Schachmatt der Ueberabzaehlbarkeit
Horst Kraemer
wrote:
> Meine vier vorigen Postings (wobei im sehr kurzen vom 29.07.01
> alles wesentliche gesagt ist):
> http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
Hier beziehst Du Dich offensichtlich auf
> Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
> Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre, dann müsste
> sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
> Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
> Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
Wenn Du etwas ueber eine bestimmte Menge zeigen willst, musst Du sie
durch eine Eigenschaft beschreiben.
"Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervalle aus
R bestehen.
"Disjunkt" ist eine Eigenschaft, die nicht einem einzelnen Intervall
fuer sich zukommt, sondern es ist eine Aussage ueber alle
Intervallpaare aus Deiner Intevallmenge, naemlich die Aussage, dass
der Durchschnitt von je zwei Intervallen aus Deiner Intervallmenge
leer ist. Daher waere eine Begriffsbildung wie "die Menge aller
disjunkten Intervalle" sinnlos.
Wenn Du eine bestimmte Menge paarweise disjunkter Intervalle meinst,
musst Du sagen, welche. Wenn Du allgemein zeigen willst, dass etwas
fuer _jede_ Menge paarweise disjunkter gilt, kannst Du natuerlich
loslegen:
"M sei eine beliebige Menge paarweise disjunkter Intervalle..."
Zusaetzlich magst Du voraussetzen, dass diese Menge ganz R
ausschoepft, d.h. dass jede reelle Zahl in genau einem Intervall
vorkommt. Fuer eine beliebige Menge p.d. Intervalle kannst Du
natuerlich nicht zeigen, dass sie ueberabzaehlbar ist, denn die Menge
der Intervall [k,k+1), wobei k eine ganze Zahl ist, ist offensichtlich
p.d. und abzaehlbar.
Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
gilt, wissen wir bereits...
Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
bewerkstelligen. Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
nicht abzaehlbar ist.
Du hast Deine Intervallmenge, deren Ueberabzaehlbarkeit zu beweisen
moechtest, bisher nicht spezifiziert.
MfG
Horst
Wolfgang G. G.
> "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> aus R bestehen.
Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
> "Disjunkt" ist [...]
Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
disjunkt bezeichnen soll. "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
disjunkter Paare suggerieren kann:
"Die Intervalle [r-1,r[ und [r,r+1[ sind disjunkt und lassen
sich nicht abzaehlen."
> Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
> zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
> gilt, wissen wir bereits...
Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
sie überabzählbar ist? Dass dies nicht für JEDE gilt, wissen wir.
Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen, genügt eine einzige
überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen. Wenn es
DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
Intervalle aufteilt.
Je mehr Grenzpunkte, desto mehr Intervalle. Die Zusammenführung
einer Aufteilung in n (untereinander) disjunkte Intervalle
mit einer anderen Aufteilung in m (untereinander) disjunkte
Intervalle ergibt eine Aufteilung in bis zu n+m-1 Intervalle. Das
Zusammenführen von z.B.
M1: { [0, 0.5], [0.5, 1.0] }
M2: { [0, 0.4], [0.4, 0.6], [0.6, 1.0] }
ergibt eine Menge mit 4 Intervallen:
M3: { [0, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 1.0] }
Wenn wir solche Intervall-Mengen je durch die Menge ihrer oberen
Grenzpunkte darstellen, entspricht der Zusammenführung solcher
Intervall-Mengen die Vereinigungsmenge dieser Grenzpunkte. Obige
drei Intervallmengen lassen sich dann so darstellen:
M1 = {0.5, 1.0}
M2 = {0.4, 0,6, 1.0}
M3 = {0.4, 0.5, 0,6, 1.0} = M1 u M2
> Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
> bewerkstelligen.
Was hindert uns aber daran, die reellen Zahlen von Cantors
Diagonalbeweis-Liste als obere Grenzpunkte von Intervallen
aufzufassen? Wenn die Intervalle abzählbar wären, müsste eine
abzählbare Liste doch auf diese Weise möglich sein.
> Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> nicht abzaehlbar ist.
Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
bestehen, lassen sie sich ordnen. Also: insofern die Elemente
(d.h. reelle Zahlen bzw. Grenzpunke zwischen Intervallen) gegeben
sind, sind auch die disjunkten Intervalle zwischen den Elementen
gegeben. (Und insofern die Elemente nicht gegeben sind, ist die
Frage nach Abzählbarkeit dieser Elemente sinnlos.)
Die zwei Ziffernfolgen bzw. Elemente
14956457064057687793231235555...
14956457064057687793231237777...
repräsentieren ein Intervall mit der "Länge"
00000000000000000000000002222...
Weitere unterschiedliche Elemente zwischen a) und b) teilen das
Intervall und erhöhen somit die Anzahl der Intervalle. Das Element
14956457064057687793231236666...
verkürzt obiges Intervall auf
00000000000000000000000001111...
und erzeugt ein neues Intevall derselben "Länge".
In dem Masse, wie weitere Grenzpunkte (d.h. reele Zahlen) zwischen
a) und b) gegeben sind, sind auch entsprechende Intervalle gegeben.
Gruss, Wolfgang
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
Janosch Zwerensky
>Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
>unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
>paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
Es gibt _eine_ Menge, die _alle_ rellen Zahlen enthält. Es gibt _keine_ Menge,
die "alle disjunkten Intervalle über R" enthält, weil es definitionsgemäß keine
Intervalle gibt, die so "an und für sich disjunkt" sind.
>Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
>intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
>solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
>disjunkt bezeichnen soll. "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
>irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
>disjunkter Paare suggerieren kann:
Disjunktheit ist immer eine Eigenschaft eines Paares zweier Mengen.
>Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
>sie überabzählbar ist?
In der ursprünglichen Form des Beweises zeigt er es für {x Element R: 0<=x<=1}.
Daraus folgt natürlich auch trivialerweise, daß ganz R, also die Menge aller
reellen Zahlen, überabzählbar ist.
> (...)
>Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen, genügt eine einzige
>überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen.
Um das Konzept "überabzählbar" zu "widerlegen", musst Du zeigen, daß es für
jede Menge M eine Abbildung f:N--->M gibt, so daß f surjektiv ist und N die
Menge der natürlichen Zahlen. Natürlich kannst Du das nicht zeigen, weil seit
Cantor klar ist, daß es massenhaft überabzählbare Mengen gibt.
> Wenn es
>DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
>und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
>DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
>Intervalle aufteilt.
Nö. DIe letztere hängt von der Wahl irgendwelcher Intervalle ab, die erstere
nicht.
>(...)
>Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
>gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
>gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
>bestehen, lassen sie sich ordnen. Also: insofern die Elemente
>(d.h. reelle Zahlen bzw. Grenzpunke zwischen Intervallen) gegeben
>sind, sind auch die disjunkten Intervalle zwischen den Elementen
>gegeben.
Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge disjunkter
einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...
Grüße,
Janosch.
Sönke Müller-Lund
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
Mathematik mit der Brechstange?
Deine Aussage ist genauso infantil, wie die meisten Beiträge von Arnold
Schiller, frei nach dem Motto: "Wenn ICH das nicht darf, dann dürft IHR
das auch nicht!".
Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.
Aber sei es drum, schauen wir doch mal nach, was Du so planst:
> Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
> intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
> solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
> disjunkt bezeichnen soll.
Das musst Du erst beweisen.
> "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
> irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
> disjunkter Paare suggerieren kann:
>
> "Die Intervalle [r-1,r[ und [r,r+1[ sind disjunkt und lassen
> sich nicht abzaehlen."
Das willst Du nun beweisen?
>
> > Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
> > zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
> > gilt, wissen wir bereits...
>
> Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
> sie überabzählbar ist? Dass dies nicht für JEDE gilt, wissen wir.
Das ist albern!
Es gibt nur eine Menge der reellen Zahlen, nämlich die, die alle reelle
Zahlen enthält und nur reelle Zahlen enthält und die wir i.A. mit IR
bezeichnen.
Und IR ist überabzählbar, wie Cantor in seinem verblüffend einfachen
Beweis demonstriert hat.
> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,
"überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?
