Quadrada Raiz De 20

[Minette Mccandrew]

Araiz quadrada uma operao matemtica que acompanha todos os nveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciao, no qual o ndice do radical igual a 2, ou seja, a operao inversa das potncias de expoente igual a 2. Quando um nmero positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse nmero um quadrado perfeito.

Os nmeros que possuem raiz quadrada so denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os nmeros 36 e 121 so quadrados perfeitos. Quando o nmero no um quadrado perfeito, necessrio realizar o clculo de razes no exatas.

1. Perceba, com base na definio de raiz quadrada, que sempre procuramos um nmero que, quando elevado ao quadrado, resulta no nmero dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciao, sabemos que um nmero ao quadrado sempre positivo. Isso nos leva a concluir que no possvel extrair raiz quadrada de um nmero negativo no conjunto dos nmeros reais.

2. Caso o radicando seja um nmero relativamente grande, o que impossibilitaria o clculo mental, basta fazer a decomposio em primos e agrupar sempre que possvel em potncias de expoente dois.

Note que a potenciao necessria, uma vez que depois de fatorar o nmero, no caso da raiz quadrada, reunimos os nmeros primos em potncias de 2. Isso significa em dividir os nmeros em quadrados perfeitos.

Dizemos que um nmero um quadrado perfeito quando ele resultado da multiplicao de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito uma raiz exata e resulta em um nmero natural.

A extenso da funo raiz quadrada a nmeros negativos leva criao dos nmeros imaginrios e ao corpo dos nmeros complexos. O primeiro uso do atual smbolo da raiz quadrada remonta ao sculo XVI. Pensa-se que a sua origem est na letra r minscula, primeira letra de radix (do latim, raiz). Pode tambm ser uma operao geomtrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual raiz quadrada do inicial.[2]

Este algoritmo quadraticamente convergente, que significa que o nmero de dgitos corretos de r dobra a cada repetio. Ele, entretanto, no d a raiz exata, mas d uma tima aproximao. Ou seja no um mtodo perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezvel para clculos que no necessitam de muita preciso. De fato, dependendo da aproximao todas as casas decimais estaro corretas). Abaixo, um exemplo do mtodo para melhor compreenso:

Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, s que isso acabaria por dar algumas imprecises. Ento podemos dizer que a raiz quadrada de 66 aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596...Ou seja, esse um bom mtodo para se achar aproximadamente uma raiz quadrada.

Este mtodo, apesar de muito mais lento que o mtodo Babilnico, tem a vantagem de ser exato: dado um nmero que tem uma raiz quadrada cuja representao decimal termina, ento o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta aps um nmero finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado nmero um quadrado perfeito.

Escreva o nmero em decimal e divida-o em pares de dgitos, comeando do ponto. Os nmeros so colocados de uma maneira similar ao algoritmo de diviso longa e a raiz quadrada final aparecer acima do nmero original.

Para cada iterao: Traga para baixo o par o mais significativo dos dgitos ainda no usados e adicione-os a todo o restante. Este o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que no faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dgito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e no houver mais dgito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se no continue com etapa 1. Exemplo: Que a raiz quadrada de 152,2756?

Embora demonstrado aqui para nmeros da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrio acima, 20 meios dobram a base de nmero usada, no exemplo de binrio isto seriam realmente 100. que o algoritmo est no fato muito mais fcil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dgitos 0 e 1 tm que ser testados.

A equao de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros mpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequncia:

Note que o radical smbolo da raiz quadrada, o radicando nmero que calcularemos a raiz quadrada, j o ndice o indicador de que se trata de uma raiz quadrada. Caso o ndice fosse o nmero 3, seria uma raiz cbica. A resposta desta operao chama-se raiz quadrada.

