Cantors diagonalteorem.
Torgny Tholerus
"Vi tänker oss att vi listar HELA den oändliga raden av oändliga serier av nollor och ettor. De motsvarar alla ett oändligt litet unikt segment på linjen. Vi kan lista ALLA möjliga kombinationer av ettor och nollor som i figuren."
Vad menar du med ordet "hela" i första meningen? Hur definierar du "hela"? Och vad menar du med "alla möjliga kombinationer" i den tredje meningen? Hur definierar du ordet "alla" här?
Om du försöker definiera ordet "alla", så kommer du att finna att du alltid hamnar i otillåtna cirkeldefinitioner. (Cirkeldefinitioner leder ju till att man kan härleda motsägelser.)
Och på sidan 157 skriver du:
"Det intressanta med den nya serie ettor och nollor som vi bildar genom att omkasta hela serien i diagonalen är att trots att den unikt motsvarar en punkt (eller snarare ett oändligt litet segment) på linjen så finns denna serie inte med i den oändliga listan av ALLA möjliga serier, eftersom den skiljer sig på åtminstone ett ställe från alla serier i listan."
Samma sak här, vad menar du med "alla möjliga serier"? Hur definierar du "alla" här?
När du genom diagonaliseringen skapar en NY serie, så är det riktigt att denna serie inte finns med i den gamla uppräkningen. Men inget hindrar ju att man då lägger till den nya serie i uppräkningen. Och då finns ju den nya serien med i uppräkningen.
Man kan sedan göra en ny diagonalisering, och då få fram ytterligare en NY serie, som inte finns med i den nya uppräkningen. Men även denna nya serie kan man lägga till i slutet på uppräkningen, och den finns då med i uppräkningen.
Och på detta sätt kan man skapa nya serier som man lägger till hur många gånger man vill (och orkar). Detta bevisar att man kan räkna upp alla dessa oändliga serier.
Hur vill du definiera ordet "alla"?
Lempa
cirkeldefintioner vill jag citera ett avsnitt ur boken av "Teorin om
ingenting" av Russell Standish (som jag översatt till svenska).
"För en del är en kausal loop ett tecken på en ödesdigert svag länk i
en teori. I lexikon ges till exempel defintioner som är beroende av
andra definitioner som i sin tur beror på originaldefinitionen, så
kallade cirkeldefinitioner. Man rynkar på näsan åt sådant inom
matematisk och logisk teori - teorem ska kunna härledas från en
begränsad mängd påståenden, axiom, som antas sanna a priori. Likväl
gör inte cirkeldefinitioner lexikon oanvändbara för att ta reda på
vad ett ord betyder. Ett engelskt lexikon innehåller förmodligen
tillräckligt mycket information för att någon skulle kunna lära sig
det engelska språket (under förutsättning att denne någon ansträngde
sig tillräckligt mycket) utan att på förhand veta vad ett enda
engelskt ord betydde. Att spädbarn kan skaffa sig språkkunskaper utan
att ha några från start visar åtminstone på möjligheten."
Om förhållandet mellan det räknebara och ALLT vill jag delge ett
appendix till min bok "Mångfaldens mönster".
Appendix C
Det enklast observerbara i verkligheten är enligt kvantfysiken
någonting som är så komplicerat att det innehåller både kontinuerliga
och diskreta aspekter. En kvantbit är varje observerbar enhet med
exakt två mätbara värden, men likt alla kvantsystem med en
kontinuerlig räcka fysiska tillstånd det befinner sig i föränderligt
över tiden. Men paret av värden som kan mätas behålls intakt och hela
systemet (som i sin tur bara är en aspekt av t ex en
elementarpartikel) är den fysiska motsvarigheten till abstraktionen
bit.
För att göra beräkningar i en kvantdator sätts apparaturen så att
kvantberäkningarna är kausalt autonoma och varje rörelse bestäms
enbart av rörelsen hos varje kvantbit i nätverket och inte av de
större fysiska systemen som omger dem. Mellan varje beräkningssteg, då
beräkningstillståndet fullständigt kan beskrivas av de observerbara
värdena, förändras beräkningstillståndet kontinuerligt, men vi kan
abstrahera bort detta eftersom beräkningsstegens sekvens även den är
kausalt autonom. En avskild mängd kvantbitar som rör sig
(kontinuerligt) under ett sådant steg kan sägas ha passerat en logisk
kvantport. En kvantdator är ett nätverk av sådana portar. Sådana
nätverk kan stå modell för alla beräkningar och simulera (i princip
exakt) varje beteende hos varje annat fysiskt system. Naturen byggs
upp av interagerande kvantbitar (en slags dator utan output!)