> genügt eine einzige
> überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen. Wenn es
> DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
> und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
> DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
> Intervalle aufteilt.
>
> Je mehr Grenzpunkte, desto mehr Intervalle. Die Zusammenführung
> einer Aufteilung in n (untereinander) disjunkte Intervalle
> mit einer anderen Aufteilung in m (untereinander) disjunkte
> Intervalle ergibt eine Aufteilung in bis zu n+m-1 Intervalle. Das
> Zusammenführen von z.B.
>
> M1: { [0, 0.5], [0.5, 1.0] }
> M2: { [0, 0.4], [0.4, 0.6], [0.6, 1.0] }
>
> ergibt eine Menge mit 4 Intervallen:
>
> M3: { [0, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 1.0] }
>
> Wenn wir solche Intervall-Mengen je durch die Menge ihrer oberen
> Grenzpunkte darstellen, entspricht der Zusammenführung solcher
> Intervall-Mengen die Vereinigungsmenge dieser Grenzpunkte. Obige
> drei Intervallmengen lassen sich dann so darstellen:
>
> M1 = {0.5, 1.0}
> M2 = {0.4, 0,6, 1.0}
> M3 = {0.4, 0.5, 0,6, 1.0} = M1 u M2
Das darf man so natürlich nicht aufschreiben, aber ich glaube, Deine
Intervallteilung hat jeder verstanden.
Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.
Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar viele
"echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In Wahrheit enthält
M überhaupt kein Intervall mehr.
Beweis:
Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
[a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
somit überhaupt kein Intervall.
Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.
> > Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> > damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> > Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> > bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> > nicht abzaehlbar ist.
>
> Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
> gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
> gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
> bestehen, lassen sie sich ordnen.
Sie lassen sich ordnen, aber nicht anordnen.
> Die zwei Ziffernfolgen bzw. Elemente
>
> 14956457064057687793231235555...
> 14956457064057687793231237777...
>
> repräsentieren ein Intervall mit der "Länge"
>
> 00000000000000000000000002222...
>
> Weitere unterschiedliche Elemente zwischen a) und b) teilen das
> Intervall und erhöhen somit die Anzahl der Intervalle. Das Element
>
> 14956457064057687793231236666...
>
> verkürzt obiges Intervall auf
>
> 00000000000000000000000001111...
>
> und erzeugt ein neues Intevall derselben "Länge".
Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge gegen 0 strebt und
somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.
Sönke
--
Sönke Müller-Lund Alter Markt 1-2 Flughafenstr. 52a
Baltic Online Computer GmbH 24103 Kiel 22335 Hamburg
http://www.baltic-online.de +49-(0)431-54003-0 +49-(0)40-5329939
Horst Kraemer
wrote:
> Horst Kraemer in 3b659fea...@news.cis.dfn.de :
>
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
Eben. Deswegen spricht man auch von der "Menge DER reellen Zahlen"
alias "aller reeller" Zahlen und nicht von der "Menge reeller Zahlen",
wenn man die Menge aller reellen Zahlen meint...
"Die Menge der disjunkten Intervalle" alias "die Menge aller
disjunkten Intervalle" ist dagegen logischer Quark. Auch wenn ich mich
viederhole. "reell" ist ein Praedikat einer einzelnen Zahl, "disjunkt"
ist dagegen kein Praedikat, das auf ein einzelnes Intervall anwendbar
ist, sondern eine Aussage ueber die Gesamtheit der Intervalle, also
ueber eine Menge von Intervallen.
Wenn wir jetzt praeziser sagen. "disjunkte Intervallmenge", ist wohl
offensichtlich, dass der Begriff "die disjunkte Intervallmenge" keinen
Sinn macht, denn es gibt davon ziemlich viele.
Welches ist nun DIE "disjunkte Intervallmenge", deren
Ueberabzaehlbarkeit du zeigen willst ?
MfG
Horst
Arnold Schiller
>
>
> Deine Aussage ist genauso infantil, wie die meisten Beiträge von Arnold
> Schiller, frei nach dem Motto: "Wenn ICH das nicht darf, dann dürft IHR
> das auch nicht!".
>
Sönke Müller-Lund hat sich:
[ ] Im Ton vergriffen
[ ] Keine Ahnung
[ ] Eine vorgefertigtes Weltbild
[ ] Kennt Gott persoenlich
[ ] Kann alle Fragen dieser Welt beantworten
[ ] Kann zwischen Sprachen nicht unterscheiden
[ ] Ist ein grenzelos guter Mathematiker
[ ] Hat die GUT in der Tasche aber nicht präsentiert
[ ] Überträgt sein Denken auf andere
[ ] Ist ein Kleinkind und hasst Kleinkinder deswegen
[ ] Ist ein Meister der Netiqette
Arnold Schiller
"Wolfgang G. G." schrieb:
>
> Horst Kraemer in 3b659fea...@news.cis.dfn.de :
>
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
>
Die Überabzählbarkeit ist definiert und als solches innerhalb der
definierten Menge als solches gültig.
Diesen Begriff kannst du zwar anzweifeln, allerdings nur unter der
Bedingung, dass du Definition aufgibst.
In dem Fall ist das die Definition der Menge der reellen Zahlen.
Wenn du von einer Menge der unterschiedlichreelen Zahlen sprichst, dann
musst du wohl zunächst einmal definieren was eine Zahl in dieser Menge
sei.
Gruss
Arnold
Rainer Rosenthal
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
>
Hallo Wolfgang,
eines muss man Dir lassen: Du hast wirklich putzige Argumente.
Sort of Eulenspiegel. Da kann man ja fast neidisch werden :-)
Gruss,
Rainer
Wolfgang G. G.
> Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
> reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.
Es braucht schon eine gehörige Portion erkenntnistheoretischer
Naivität, um diesen Beweis als relevant zu erachten. Du hast
anscheinend keine Ahnung, wie man vorgehen muss, um eine Theorie
zu widerlegen.
Hier die Essenz deines Beweises von 28.07.01:
a) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar-unendlich.
b) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
c) Jedes reelle Intervall enthält abzählbar-unendlich viele
rationale Zahlen.
Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann höchstens abzählbar-unendlich
viele disjunkte reelle Intervalle geben.
Ich streite sicher nicht ab, dass dem so sein muss, wenn die Theorie
konsistent ist. Dieser Beweis ist sogar Teil meiner Widerlegung. Der
andere Teil ist der Beweis, dass die Menge der möglichen reellen
(sich wechselseitig nicht überschneidenden) Teilintervalle nicht
abzählbar sein kann.
Zur Veranschaulichung: Theorie T gilt offiziell als konsistent.
Jemand widerlegt die Theorie dadurch, dass er 7*7=50 aus T ableitet
und zeigt, dass andererseits auch 7*7=49 gilt. Wäre es in so einem
Fall nicht geradezu grotesk, die Widerlegung von T mit dem Argument
widerlegen zu wollen, dass 7*7=49 falsch sein muss, weil aus T
7*7=50 folgt?
>> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,
>
> "überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
> Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?
Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
echte Intervalle teilen lässt.
> Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
> Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.
>
> Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar
> viele "echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In
> Wahrheit enthält M überhaupt kein Intervall mehr. Beweis:
>
> Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
> es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
> mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
> [a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
> somit überhaupt kein Intervall.
>
> Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.
Sehr interessant! Zuerst bezeichnest du das Argument, "die Menge
disjunkter Intervalle" sei ähnlich spezifiziert wie "die Menge
unterschiedlicher reeller Zahlen" als "infantil", und ein paar
Absätze weiter nimmst du es dann doch ernst.
Janosch Zwerensky hat es so formuliert:
"Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge
disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".
Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala
Vorgänger (1) = 0.999...9
1 = 1.000...0
Nachfolger(1) = 1.000...1
mit somit auch "einpunktige Intervalle"
] Vorgänger(1), 1 ]
] 1, Nachfolger(1) ]
> Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge [der Intervalle]
> gegen 0 strebt und somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.
Zur Wiederholung (aus meinen Postings vom 26. und 28. Juli):
Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie fallen
zusammen, oder sie sind durch ein [echtes] Intervall getrennt. Oder
ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
beschreiben, die nicht durch ein [echtes] Intervall getrennt sind?
Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
(echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.
Gruss, Wolfgang
Meine vorigen Postings:
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
Sönke Müller-Lund
> > Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
> > reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.
>
> Es braucht schon eine gehörige Portion erkenntnistheoretischer
> Naivität, um diesen Beweis als relevant zu erachten.
mag sein, es reichen aber auch geringfügige mathematische
Grundkenntnisse. ;)
> Du hast anscheinend keine Ahnung, wie man vorgehen muss, um eine Theorie
> zu widerlegen.
Ich will gar keine Theorien widerlegen, sondern nur falsche
Behauptungen.
> Hier die Essenz deines Beweises von 28.07.01:
>
> a) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar-unendlich.
> b) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
> c) Jedes reelle Intervall enthält abzählbar-unendlich viele
> rationale Zahlen.
>
> Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann höchstens abzählbar-unendlich
> viele disjunkte reelle Intervalle geben.
>
> Ich streite sicher nicht ab, dass dem so sein muss, wenn die Theorie
> konsistent ist.
Prima, dass Du das akzeptierst. Allerdings hatte ich dieses Posting
bereits selbst ergänzt mit der Bemerkung, dass es DIE Menge reeller
disjunkter Intervalle nicht gibt. Insofern lautet die Folgerung:
Jede Menge disjunkter reeller Intervalle enthält höchstens abzählbar
viele Elemente.
> Dieser Beweis ist sogar Teil meiner Widerlegung. Der
> andere Teil ist der Beweis, dass die Menge der möglichen reellen
> (sich wechselseitig nicht überschneidenden) Teilintervalle nicht
> abzählbar sein kann.
Ich habe deine Beweisidee verstanden. Sie ist im Übrigen gar nicht
schlecht.
> Zur Veranschaulichung: Theorie T gilt offiziell als konsistent.
> Jemand widerlegt die Theorie dadurch, dass er 7*7=50 aus T ableitet
> und zeigt, dass andererseits auch 7*7=49 gilt. Wäre es in so einem
> Fall nicht geradezu grotesk, die Widerlegung von T mit dem Argument
> widerlegen zu wollen, dass 7*7=49 falsch sein muss, weil aus T
> 7*7=50 folgt?
Wenn das der Fall ist, dann hat T in der Tat "Löcher" und ist sozusagen
nicht widerspruchsfrei. Auch die von uns verwendete Theorie
"Standardmathematik" ist (auch wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch
nicht widerspruchsfrei, da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn
man das Teilen durch 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht
zugelassen.
> >> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,
> >
> > "überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
> > Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?
>
> Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
> ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
> echte Intervalle teilen lässt.
Wenn die das gelänge, würdest Du zeigen, dass es überabzählbar viele
rationale Zahlen geben müsste und somit auch überabzählbar viele
natürliche und die Mathematik hätte ein sehr ernstes Problem.
Wenn aber hingegen "unsere" Mathematik ohne Teilen durch 0 ein
nachgewiesendes widerspruchsfreies System ist (diesen Beweis kann ich
nicht führen), dann ist jeder Versuch einen bewiesenen Satz zu
widerlegen zum Scheitern verurteilt.
(Ich glaube, in meinem Urlaub werde ich endlich mal EGB lesen.)
Wenn das Wörtchen "wenn" nicht wär'. :)
> > Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
> > Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.
> >
> > Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar
> > viele "echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In
> > Wahrheit enthält M überhaupt kein Intervall mehr. Beweis:
> >
> > Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
> > es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
> > mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
> > [a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
> > somit überhaupt kein Intervall.
> >
> > Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.
>
> Sehr interessant! Zuerst bezeichnest du das Argument, "die Menge
> disjunkter Intervalle" sei ähnlich spezifiziert wie "die Menge
> unterschiedlicher reeller Zahlen" als "infantil", und ein paar
> Absätze weiter nimmst du es dann doch ernst.
Sorry mit dem "infantil". Es war nicht die Behauptung an sich, die ich
als solches bezeichnet habe, sondern die Art, wie Du sie formuliert
hast.
Aber fassen wir noch einmal zusammen:
- Man kann nicht DIE Menge aller disjunkten reellen Intervalle bilden.
- Man kann beliebige Mengen disjunkter reeller Intervalle bilden.
- Man kann Mengen disjunkter Intervalle vereinigen, aber die Intervalle
in der Vereinigungsmenge sind dann nicht mehr notwendigerweise disjunkt.
- Man kann die Menge IM aller Mengen disjunkter reeller Intervalle
bilden. Diese Menge ist wohldefiniert und sogar überabzählbar. Diese
Menge IM ist aber nicht die Menge M, die Du oben (oder unten)
konstruiert hast.
> Janosch Zwerensky hat es so formuliert:
>
> "Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge
> disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".
Ein einpunktiges Intervall ist {x\in IR; a<=x<=b} für a=b, also die
Menge {x}. Das ist kein Intervall mehr.
> Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala
>
> Vorgänger (1) = 0.999...9
> 1 = 1.000...0
> Nachfolger(1) = 1.000...1
Was soll das sein? Drei verschiedene Darstellungen der 1?
Vorsicht: Es könnten einige Leute jetzt wieder glauben, dass eine Folge
endet!
> mit somit auch "einpunktige Intervalle"
>
> ] Vorgänger(1), 1 ]
> ] 1, Nachfolger(1) ]
= ]1,1] = {}
> > Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge [der Intervalle]
> > gegen 0 strebt und somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.
>
> Zur Wiederholung (aus meinen Postings vom 26. und 28. Juli):
>
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie fallen
> zusammen, oder sie sind durch ein [echtes] Intervall getrennt.
Ganz genau!
Und wenn zwei Punkte a und b nicht zusammenfallen, dann gilt entweder
a<b oder b<a.
Wenn Du nun behaupten willst, dass Vorgänger(1) und Nachfolger(1) nicht
mit 1 zusammenfallen,
d.h. v(1) < 1 < n(1), dann gilt aber
v(1)+1 1+n(1)
v(1) < ------ < 1 < ------ < n(1)
2 2
Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!
> Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein [echtes] Intervall getrennt sind?
Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.
> Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
> auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
> (echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
> aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.
Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.
>
> Gruss, Wolfgang
Horst Kraemer
wrote:
>....
Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser dieses
Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
(ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
was ein Punkt ist Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu
nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_
und nicht ein Gebilde, mit einer esotherischen Beziehung zu "Punkten".
Insbesondere besteht per Definitionem das Intervall [a,b] aus der
Menge aller rellen Zahlen x mit der Eigenschaft a<=x<=b.
Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message
"Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, die Formulierung Deines
Gespraechspartner kritisierst, von "Punkten", Dimensionen und
Ausdehnungen sprichst, obwohl es m.W. ausschliesslich um die
Eigenschaften von bestimmten "Intervall" genannten Zahlenmengen geht,
aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.
> Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
> ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
> echte Intervalle teilen lässt.
Dann zeige es bitte. Ich habe in Deinen bisherigen Nachrichten nichts
entdeckt, was auch nur eine Aehnlichkeit mit einem Beweis haette, dass
Du so etwas konstruieren kannst. Du hast bestenfalls angerissen, wie
man eine Aufteilung eines Intervalls in endlich viele Teile, z.B. des
Intervalls [0,1], durch schrittweise Zusammenfuehren der Grenzpunkte
anderer endlicher Aufteilungen immer weiter verfeinern koennnte. Es
ist aber bisher nicht klar geworden, wie das "Endprodukt" dieses
Verfahrens mathematisch als Menge beschrieben werden soll. Wenn Du nur
endlich viele Aufteilungen uebereinanderlegst, erhaeltst Du eine
endliche Aufteilung. Wenn Du saemtliche moeglichen Aufteilungen
uebereinderlegst, so kommt maturgemaess jede reelle Zahl einmal als
Grenzpunkt innerhalb einer Aufteilung vor. Es gibt also ueberhaupt
keine echten Intervalle mehr.