Quando a raiz quadrada tem como resultado um nmero inteiro, como no exemplo, chama-se raiz quadrada exata, mas quando o resultado da raiz quadrada de um nmero no inteiro, nomeia-se de raiz quadrada no exata. Saiba como calcular nos dois casos:

Ao saber a tabuada, o clculo do valor de algumas razes quadradas ser simples. Porm, em casos em que no se conhece a tabuada ou em nmero mais elevados, pode descobrir a raiz quadrada usando a fatorao. Veja o mesmo exemplo anterior, mas feito com o auxlio da fatorao:

Uma empresa de jardinagem est construindo um jardim quadrado em um quintal. A rea total do jardim 81 metros quadrados. Qual o comprimento do lado do jardim?

Resposta: O comprimento de 9 metros.

A raiz quadrada a operao inversa das potncias de expoente 2. Ou seja, um nmero X elevado ao quadrado multiplicado por ele mesmo, gerando um resultado Y. Portanto, a raiz quadrada de Y X. Quando o resultado da raiz um valor inteiro, esse nmero chamado de quadrado perfeito.

A definio diz que a raiz de a s pode ser b se o resultado de b elevado ao quadrado for igual a. Sendo assim, para descobrir essa operao matemtica necessrio pensar em um nmero que elevado ao quadrado, ou seja, multiplicado por ele mesmo, seja igual ao radicando.

Quando a raiz de um nmero inteiro resulta em outro nmero inteiro. Nmeros menores podem ser pensados de acordo com a tabuada. Porm, para descobrir a raiz quadrada de nmeros grandes utiliza-se a fatorao.

Assim, decompomos o radicando por nmeros primos. Comeamos do menor primo possvel. Depois s pegar os nmeros primos e transform-los em potncias de dois. Ento, tirar a raiz deles e multiplic-los para encontrar o resultado desejado.

Observamos que os nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo (em Latim: ratio=razo=diviso=quociente) entre dois nmeros inteiros, motivo pelo qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado pela letra \(Q\) de quociente. Assim, comum lermos na literatura a notao:

Quando h interesse, usamos \(Q+\) para entender o conjunto dos nmeros racionais positivos e \(Q-\) para o conjunto dos nmeros racionais negativos. O nmero zero tambm um nmero racional.

No nosso link Fraes j detalhamos o estudo de fraes e como todo nmero racional pode ser posto na forma de uma frao, ento todas as propriedades vlidas para fraes so tambm vlidas para nmeros racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos nmeros racionais.

Um fato importante que relaciona os nmeros racionais com os nmeros reais que todo nmero real que pode ser escrito como uma dzima peridica um nmero racional. Isto significa que podemos transformar uma dzima peridica em uma frao.

O processo para realizar esta tarefa ser mostrado na sequncia com alguns exemplos numricos. Para pessoas interessadas em um estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequncia, deve-se aprofundar no estudo de sries geomtricas no mbito do Ensino Mdio ou mesmo estudar nmeros racionais do ponto de vista do Clculo Diferencial e Integral ou da Anlise na Reta no mbito do Ensino Superior.

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros racionais obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Isto adotado por conveno, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Do ponto de vista geomtrico, o simtrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho localizado na origem. A distncia do ponto real \(q\) ao espelho a mesma que a distncia do ponto virtual \(-q\) ao espelho.

Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao, definimos a adio entre os nmeros racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que a soma de fraes, atravs de:

Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao, definimos o produto de dois nmeros racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que o produto de fraes, atravs de:

Talvez voc j tenha sido questionado: Porque a diviso de uma frao da forma \(a/b\) por outra da forma \(c/d\) o produto da primeira pelo inverso da segunda? A diviso de nmeros racionais esclarece a questo:

Nota: Se o expoente \(n=2\), a potncia \(q^2\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao quadrado e se o expoente \(n=3\), a potncia \(q^3\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao cubo. Isto provm do fato que rea do quadrado pode ser obtida por \(A=q^2\) onde \(q\) a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por \(V=q^3\) onde \(q\) a medida da aresta do cubo.

A raiz quadrada (raiz de ordem \(2\)) de um nmero racional \(q\) a operao que obtm um outro nmero racional \(r\geq 0\) que elevado ao quadrado seja igual ao nmero \(q\), isto , \(r^2=q\).

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