Numbers and sums - 2 Feb 2010
Sergey Sobolev
Это первое задание по одноимённой книге московских математиков,
её можно найти у А.Л.Городенцева
http://wwwth.itep.ru/~gorod/#scho
а pdf-файл -- в нашей библиотеке:
http://mathcircle.csmath.org/library
Читайте страницы 2-7 книжки и решайте задачи. Несколько задач
более сложные, их можно отложить на будущее. Тем, у кого
какие-то из этих задач решены в прошлом году на кружке или в
Летней школе, нужно отметить зачтённые задачи и решать все
оставшиеся. Срок сдачи решений - 2 февраля.
На сайте кружка
http://mathcircle.csmath.org
на странице задания есть pdf-файл (для печати) со страницами
2-7 книжки. Кроме того, задание есть в Google Docs, там
(аккаунт указан в Contacts на сайте) для каждого ученика
имеется папка, и в эти папки сегодня будет разложено это
задание. Папка доступна, если зайти в своём аккаунте в Google
Docs.
В Google Docs пишите своё решение после условия задачи
(рекомендуем тёмно-синий цвет) и вставляйте, где нужно, свои
рисунки.
Пожалуйста, отмечайте неточности, опечатки и т.п.
Далее приложен извлечённый из задания список задач (без
рисунков).
Задачи
1.1. Докажите формулу a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
разрезанием и складыванием. Можно ли при этом обойтись ровно
одним разрезом?
1.2. Придумайте геометрическое доказательство формулы
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
1.3. Придумайте картинку, дающую формулу для (a+b+c)^2, и
напишите эту формулу.
1.4. Найдите формулу для (а_1 + а_2 + ... + а_n)^2.
2.1. Дайте геометрическое доказательство переместительному
закону умножения: ab = ba, т.е. объясните, почему выполняется
равенство
a + a +...+ a (b слагаемых) = b + b +...+ b (a слагаемых)
2.2. Сколько существует различных прямоугольников, состоящих
ровно из 12 клеточек? Какие из них не попали в таблицу
умножения на рис. 2.1?
2.3. Найдите такое наименьшее число n, что существует ровно
пять различных прямоугольников, состоящих ровно из n клеточек.
2.4. Выпишите первые 13 квадратов целых чисел и найдите среди
них квадраты, являющиеся суммами двух других квадратов.
2.5. Найдите первые 10 треугольных чисел.
2.6. Что за числа будут получаться при сложении пар
последовательных треугольных чисел:
T_1 + T_2, T_2 + T_3, T_3 + T_4, ... ?
Сформулируйте соответствующую теорему и докажите ее
геометрически.
2.7. Сложите прямоугольник из двух одинаковых ступенчатых
треугольников T_n. Каковы его стороны? Получите отсюда явную
формулу для T_n.
2.8. На рис. 2.4 изображен ряд СИММЕТРИЧНЫХ ступенчатых
треугольников. Сколько клеточек в каждой такой фигуре? Каким
рядом чисел выражаются их площади? Как это объяснить
геометрически?
2.9. Как разрезать уголок на рис. 2.5 на четыре равные части?
2.10. Как разрезать прямоугольник 9x16 на две части, из которых
можно сложить квадрат?
2.11. Докажите теорему Диофанта: 8T_n + 1 = (2n + 1)^2,
показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной
на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.
2.12. Докажите теорему сложения треугольных чисел
T_{m+n} = T_m + T_n + mn
Выясните, что получится, если от ступенчатого треугольника со
стороной m+n отрезать треугольник со стороной m и треугольник
со стороной n.
3.1. Посмотрим, что получится, если разрезать СИММЕТРИЧНЫЙ
ступенчатый треугольник высоты n на "этажи" (см. задачу 2.8 и
рис. 3.3). Сколько клеточек в k-ом сверху этаже? А в самом
нижнем этаже? Напишите соответствующую сумму, т.е. представьте
площадь фигуры на рис. 3.3 в виде суммы n слагаемых.
3.2. В задаче 2.8 и задаче 3.1 мы двумя способами посчитали
площадь симметричного ступенчатого треугольника. Какую формулу
для суммирования мы при этом получили? Выпишите ее явно.
3.3. Предложите СТУПЕНЧАТУЮ КАРТИНКУ для вычисления суммы
последовательных (через одно) нечетных чисел
1 + 5 + 9 + 13 + ... (n слагаемых)
и напишите соответствующую формулу.
3.4. Рассмотрим ряд РАВНОСТОРОННИХ гномонов. Сколько клеточек в
k-том из них? Пользуясь рис. 3.4, еще раз докажите формулу
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n^2
3.5. Какая сумма соответствует показанному на рис. 3.5 способу
разрезания ступенчатого треугольника, гипотенуза которого
состоит из нечетного числа n = 2k + 1 клеток?
3.6. Из скольких клеток состоит РАМКА размера n на рис. 3.6?
Какая сумма получится при разрезании квадрата со стороной n на
такие рамки? Обратите внимание на то, что n бывает четным и
нечетным!
3.7. Придумайте различные варианты разрезания прямоугольников и
квадратов на прямоугольные РАМКИ (рис. 3.6) или ВОРОТА
(рис. 3.7) и напишите формулы для соответствующих сумм.
3.8. Найдите площадь Пифагоровой таблицы умножения чисел от 1
до n (см. рис. 2.1). Что за тождество получится, если разрезать
эту таблицу по жирным линиям на ТОЛСТЫЕ уголки? (Советуем
сначала подсчитать площадь k-того уголка.)