Algebra II - 11 and 18 Jan 2011
Sergey Sobolev
Это второе задание по книге И.М.Гельфанда и А.Х.Шеня "Алгебра".
Вернитесь к параграфу "Разложение на множители" и читайте,
решая задачи, до параграфа "Возвратные уравнения".
Возьмите pdf-файл с контрольными задачами на сайте
http://www.csmath.org
Там в квадратных скобках указан номер задачи по английскому
изданию и по второму русскому изданию 2009 г. соответственно,
разница только в нумерации задач. При решении задачи учитывайте
её место в книжке -- то, чему учат авторы.
Сроки сдачи решений:
11 января (промежуточный финиш) и 18 января (финиш).
Контрольные задачи
1. Разложите на множители x^4+1.
2. Разложите на множители a^3+b^3+c^3-3abc.
3. Докажите, что если a,b>1, то a+b<1+ab.
4. Разложите на множители многочлены:
(а) x^4+3x^2+5x+1; (б) x^3-3x-2.
5. При делении на x^2-1 многочлен P даёт остаток 5x-7. Каков
будет остаток при делении P на x-1?
6. Известно, что многочлен x^3+ax^2+x+b делится (без остатка)
на x^2-3x+2. Найдите коэффициенты a и b.
7. Известно, что a+b+c=0, 4a+2b+c=0, 9a+3b+c=0. Докажите, что
a=b=c=0.
8. Решите уравнение x^2-2x-3=0.
9. Что больше: \sqrt{1001}-\sqrt{1000} или 1/10?
10. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
имеющее число 4-\sqrt{7} своим корнем.
11. Коэффициенты p, q квадратного уравнения x^2+px+q=0,
имеющего два корня, целые. Докажите, что (а) сумма квадратов и
(б) сумма кубов его корней -- целые числа.
12. Разложите на множители 2x^2 + 2x + 1/2.
13. Что происходит с корнями уравнения x^2-x-a=0 при
изменении a?
14. Что происходит с корнями уравнения x^2-ax+1=0 при
изменении a?
15. Докажите, что квадрат имеет максимальную площадь среди всех
прямоугольников данного периметра.
16. Докажите, что квадрат имеет минимальный периметр среди всех
прямоугольников данной площади.
17. Приведите пример биквадратного уравнения, имеющего 3
решения.