Also, wo bitte sind Deine ueberabzaehlbar vielen Intervalle ? Wir
sehen sie nicht. In welchem Intervall aus Deiner Intervallmenge liegt
die Zahl 1/2 ?
Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
(sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
ist ?
Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja gerade
widerlegt zu haben glaubst. Und solange Dich niemand davon ueberzeugen
kann, dass Du keine uebaerabzaehlbare disjunkte Menge von Intervallen
_hast_, wirst Du wohl weiter daran glauben...
So bleibt den interessierten Lesern nur die Aufforderung an Dich,
dieses Objekt Deiner Vorstellung mathematisch klar in der Sprache der
Mengenlehre zu formulieren. Dies musst Du wohl oder uebel tun, wenn Du
einen Begriff eben dieser Mengenlehre ad absurdum fuehren willst. Wenn
Du dies nicht kannst oder willst, wirst Du der Einzige sein, der an
Deinen "Gegenbeweis" glaubt. Daran koennen wir Dich natuerlich nicht
hindern ;-)
MfG
Horst
Arnold Schiller
>
> On Fri, 3 Aug 2001 13:04:51 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
> wrote:
>
> >....
>
> Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser dieses
> Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
Fast alle Leser, aber der Mensch, der von Ivan Susanin als Troll
bezeichnet wird, hat zwar eine andere Auffassung, aber das dürfte ein
solches Privatissmo und keine mathematische Definition sein, dass die
Aussage, dass "Es ist in der Mathematik nicht definiert" sicherlich
richtig ist, ist auch ein Leser.
Gruss
Arnold
Klaus Nagel
Horst Kraemer schrieb:Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft:
Alle Leser dieses
> Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> was ein Punkt ist
1. Ein Punkt ist, was keinen Teil hat,
Euklid, Die Elemente, I. Buch, Definitionen :-)
Gruß,
Klaus Nagel
Wolfgang G. G.
eingehen. Hier primär Polemik (auch gegen die moderne Physik):
Horst Kraemer in 3b6af8cd...@news.cis.dfn.de :
> Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser
> dieses Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> was ein Punkt ist. Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu
> nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_
> und nicht ein Gebilde, mit einer esoterischen Beziehung zu "Punkten".
Man darf die historische Entwicklung nicht einfach ignorieren. Die
reellen Zahlen und Begriffe wie "Quadrieren" und "Wurzelziehen"
sind bei der Beschäftigung mit Geometrie entstanden. Dass Wurzel 2
irrational ist, wussten die alten Griechen auch ohne Kenntnis der
"Begründung" der reelen Zahlen durch die Mengenlehre.
Schon überwundene Standpunkte, die zu alt-bekannten Paradoxien
führen, feiern nicht nur wieder fröhliche Urständ, sondern
beanspruchen sogar Priorität (d.h. grössere Fundamentalität)
gegenüber den innerhalb der anschaulichen Vernunft siegreichen
Standpunkten.
Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
wiederauferstanden, kann als Theologisierung von Mathematik und
Physik bezeichnet werden. (Der grösste Theologisierungsschub
in der Physik dürfte Heisenberg zu verdanken sein).
"Theologisierung" deshalb, weil die Immunisierungsstrategien
gegenüber logischen (d.h. vernünftigen, synthetisch-apriorischen)
Einwänden exakt dieselben sind, wie die Immunisierungsstrategien
der mittelalterlichen Theologie. Aus Maximen wie
- Man kann/darf sich Gott, Engelsscharen usw. nicht konkret
vorstellen.
- Die Vernunft ist unzureichend, um die theologischen Dogmen
zu beurteilen.
wurden
- Man kann/darf sich von den Entitäten (z.B. den virtuellen
Teilchen) und den Erklärungen (z.B. der elektrostatischen
Anziehung) der modernen Quantentheorien keine konkreten
Vorstellungen machen.
- Die Widersprüche, die wir in der modernen Physik zu erkennen
glauben, sind nur scheinbar und zeigen, dass die (anschauliche)
Vernunft nicht ausreicht, die tiefe Wahrheit dieser Wissenschaft
zu erfassen.
Wie sehr die moderne Physik den Bezug zur Realität verloren und sich
der mittelalterlich-theologischen Tradition angenähert hat, ist auch
im Physik-Faq ersichtlich. Siehe dazu Posting von Dierck Hillman:
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B6D21DD...@web.de
Siehe auch mein Posting "The language of physics":
http://www.deja.com/=dnc/getdoc.xp?AN=569315416
> Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message
> "Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, ...
Wenn du wüsstest, wieviele potentielle "Nebenkriegsschauplätze" ich
nicht eröffnet habe!
> aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.
Ich versuche, die Diskussion meinerseits nicht zu verzetteln, und
antworte deshalb nicht auf alles. Ich bin mir aber keines einzigen
auch nur halbwegs überzeugenden Arguments bewusst, auf das ich
nicht eingegangen bin. Ein typisches nicht überzeugendes Argument,
auf das ich im Normalfall eher nicht direkt eingehen würde, ist
das folgende:
> Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
> die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
> ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
> Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
> Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
> 1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
> Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
> Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
> Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
> (sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
> endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
> Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
> dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
> Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
> Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
> festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
> Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
> ist ?
Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... Die Meinung,
dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
wohl nicht.
> Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> gerade widerlegt zu haben glaubst.
Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.
Als beinahe perfid empfinde ich folgende Bemerkung von Sönke
Müller-Lund aus 3B6A9C5B...@baltic-online.de (ich bin da
wahrscheinlich aber auch etwas überempfindlich):
| Auch die von uns verwendete Theorie "Standardmathematik" ist (auch
| wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch nicht widerspruchsfrei,
| da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn man das Teilen durch
| 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht zugelassen.
Der Zweck dürfte hier nämlich sein, meine Position mit absurden
Positionen anderer in Beziehung zu bringen.
Auch die letzten Kommentare in Sönkes Posting sind meines Erachtens
insofern irreführend, als jemand, der nur schnell liest (und damit
das zitierte Material mehr oder weniger ignoriert), den Eindruck
bekommt, ich würde die Meinung vertreten, reelle Zahlen hätten
Vorgänger und Nachfolger:
| Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
| Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!
...
| Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.
...
| Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
| richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.
Es gäbe sicher Beispiele, die das was ich hier sagen will, besser
illustrieren. Ich selber habe z.B. über längere Zeit in "Existieren
unendliche Mengen" oberflächlich teilweise mitgelesen, und bekam
den Eindruck, dass dort der Kritiker der Mengenlehre (d.h. Dieter
Jungmann) der Inkonsistenz überführt wurde. Als ich jedoch später
Teile der Diskussion genau las, war ich von der scharfen und
konsistenten Logik Dieters (nicht zu verwechseln mit dem Sex-shop-
Webmaster vom Pi-Thread) geradezu beeindruckt.
Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
das Ganze dann nur mehr so aussehen:
> ...
> Und somit haben wir: -oo = +oo
Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.
Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.
Horst Kraemer
wrote:
> > Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
> > die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
> > ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
> > Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
> > Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
> > 1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
> > Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
> > Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
> > Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
> > (sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
> > endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
> > Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
> > dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
> > Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
> > Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
> > festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
> > Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
> > ist ?
>
> Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
> Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... Die Meinung,
> dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
> Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
> und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
> wohl nicht.
Nein.
Ich sprach allerdings ueberhaupt nicht von "unterteilt werden
koennen", sondern schlicht von der Annahme der von Dir unterstellten
aktuellen _Existenz_ einer ueberabzaehlbaren Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] - unabhaengig davon, wie Du zu dieser
angenommenen Menge gelangt zu sein glaubst. Aus der nackten _Existenz_
habe ich die Folgerung hergeleitet, dass es dann eine natuerliche Zahl
n geben muss, so dass unendliche viele dieser ueberabzaehlbar vielen
Intervalle eine Laenge von je >= 1/2^n besitzen.
Inwiefern hast Du meine Argumentationskette
Angenommen, es _gaebe_ eine _ueberabzaehlbare_ Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1].
Dann gibt es eine natuerliche Zahl n, so dass unendlich viele
dieser p.d. Intervalle eine Laenge >= 1/2^n haben.
Die Tatsache, dass das Intervall [0,1] unendlich viele
Teilintervalle mit einer Laenge >= 1/2^n besitzen soll,
scheint der Tatsache zu widersprechen, dass das Intervall
[0,1] selbst eine Laenge von 1 hat.
dadurch entkraeftet, dass Du eine Grenzpunktfolge angibst, die nur
_abzaehlbar_ viele Intervalle darstellt ? Dabei unterstelle ich, dass
Deine Folge die p.d. Intervalle
[0.1, 1]
[0.01, 0.1)
[0.001, 0.01)
[0.0001, 0.001)
etc....
repraesentieren soll. Hier gibt es natuerlich zu jedem n nur endlich
viele Intervalle mit Laenge >= 1/2^n und mein Argument ist nicht
anwendbar. Dass es eine _abzaehlbar_ unendliche Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] gibt, bestreitet niemand, und aus der
Annahme der Existenz einer abzaehlbar unendlichen Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] wird auch niemand einen Widerspruch
herleiten wollen und koennen.
> > Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> > Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> > gerade widerlegt zu haben glaubst.
> Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.
Dies wird sich erweisen. Bisher hast Du allerdings nach meinem
Eindruck nur versucht, meine Argumentation mit einer Frage
wegzuwischen, die - soweit ich sie verstanden habe - ueberhaupt nichts
mit meiner Argumentation zu tun hat. Vielleicht habe ich etwas
uebersehen und Du kannst den Zusammenhang zwischen Deiner Entgegnung
und meiner Argumentation praezisieren?
MfG
Horst
Norbert Micheel
"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> schrieb im Newsbeitrag
news:9kkp7q$uon$1...@newsreaderm1.core.theplanet.net...
> Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
> etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
> ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
> in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
> dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
> unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
> das Ganze dann nur mehr so aussehen:
>
> > ...
> > Und somit haben wir: -oo = +oo
>
> Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.
>
Ich denke den meisten hier ist durchaus klar, wie man einen Widerspruch
zeigt.
Tatsaechlich war es nur so, dass die Argumentation so aussah:
"da -oo >= +oo und -oo <= +oo folgt
-oo = + oo"
wo die Folgerung korrekt ist, aber die Voraussetzungen nicht
stimmen...
oder
"weil ja -1 < 1 ist, folgt
-oo = +oo "
was eine unbewiesene Behauptung bleibt, da die Folgerung nicht
unmittelbar logisch ist.
Die Voraussetzungen und die logischen Folgerungen fuer das Aufzeigen eines
Widerspruches sollten schon der Theorie entstammen in der man diesen zeigen
will.
Nur weil du etwas "Falsches" zeigen willst, kannst du nicht falsche Fakten
und falsche Folgerungen auf dem Weg dorthin benutzen.
> Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
> teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
> den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.
Es ist vollkommen egal, was fuer einen Eindruck ein Leser von einem Poster
hat. Entweder in seinem Posting steht etwas Korrektes oder nicht. Der
Wahrheitsgehalt aendert sich nicht durch das "Ansehen" der Person.
N
Harald Geyer
Ich finde, dass man diese Diskussion wirklich nur in dsm führen
sollte. Ich antworte daher hier auch nur auf die physikalischen
Aspekte.
"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> writes:
> Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
> Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
> wiederauferstanden, kann als Theologisierung von Mathematik und
> Physik bezeichnet werden. (Der grösste Theologisierungsschub
> in der Physik dürfte Heisenberg zu verdanken sein).
>
> "Theologisierung" deshalb, weil die Immunisierungsstrategien
> gegenüber logischen (d.h. vernünftigen, synthetisch-apriorischen)
> Einwänden exakt dieselben sind, wie die Immunisierungsstrategien
> der mittelalterlichen Theologie. Aus Maximen wie
>
> - Man kann/darf sich Gott, Engelsscharen usw. nicht konkret
> vorstellen.
> - Die Vernunft ist unzureichend, um die theologischen Dogmen
> zu beurteilen.
>
> wurden
>
> - Man kann/darf sich von den Entitäten (z.B. den virtuellen
> Teilchen) und den Erklärungen (z.B. der elektrostatischen
> Anziehung) der modernen Quantentheorien keine konkreten
> Vorstellungen machen.
> - Die Widersprüche, die wir in der modernen Physik zu erkennen
> glauben, sind nur scheinbar und zeigen, dass die (anschauliche)
> Vernunft nicht ausreicht, die tiefe Wahrheit dieser Wissenschaft
> zu erfassen.
Zuerst zum Begriff "Theologisierung": Da steckt das griechische Wort
für "Gott" drinnen. Das ist absolut unpassend, was du meinst ist
vielleicht eher "Dogmatisierung".
Das Ziel der Physik ist eine möglichst genaue Beschreibung der
Natur. Dabei kann man nicht darauf Rücksicht nehmen, was dir oder an
deren vernünftig erscheint, sondern muss auf das Rücksicht nehem, was
wir bei unseren Experimenten beobachten.
Es geht nicht um die Wahrheit irgendeiner Wissenschaft, sondern es
geht um die Tatsachen, mit denen uns die Natur konfrontiert. Wem diese
Tatsachen nicht gefallen, der muss in ein anderes Universum umziehen
und hoffen, dass dort andere Naturgesetze gelten. ;)
Du bist herzlich dazu eingeladen, ein physikalisches Modell zu
entwickeln, dass dir besser gefällt, als die moderne Physik. Es gibt
bei uns in de.sci.phyik einige, die das versuchen. Leider sind die
Ergebnisse nicht überzeugend.
Zusammenfassung: Der Unterschied zwischen Physik und Religion besteht
nicht in der Plausibilität der Ergebnisse, sondern in deren
Überprüfbarkeit.
Viele Grüße!
Harald
Sönke Müller-Lund
> Auf die eigentliche Diskussion werde ich in den nächsten Tagen
> eingehen. Hier primär Polemik (auch gegen die moderne Physik):
ok, dann werde ich mal "quereinsteigen", da Du mich ja auch zitierst:
> Als beinahe perfid empfinde ich folgende Bemerkung von Sönke
> Müller-Lund aus 3B6A9C5B...@baltic-online.de (ich bin da
> wahrscheinlich aber auch etwas überempfindlich):
>
> | Auch die von uns verwendete Theorie "Standardmathematik" ist (auch
> | wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch nicht widerspruchsfrei,
> | da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn man das Teilen durch
> | 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht zugelassen.
>
> Der Zweck dürfte hier nämlich sein, meine Position mit absurden
> Positionen anderer in Beziehung zu bringen.
Nein, das war wirklich nicht meine Absicht, Dich mit irgendwelchen
"schillernden" Persönlichkeiten gleichzusetzen. ;)
Ich hätte auch Mengen-Paradoxien angeben können, aber das Teilen durch 0
fiel mir schneller ein und weil es gerade durchdiskutiert wurde, ist es
auch jedem^H^H^H fast jedem klar, warum das Probleme macht.
> Auch die letzten Kommentare in Sönkes Posting sind meines Erachtens
> insofern irreführend, als jemand, der nur schnell liest (und damit
> das zitierte Material mehr oder weniger ignoriert), den Eindruck
> bekommt, ich würde die Meinung vertreten, reelle Zahlen hätten
> Vorgänger und Nachfolger:
>
> | Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
> | Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!
> ...
> | Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.
Also bitte, die Worte Vorgänger und Nachfolger kommen von Dir:
> Janosch Zwerensky hat es so formuliert:
>
> "Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge
> disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".
>
> Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala
>
> Vorgänger (1) = 0.999...9
> 1 = 1.000...0
> Nachfolger(1) = 1.000...1
>
> mit somit auch "einpunktige Intervalle"
>
> ] Vorgänger(1), 1 ]
> ] 1, Nachfolger(1) ]
Wie ist denn das sonst zu verstehen?
Kläre uns bitte auf.
> | Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
> | richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.
Das bezieht sich auf Deine Thesen zur "Kategorievermengung", zu der wir
jetzt kommen:
> Horst Kraemer in 3b6af8cd...@news.cis.dfn.de :
>
> > Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser
> > dieses Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> > (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> > was ein Punkt ist. Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu
> > nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_
> > und nicht ein Gebilde, mit einer esoterischen Beziehung zu "Punkten".
