"APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN"

[andre]

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN”
Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos
matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de
que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio
de varios procesos naturales de los seres vivos desde os
microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a
la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el
crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o
una población. La ecuación diferencial fundamental era:

dy / dt = αy
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento
ocurre si α > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre
sí α < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente
planteada y de su solución correspondiente es que si α > 0 entonces
tenemos que y→∞ si t→∞ , así que a medida que el tiempo transcurre el
crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya
que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o
individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.

Formulación Matemática:

Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya
se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales
como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y
donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la
función lineal F(y) = αy no es apropiada, ensayemos como una
aproximación de orden superior dada por la función cuadrática
F(y) = αy - βy² , y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = αy - βy² es de variables separables,
tenemos


dy / αy – βy² = dt ó ∫ dy / y (α – βy) = t + c

esto es, ∫1/α [1/y + β/α – βy]dy = t + c

= 1/α [ln y - ln (α – βy)] = t + c

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene
que:

Y = α/β _ _
1 + [α/β / Yo - 1] e

Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t→∞,
vemos, ya que α > 0, que:
Ymax = lim Y = α / β
t→∞

Por simple álgebra encontramos:

Ymax = lim Y = Y1(Yo – 2YoY2 + Y1Y2)
t→∞ Y1² - YoY2

Ejemplo:

Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se
muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la
altura media de varones adultos con pleno crecimiento.

Edad Altura (pul)
Nacimiento 19.4
1 año 31.3
2 años 34.5
3 años 37.2
4 años 40.3
5 años 43.9
6 años 48.1
7 años 52.5
8 años 56.8

solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla,
sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años,
respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor
de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima
requerida.

Problemas de Epidemiología:

Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la
ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto
es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La
ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un
porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad,
decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden
ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático
sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que
tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos
restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande
quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo
relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades.
Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la
enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la
enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla
al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una
formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo,
dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes
infectados.





Formulación Matemática:

Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y
Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de
estudiantes, asumido constante, tenemos
N = Ni + Nu

La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada
entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de
alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función
cuadrática de N, tenemos entonces que:

dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²

Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de
cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay
estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes
estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos
que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N

Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte
en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una
constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes
infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir
que:

Ni = N _

1 + (N/No – 1)e


Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de
las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía
involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones
psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas
es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de
ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe
finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio
de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de
petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una
función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad
de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por
D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio
p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección
en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la
tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los
precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden
subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia
de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
D = ƒ(p(t)),p´(t)
Llamamos ƒ la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores
tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama
oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la
demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los
precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos
pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar
anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en
p(t) y p´(t) puede escribirse:
S = g(p(t), p´(t)
Llamamos g a la función oferta.


Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta
determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la
oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:

ƒ(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))


Las formas que debería tener ƒ y g son las siguientes:

D = ƒ(p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se
transforma a la siguiente expresión:
A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
(A2 – B2)p´(t) + (A1 – B1)p(t) = B3 – A3

Asumamos que A1≠B1, A2≠B2 y A3≠B3. Entonces podríamos escribir la
formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po
en t = 0 da como resultado:


p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e


Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios
permanecen constantes en todo tiempo.
Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de
precios.
Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación
p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el
precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo
que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación
continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar
hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en
un cambio a la ecuación (A2 – B2)p´(t) + (A1 – B1)p(t) = B3 –A3.







Ejemplo:

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por
D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si
en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio
en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de
precio.

Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la
demanda, esto es,

48 – 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) =
18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t =
0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t→∞, p→6. Por tanto tenemos
estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios:

Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene
una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama
inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la
demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben
adquirir inventario.

Formulación Matemática:

Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en
tiempo t. Entonces q(t + ∆t) = q(t) + ∆q es la cantidad disponible en
tiempo t + ∆t. Así tenemos que:
Cantidad acumulada en intervalo t a t + ∆t = ∆q = q(t + ∆t) – q(t).

S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores
en tiempo t.
D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los
consumidores en tiempo t.

Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y
demandas por los consumidores entre t y t +∆t están dados
aproximadamente por S∆t y D∆t respectivamente, donde los resultados
son precisos excepto por términos que involucran (∆t)² y mayores.
Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + ∆t es igual a:
S∆t – D∆t + términos con (∆t)² o mayores.
Así ∆q/∆t = S – D + términos con (∆t)² o mayores.

tomando el limite cuando ∆t→0, dq/dt = S – D.
De esta ultima ecuación podremos decir que servirá de base para el
posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos
que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa
a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual
declina el inventario. En ese caso tenemos que:
dp/dt = – α dq/dt
Donde α > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume
conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = – α (S – D). Puesto
que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = – α
(S – D) es una ecuación diferencial para p.

Ejemplo:

Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios
p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente, la constante de
proporcionalidad es α = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y
determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8
en t = 0

solución: de la formula dp/dt = - α dq/dt la ecuación diferencial
requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P – 120 + 3p) o dp/dt +
20 p = 240

resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce
usando p = 8 en t = 0 da c = – 4 y así p = 12 – 4e


Aplicaciones a la Química:

Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos
químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada
en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta
conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto
y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
a) Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
b) ¿Cuanta sal está presente después de 10min?
c) ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el
tiempo y esta dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada – tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la
cantidad de sal que entra por minuto es:
2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se
gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que
hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al
tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto
es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 – A/
5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0.
Así, la formulación matemática completa es:
dA / dt =6 – A/5 A = 5 en t = 0
solución:
Usando el método de separación de variables, tenemos:

∫ (dA / 30 – A) = ∫ (dt / 5) ó – ln (30 – A) = t / 5 + c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = – ln 25. Así,
– ln (30 – A) = t/5 – ln 25 = ln[(30 – A)/25] = A = 30 – 25 e


La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 – 25 e ˉ² = 26.6
lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t→∞, vemos que A→30
lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial
haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se
alcanza el equilibrio.

Mezclas químicas:

Ejemplo:

Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se
encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades
instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere
2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están
presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar
la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Formulación Matemática:

Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas.
Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C,
necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita
que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A
presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 – 2x/3, y la
cantidad de B en este tiempo es 20 – x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 – (2x/3)] * [20 – (x/3)]; Donde K es la constante de
la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente
manera: dx / dt = k[(15 – x) (60 – x)] donde k es otra constante.
Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está
presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3.
Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para
determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación
diferencial.
La formulación completa es:
dx / dt = k[(15 – x) (60 – x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t =
1/3


solución:

La separación de variables produce:
∫ dx / [(15 – x) (60 – x)] = ∫ k dt = kt + C1

Ahora ∫ dx / [(15 – x) (60 – x)] = ∫ 1/45 [(1/15 – x) – (1/60 –
x)] dx
= 1/45 ln [(60 – x) / (15 – x)]; así podemos mostrar que:
60 – x / 15 – x = C e
Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así
( 60 – x ) / ( 15 – x ) = 4 e
Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e =
3/2. Así, [(60 – x) / (15
– x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó
x = 15 [ 1 – (2/3)³t]
1 – (1/4)(2/3)³t
Cuando t→∞, x→15lb.


Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario

Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos
planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el
material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor
especifico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen
a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B
alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los
puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano
E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia
con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado
estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.



Ejemplo:
Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs,
tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La
superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se
mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la
distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre
la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por
minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

Formulación Matemática:

Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos
con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y
longitud l es 2πrl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación
q = – KA dU/dn puede escribirse como: q = – K(2πrl) dU/dr.

Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm, tenemos que:
q = – 600πr dU/dr.
De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las
condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20

solución:
Separando las variables en q = – 600πr dU/dr. e integrando se
obtiene:
-600πU = q ln r + c
Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20
tenemos – 600π (200) = q ln 10 + c, -600π (50) = q ln 20 + c de donde
obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto,
de – 600πU = q ln r + c encontramos que
U = 699 – 216 ln r.
Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor
anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que
la respuesta a la parte (c) es Q= 408.000 x 60cal/
min. = 24.480.000cal/min.


“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”
Aplicaciones a la física:
Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un
resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un
techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por
un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por
supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución
F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud
s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de
proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos
alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente
caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa
10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte
en 2/5 pie.





Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en
una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su
peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es
definido por:
W = m . g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras
(slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal
como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o
bien m.g – ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de
equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F
correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del
movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt².
Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores
(movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la
resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = – k (s + x) + mg
= – kx + mg – ks = – kx
cero

Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la
ecuación diferencial de segundo orden:
d²x/dt² + k/m x = 0
o bien d²x/dt² + ω²x = 0

En donde ω² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + ω²x = 0
describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no
amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha
ecuación:
x(0) = α, dx/dt│ = β
│t = 0
Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad
inicial, respectivamente. Por ejemplo si α > 0 y β < 0, se trata de
una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a
la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si α <
0 y β > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta
desde un punto que está │α │unidades arriba de la posición de
equilibrio. Los demás casos son análogos.

Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación d²x/dt² + ω²x = 0 observemos que las
soluciones de la ecuación auxiliar M² – w² = 0 son los números
complejo M = ωi y Mi = – ωi. De esta forma se obtiene una solución
general: x (t) = C1 cos ωt + C2 sen ωt.
El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación
general planteada es T = 2π/ω y la frecuencia es ƒ = 1/T = ω/2π. Por
ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t el periodo es 2π/3 y la
frecuencia es 3/2π. El primer numero indica que hay 3 ciclos de la
grafica de cada 2π unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2π
oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede
demostrar que el periodo 2π/ω es el intervalo de tiempo entre dos
máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado
las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos ωt + C2 sen ωt mediante las
condiciones iniciales
x(0) = α, dx/dt│ = β
│t = 0
, Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de
movimiento.

Ejemplo:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
d²x/dt² + 16 x = 0
x(0) = 10, dx/dt│ = 0
│t = 0

solución:
Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de
un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la
posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta
a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando
las condiciones iniciales a la solución:
x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.

Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0

de modo que C1 = 10 y por lo tanto

x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.

dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t

dx/dt│ = 0 = 4C2 . 1
│t = 0
La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de
movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en
movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose
alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de
equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2π/4 = π/2 segundos.

Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se
suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de
equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg.
Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.

solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas
gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en
pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos
convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene:
2 – k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = –4x y d²x/dt² + 64x =
0.
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por :

x(0) = 2/3, dx/dt│ = – 4/3
│t = 0
En donde el signo negativo que aparece en la ultima condición en
consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con
dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
Ahora bien, ω² = 64, osea ω = 8, de modo que la solución general de la
ecuación diferencial es:
x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)

x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t

x´(t) = – 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t

x´(0) = – 4/3 = – 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = –1/6)
Luego C2 = – 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
x (t) = 2/3 cos 8t – 1/6 sen 8t.

Movimiento Vibratorio Amortiguado:

El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que
el movimiento descrito por la ecuación – kx + mg – ks = – kx supone
que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos
que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá
una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como
muestra la figura 5.8, la masa m podría estar suspendida en un medio
viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.

Ecuación diferencial del movimiento con amortiguación:
En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación
que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la
velocidad instantánea. En particular, supondremos en el estudio que
sigue que esta Fuerza está dad por un múltiplo constante de dx/dt.
Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene,
por la segunda ley de Newton, que:
m d²x/dt² = –kx – β dx/dt

En donde β es una constante de amortiguación positiva y el signo
negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección
opuesta al movimiento.
Dividiendo m d²x/dt² = –kx – β dx/dt entre la masa m se obtiene la
ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre.
d²x/dt² + β dx/ m dt +(k/m)x = 0

o bien d²x/dt² + 2λ dx/dt + ω²x =0
En la ecuación d²x/dt² + β dx/ m dt +(k/m)x = 0 identificamos 2λ = β/
m, ω² = k/m.
El símbolo 2λ se usa sólo por conveniencia algebraica ya que la
ecuación auxiliar es m² + 2λm + ω² = 0 y por lo tanto las
correspondientes raíces son:
m1 = – λ + √(λ² – ω²), m2 = – λ – √(λ² – ω²).
Según el signo algebraico de λ² – ω², podemos distinguir tres casos
posibles. Puesto que cada solución contendrá el factor de
amortiguación e ,siendo λ > 0, los desplazamientos de la masase
volverán insignificantes para valores grandes del tiempo.

Caso I:
λ² – ω² > 0. En esta situación decimos que el sistema está
sobreamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación β es
grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente
solución de d²x/dt² + 2λ dx/dt + ω²x =0 es x(t) = C1e +
C2e
o bien:
x(t) = e (C1e +
C2e ).

Caso II:
λ² – ω² = 0. Decimos que el sistema está críticamente
amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de
amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución
general será:

x(t) = e (C1 + C2t)

Caso III:
λ² – ω² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado,
ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la
constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora
complejas. m = – λ + √(ω² – λ²)i m = – λ – √(ω² –
λ²)i
y por lo tanto la solución general es:

x(t) = e [C1 cos √(ω² – λ²)t + C2 sen √(ω² – λ²)t]




Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una
fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad
instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la
posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/
s, determinar la ecuación del movimiento.

solución:
Por la ley de Hooke tenemos:
8 = k (2), k = 4lb/pie
y por m = W/g
m = 8/32 = 1/4slug.
En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es:
1/4 d²x/dt² = – 4x – 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0
Las condiciones iniciales son:
x(0) = 0, dx/dt│ = – 3
│t = 0
Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:
m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0
De modo que m1 y m2 = – 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente
amortiguado y: x(t) = – 3te es la ecuación de movimiento.




Movimiento Vibratorio forzado con amortiguación:

Supongamos que se considera una fuerza ƒ(t) que actúa sobre una masa
oscilante sujeta aun resorte. Por ejemplo, ƒ(t) podría representar una
fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del
soporte del resorte. Al incluir ƒ(t) en la formulación de la segunda
Ley de Newton resulta:
m d²x/dt² = –kx – β dx/dt + ƒ(t).

[d²x/dt² + β dx / m dt + (k / m) x = ƒ(t) / m] = d²x/dt² + 2λ dx/
dt + ω²x = F(t)

En donde F(t) = ƒ(t)/m y, 2λ = β/m, ω² = k/m. Para resolver la ultima
ecuación no homogénea podemos usar indistintamente el método de
variación de parámetros o el de los coeficientes indeterminados.

Ejemplo:
Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial
1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t

x(0) = 1/2, dx/dt│ = 0.
│t = 0

solucion:

Podemos interpretar el problema como una representación de un sistema
oscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un
resorte (k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde
un punto que está 1/2 unidad (metro) bajo la posición de equilibrio:
El movimiento es amortiguado (β = 1.2) y es impulsado por una fuerza
externa periódica(T = π / 2 segundos) a partir del instante t = 0.
Intuitivamente, esperamos que aun con amortiguación el sistema se
mantenga en movimiento hasta que el instante en que la función
forzante se “corte”, en cuyo caso las amplitudes disminuirían
gradualmente. Sin embargo, por la forma en que el problema está dado,
se tiene ƒ(t) = 5 cos 4t permanecerá “en acción” indefinidamente.

Primero multiplicamos 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t por 5 y
resolvemos la ecuación homogénea d²x/dt² + 6 dx/dt + 10x = 0 Por los
métodos usuales.

Como m1 = – 3 + i, m2 = – 3 – i se tiene que:
xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t).
Usando el método de los coeficientes indeterminados, postulamos una
solución particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal
caso:

xp´ = – 4A sen 4t + 4B cos 4t.
xp´ ´ = – 16A cos 4t – 16B sen 4t.

De modo que xp´ ´ + 6 xp´ + 10 xp = – 16A cos 4t–16B sen 4t – 24ª sen
4t
= 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t
= (– 6 A + 24B) cos 4t + ( –24A – 6B) sen 4t
= 25 cos 4t

Del sistema de ecuaciones que resulta –6A +24B = 25 y – 24A –6B = 0 da
A = –25/102 y B = 50/51. Se tiene pues:

x(t) = e ( C1 cos t + C2 sen t ) – 25/102 cos 4t + 50/51
sen 4t

Si en la ecuación anterior hacemos t = 0 inmediatamente
resulta C1 = 38/51. Derivando la expresión y haciendo t = 0
encontramos que C2 = – 86/51. Por lo tanto, la ecuación del
movimiento es:
x(t) = e ( 38/51 cos t – 86/51 sen t ) – 25/102 cos 4t +
50/51 sen 4t

Términos transitorios y estacionario:
Nótese que la función complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t –
86/51 sen t) – 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente
tiene la propiedad de que lim xc(t) = 0.
t→∞
Puesto que xc(t) se vuelve insignificante ( es decir tiende a 0)
cuando t→∞, se dice que es un termino transitorio o una solución
transitoria. Así, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos
del cuerpo se aproximan estrechamente por la solución particular x
(t). A esta ultima función también se la llama solución estacionaria
(o de estado permanente). Cuando F es función periódica como F(t) =
Fo sen γt o bien F(t) = Fo cos γt. la solución general consiste en:
x(t) = termino transitorio + termino estacionario.

Sin Amortiguación:
En ausencia de una fuerza de amortiguación, no habrá termino
transitorio en la solución de un problema. Además veremos que la
aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana, o igual, a
la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar
un problema serio en cualquier sistema mecánico oscilatorio.

[Fer...@gmail.com]

cordial saludo para el grupo! ....... me parece valiosísimo el aporte
del compañero, y es que la ecuaciones diferenciales ( las ,matematicas
y la vida ) si estan en todas partes ,muy bueno el archivo.