Combinatorics II - 27 Apr 2010
Sergey Sobolev
Номера: "хотя бы раз встречается"
На сайте кружка
http://mathcircle.csmath.org
на странице задания есть pdf-файл для печати, а в Google Docs
задание разложено в папки учеников. Задачи задания
(в переформулировке) важны для понимания основ теории
вероятностей. Срок сдачи решений на проверку -- 27 апреля.
---------------------------------------------------------------
Номера, в отличие от чисел, могут начинаться с нуля. Например,
трёхзначных номеров 10^3=1000, они упорядочены по возрастанию:
000, 001, 002, ..., 998, 999.
Все 100 двузначных номеров образуют квадратную таблицу 10x10:
номер ab находится в строке с номером a и в столбце с номером b
(a и b принимают значения от 0 до 9). Поясните с помощью этой
таблицы решения задач 1 и 2 про двузначные номера (покажите,
где в таблице находятся соответствующие номера).
При решении задачи 4 рассмотрение двузначных номеров вместо
трёхзначных может помочь найти ответ. Но ответ (для трёхзначных
номеров или в общем случае), если он не виден из картинки,
требует обоснования, и тут следите за логикой.
1. Сколько двузначных номеров, в которых
а) нет цифры 9;
б) цифра 9 встречается хотя бы раз?
Те же вопросы для трёхзначных номеров.
2. Сколько двузначных номеров, в которых
а) все цифры четные;
б) встречается хотя бы одна нечетная цифра?
То же для трёхзначных номеров.
3. Сколько трехзначных номеров, в которых
а) все цифры различны;
б) есть одинаковые цифры?
4. Сколько трёхзначных номеров, в которых
а) не встречаются цифры 8 и 9;
б) встречается цифра 8 или цифра 9;
в) не встречается цифра 9, но встречается цифра 8;
г) встречается и цифра 8, и цифра 9?
Те же вопросы для семизначных (телефонных) номеров и в общем
случае для n-значных номеров.
5. При каком наименьшем n среди n-значных номеров больше тех, в
записи которых хотя бы раз встречается цифра 9?