תרגיל 3.6.6 מש. ב 2
0 views
Skip to first unread message
s.dan
Feb 20, 2013, 8:43:46 AM2/20/13
to AS5...@googlegroups.com
שלום רב,
ראיתי את הפתרון שפורסם, אך לא הבנתי מדוע פנינו לגישה הזו וכיצד אנו יודעים בוודאות כי קיימים אן 1 ואן2 שונים? הרי דבר זה משמעו שהקב' ציקלית, ואין הדבר נתון בפרטי השאלה.
עוד שאלה, בתרגול 4 היה עלינו להוכיח כי כל תת חבורה של זד ציקלית והוכחנו זאת באמצעות איבר מינימאלי. לא הבנתי מדוע השימוש בג'יסידי והוכחה כי די מינימלי מוכיחה את אשר חיפשנו.
תודה מראש!
ראיתי את הפתרון שפורסם, אך לא הבנתי מדוע פנינו לגישה הזו וכיצד אנו יודעים בוודאות כי קיימים אן 1 ואן2 שונים? הרי דבר זה משמעו שהקב' ציקלית, ואין הדבר נתון בפרטי השאלה.
עוד שאלה, בתרגול 4 היה עלינו להוכיח כי כל תת חבורה של זד ציקלית והוכחנו זאת באמצעות איבר מינימאלי. לא הבנתי מדוע השימוש בג'יסידי והוכחה כי די מינימלי מוכיחה את אשר חיפשנו.
תודה מראש!
s.dan
Feb 20, 2013, 9:09:41 AM2/20/13
to AS5...@googlegroups.com
שאלה נוספת מאותו תרגיל:
3.6.8
או שאני מפספס משהו, או שאין שום הגיון בפתרון המוצג.
אם ידוע לנו כי g1g2
שייך לH
וזה ברור.
אנו רוצים לבדוק האם הוא גם שייך ל G1
איך בדיוק הכפלתו בהופכי של g1
מוכיחה הוא כי שייך לG1?!
How does g1g2 E H => g1^(-1)g1g2 => g2 => g2 E G1?
אין בזה שום הגיון מתמטי בכלל. לא נתון לנו כי g1g2 שייך לG1
אלא לH
לכן כל מה שזה הוכיח פה זה ש g2
שייך לH
דבר שכבר ידוע לנו.
ואז מזה עוד מסיקים כי בגלל שגם g2 שייך לG1
אז בעצם g1g2 לא שייך לG1
שזה שוב סותר כל דבר בערך שעשינו בתרגיל.
אני אשמח לאיזה הסבר מה בדיוק הולך בתרגיל הזה, כי אני ממש לא מבין לוגית איך מה שנעשה פה נכון בכלל.
s.dan
Feb 20, 2013, 4:58:10 PM2/20/13
to AS5...@googlegroups.com
תתעלמו מהשאלה השנייה :) הבנתי שלמרות שלא כתבתם את זה התכוונתם שאנחנו נניח כי ג'י1ג'י2 שייך לG1
ואז הכל הגיוני
לגבי 3.6.6 אני עדין אשמח לתשובה
תודה!
חיים שרגא רוזנר
Feb 20, 2013, 6:28:09 PM2/20/13
to AS5...@googlegroups.com
רוב שלומות,
להלן אתייחס אי"ה לשאלות של דן, ראשון ראשון ואחרון אחרון.
תרגיל בית 2, שאלה 3.6.6
אנחנו הבטנו בקבוצה
{h \in G : \exists n, h=g^n}
איברי קבוצה זו הם האיברים מהצורה
g^n
יש אינסוף אפשרויות עבור n,
אבל בקבוצה הזו יש מספר סופי של איברים. לפי עקרון שובך היונים, יש לפחות איבר אחד שנקרא בשני שמות שונים. לכן קיימים
n1,n2
שונים
שנותנים את אותו האיבר.
