שאלה שלא הצלחתי לפתור
0 views
Skip to first unread message
elia grady
Feb 27, 2013, 9:31:04 AM2/27/13
to AS5...@googlegroups.com
השאלה מנוסחת כך: תהיינה
F,G,H חבורות אבליות סופיות המקיימות FxG~=FxH (איזומורפיזם)
הוכיחו כי G~=H.
חיים שרגא רוזנר
Feb 27, 2013, 6:06:01 PM2/27/13
to AS5...@googlegroups.com
ניזכר כי לפי משפט המיון של חבורות אבליות סופיות, כל חבורה אבלית מתפרקת
למכפלה ישרה לפי גורמי הסדר הראשוניים. דהיינו, אם סדר החבורה הוא
p_1 ^ i_1 * ... * p_n ^ i_n, אז היא מכפלה ישרה של חבורות מסדרים p_1 ^ i_1 , ... , p_n ^ i_n. כמו-כן, פירוק זה מתפרק באופן יחיד לפי הגורמים הראשוניים, לדוגמא חבורה אבלית סופית מסדר 8 היא מאחת הצורות Z8 או Z4xZ2 או Z2xZ2xZ2.
מכאן נובע שהפירוק של FxH הוא זהה, עד כדי איזומורפיזם, לפירוק של FxG. הגורמים של F נשארים הגורמים של F, ולכן הגורמים של G הם הגורמים של H.
לא ראיתי את השאלה במקור. אם השאלה קודמת בחומר למשפט המיון של חבורות אבליות סופיות, אז צריך לשחזר בפתרון חלקים מסוימים מהוכחתו. אחרי משפט המיון, זה מבנה הטיעון.
p_1 ^ i_1 * ... * p_n ^ i_n, אז היא מכפלה ישרה של חבורות מסדרים p_1 ^ i_1 , ... , p_n ^ i_n. כמו-כן, פירוק זה מתפרק באופן יחיד לפי הגורמים הראשוניים, לדוגמא חבורה אבלית סופית מסדר 8 היא מאחת הצורות Z8 או Z4xZ2 או Z2xZ2xZ2.
מכאן נובע שהפירוק של FxH הוא זהה, עד כדי איזומורפיזם, לפירוק של FxG. הגורמים של F נשארים הגורמים של F, ולכן הגורמים של G הם הגורמים של H.
לא ראיתי את השאלה במקור. אם השאלה קודמת בחומר למשפט המיון של חבורות אבליות סופיות, אז צריך לשחזר בפתרון חלקים מסוימים מהוכחתו. אחרי משפט המיון, זה מבנה הטיעון.
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages