Selected problems - 2010
Sergey Sobolev
Лето прошло при общей (прежде всего моей) неактивности.
Начинаем занятия осеннего семестра.
Новый приём в кружок: http://www.csmath.org/enroll
Страница кружка: http://www.csmath.org/mathcircle
Там есть pdf-файл с первым заданием "Избранные задачи - 2010".
Для начинающих: нужно зарегистрироваться и делать первое
задание "Избранные задачи" к 28 сентября (листок Alpha для
детей 10-12 лет, а листок Beta -- для тех, кто старше).
Для продолжающих: летнее задание "Задачи из книжки Арнольда" к
21 сентября или "Избранные задачи" листок Beta к 28 сентября
(можно и то, и другое -- в том объёме, в котором хочется).
"Избранные задачи" почти те же, что и год назад, тогда листок
Beta мало кто решал, а сейчас он соответствует возрасту.
Как и в прошлом учебном году, мы используем Google Docs (там
раскладываем задания в папки учеников). В январе 2009 года
разбор решений перешёл из списка рассылки в Google Docs и стал
индивидуальным (и скрытым, что имеет не только свои плюсы, но и
свои минусы). В октябре этого года из списка рассылки уйдут,
наверное, и сами задания -- всё можно найти на сайте и в Google
Docs. Ну а сейчас первое задание (листки Alpha и Beta) смотрите
ниже.
---------------------------------------------------------------
Листок Alpha
A1. Две тетради и карандаш стоят 12 тугриков, а одна тетрадь и
два карандаша -- 9 тугриков. Сколько стоят тетрадь и карандаш
вместе?
A2. У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще
не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих.
Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны
поделить их по справедливости?
A3. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый сыграл с
каждым по одной партии. Сколько партий они сыграли?
A4. Ане требуется 2 часа, чтобы покрасить комнату, а Бобу 3
часа. Сколько времени займет покраска, если они будут работать
вместе и независимо друг от друга?
A5. У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего.
Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему,
чтобы у них стало денег поровну?
A6. Припишите к числу 1000 три цифры справа так, чтобы
получившееся число делилось на 7, на 8 и на 9.
A7. Имеется куб с ребром 6 см, грани которого покрашены красным
цветом. Представим себе, что его разрезали на кубики с ребром 1
см. Сколько маленьких кубиков имеют: а) одну; б) две; в) три
красные грани? d) ни одной красной грани?
A8. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше
суммы всех нечетных чисел этой сотни?
A9. На столе лежало печенье. Сначала Вася съел половину печенья
и еще полпеченья. Потом Гриша съел половину печенья и ещё
полпеченья. Потом Боря съел половину печенья и ещё полпеченья.
Потом пришла Таня -- а печенье всё кончилось. Сколько печенья
было вначале?
A10. За два дня запас конфеток уменьшился на 51%, при этом
каждый день он уменьшался на одно и то же число процентов. На
какое?
A11. Велосипедист должен попасть в место назначения к
определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью
15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10
км/ч, то опоздает на 1 час. С какой скоростью должен ехать
велосипедист, чтобы приехать вовремя?
A12. Сколько потребовалось бы суток, чтобы написать подряд все
числа от 1 до 1 000 000, если на запись каждой цифры
расходовать 1 секунду и в сутки работать 8 часов?
---------------------------------------------------------------
Листок Beta
B1. Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из
них прибавить по 1. Можно ли, проделав это несколько раз,
сделать равными все числа?
B2. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли быть меньше 10
сумма квадратов этих чисел?
B3. Разложите на множители многочлен x^8+x^4+1 (на 2 или на 3
множителя).
B4. В последовательности 1, *, *, *, *, *, *, *, 7 сумма любых
трех соседних членов равна 15. Найдите второй член этой
последовательности.
B5. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты
различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных
весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
B6. В некоторой компании установлено дежурство на неделю,
причем каждый день дежурят трое и каждые двое дежурят вместе
ровно один раз. Сколько человек в этой компании? Сколько раз
должен дежурить каждый?
B7. В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом
подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором --
выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и
втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах
вместе?
B8. Радиус Земли первым вычислил Эратосфен Киренский в третьем
веке до Р.Х. Он знал, что в день летнего солнцестояния в
полдень в Сиене (ныне Асуан) солнце находится в зените и
предметы не отбрасывают тени, и измерил в такое же время дома,
в Александрии, насколько солнце отклоняется от зенита.
Оказалось, что примерно на 1/50 полного угла (в 360 градусов).
Эратосфен знал по наблюдениям за звездами, что Сиен находится
южнее и на одном меридиане с Александрией, а от купцов знал
расстояние между городами -- 5000 египетских стадий (примерно
800 км). Исходя из этих данных, вычислите радиус Земли.
B9. Сумма трёх чисел равна 12, причём первое не больше второго,
второе -- не больше третьего, а третье больше первого на 3.
Каким может быть второе число?
B10. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной
10 км. Можно ли соединить их между собой дорогами общей длиной
не более 28 км?
B11. В строке 20 целых чисел. Сумма любых трех последовательно
стоящих чисел положительна. Может ли сумма всех 20 чисел быть
отрицательна?
B12. Расположите на плоскости 7 точек так, чтобы среди любых
трех из них нашлись две на расстоянии 1.
---------------------------------------------------------------
С.Соболев