Svårigheten att bygga en kvantdator består i att isolera några av
dessa och sparka igång en reaktion genom att rikta rätt sorts
ljusstråle mot dem. I teorin fungerar vilket sådant nätverk som helst
som en generell modell.
Jämför här med den gamla klassiska informationsteorins universella
Turingmodell. Skillnaden är att naturen faktiskt byggs upp av
kvantbitar medan Turingmodellen bara existerar på pappret.
En naturlags verkan är ett program som körs i naturens egen
kvantdator. Att studera fysik är att studera sådana körningar. Det är
vårt hittills bästa sätt att precist tala om den fysiska verkligheten,
men vi vet också att vi ändå tvingats utelämna delar av en fullständig
beskrivning.
Vore naturlagarna bara mjukvaran till en kvantdator skulle vi inte
kunna studera dess hårdvara. Vi står inför ett filosofiskt,
metodologiskt problem. Dessutom måste vi fråga oss varför denna
hårdvara av ett okänt slag bara skulle utföra de operationer som vi
funnit beräkningsbara, d v s följer naturlagarna.
Lagbundenhet går överhuvudtaget inte att beskriva utan en definition
av beräkningsbarhet, som vi har skaffat oss genom att studera
naturlagar. Beskrivningarna kompletterar varandra och är därmed helt
oberoende av en yttre fysisk verklighet. Vi kan lika gärna glömma
hårdvaran!
I en fullständig beskrivning av verkligheten är beskrivningen av de
program som kan köras i en kvantdator bara ett specialfall (ett
gränsfall där alla tekniska praktikaliteter ignoreras) av en mer
omfattande beskrivning av vilka fysiska objekt som kan konstrueras med
verkliga resurser, som energi, rum och tid. Ingen dator fungerar utan
energiförlust och ingen kommunikation utan begränsningar i rum och
tid.
En allmän kvantkonstruktionsteori innefattar därför både
kvantgravitationsteorin och termodynamiken vid sidan av
kvantinformationsteorin (vilket informationsprocessande är möjligt).
En generell kvantkonstruktör kan bygga allt som är möjligt att bygga;
t ex en generell kvantdator som kan simulera allt som är möjligt att
hända. Kvantkonstruktionsteorin blir för fysiken vad metamatematiken
är för matematiken. Teorin beskriver vad som kan hända och vad som kan
byggas som utför händelserna.
Om det visar sig att människan redan är en generell kvantkonstruktör
så får detta enorma konsekvenser för filosofi och kosmologi.
Torgny Tholerus
> Jag vill inte ge mig in på en defintionsexercis
vanlig definition på ordet "alla":
Innebörden av att man har en mängd av objekt som omfattar ALLA objekt
med en viss egenskap är, att om man senare konstruerar ett nytt objekt
med denna egenskap, så ingår detta nya objekt i den ursprungliga mängden.
Detta verkar väl vara en rimlig definition på ordet "alla"?
Vilka konsekvenser har då denna konventionella definition?
Antag att vi har mängden av ALLA mängder som inte innehåller sej själv.
Frågan är då: Innehåller denna mängd sej själv?
Antag först att mängden inte innehåller sej själv. Det innebär att
mängden har egenskapen att inte innehålla sej själv. Enligt defitionen
ovan på ALLA, så ingår alltså denna mängd i mängden av ALLA mängder som
inte innehåller sej själv. Man har då fått en motsägelse. Alltså har
man bevisat att mängden innehåller sej själv.
Men om mängden innehåller sej själv, så betyder det att mängden har
egenskapen att inte innehålla sej själv. Det betyder då att mängden
inte innehåller sej själv. Och man har då fått en ny motsägelse.
På detta sätt är det bevisat att den ovan givna definitionen på ALLA är
falsk, eftersom den definitionen leder till en motsägelse.
Denna slutledning leder alltså till att man har bevisat följande påstående:
Om man konstruerar ett nytt objekt med en viss egenskap, så kan man inte
därifrån dra slutsatsen att det nya objektet ingår i mängden av ALLA
objekt med denna egenskap. Det finns alltså objekt med en viss
egenskap, som inte ingår i mängden av ALLA objekt med denna egenskap.