>
> Man darf die historische Entwicklung nicht einfach ignorieren. Die
> reellen Zahlen und Begriffe wie "Quadrieren" und "Wurzelziehen"
> sind bei der Beschäftigung mit Geometrie entstanden.
Doch man darf. Die Mathematik, die wir benutzen ist konsistent und ein
abgeschlossenes System. Zahlen und andere mathematische Objekte
entstehen nicht, sie werden bestenfalls entdeckt. Wenn die Ergebnisse
der Mathematik unserer Anschauung entsprechen, um so besser, aber das
ist keine Voraussetzung.
> Dass Wurzel 2 irrational ist, wussten die alten Griechen auch ohne Kenntnis der
> "Begründung" der reelen Zahlen durch die Mengenlehre.
Und genau diesen Wissen stürzte die Mathematik in eine der ersten
Krisen.
> Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
> Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
[Physik gelöscht]
> > Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message
> > "Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, ...
> > aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.
>
> Ich versuche, die Diskussion meinerseits nicht zu verzetteln, und
> antworte deshalb nicht auf alles. Ich bin mir aber keines einzigen
> auch nur halbwegs überzeugenden Arguments bewusst, auf das ich
> nicht eingegangen bin.
Dieses Zitat werde ich hier erstmal "parken".
> Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
> Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...
Dazu hat Horst schon Stellung genommen, aber ich sage es auch noch
einmal: Du kannst auf diese Weise nur abzählbar viele Intervalle
unterbringen. Oder anders ausgedrückt: Zeige die Stelle(n), an der der
Beweis von Horst angeblich falsch ist.
> Die Meinung, dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
> Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
> und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
> wohl nicht.
Was heisst "irgendwann"? "Irgendwann" ist immer endlich und in endlichen
Schritten erreichst Du das nicht. Aber es gehört sicher zu deinen "nicht
halbwegs überzeugenden" Argumenten, dass zu je zwei rellen Zahlen a,b
mit a<b eine reelle Zahl c existiert mit a<c<b, nämlich c:=(a+b)/2.
Deine Intervalle können also immer weiter geteilt werden.
Machst Du hingegen den "Grenzübergang", dann erhälst Du tatsächlich eine
Menge disjunkter einpunktiger Intervalle, die sogar überabzählbar ist.
Aber das ist keine Überraschung und für deinen Schluss "Es gibt
überabzählbar viele rationale Zahlen" nicht zu gebrauchen, denn nur
abzählbar viele "Intervalle" in deiner Menge enthalten rationale Zahlen.
> > Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> > Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> > gerade widerlegt zu haben glaubst.
>
> Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.
Warum?
Du hast den Beweis nicht akzeptiert.
> Es gäbe sicher Beispiele, die das was ich hier sagen will, besser
> illustrieren. Ich selber habe z.B. über längere Zeit in "Existieren
> unendliche Mengen" oberflächlich teilweise mitgelesen, und bekam
> den Eindruck, dass dort der Kritiker der Mengenlehre (d.h. Dieter
> Jungmann) der Inkonsistenz überführt wurde. Als ich jedoch später
> Teile der Diskussion genau las, war ich von der scharfen und
> konsistenten Logik Dieters (nicht zu verwechseln mit dem Sex-shop-
> Webmaster vom Pi-Thread) geradezu beeindruckt.
LOL!
(Nein, ich werde mich nicht hinreissen lassen, die Beiträge von Dieter
zu bewerten.)
> Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
> etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
> ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
> in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
> dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
> unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
> das Ganze dann nur mehr so aussehen:
>
> > ...
> > Und somit haben wir: -oo = +oo
>
> Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.
>
> Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
> teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
> den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.
Umgekehrt wird ein Schuh daraus:
Wenn Du Ahnung von der Materie hast, dann wirst Du sie nicht
kritisieren.
Überhaupt: Was heißt hier Kritiker?
Kann man Tatsachen kritisieren?
Man kann sie vielleicht doof finden oder ablehnen, aber wozu? Eine
Tatsache (oder Wahrheit) wird sich dadurch nicht ändern.
>
> Gruss, Wolfgang
Sönke
Dieter Jungmann
Ich mache einen Vorschlag. Wir beschraenken uns auf das Einheits-
intervall [0,1]. Es enthaelt abzaehlbare Mengen A, B, C, D, ... von
paarweise disjunkten Intervallen. Es gibt ueberabzaehlbar viele
solcher Mengen. Ueber diese Voraussetzungen herrscht offensichtlich
Einigkeit.
Wolfgang meint, wenn ich ihn richtig verstehe, folgendes:
Einige der Intervalle z. B. der Mengen A und B ueberschneiden sich.
Wir bilden die Durchschnitte dieser Intervalle und fassen sie mit
den evtl. verbleibenden Differenzintervallen zur neuen Menge X
zusammen. X enthaelt nur paarweise disjunkte Intervalle.
Bildet man nun von allen ueberabzaehlbar vielen Mengen disjunkter
Intervalle die Durchschnitts- und ggf. Differenzintervalle und fasst
sie zu einer Menge G_r zusammen, erhaelt man die gesuchte Menge
paarweise disjunkter Intervalle. Diese sind aber zu Punkten
"entartet" und somit keine Intervalle mehr. Die gesuchte Menge
ist identisch mit der Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls.
Sie ist daher nicht geeignet, den beabsichtigten Beweis zu liefern,
dass es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben muss, sie
liefert aber auch nicht den Gegenbeweis, sondern man steht wieder
am Anfang der Fragestellung.
Der Gedanke hinter Wolfgangs Ueberlegung ist im Prinzip richtig,
er wuerde aber nur dann zu einem unanfechtbaren Beweis fuehren,
wenn der Grenzfall kontinuierlich erreichbar waere. Damit ist gemeint,
dass man ihn durch schrittweises Bilden der Durchschnittsintervalle
oder durch immer feinere Unterteilung des Einheitsintervalls nicht
erreicht. Man kann daher den Uebergang von noch abzaehlbar unendlichen
Mengen disjunkter Intervalle zur ueberabzahlberen Menge nicht
"beobachten". Man kann nur das Endergebnis zur Kenntnis nehmen.
Dieses spiegelt aber nur die Voraussetzungen wieder, von denen
die Ueberlegung ausging. Man weiss nur, dass jede Menge, in der nicht
alle reellen Zahlen Endpunkt eines Intervalls sind, Intervalle
enthaelt, die sich noch weiter teilen lassen, so dass sie nicht die
gesuchte Menge der disjunkten Intervalle ist, bei denen die reellen
Zahlen nur als Endpunkte der Intervalle vorkommen. (Eigentlich
haette er nur irrationale Zahlen als Endpunkte verwenden duerfen.)
Die Menge aller Intervalle, die von rationalen Zahlen begrenzt
werden, muss auch echte Intervalle enthalten und nicht nur
einpunktige. Man kann die Intervalle als halboffen definieren,
indem die niedrigere rationale Zahl zum Intervall gehoert
waerend die groessere zum naechsten Intervall gehoert.
Die abzaehlbar unendliche Grenzmenge G_q, die nur disjunkte
Intervalle und alle rationalen Zahlen als Endpunkt eines
Intervalls enthaelt, muss existieren, auch wenn man kein Intervall
explizit angeben kann. In der Mathematik sind Existenzbeweise
von Dingen, die man nicht explizit angeben kann, nichts besonderes.
Die Existenz von G_q ist eine direkte Konsequenz der Existenz
der _Menge_ _aller_ rationalen Zahlen. (Diese Konsequenz gilt
nicht, wenn man die Zahlen nur als beliebig erweiterbare
Zahlenfolgen auffasst.) Auch aus der Begruendung, warum G_r
nur einpunktige Intervalle enthaelt, folgt, dass G_q auch
echte Intervalle enthalen muss, denn die Menge der Zahlen
ist in beiden Grenzmengen dieselbe, im zweiten Fall ist
aber nur ein Teil davon Endpunkt eines Intervalls.
Die Menge I der in den Intervallen von G_q (ohne die Endpunkte)
enthaltenen Zahlen ist die ueberabzaehlbare Menge der irrationalen
Zahlen des Einheitsintervalls. Die irrationalen Zahlen sind also
als infinitesimale Kontinua in den echten Intervallen von G_q
enthalten. Das steht im Widerspruch zu der allgemein akzeptierten
Aussage, dass es zwischen je zwei verschiedenen irrrationalen
Zahlen unendlich viele rationale Zahlen gibt. Die Tatsache, dass
dies auch umgekehrt gilt, ist ein starkes Indiz dafuer, dass die
beiden Zahlenmengen gleichmaechtig sein muessen.
Das vorstehende Ergebnis steht auch im Widerspruch zum Cantorschen
Diskontinuum. Dieses entsteht ebenfalls aus Intervallen, die nur
von rationalen Zahlen begrenzt werden. Im Grenzfall ziehen sich
diese Intervalle auf einzelne Punkte zusammen, die dann konsequenter-
weise nur rationale Zahlen sein koennen. Die Bereiche zwischen den
Punkten sind keine Elemente des Cantorschen Diskontinuums.
Trotzdem kommt die Theorie zu dem Schluss, dass das Diskontinuum auch
ueberabzaehlbar viele irrationale Grenzintervalle (= Punkte) enthaelt.
Dieser Fehlschluss entsteht dadurch, dass es irrationale Zahlen gibt,
die _vor_ dem Grenzuebergang immer in einem der dann noch echten
Teilintervalle enthalten sind. Vor dem Grenzuebergang ist aber die
Menge der Intervalle nicht nur abzaehlbar sondern sogar endlich.
Diese endlichen Intervalle muessen zwangslaeufig auch irrationale
Zahlen enthalten. Da es keinen kontinuierlichen Uebergang von dieser
Folge endlicher Mengen endlicher Intervalle zur ueberabzaehlbaren
Grenzmenge gibt, kann man aus dem Verhalten vor dem Grenzuebergang
keine Rueckschluesse auf die Eigenschaften der Grenzmenge ziehen.
Tatsaechlich ist die Grenzmenge ohne jede Ruecksicht auf die
Konstruktionsvorschrift fuer das vermeintliche Diskontinuum
definiert.
>
> Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
> bewerkstelligen. Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> nicht abzaehlbar ist.
Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
liegt die Beweiskraft?
Ein Beispiel:
Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
Liste angeordnet, z. B.
842
912
537
...
Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen. Durch "Cantorisieren"
der Diagonalen (also aendern der Ziffern) erhaelt man auch dreistellige
Zahlen, die nicht in dem von der Diagonalen erfassten Teil der Liste
enthalten sind. Nach Cantors Logik ist also die Menge der 3-stelligen
Zahlen ueberabzaehlbar.
Schreiben wir die Zahlen zum Vergleich in der Form
1 = |
2 = ||
3 = |||
...
Eine sinnvolle Cantorisierung der Diagonalen ist jetzt zwar nicht
mehr moeglich. Wenn man die Zahlen in ihrer natuerlichen Reihenfolge
aufschreibt, erfasst die Diagonale jetzt aber alle Zahlen. In jeder
g-adischen Schreibweise mit g > 1 dagegen ist die Anzahl der
darstellbaren Zahlen groesser als die Zahl der Stellen. Die Diagonale
ist nur ein Mass fuer die Anzahl der Stellen. Mit der Cantor-Methode
koennte man auch beweisen, dass die Menge der nat. Zahlen ueberabzaehlbar
ist. Man muesste die Diagonale nur von rechts oben nach links unten
ziehen, damit sie ggf. nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen
erfasst, wie sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls
nacheilende Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
Bei endlichen Mengen versagt also die Cantor-Methode. Was ist bei
unendlichen Mengen anders? Ist es nur die fehlende Kontrollmoeglichkeit,
so dass man nach Belieben spekulieren kann?
Gruss
Dieter
Horst Kraemer
Ich schlage vor, etwas praeziser zu sprechen. Der Begriff "enthaelt"
wird in so vielen Bedeutungsnuancen verwendet, dass es zu
Missverstaendnissen kommen kann.
Du willst sagen: es gibt (ueberabzaehlbar viele) abzaehlbare (endliche
und unendliche Mengen), deren Elemente paarweise disjunkte
Teilintervalle von [0,1] sind.
> Wolfgang meint, wenn ich ihn richtig verstehe, folgendes:
> Einige der Intervalle z. B. der Mengen A und B ueberschneiden sich.
> Wir bilden die Durchschnitte dieser Intervalle und fassen sie mit
> den evtl. verbleibenden Differenzintervallen zur neuen Menge X
> zusammen. X enthaelt nur paarweise disjunkte Intervalle.
>
> Bildet man nun von allen ueberabzaehlbar vielen Mengen disjunkter
> Intervalle die Durchschnitts- und ggf. Differenzintervalle und fasst
> sie zu einer Menge G_r zusammen, erhaelt man die gesuchte Menge
> paarweise disjunkter Intervalle. Diese sind aber zu Punkten
> "entartet" und somit keine Intervalle mehr. Die gesuchte Menge
> ist identisch mit der Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls.
> Sie ist daher nicht geeignet, den beabsichtigten Beweis zu liefern,
> dass es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben muss, sie
> liefert aber auch nicht den Gegenbeweis, sondern man steht wieder
> am Anfang der Fragestellung.
Korrekt. Die Verbindung aller Aufteilungen von [0,1] in Intervalle mit
Laenge>0 (es reichen bereits endliche Aufteilungen) ist keine
Aufteilung in Intervalle mit Laenge >0. Das Misslingen der
Konstruktion einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beweist nicht,
dass es eine derartige Menge nicht gibt.
> Der Gedanke hinter Wolfgangs Ueberlegung ist im Prinzip richtig,
> er wuerde aber nur dann zu einem unanfechtbaren Beweis fuehren,
> wenn der Grenzfall kontinuierlich erreichbar waere. Damit ist gemeint,
> dass man ihn durch schrittweises Bilden der Durchschnittsintervalle
> oder durch immer feinere Unterteilung des Einheitsintervalls nicht
> erreicht. Man kann daher den Uebergang von noch abzaehlbar unendlichen
> Mengen disjunkter Intervalle zur ueberabzahlberen Menge nicht
> "beobachten".
> Man kann nur das Endergebnis zur Kenntnis nehmen.
> Dieses spiegelt aber nur die Voraussetzungen wieder, von denen
> die Ueberlegung ausging. Man weiss nur, dass jede Menge, in der nicht
> alle reellen Zahlen Endpunkt eines Intervalls sind, Intervalle
> enthaelt, die sich noch weiter teilen lassen,
Natuerlich. Jedes Intervall jeder Menge von p.d. Intervallen laesst
sich wiederum in endlich oder sogar in abzaehlbar unendliche viele
Teile teilen und die neue Menge besteht wieder aus p.d. Intervallen.
> so dass sie nicht die
> gesuchte Menge der disjunkten Intervalle ist, bei denen die reellen
> Zahlen nur als Endpunkte der Intervalle vorkommen. (Eigentlich
> haette er nur irrationale Zahlen als Endpunkte verwenden duerfen.)
>
> Die Menge aller Intervalle, die von rationalen Zahlen begrenzt
> werden, muss auch echte Intervalle enthalten und nicht nur
> einpunktige. Man kann die Intervalle als halboffen definieren,
> indem die niedrigere rationale Zahl zum Intervall gehoert
> waerend die groessere zum naechsten Intervall gehoert.
Die (abzaehlbare) Menge _aller_ rechts halboffenen Teilintervalle von
[0,1) mit rationalen Endpunkten und Laenge>0 ist zunaechst nicht
paarweise disjunkt, da z.B. die Intervalle [1/2,2/3) und [1/2,3/4)
Elemente dieser Menge sind.
