Geometry - 12 Jan 2010
Sergey Sobolev
Задание по книге А.Шеня
Это задание -- для начинающих изучать геометрию. Нужно читать
страницы 1-30 книжки Александра Шеня, решать задачи и разбирать
решения в книжке, в них очень много полезных идей. Контрольные
задачи -- к 12 января.
Контрольные задачи
1 [11]. Точки C, D и E делят отрезок AB в отношении 1:2, 1:3 и
1:4 соответственно. В каком отношении точка D делит отрезок CE?
2 [33]. Прямой угол разделён на два. Найдите угол между
биссектрисами получившихся углов.
3 [36]. Пчелиные соты состоят из примыкающих друг к другу
одинаковых шестиугольников, в которых все углы равны. Чему
равны эти углы?
4 [47]. Внутри треугольника ABC взята точка D. Докажите, что
AD+DC < AB+BC.
5 [56]. Как разрезать символ инь-янь (см. фигуру на рисунке в
книжке) на 7 равных частей?
Если Вы догадались, как это сделать, то легко разрежете и на
любоe число равных частей (подсказка также содержится в задаче
55).
6 [58]. Квадрат можно разрезать на две равные части многими
способами, например, по диагонали и по линии, соединяющей
середины противоположных сторон. Придумайте еще несколько
способов, в том числе с кривой линией разреза.
7 [77]. В выпуклом четырёхугольнике ABCD две пары сторон равны:
AB=BC, AD=DC. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
8 [78]. Докажите, что в равнобедренном тpeyгольнике медианы,
проведённые к его боковым сторонам, равны.
9 [86]. На большом поле есть узкая прямая канава длиной 500
метров. Турист стоит на берегу канавы на расстоянии 200 метров
от её конца (и 300 метров от другого конца). Нарисуйте часть
поля, в которую он может попасть, пройдя не более 400 метров и
не переходя канавы.
10 [88]. Докажите, что расстояние между двумя точками внутри
круга не больше диаметра круга.
11 [98]. Дана точка A, не лежащая на прямой l. Проведите через
A прямую, перпендикулярную l (построение с помощью циркуля и
линейки).
На сайте кружка
http://mathcircle.csmath.org
на странице задания есть pdf-файл для печати.