איזומורפיזם
3 views
Skip to first unread message
Dudi
Dec 31, 2012, 12:15:44 PM12/31/12
to AS5...@googlegroups.com
שלום,
אפשר קצת יותר הסבר על פתרון שאלה 5.4.10 (מתרגיל 5)? למשל, איך ניתן לקבוע בכזאת קלות ש<2> איזומורפית לZ4? וגם ש<U15/<4 איזומורפית לZ2xZ2? יש פה איזה משפט פשוט של איזומורפיזמים שניתן להשתמש בו?
תודה!
חיים שרגא רוזנר
Dec 31, 2012, 12:28:18 PM12/31/12
to AS5...@googlegroups.com
מר מס, רוב שלומות.
ראשית, תודה רבה על השאלות. הקביעה שהחבורה הנוצרת על ידי 2 איזומורפית ל
Z_4
נסמכת על כך שזו חבורה ציקלית מסדר 4. היא ציקלית לפי הגדרתה (נוצרת על ידי איבר יחיד) וחישוב שהראיתי מוכיח שאיבריה ארבעה. המשפט הוא שכל החבורות הציקליות מסדר מסוים איזומורפיות זו לזו.
הקביעה לגבי חבורת ההפיכים נעשתה בהערת שוליים. היא נסמכת על מיון של החבורות האבליות מסדר 8, שטרם הגענו אליו. מכל מקום, ההערה מובאת להעשרה, והיא איננה הדרך שבה פתרתי את השאלה. היא מובאת כדי שתלמיד שעבד עם
Z_4 X Z_2
יידע שזה בדיוק אותו הפתרון.
באינטרנט ניתן למצוא רשימות של כל החבורות מסדרים נמוכים. כך ניתן לנסות ולזהות חבורה קטנה שנתקלת בה במקרה.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
ראשית, תודה רבה על השאלות. הקביעה שהחבורה הנוצרת על ידי 2 איזומורפית ל
Z_4
נסמכת על כך שזו חבורה ציקלית מסדר 4. היא ציקלית לפי הגדרתה (נוצרת על ידי איבר יחיד) וחישוב שהראיתי מוכיח שאיבריה ארבעה. המשפט הוא שכל החבורות הציקליות מסדר מסוים איזומורפיות זו לזו.
הקביעה לגבי חבורת ההפיכים נעשתה בהערת שוליים. היא נסמכת על מיון של החבורות האבליות מסדר 8, שטרם הגענו אליו. מכל מקום, ההערה מובאת להעשרה, והיא איננה הדרך שבה פתרתי את השאלה. היא מובאת כדי שתלמיד שעבד עם
Z_4 X Z_2
יידע שזה בדיוק אותו הפתרון.
באינטרנט ניתן למצוא רשימות של כל החבורות מסדרים נמוכים. כך ניתן לנסות ולזהות חבורה קטנה שנתקלת בה במקרה.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
Dudi
Dec 31, 2012, 12:43:36 PM12/31/12
to AS5...@googlegroups.com
הבנתי את החלק הראשון. לגבי החלק השני - התכוונתי לאיזומורפיזם שנמצא בשורה האחרונה בעמוד, בדיוק מעל הערת השוליים. איך קבעת שזה איזומרופי דוקא לZ2xZ2 ולא לZ4?
ועוד הבהרה קטנה לגבי המשפט הזה (שכל החבורות הציקליות מסדר מסוים איזומורפיות): בפתרון של שאלה 10 בתרגיל 6 הסתמכת על משפט שאיזומורפיזם חייב לשמור על הסדר של האיברים וכך שללת אפשרות של איזומורפיזמים בין חבורות שונות. איך שני המשפטים האלה מסתדרים ביחד? הרי בZ4 יש שני איברים מסדר 4 ואחד מסדר 2, ובקבוצה הנוצרת ע"י <2> בU15 יש שני איברים מסדר 2 ואחד מסדר 4.
חיים שרגא רוזנר
Dec 31, 2012, 1:32:41 PM12/31/12
to AS5...@googlegroups.com
הקביעה שהמנה איזומורפית ל Z_2 X Z_2 היא חישובית: אין שם אף איבר מסדר 4 שייצור את החבורה.
בחבורה הנוצרת על ידי 2 בתוך U15 יש שני איברים מסדר 4 ואיבר יחיד מסדר 2.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
בתאריך יום שני, 31 בדצמבר 2012 19:43:36 UTC+2, מאת Dudi:
בחבורה הנוצרת על ידי 2 בתוך U15 יש שני איברים מסדר 4 ואיבר יחיד מסדר 2.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
בתאריך יום שני, 31 בדצמבר 2012 19:43:36 UTC+2, מאת Dudi:
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages