Y quién serías tú? porque la llamada está siendo manejada por la aplicación ARI. Dicho de otra forma, no hay "tú", hay solo "la aplicación ARI".
"...que será hacer una nueva llamada y unirla con la llamada original."
... esta parte es la que más ruido me hace. ¿Porqué enviar los datos para hacer una llamada por fuera en lugar de hacerla desde la misma aplicación ARI [a] y luego enlazarla?
Asumiendo que tienes tus razones para plantearlo así - que no parecen ser razones técnicas - veo 2 posibilidades:
[1] creas un dialplan y la app de tu cliente crea un callfile que incluye la info. Esto evita que tu cliente programe en ARI y le pasa el fardo a callfile + dialplan.
[2] lo hace todo desde ARI.
En lo personal, si está dispuesto a hacer una llamada desde su app a otro lado, no entiendo porque no hacerlo directamente en ARI. Puse en [1] callfile, porque si proponemos AMI ya seria una burrada que la app ARI haga una conexión AMI para hacer un originate en lugar de hacerlo nativo en ARI.