对 称 性 与 物 理 学

[吴天准]

1 引言

对称最初是一个几何概念。对称图形通常指轴对称图形和中心对称图形，特指关于竖直轴对称图形，既“左右对称”。平面轴对称可以通过两次正交的而
维空间反射操作实现。在本文中将和大家探讨对称性在物理实际问题中的运用；对称性与守恒定律。同时向大家讲述对称性和对称破缺在物理学发展中的作用及其
所展示出的巨大魅力。



2 物理学中的对称行性

在物理学中对称性也具有非常重要的意义和地位。许多问题可以通过对称性而大大的简化。如均匀刚体的质心位置，常常可以根据刚体的对称性确定：电磁学中的
高斯定理，就是根据带电体及电场的对称性来求出电场强度的；一个每条棱边都由一个电阻R构成的立方体，要求其对角线上的电阻，可以设电流I流入此立方
体，而根据对称性很容易确定流出各电阻的电流，再利用安培定律就可以求出等效电阻。

除了这些简单、直观的对称性应用外，对称性的概念还具有更深刻的意义。我们可以把系统从一种状态变化到另一种状态称为一种变换。若一个系统通过
一种变换，其前后状态相同或者等价，则称该系统对此变化具有对称性。这里系统可以是某一具体的物体、物理量或物理定律。因而对称性就是某一物体、物理量
或物理定律在某种变换下的不变性。

在物理学中最基本的对称性有：

（I） 空间和时间平移对称。在均匀、无限大的三维空间中，沿任意方向移动任意距离，在空间也是一样的，具有平移对称；在一无任何标记的无限大平
面上，沿平面任意平移也具有对称性，若此平面上布满方格，则只有沿方格边移动边长的整数倍才有对称性。

（II） 旋转对称性。一个球体，无论怎么转动，看上去都一样，具有球对称性；一朵有5个花瓣的花，绕中心轴转过2π/5角，看上去也毫无变化，因而具
有2π/5角的旋转对称性；在各向同性的空间中，绕任意轴或任意点旋转任意角度，空间也是等价的，具有旋转对称性。

（III） 镜像反演对称。人及物体的左右对称，就是以中轴面为镜像的镜像对称；一个正三角形以中垂线为对称也是镜像对称的。

（IV） 物理定律的对称性。物理定律的对称性就是指物理定律经某种变换以后形式不变。在任何地方，任何时间，运动的物理都遵从相同的物理定律，因
而物理定律具有空间平移对称性和时间平移对称性；无论朝着哪个方位，物体的运动都遵从相同的物理定律，因而物理定律具有空间旋转对称性；物体与其镜像的
运动都遵从相同的定律，说明物理定律具有镜像对称性；在时间反演下（t →-t）力f、加速度a、质量m都不变，因而牛顿定律f=ma具有时间反演对称
性；经典力学在伽利略变换下不变，有对称性；电磁场麦克斯韦方程组则具有洛仑兹变换的对称性。

这些对称性都可以用一种否定的形式来表述：人们无法通过物理实验来确定空间和时间的绝对位置；无法确定空间的绝对方向，也不可能确定绝对的左和右；在参
考系内作物理实验也无法确定参考系中的绝对速度，因而若存在某种对称性，也必定存在某种不可观测的
量。



3 守恒定律与对称性

对称性制约作用量的形式，然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性，而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式。尽
管作用量可能具有的形式已经大大受到限制，但他们仍然可以具有许许多多种可能的形式，物理学家们不得不采用试探性的方法，根据物理上的可能性依次考察每
一个作用量的候选者，这种试探性的方法艰巨而繁难，而且很难说是有成效的。

1916年，德国数学家Emmy Noether 提出了著名的Noether定理：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒
量。反之每一守恒定律也都揭示了蕴含其中的一中对称性。

事实上物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理定律。继而使遵循物理定律的物质体系的运动受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持某
一物理量为恒量，于是物理定律的一种对称性导致一种守恒定律。

在经典力学中，我们所熟悉的这种对应关系是；时间平移对称性（时间平移不变性）对应于能量守恒；空间旋转对称性（空间各向同性）对应于角动量守恒。我们
可以用浅显的例子加以说明。先看时间平移对称性和能量守恒。时间平移对称性要求物理定律不随时间变化，即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的。如
果物理定律随时间变化，例如重力法则随时间变化，那还想利用重力随时间的可变性，就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少；在重力变强
时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量，这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的，这就清楚地
说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。再看空间平移对称性与动量守恒。考虑两个质点组成的系统，它们的相互作用热能为U，U是这两个质点位置
r1、r2的函数，U（r1、r2 ），由于物理定律具有空间平移对称性，质点的绝对位置是一个不可观测量，质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对
位置，即U（r1－r2 ）。将质点1和质点2移动相同的小量，相互作用热能U不变，则相互作用力做功的总和为零。由于位移相同，因此相互作用力之和为
零，即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在一条直线上，这正是牛顿每三定律。而我们知道，在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互
为因果的。可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系。至于空间各向同性与角动量守恒，考虑两个质点组成的系统，固定质点1，将质点2以质点1为中心移动
一小段弧长S，如果相互作用力存在切向力分量，则相互作用热能改变为U=f切S。空是各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关，与两
者联线在空间的取向无关，所以移动操作不改变相互作用热能，从而U=0，于是相互用力切向分量f切 =0，或者说两质点的相互作用力沿两者的联线，这
与“角动量守恒”是等价的，从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的。

4 对称性对现代物理学发展所起的作用

二十世纪三十年代以后，由于加速器技术和探测技术的发展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变，实验物理学家相继发现了许多新粒子，这些粒子
中只有极少数的几个是理论上预言的，绝大多数的粒子是突出其来的，它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别，极大地丰富了人们对于粒子世界的认识，形
成了庞大的粒子物理领域。而对如此庞大的粒子家庭，亟须把它们整理出次序来。物理学家们分析实验资料，找出许多守恒量和守恒定律，这些为认识粒子世界的
对称性和探索其中的基本定律准备了条件。

到二十世纪中叶，粒子世界呈现出非常复杂的局面，粒子数目众多，而且实验上发现和确证的粒子还在不断地增加，粒子之间的相互作用有电磁作用、引
力作用、强作用、弱作用四种，它们的区别很大，电磁作用和引力作用是长程力，强作用和弱作用是短程力，它们的强度差别非常大，强作用最强，电磁作用次
之，弱作用更次，引力作用最弱，在粒子物理中引力作用可以不考虑。对于电磁作用，已经建立起量子电动力学，它是物理学中最成功的理论。在这个理论中，力
的传递者是电磁场，场的量子是光子，电磁作用是通过交换光子而传递的，光子的静质量为零，与电磁作用的长程性联系在一起。关于弱作用，在弱作用宇称不守
恒基础上发展了弱作用的中间玻色子理论，认为弱作用是交换中间玻色子W±而传递的，中间玻色子的质量很大，与电磁作用中的光子不同，它是与弱作用的短程
性联系在一起。

人们研究发现，这四种相互作用所遵从的守恒定律不同，强作用具有的守恒量最多，电磁作用次之，弱作用更次，这表明它们具有的对称性是不同的。对称性概念
似乎不是严格的，因此有人怀疑对称性概念是否普遍有效。1954年，杨振宁和米尔斯以一种并非象历史上的情况那样受到实验观察的启示，而是以统一的美学
原则为基础，提出各种作用都可以适用的新的对称性，称为阿贝尔群规范对称，它是一种精确的定域规范变换对称性。它要求存在一个场，称为规范场。对于电磁
作用，这一规范场就是电磁场，相应的量子（称为规范玻色子）就是无静质量的光子。规范场可以是多自由度的，对每个自由度有相应的规范场。这样，这种精确
对称性的存在就意味着存在许多组特性完全相同的、质量均为零的粒子。然而在现实世界里，除了电磁作用的光子之外，人们没有见到其他质量为零的规范玻色
子。因此，杨一米尔斯理论尽管很优美，但它似乎毫无用处。



