Potęga nieskończona 1
jan.str...@gmail.com
Mój problem przedstawia się następująco - pewnego dnia od znajomego
studenta fizyki usłyszałem ciekawą informację, że potęga nieskończona
liczby 1 wynosi 4 - ma to być udowodnione obliczeniami itd. Sam jako
raczej ignorant nie jestem w stanie ocenić prawdziwości tej
wypowiedzi, a na logikę nie wydaje się to możliwe. Liczę, że znajdę
tutaj właściwą odpowiedź.
Z góry dziękuję :) Pozdrawiam
Robakks
news:dd3853f4-5ab4-48c9...@t13g2000yqc.googlegroups.com...
Witam.
Znajomy student fizyki kpi sobie z matematyki abstrakcyjnej, w której wyników
się nie oblicza - lecz zakłada. Idea jest prosta:
definicja = aksjomat:
1^oo = 4
odp.
"potęga nieskończona liczby 1 wynosi 4, bowiem tak wynika z aksjomatu,
a aksjomatów się nie udowadnia".
To "matematyka" nowomowy bez desygnatów. :)
pozdrawiam,
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości
PFG
<dd3853f4-5ab4-48c9...@t13g2000yqc.googlegroups.com> wrote:
>Mój problem przedstawia się następująco - pewnego dnia od znajomego
>studenta fizyki usłyszałem ciekawą informację, że potęga nieskończona
>liczby 1 wynosi 4 - ma to być udowodnione obliczeniami itd.
To jakiś kiepski student fizyki był. Zapewne miał on na myśli granicę typu
(1) lim_{n->infty} (a_n)^(b_n)
gdzie
(2) lim_{n->infty} (a_n) = 1
(3) lim_{n->infty} (b_n) = infty
Granice tego typu nazywa się "symbolem nieoznaczonym typu jeden do
nieskończoność", ale to jest *nazwa symbolu nieoznaczonego*, nie operacja
algebraiczna "oblicz iloczyn dowolnie wielkiej ilości jedynek". Ile konkretnie
granica (1) wynosi, zależy od szczegółów a_n, b_n - może być cztery, ale może
być co innego. Najbardziej znany przykład to
(4) lim_{n->infty} (1+1/n)^n = e
Zadanie: Przerobić przykład (4) tak, aby w granicy otrzymać dowolną, z góry
zadaną liczbę dodatnią.
--
Paweł
otumaniony wykształciuch
Maciek
Użytkownik <jan.str...@gmail.com> napisał
w news:dd3853f4-5ab4-48c9...@t13g2000yqc.googlegroups.com...
Fałsz. Wyrażenie "jeden do potęgi nieskończoność" należy do symboli
nieoznaczonych.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Symbole_nieoznaczone
Wyrażenie to samo w sobie nie ma żadnej wartości ("nieskończoność"
nie jest liczbą), może jednak reprezentować przejście graniczne,
na przykład granicę ciągu. Weźmy dwa ciągi liczbowe (a_n) i (b_n),
ciąg (a_n) nieujemny -- możemy łatwo zdefiniować (c_n) jako ciąg
potęg:
c_n = {a_n} ^ {b_n}
Jeśli dwa pierwsze ciągi są zbieżne odpowiednio do A > 0 oraz B,
to ciąg potęg ma granicę A^B.
Jeśli ciąg (a_n) jest zbieżny do jedności zaś (b_n) rozbieżny
do nieskończoności, to o zbieżności ciągu (c_n) możemy powiedzieć
że jest typu 1^\infinity. Niestety, powyższe założenia dotyczące
(a_n) i (b_n) nie definiują wartości granicy ciągu c, a nawet jej
istnienia.
Jeśli np. weźmiemy ciąg stały a_n=1 oraz b_n=n, to mamy (c_n):
1^1, 1^2, 1^3, 1^4, ...
czyli
1, 1, 1, 1, ...
ciąg stały, o granicy 1.
Jeśli weźmiemy ciąg a_n=1+1/n oraz b_n=n, to uzyskamy (c_n) zbieżny
do liczby Nepera (zw. też liczbą Eulera), oznaczanej przez e podstawy
logarytmu naturalnego.
Uogólniając powyższe dwa przykłady weźmy a_n = 1 + k/n dla dowolnie
obranej stałej k, i oczywiście b_n = n, a otrzymamy (c_n) zbieżny
do liczby exp(k) = e^k.
Tak więc granica typu 1^nieskończoność może być dowolna dodatnia.
Może również być niewłaściwa: niech (a_n) będzie jak w drugim
przykładzie a_n = 1 + 1/n, ale ciąg b_n = n^n. Dostaniemy
c_n = (1+1/n)^{n^n} = { (1+1/n)^n }^n
Wartości w ostatnim nawiasie klamrowym zbiegają do e, zatem
kolejne wyrazy ciągu (c_n) są doraz bliższe kolejnym
potęgom e^n. Ciąg (c_n) jest więc rozbieżny do nieskończoności.
Ale granica taka może też wcale nie istnieć! Weźmy jak powyżej
a_n = 1 + 1/n, ale ciąg (b_n) niech przyjmuje wartości
b_n = n dla n parzystych
b_n = 2n dla n nieparzystych
Wówczas wyrazy ciągu (c_n) dla n parzystych będą zbieżne do e
zaś wyrazy (c_n) o indeksach nieparzystych -- do e^2. Ciąg
(c_n) nie ma więc granicy, ani właściwej ani nawet niewłaściwej.
Maciek
Maciej Woźniak
Użytkownik <jan.str...@gmail.com> napisał w wiadomości
news:dd3853f4-5ab4-48c9...@t13g2000yqc.googlegroups.com...
Kwestia, czy wynosi, czy nie, zależy od przyjętych
aksjomatów; w najczęściej przyjmowanym systemie
to nieprawda. Na logikę to jak najbardziej możliwe
(nie jest to sprzeczne z aksjomatami logiki).
Natomiast to, że jest to udowodnione obliczeniami
to jest zapewne prawda. W każdym razie z doświadczenia
wiem, że fizycy nie takie rzeczy potrafią udowodnić
obliczeniami.
Robakks
news:gmonss$ntl$1...@inews.gazeta.pl...
> <jan.str...@gmail.com>
> news:dd3853f4-5ab4-48c9...@t13g2000yqc.googlegroups.com...
komentarz:
Czy da się udowodnić obliczeniami powyższe?
Oczywiście.
Do tego konieczny jest jednak nowy aksjomat:
"liczba 1 to taka liczba, która jest różna od 1"
wyposażony w taki aksjomat znawca "matematyki nowomowy"
potrafi wykazać, że dla JEDEN, które jest różne od JEDEN można utworzyć funkcję, która dążąc do granicy której nie
osiąga tworzy szereg którego suma
dąży do dowolnej granicy - tu 4.
A więc fizyczna ścisłość 1=1
zostaje zastąpiona "matematyczną" abstrakcją
1=/=1
i tożsamość Arystotelesowską A=A diabli biorą. :-)
Fizyk ma rację, że kpi z takiej do niczego nie przydatnej "matematyki"
sprzecznej z logiką elementarną i ścisłością. :-)
Robakks
*°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