נזכיר כאן כי עקרון שובך היונים קובע שאם עוצמתה של קבוצה A גדולה יותר מעוצמתה של קבוצה B, הרי שלכל פונקציה
f: A->B
קיים לפחות איבר אחד ב
B
שלו לפחות שני מקורות ב
A
שאלה לגבי שיעור תרגיל 4. ביקשנו להוכיח כי כל ת"ח של זד היא ציקלית. לפי האמור בשאלה, אנו מצאנו איבר חיובי מינימלי בת"ח הזו. למיטב זכרוני, הטענה היתה כי איבר שכזה הוא יוצר לבדו את כל הת"ח. בפרט, החבורה הזו היא ציקלית. אם זה לא מבהיר את העניין, אני אשמח להתייחס לשאלת המשך בעניין זה. אזהרה: אני לא בטוח מה באמת היה בשיעור; מה שאמרתי לעיל הוא 'בשליפה', כדי לתת כיוון של מענה. סביר מאוד שאין כאן למעשה תשובה לשאלה.
בברכת הצלחה,
חיים שרגא רוזנר
בתאריך יום רביעי, 20 בפברואר 2013 15:43:46 UTC+2, מאת s.dan:
להלן אתייחס אי"ה לשאלות של דן, ראשון ראשון ואחרון אחרון.
תרגיל בית 2, שאלה 3.6.6
אנחנו הבטנו בקבוצה
{h \in G : \exists n, h=g^n}
איברי קבוצה זו הם האיברים מהצורה
g^n
יש אינסוף אפשרויות עבור n,
אבל בקבוצה הזו יש מספר סופי של איברים. לפי עקרון שובך היונים, יש לפחות איבר אחד שנקרא בשני שמות שונים. לכן קיימים
n1,n2
שונים
שנותנים את אותו האיבר.
נזכיר כאן כי עקרון שובך היונים קובע שאם עוצמתה של קבוצה A גדולה יותר מעוצמתה של קבוצה B, הרי שלכל פונקציה
f: A->B
קיים לפחות איבר אחד ב
B
שלו לפחות שני מקורות ב
A
שאלה לגבי שיעור תרגיל 4. ביקשנו להוכיח כי כל ת"ח של זד היא ציקלית. לפי האמור בשאלה, אנו מצאנו איבר חיובי מינימלי בת"ח הזו. למיטב זכרוני, הטענה היתה כי איבר שכזה הוא יוצר לבדו את כל הת"ח. בפרט, החבורה הזו היא ציקלית. אם זה לא מבהיר את העניין, אני אשמח להתייחס לשאלת המשך בעניין זה. אזהרה: אני לא בטוח מה באמת היה בשיעור; מה שאמרתי לעיל הוא 'בשליפה', כדי לתת כיוון של מענה. סביר מאוד שאין כאן למעשה תשובה לשאלה.
בברכת הצלחה,
חיים שרגא רוזנר
בתאריך יום רביעי, 20 בפברואר 2013 15:43:46 UTC+2, מאת s.dan:
s.dan
Feb 20, 2013, 7:40:27 PM2/20/13
to AS5...@googlegroups.com
קודם כל תודה רבה רבה לך על התגובה!
קודם כל לגבי התרגיל בשאלות הבית.
הבנתי את הסיבה למה במידה ומביטים בקב' הזו עקרון שובך היונים עובד. השאלה שלי היא למעשה מדוע כלל הסתכלנו על הקב' הזו?
מדוע מתוך השאלה אנו פונים לקב' הזו מלכתחילה?
הרי כל שרצינו להוכיח הוא לגבי ההיפוך. מדוע מכאן הגענו לאותה קבוצה <g>?
לגבי שיעור תרגול 4
מה שבצענו הוא מציאת איבר מינימאלי d
טענו כי
<d> = H
כדי להוכיח זאת נניח כי
<d> != H
אך ברור כי
<d>
מוכל ב H
לכן נראה כי
H
לא מוכל ב <d>
זאת אומרת שקיים לנו איבר אשר קיים באייץ' פחות החבורה הציקלית של די
כעת פה אני מבצעים דברים שלא ברור לי
בכדי להוכיח זו אנו מביטים ב gcd
של די עם האיבר הזה.
מדוע זה בכלל כיוון שנפנה אליו?
הטענה שאתה אומר לגבי כך שאיבר מינימאלי חיובי בחבורה הוא גם יוצר את החבורה יכולה מאוד לעזור, אבל זה לא נתון לנו בשום מקום הטענה הזו.
מה גם שבהנתן הטענה הזו, מדוע זה מוכיח לנו כי H
מוכל ב<d>
בפתרון הראנו כי למעשה כיוון שהג'יסידי יהיה קטן או שווה לדי זה לא אפשרי ולכן די המינימאלי.
אך מדוע עצם העובדה שדי מינמאלי גוררת כי H
מוכל ב <d>?
שוב המון תודה על התשובה! אני מאוד מעריך זאת!
חיים שרגא רוזנר
Feb 25, 2013, 7:46:16 PM2/25/13
to AS5...@googlegroups.com
לגבי שאלה 3.6.6 (תרגיל בית 2), אני אנסה להסביר את האינטואיציה. אנחנו מחפשים את ההופכי של איזה איבר. מכיוון שהחבורה סופית, הסדר של כל איבר מאיבריה הוא סופי; איבר מסדר סופי יוצר את ההופכי לו על ידי כפל. לכן הסתכלתי כאן במונואיד הנוצר על ידי האיבר הנתון ג'י והראתי כי הוא מכיל את ההפיך.
לגבי השאלה משיעור מספר 4, (נמצאת במערך שיעור מספר 3, אחרי משפט 1.3 שם)
הנתון בשאלה שבעזרתו רציתי להגיע לשלילה הוא היותו של די מינימלי; כך חיפשתי איבר קטן יותר מדי. משפט שהובא בשיעורים הראשונים (מערך שיעור 1, משפט 2.4) קובע שהג'יסידי של שני איברים הוא צירוף לינארי (מינימלי) ביניהם, ולכן אם יש לי שני איברים בחבורה, אז הם יוצרים את הג'יסידי שלהם.
מכיוון שהג'יסידי תמיד נמוך יותר מהמספרים האחרים,ניתן להשיג בעזרתו את הסתירה המבוקשת.
הערה לסיום: אני מבקש להודות על השאלות האלה. אני בשיעוריי אינני רגיל להראות את האינטואציה למציאת פתרון, ושאלות אלו מעוררות לחשיבה מסוג אחר.
התנצלות: עקב סידורי הפורים והחתונה התשובה התעכבה עד העת הזו. עמכם הסליחה.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
לגבי השאלה משיעור מספר 4, (נמצאת במערך שיעור מספר 3, אחרי משפט 1.3 שם)
הנתון בשאלה שבעזרתו רציתי להגיע לשלילה הוא היותו של די מינימלי; כך חיפשתי איבר קטן יותר מדי. משפט שהובא בשיעורים הראשונים (מערך שיעור 1, משפט 2.4) קובע שהג'יסידי של שני איברים הוא צירוף לינארי (מינימלי) ביניהם, ולכן אם יש לי שני איברים בחבורה, אז הם יוצרים את הג'יסידי שלהם.
מכיוון שהג'יסידי תמיד נמוך יותר מהמספרים האחרים,ניתן להשיג בעזרתו את הסתירה המבוקשת.
הערה לסיום: אני מבקש להודות על השאלות האלה. אני בשיעוריי אינני רגיל להראות את האינטואציה למציאת פתרון, ושאלות אלו מעוררות לחשיבה מסוג אחר.
התנצלות: עקב סידורי הפורים והחתונה התשובה התעכבה עד העת הזו. עמכם הסליחה.
בברכה,
חיים שרגא רוזנר
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages