Geometry II - 6 Apr 2010
Sergey Sobolev
Задание по книге А.Шеня
Нужно читать стр. 30-53, решать задачи и внимательно и без
пропусков разбирать решения из книжки, в них много полезных
идей. Некоторые задачи существенно опираются на решённые в
книжке или на то, что там было объяснено. Делайте ссылки и
следите за логикой. Контрольные задачи -- к 6 апреля.
Контрольные задачи
1 [120]. Докажите, что сумма пяти углов у вершин пятиконечной
звезды одинакова для всех звёзд. Чему она равна?
2 [121]. Треугольник ABC -- равнобедренный (AB=BC). Отрезок AM
делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями AB и
MC. Найдите угол B.
3 [122]. Продолжения двух противоположных сторон AB и CD
четырёхугольника ABCD пересекаются под углом 20°, продолжения
двух других противоположных сторон AD и BC -- тоже. Докажите,
что два угла в четырёхугольнике равны, а два других отличаются
на 40°.
4 [125]. Докажите, что при любом способе разрезания диагоналями
выпуклого n-угольника на треугольники получается одно и то же
число треугольников.
5 [126]. Прямая пересекает стороны угла и его биссектрису,
образуя три угла. Докажите, что средний из этих углов равен
полусумме крайних.
6 [127]. Через данную точку проведите прямую, которая
пересекает две данные (не параллельные) прямые под равными
углами. (Построение с помощью циркуля и линейки.)
7 [149]. Докажите, что отрезок, соединяющий середины
противоположных сторон параллелограмма, проходит через его
центр.
8 [157]. Перпендикуляры, опущенные из точек A и B на прямую l,
равны. Докажите, что отрезок AB параллелен прямой l.
9 [165]. Дан прямой угол. Из произвольной точки X внутри этого
угла опускают перпендикуляры XP и XQ на его стороны. Нарисуйте,
где находятся точки X, для которых расстояние между точками P и
Q меньше 1.
10 [169]. Бумажная полоска имеет параллельные прямые края. Две
такие полоски одинаковой ширины наложены друг на друга.
Докажите, что в пересечении получается ромб. На какой угол
повернутся диагонали этого ромба, если одну из полосок
повернуть на угол alpha?
11 [170]. Два угла квадрата со стороной a выступают за пределы
полосы ширины a с параллельными краями. Стороны квадрата
пересекают края полосы в четырёх точках. Докажите, что
диагонали четырёхугольника, вершинами которого являются эти
точки, пересекаются под углом в 45°. (Используйте предыдущую
задачу.)
12 [175]. На сторонах равностороннего треугольника ABC по
часовой стрелке от вершин A, B и C отложены равные отрезки
AA_1, BB_1 и CC_1. Докажите, что треугольник A_1B_1C_1 тоже
равносторонний.
13 [176]. В прямоугольнике ABCD стороны AB и CD вдвое короче
сторон BC и AD. На стороне BC выбрана точка M, для которой угол
MAB равен 15°. Найти угол MDA.
14 [177]. Высота треугольника вдвое меньше стороны, на которую
она опущена, а один из углов, примыкающих к этой стороне, равен
75°. Найти углы треугольника.
15 [188]. Из вершин треугольника ABC проведены отрезки AK, BL и
CM, соединяющие их с некоторыми точками на противоположных
сторонах. Могут ли середины этих трёх отрезков лежать на одной
прямой? Подсказка: эти точки лежат на сторонах треугольника,
образованного средними линиями данного.
На сайте кружка
http://mathcircle.csmath.org
на странице задания есть pdf-файл для печати, а в Google Docs
задание будет разложено по папкам учеников в конце недели.