Matematiska metoder för den diskreta rum-tiden.
Torgny Tholerus
då duger det inte att använda den kontinuerliga matematiken, för det
kommer då bara att bli en approximation av verkligheten. Det behövs
alltså utvecklas en speciell kalkyl för en diskret matematik.
Tex en skillnad mellan kontinuerlig och diskret matematik är regeln för
hur man deriverar en produkt av två funktioner. I den kontinuerliga
matematiken lyder regeln:
D(f*g) = f*D(g) + D(f)*g.
Men i den diskreta matematiken lyder motsvarande regel:
D(f*g) = f*D(g) + D(f)*g + D(f)*D(g).
I diskret matematik har man differensekvationer av typen: x(n+2) =
x(n+1) + x(1), x(0) = 0, x(1) = 1, vilket då ger talföljden
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... osv. Mera generellt har man då för en
generell differensekvation:
Summa(a(i)*x(n+i)) = 0, plus ett antal begynnesevillkor.
Ifall man då inför stegoperatorn S med effekten: S(x(n)) = x(n+1), då
kan man uttrycka differensekvationen som:
Summa((a(i)*S^i)(x(n)) = 0.
Man får då ett polynom i S. Ifall rötterna (egenvärdena) till detta
polynom är e(i), så får man alltså:
Summa(a(i)*S^i) = Produkt(S - e(i)) = 0.
Detta ger ekvationerna S - e(i) = 0, eller mera fullständigt: (S -
e(i))(x(n)) = S(x(n)) - e(i)*x(n) = x(n+1) - e(i)*x(n) = 0, som ju har
lösningarna x(n) = x(0)*e(i)^n.
Den generella lösningen till denna differensekvation blir då en linjär
kombination av dessa lösningar, dvs:
x(n) = Summa(k(i)*e(i)^n), där k(i) är godtyckliga konstanter.
För att få fram heltalslösningarna kan man då ta fram egenfunktionerna:
x(j,n) = Summa(k(i,j)*e(i)^n) = delta(j,n) för n-värden mindre än graden
på den ursprungliga differensekvationen.
Med S-operatorn är det mycket lätt att sedan definiera differens- eller
derivationsoperatorn D som:
D = S-1, dvs D(x(n)) = x(n+1) - x(n).
Som funktionskalkyl kan man utgå från en värdemängd bestående av talen
0,1,2,3, ... ,N-1, där N är ett mycket stort tal, men inte alltfö
stort. N bör vara ett tal av storleksordningen en googol, dvs 10^100.
Ty storleken på vårt universum är 10^60 planckenheter, och vårt
universum har existerat i 10^60 plancktider. Som artimetik kan man då
räkna modulo N, dvs (N-1) + 1 = 0. Detta gör då att kalkylen då kommer
att ha möjlighet att beskriva vår verklighet.
En funktion kan då representeras som en ordnad mängd av N tal, dvs:
f = [f(0), f(1), f(2), f(3), ... , f(N-1)].
Detta innebär då att S(f) blir:
S(f) = [f(1), f(2), f(3), ... , f(N-1), f(0)].
Summan eller produkten av två funktioner får man genom att addera eller
multiplicera varje element för sej, dvs:
f*g = [f(0)*g(0), f(1)*g(1), f(2)*g(2), ... , f(N-1)*g(N-1)].
och att applicera en funktion f på en funktion g blir då:
f(g) = [f(g(0)), f(g(1)), f(g(2)), ... , f(g(N-1))].
Övningsuppgift: Visa att den ovan angivna deriveringsregeln för en
produkt av två funktioner i den diskreta matematiken är korrekt!
--
Torgny