1905年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是“论动体的电动力学”。论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速
不变原理，在此基础上导出洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的得要结论；不久，爱因斯坦又得出了质能关系。这些不同于牛顿力学的得要结论改变了人们
的时空观，统一了力学和电磁学，解决了许多重要的物理问题，并且还带给人类释放核能。这样的巨大的实用价值。这一系列的具体结论无疑是十分重要的，人们
常常仅仅是注重狭义相对论的这些具体结论，而忽略了爱因斯坦在思考问题和研究问题上对人类作出的巨大贡献，这就是他提示了物理规律上的一种新的对称性，
并且认识到对称性是制约物理规律的利器，从而把对称性推到物理基础研究的主角地位。

这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变。从内容上
说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼；然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力
的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约。爱因斯坦审查了电磁学的麦克斯韦方程组。它确实是洛伦兹不变性的；而牛顿定律不是洛伦兹不变性
的，它必须改造以符合洛伦兹不变性的要求，对它的改造则获得相对论的力学定律。

以后，爱因斯坦认识到狭义相对论还存在某些不足，它不过是必然发展过程的第一步，一方面狭义相对论否定了一个特别优越的参考第（绝对静止的惯性系），但
是它却肯定了一类特别优越的参考系，那就是惯性系，它比非惯性要更优越，其中的物理规律的形式特别简捷，这表明狭义相对论在运动的相对性上还不够彻底；
另一方面狭义相对论在整个物理学中排除了超距作用，而牛顿引力定律的表述是超距作用的。作为力学重要研究课题的引力问题还不能在狭义相对认论中予以处
理，因此需要发展一种把引力 问题纳入且能回答是否存在特别优越参考系的更为广泛的相对论。

爱因斯坦在建立狭义相对论中领悟了对称性的威力，他就去寻找一种新的对称性来发展他的广义相对论。他终于从伽利略时代已经知道一切物体的重力加速度均相
同的物理事实中凝炼出这一新的对称性。爱因斯坦设想一个观察者在密封的升降机里做实验，一种情形是升降机静止在地面（地球看作是惯 性系）上，其中存在
地球的引力场，任何物体的重力加速度均相等为g；另一种情形是升降机远离一切物体，即处于没有引力场的地方，相对于某个惯性系以加速度g上升，它是一具
非惯性系。在这两种情形下，观察者测得物体下落的加速度都是g，他观察到的力学现象都相同，他无法断定他所在的参考系究竟是引力场的惯性系，还是并无引
力的非惯性系。这表明引力场作用的效果可以等效地用加速参考系来描述，爱因斯坦把它称为等效原理。根据等效原理，非惯性系与引力场等价，非惯性系与惯性
系没有原则性的区别。它们都可以同样好地用来描述物体的运动，没有哪一个比另一个更优越，由此爱因斯坦把相对性原理进一步推广，一切参考系都是等价的，
物理定律应该具有广义的时空坐标变换的不变性，而洛伦兹不变性只是它的一个特例。爱因斯坦在等效原理和广义协变原理的基础上建立起广义相对论。

爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是二十世纪物理基础研究方法上的一大飞跃，他为物理学基础树立了一个光辉的典范。二十世纪以前，在力学方面从
古希腊时期开始，人们研究物体的运动、行星的运动、杠杆、滑轮，逐惭获得一些具体的结论，在同错误的斗争中获得的力学知识日益增多，经过漫长的历史发
展，到十七世纪八十年代才由牛顿总结出力学的基本定律；在电磁学方面，也是从古希腊时期开始，人们发现摩擦起电、磁石吸铁，以后研究静电感应、莱登瓶放
电、电流的磁效应等等，积累了许多关于电荷相互作用、电流产生磁、磁产生电方面的知识，经过漫长的历史发展，到十九世纪六十年代才由麦克斯韦总结出电磁
场的基本方程组。二十世纪以前的物理基础研究路线可以概括为从一些具体事物入手研究它们的具体规律，经过漫长的历史发展，积累到一定程度才由某个伟大的
物理学家，总结前人研究成果得到该领域的物理基本定律，这些物理基本定律的广泛应用更加丰富了人们的认识，也包括对物理基本定律的认识。爱因斯坦的研究
方法与此有着根本的不同，它不是从琐碎的具体问题入手，而是一开始就从研究物理定律应有的对称性入手，找出这些对称性来，然后根据对称性确定物理定律的
形式，这是二十世纪以来物理基础研究的路线。这一现代物理基础研究的路线充分体现了物理学中崇尚理性的威力，它不是从众多具体而琐碎的事物中一点一滴地
积累材料，然后再整理出事物的基本定律，而是一开始就从整体上寻找制约事物基本定律的普遍原则，从中得出事物的基本定律，这就大大地缩短了探索事物基本
定律的历程，物理基础研究的高速发展与此不无关系。



5 对称性的自发破缺

一个原先具有较高对称性的系统，在没有受到任何不对称因素的影响突然间对称性明显下降的现象称为对称性的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性的微扰
时，若这种小微扰会被不断的放大，最终就会出现明显的不对称，对称性的自发破缺就是这样产生的。或者用物理语言叙述为：控制参量l 跨越某临界值l0
时，系统原有对称性较高的状态失稳，新出现若干个等价的、对称性较低的稳定状态，系统将向其中之一过渡。时空、不同种类的粒子、不同种类的相互作用、整
个复杂纷纭的自然界，包括人类自身，都是对称性自发破缺的产物。对称性自发破缺对于认识自然的具有重要的意义。对称与对称破缺的概念并不难理解。困难在
于，二者在什么条件下就可以互相转化。有很多科学领域对这类问题都还没有找到正确的答案。

在天体演化的各种假说中，有一种假说认为，在宇宙的早期正物质和反物质是对称的，随着时间的推移和天体的演化，反物质大部分消失了，留下了今天以正物质
为主的物理世界。这是为什么呢？科学上尚不能确切回答。如果不从天体演化的角度，仅仅从现实出发，科学上也无法解释为什么我们面临的物理世界是正物质的
世界，而不是正反物质对称的世界。

1933年Dirac理论预言: 每种粒子都有自己的反粒子, 正反粒子完全对称，也许在遥远的地方存在“反物质世界(anti-world)”。按照
粒子物理学的分类，质子、中子以及它们的反粒子都属于重子，重子数B 是个守恒量。重子数 B 的定义是：每个重子的B =1, 每个反重子的B
=-1。于是，在重子对产生和湮灭的过程中，重子数总和保持为零。各种天文观测表明： 宇宙线中反质子与质子数量之比<10-4；无论在太阳系内、银河
系内、还是整个星系团的更大范围内，都未观察到湮没引起的强大g 射线。如果认为重子数守恒是一条在任何情况下都颠扑不破的定理，就只好认为，宇宙从它
诞生时刻起就存在现今那样多的不为零的重子数，即重子与反重子一开始就不对称。目前，对正、反重子不对称比较可能的解释是，早期极高温的宇宙中存在着违
反重子数守恒的过程。1960~70年代Weinberg-Salam-Glashow弱电统一理论SU(5)大统一理论预言: 早期宇宙温度为
1028~1032K, 重子数不守恒。唯一可能的B不守恒过程是质子衰变: ，其寿命 年。1983年前后, 印度、日本相继宣布观测到了质子的衰
变。1984年被美国 IMB协作组实验，在Ohio州Cleveland市Morton Thiokol盐矿废井中(地下600多米)进行。探测器的
中部 纯水，矩形体外面布置了2048只光电倍增管，以探测 的切连科夫辐射。经204天的连续实验，均未测到有关事件。据此推算 年。1995年的实
验结果是 年。置信度> 90%，否定了前面的结果。谜！ 反物质哪里去了？ 宇宙早期重子从哪里来？

在宇宙学大爆炸假说和粒子物理学大统一理论中认为，宇宙演化是一个从热到温再到冷的过程，在这个过程中，对称性逐步丧失。当大爆炸的最初瞬间，温度超过
1023K。存在着完全的对称性，夸克和轻子不可分，强、弱和电磁的相互作用是对称的和统一的，当温度降到1023—1015K时，对称性逐步破缺，强
相互作用分出来了，只剩下弱相互作用和电磁相互作用的对称性，即弱电统一。当宇宙的温度再进一步降低到目前的温度范围内，弱电统一也破缺了，宇宙从而就
丧失了大部分对称性，只留下正负电荷的对称性。宇宙为什么不断地丧失对称性而分化为四种相互作用呢？对称性破缺的机制和原因又是什么呢？这也是一个科学
之谜。

物理学上的四种相互作用也是不同的。在强相互作用、弱相互作用、电磁相互作用中，吸引和排斥都是对称的；但是，在引力相互作用中，对称性就破缺了。只
有“万有引力”却没有“万有斥力”。牛顿根据经验凑了一个万有引力的公式，后来人们又求出了引力常数，这个公式成了经典力学的基础之一。但是，对于为什
么不存在“万有斥力”却提不出任何解释，人们甚至都很少思考这一问题。

在基本粒子物理学中，对于对称和破缺的矛盾曾进行了深入地研究，揭示出基本粒子间的各种对称性。粒子物理学中的规范场论，是以规范变换群下的不变性（对
称性）为特征的，用对称性来说明基本粒子的物理现象。1954年，杨振宁与米尔斯(Mills)又将规范场思想推广，指出：物理学中的对称性有两种，①
整体对称性，这是指空间各点作协同变换下的不变性。②定域对称性，指空间各点作单独变换下的不变性。但是，对整体对称性向对称破缺转化，定域对称性向对
称破缺转化，究竟需要什么条件和是什么原因出现的还缺乏有力的说明。目前，科学家们多半还只是指出了某些物理定律的对称性不严格成立就会出现对称破缺，
并简单定性地说明，外部原因引起的对称破缺叫诱导破缺；内部原因引起的对称破缺叫自发破缺。这样简单的描述，也说明了一些问题，但并没有能指出对称破缺
的深刻本质。

现代物理学指出，所有的物质客体总能量最低的状态是物理学上的真空，这是完全对称的。物理真空不知道什么原因就出现对称性自发破缺，从而就会产生一定质
量的粒子，例如正电子等。由此看来，对称破缺是物理客体产生和演化的原因，那末，这究竟是为什么呢？目前，这个问题还没有人能回
答。

在热力学中，当一个系统处于平衡态时，其内部的原子、分子或其它粒子的排列是对称的，其对称元素是无限的，任何对称操作都是允许的。当系统远离平衡态
时，则出现对称性破缺，使系统向组织化、有序化和复杂化发展。从这个角度讲，耗散结构实际上就是一种出现对称性破缺的有序结构。为什么伴随着对称性破缺
才会出现有序结构呢？对这个问题的解释还是不能令人满意的。

另外，时间，在牛顿力学中是对称的，也就是说，时间反演不变，在热力学第二定律中，则通过熵增加的原理，揭示了时间的不对称性和不可逆性。所以说对称和
对称破缺与物理过程的可逆性与不可逆性有密切的联系，问题在于不能简单地指出这种联系，而应进一步去揭示这种联系的内在原因。

同时在化学、生物学、进化论中也遇到了很多对称性自发破缺困难。总之，从天体的演化、生命起源和基本粒子等科学领域来看，自然界的进化和发展则要伴随着
对称性的不断破缺来实现；相反，退化和退步则要出现对称的增加（对称元素和对称操作的增加）。原因和机制如何？这是现代科学的一大疑难。

6 结语

对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏生机。真正的美丽正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折，此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是
大自然创造出的美吗？对称性导致守恒，而对称性的自发破缺则产生变化，二者有机的结合才有了大自然的变化莫测和多资多彩。可以肯定，对称性及对称性的自
发破缺必将为人们揭示出更深层次的奥妙，展现出更加奇妙的世界。