizza il teorema di Castigliano: lo spostamento lungo la direzione della forza è dato dalla derivata parziale dell'energia di deformazione rispetto alla forza stessa. Si ha quindi:
$$u = \frac\partial U\partial F$$
dove U è l'energia di deformazione della trave, data da:
$$U = \frac12 \int_0^L M^2(x) dx$$
dove M(x) è il momento flettente nella sezione x della trave. Il momento flettente dipende dalla posizione del carico F, che si assume essere a una distanza x dal vincolo A. Si ha quindi:
$$M(x) = \begincases -F(L-x) & 0 \leq x \leq L \\ 0 & x > L \endcases$$
Sostituendo nella formula dell'energia di deformazione e derivando rispetto a F, si ottiene:
$$u = \frac\partial U\partial F = \frac12 \int_0^L 2M(x) \frac\partial M(x)\partial F dx = \int_0^L (L-x)^2 dx = \fracL^33$$
Sostituendo nella formula del teorema di Betti, si ottiene:
$$v = \fracFL^3$$
La linea di influenza della reazione in A è quindi data da:
$$R_A = -v = -\fracFL^3$$
Esercizio 2
Si consideri la trave iperstatica in figura, sottoposta a un carico verticale distribuito q. Determinare la linea di influenza del momento flettente nella sezione S.
Soluzione: Per il metodo indiretto, si applica un'unità di momento concentrato in S e si calcola la rotazione φ del punto P al variare della posizione del carico q. La linea di influenza del momento in S è data dall'opposto della rotazione φ.
Per calcolare la rotazione φ, si utilizza il teorema di Betti: il lavoro compiuto dal momento unitario per la rotazione indotta dal carico q è uguale al lavoro compiuto dal carico q per la rotazione indotta dal momento unitario. Si ha quindi:
$$1 \cdot φ = \int_0^L q(x) \cdot θ(x) dx$$
dove θ(x) è la rotazione della sezione x della trave dovuta al carico q. Per calcolare θ(x), si utilizza il teorema di Castigliano: la rotazione intorno alla direzione del momento è data dalla derivata parziale dell'energia di deformazione rispetto al momento stesso. Si ha quindi:
$$θ(x) = \frac\partial U\partial M(x)$$
dove U è l'energia di deformazione della trave, data da:
$$U = \frac12 \int_0^L M^2(x) dx$$
dove M(x) è il momento flettente nella sezione x della trave. Il momento flettente dipende dalla posizione del carico q e dalle reazioni vincolari R e M, che si possono calcolare imponendo le condizioni di equilibrio statico e cinematico della trave. Si ha quindi:
$$M(x) = \begincases -M + R x - \fracq x^22 & 0 \leq x \leq L/2 \\ -M + R x - \fracq L x2 + \fracq L^28 & L/2 \leq x \leq L \endcases$$
Sostituendo nella formula dell'energia di deformazione e derivando rispetto a M(x), si ottiene:
$$θ(x) = \frac\partial U\partial M(x) = \int_0^L M(x) dx = \begincases -M x + R \fracx^22 - \fracq x^36 & 0 \leq x \leq L/2 \\ -M x + R \fracx^22 - \fracq L x^24 + \fracq L^2 x8 - \fracq L^324 & L/2 \leq x \leq L \endcases$$
Sostituendo nella formula del teorema di Betti, si ottiene:
$$φ = \int_0^L/2 q(x) (-M x + R \fracx^22 - \fracq x^36) dx + \int_L/2^L q(x) (-M x + R \fracx^22 - \fracq L x^24 + \fracq L^2 x8 - \fracq L^324) dx $$
endo i valori delle reazioni vincolari, si ottiene:
$$φ = -\fracq L^4384 E I$$
La linea di influenza del momento in S è quindi data da:
$$M_S = -φ = \fracq L^4384 E I$$
Esercizio 3
Si consideri la trave isostatica in figura, sottoposta a un carico verticale concentrato F. Determinare la linea di influenza dello spostamento verticale del punto P.
Soluzione: Per il metodo delle equazioni differenziali della linea elastica, si scrive l'equazione differenziale che governa il comportamento della trave:
$$EI \fracd^4 vd x^4 + q(x) = 0$$
dove v(x) è lo spostamento verticale della sezione x della trave e q(x) è il carico distribuito equivalente al carico concentrato F. Si ha quindi:
$$q(x) = \begincases -F & x = a \\ 0 & x \neq a \endcases$$
Integrando quattro volte l'equazione differenziale e imponendo le condizioni al contorno, si ottiene la funzione di spostamento v(x). Si ha quindi:
$$v(x) = \begincases \fracF6 EI (L^3 x - x^3 L + 2 a^3 L - 3 a^2 L x) & 0 \leq x \leq a \\ \fracF6 EI (L^3 x - x^3 L - 3 a L^2 x + 2 a L^3) & a \leq x \leq L \endcases$$
La linea di influenza dello spostamento del punto P è data dalla funzione di spostamento v(x) valutata in x = b. Si ha quindi:
$$v_P = v(b) = \begincases \fracF6 EI (L^3 b - b^3 L + 2 a^3 L - 3 a^2 L b) & 0 \leq b \leq a \\ \fracF6 EI (L^3 b - b^3 L - 3 a L^2 b + 2 a L^3) & a \leq b \leq L \endcases$$
Bibliografia
- [1]: G. Colombo, M. Guadagnini, A. Maggiolo, Meccanica delle strutture: Esercizi svolti, McGraw-Hill Education, 2010.
- [2]: A. Carpinteri, G. Lacidogna, Esercizi di scienza delle costruzioni, Pitagora Editrice, 2008.
- [3]: F. Mola, C. Mola, Fondamenti di scienza delle costruzioni: Eserciziario, Springer Science & Business Media, 2011.