Method of Coordinates II (ru)

9 views

Skip to first unread message

Sergey Sobolev

unread,

Nov 11, 2010, 3:27:48 AM11/11/10

to CSMath

Метод координат II

1. Нарисуйте точки A(4,3), B(1,7), C(-3,4) и D(0,0). Если Вы
правильно нарисовали, то у Вас получились вершины квадрата.
Какова длина стороны этого квадрата? Какова его площадь?
Найдите координаты середин сторон квадрата. Как можно доказать,
что ABCD -- квадрат?

2. На плоскости даны точки A(0,0), B(3,1) и D(-1,2). Какие
координаты должна иметь точка C, чтобы четырёхугольник ABCD был
параллелограммом?

3. Выясните, какие множества точек определяются соотношениями:
(a) |x|=|y|;
(b) x/|x|=y/|y|;
(c) |x|+x=|y|+y;
(d) |x|+|y|=1;
(e) |x|-|y|=1;
(f) |x+y|+|x-y|=2;
(g) x^2-y^2\ge 0;
(h) xy\ge 1.

4. Точки A(x_1,y_1) и B(x_2,y_2) являются смежными вершинами
параллелограмма ABCD с центром симметрии в точке O(0,0). Какие
координаты у точек C и D?

5. На плоскости даны точки A(0,0), B(x_1,y_1) и D(x_2,y_2).
Какие координаты должна иметь точка C, чтобы четырёхугольник
ABCD был параллелограммом?

6. Примените формулу расстояния между точками для
доказательства известной теоремы: в параллелограмме сумма
квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
[Подсказка: см. задачу 4 или задачу 5.]

7. Докажите с помощью метода координат следующую теорему: если
ABCD -- прямоугольник, то для любой точки M справедливо
равенство AM^2+CM^2=BM^2+DM^2. Как удобнее расположить оси
координат?

8. Какое множество точек задаёт соотношение
x^2+y^2\le 6x+8y?

9. Найдите геометрическое место точек M, разность квадратов
расстояний которых до двух данных точек A и B равна данной
величине c.

10. Найдите геометрическое место точек M, сумма квадратов
расстояний которых до вершин данного квадрата равна данной
величине c. При каких c задача имеет решение?