Algebra - 15 Dec 2009 and 19 Jan 2010
Sergey Sobolev
Задание по книге И.М.Гельфанда и А.Х.Шеня
Читайте параграфы с 1 по 33 и решайте подряд задачи (только
очень трудные можно отложить на будущее). В частности, нужно
решить все задачи на действия "в уме", все задачи
"с картинками" и нужно разобрать все задачи с решениями.
Часть задач из книги -- контрольные (ниже в квадратных скобках
указан номер по изданию 1998 г.). На сайте кружка
http://mathcircle.csmath.org
на странице задания есть pdf-файл для печати. Сроки присылки
решений: 15 декабря (промежуточный финиш) и 19 января (финиш).
Контрольные задачи
1 [10]. Какой остаток получится, если разделить число 1000...0
(20 нулей) на 7?
2 [21]. Умножьте записанные в двоичной системе числа 1101 и
1010 "в столбик". Проверьте результат, перейдя в десятичную
систему.
3 [22]. Разделите 11011 на 101 (двоичная запись) уголком.
Проверьте результат, перейдя в десятичную систему.
4 [23]. В десятичной системе дробь 1/3 записывается как
0,333... А как эта же дробь запишется в двоичной системе?
5 [40]. Что больше: 10001/10002 или 100001/100002 ?
Подсказка: на сколько обе дроби меньше 1?
6 [41]. Что больше: 12345/54321 или 12346/54322 ?
7 [44]. Что больше: пять процентов от семи миллионов или семь
процентов от пяти миллионов?
8 [49]. Сколько цифр в десятичной записи числа 2^20 ?
9 [57]. Найдите, чему равно n, если:
(i) 2^1001 * 2^n = 1/4;
(ii) 4^100 = 2^n;
(iii) (2^10)^15 = 2^n.
10 [57]. Что больше: 10^-3 или 2^-10 ?
11 [64]. Каждый из двух сомножителей увеличили на 10 процентов.
На сколько процентов увеличится их произведение?
12 [74]. Есть правило, позволяющее находить квадрат числа,
оканчивающегося на 5: отбросьте последнюю цифру 5, останется
число n, умножьте n на n+1 и к полученному числу допишите
справа 25. Обоснуйте это правило.
13 [76,77,79]. Вычислите:
(i) (a + b - c)^2;
(ii) (a + b + c)(a + b - c);
(iii) (a + b - c)(a - b + c).
14 [92]. Перемножьте:
(i) (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8);
(ii) (1 - x)(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8);
(iii) (1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^9 + x^10).
15 [92]. Возведите в квадрат: (1 + x + x^2 + x^3)^2.
16 [94]. В верном равенстве многочленов
(x^2 - 1)(x + ...) = (x - 1)(x + 3)(x + ...)
два числа стерли, заменив точками. Что это были за числа?
17 [112,120]. Разложите на множители:
(i) a^2 + 4ab + 4b^2;
(ii) a^2 + 2ab + b^2 - c^2;
(iii) a^2 + 4ab + Зb^2.
18 [124]. Разложите на множители:
(i) a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2);
(ii) (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3.
19 [132]. Бассейн разделен на две равные части, каждая из
которых наполняется своей трубой -- одна за a часов, другая за
b часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе
трубы, убрав перегородку?
20 [133]. Двигаясь по течению реки, катер проходит путь из A в
B за a часов, против течения (из B в A) -- за b часов. За
сколько часов он прошел бы путь из A в B, если бы течения не
было? Скорости катера и течения считайте постоянными.
21 [134]. Первую половину пути машина ехала со скоростью a,
вторую -- со скоростью b. Какова ее средняя скорость?
22 [135]. Известно, что x + 1/x = 7. Вычислите x^2 + 1/x^2 и
x^3 + 1/x^3.