[
Zur Schreibweise [a,b): die eckige Klammer bedeutet, dass der
Randpunkt zur Menge gehoeren soll. Die runde Klammer bedeutet, dass er
nicht zur Menge gehoeren soll. Manche schreiben auch [a,b[
]
> Die abzaehlbar unendliche Grenzmenge G_q, die nur disjunkte
> Intervalle und alle rationalen Zahlen als Endpunkt eines
> Intervalls enthaelt, muss existieren, auch wenn man kein Intervall
> explizit angeben kann.
Ich sehe nicht von _welcher_ Grenzmenge G_q Du sprichst. Was soll der
Ausgangspunkt dieses "Grenzprozesses" sein und wie sieht ein Schritt
dieses Prozesses aus ? Ueberdies ist der Begriff "Grenzmenge" in der
Mengenlehre nicht definiert. Er ist eine sprachliche Metapher, mit der
man manchmal je nach Fall das Resultat einer wohldefinierten
Mengenoperation, z.b. Durchschnitt oder Vereinigung bestimmter Mengen,
bezeichnet. Wenn man nicht genau sagt, welche wohldefinierten
Mengenoperationen im Einzelfall hinter diesen Begriff stehen, ist er
sinnleer, da er keine Bedeutung "an sich" hat.
Die nicht durch konkrete Mengenoperationen untermauerte Verwendung
kann zu eklatanten Fehlschluessen fuehren, insbesondere dann, wenn man
ohne jede Begruendung annimmt, dass die "Grenzmenge" einer unendlichen
Folge von Mengen dieselben Eigenschaften wie die Folgenelemente hat.
Dass dies einmal der Fall ist, ist eher eine Ausnahme. In jedem Falle
muss es im Einzelfall konkret ueberprueft werden. Bis dahin sind
Aussagen ueber die "Grenzmenge" unbegruendete Vermutungen.
Das Hinschreiben von gewissen Eigenschaften A,B,C, die fuer eine Menge
sinnvoll sind, berechtigt nicht automatisch, von "der" oder "einer
Menge" mit den Eigenschaften A.B.C zu sprechen. Insbesondere dann
nicht, wenn sich zwei dieser Eigenschaften ausschliessen. Hier die
Eigenschaften "die Elemente sind paarweise disjunkt" und "jede
rationale Zahl kommt als Endpunkt eines Elements vor".
Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.
> In der Mathematik sind Existenzbeweise
> von Dingen, die man nicht explizit angeben kann, nichts besonderes.
> Die Existenz von G_q ist eine direkte Konsequenz der Existenz
> der _Menge_ _aller_ rationalen Zahlen.
Ich bin nicht sicher, dass wir mit "logisch" dasselbe meinen. Ich sehe
keine logische Konsequenz, mit der man auf die Existenz einer Menge
von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit Laenge >0 schliessen kann, bei
der jede rationale Zahl als Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Im
Gegenteil, ich habe oben nachgewiesen, dass eine Menge von halboffenen
Teilintervallen von [0,1) mit Laenge >0, in der jede rationale Zahl
als Endpunkt eines Intervalls vorkommt, nicht paarweise disjunkt sein
kann. Wie willst Du Dich ueber diese Argumentation "logisch"
hinwegsetzen ?
Bestreitest Du, dass (a+b)/2 eine rationale Zahl ist, wenn a und b mit
a<b rationale Zahlen sind ?
Bestreitest Du, dass die Intervalle
[a,b) und [x,(a+b)/2)
bzw.
[a,b) und [(a+b)/2,x)
mindestens eine gemeinsame rationale Zahl enthalten, also nicht
disjunkt sind ?
> Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht.
> Es
> interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> liegt die Beweiskraft?
Es soll bewiesen werden, dass man die Menge der unendlichen Folgen von
Ziffern, z.b. die Menge der unendlichen 0-1-Folgen nicht so
"numerieren" kann, so dass jede Folge eine verschiedene Nummer
bekommt, d.h. es wird bewiesen, dass es bei _jeder_ beliebigen
Zuordnung f
natuerliche Zahl -> Folge
bei der _jeder_ natuerlichen Zahl irgendeine 0-1-Folge zugeordnet
wird, immer ein Folge gibt, die keine "Nummer" hat.
Beweis. Sei f eine beliebige Abbbildung von N in die Menge der
0-1-Folgen.
f(i) bezeichne die 0-1-Folge, die der natuerlichen Zahl i zugeordnet
ist.
f(i)_k bezeichne das k-te Elemente der 0-1-Folge, die der natuerlichen
Zahl i zugeordnet ist.
Wir betrachten die eindeutig definierte Folge (a), dessen k-tes
Element
a_k = 1-f(k)_k
lautet. a_k ist also das "Gegenteil" des k.Elements der Folge Nummer
k. Diese Folge (a) kommt nicht als Bild irgendeiner natuerlichen Zahl
j vor, denn fuer jedes j gilt ja per Definition, dass a_j=1-f(j)_j.,
also a_j _ungleich_ f(j)_j.
Somit gilt: (a) ungleich f(j) fuer alle j.
MfG
Horst
Detlef Mueller
>
...
>
> Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
> interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> liegt die Beweiskraft?
>
> Ein Beispiel:
> Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
> dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
> Liste angeordnet, z. B.
>
> 842
> 912
> 537
> ...
>
> Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen.
>
Die Diagonale Existiert nicht, da das Schema
nicht quadratisch ist, also nicht in jeder n-ten
Zeile auch eine n-te Spalte existiert.
Alles folgende ist also Quatsch.
< Quatsch gesnippt >
...
>
> Bei endlichen Mengen versagt also die Cantor-Methode.
>
Das kannst Du so nicht sagen.
Wann sind denn die Voraussetzungen gegeben?
Nur wenn Du Listen hast, bei denen die Anzahl
der Eintraege die gleiche Maechtigkeit hat, wie
die laenge eines jeden Eintrages.
Cantors Verfahren fuehrte also dazu, dass Du
beweisen kannst, dass Du nicht alle 3-stelligen
Zahlen in einer Liste _die genau drei Eintraege hat_
aufschreiben kannst:
Dann (und nur dann) kannst Du das Verfahren anwenden,
und ein Element konstruieren, dass an keiner Stelle
der Liste Vorkommt.
Wenn Du oben deine Liste dreistelliger Zahlen
durch fuehrende Nullen auf die passende Laenge
ergaenzt, so dass es eine Diagonale gibt, findet
Das Diagonalverfahren auch brav eine nicht darin
vorkommende Zahl (natuerlich ist die dann groesser
als 999, und damit ist dann nicht gezeigt, dass
man die Zahlen von 100 bis 999 nicht auflisten
koenne - das waere ja auch seltsam).
> Was ist bei
> unendlichen Mengen anders?
>
Bei abzaehlbar unendlichen Mengen von Elementen
mit je abzaehlbar unendlich vielen Stellen?
Nichts, bei denen kommt sogar die notwendige
Bedingung hin, dass die Listenelemente die gleiche
Maechtigkeit haben wie die Liste selbst, naemlich
abzaehlbar unendlich.
Jeder Eintrag hat abzaehlbar unendlich viele Stellen,
und es gibt auch abzaehlbar unendlich viele Eintraege.
Damit gibt es eine Diagonale, und man kann auch das
Diagonalverfahren anwenden.
Und wenn man hier, im gegensatz zu obigem Beispiel, von
dem konstruierten Element zeigen kann, dass es in
der Menge der aufzuzaehlenden Elemente liegt,
liegt der klassische Diagonalbeweis vor.
Gruss,
Detlef
Wolfgang G. G.
| Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
| der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
| nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
| nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
| sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
| Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
Genial!
Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
1) ...000000001
2) ...000000010
3) ...000000011
4) ...000000100
5) ...000000101
...
Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
und "1"). Es ergibt sich
c) ...111111100
Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.
(Sofern wir uns nur mit ins Unendliche erweiterbaren endlichen
Mengen beschäftigen, wird die unendliche Anzahl führender "1"
nicht benötigt).
Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
Glaubenssache.
Horst Kraemer in 3b6f9fb5...@news.cis.dfn.de :
> Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
> Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
> Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
> I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
> als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
> rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
> I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.
Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.
Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
Element der Menge sein.
Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
nicht allesamt (aktual) gegeben sind!
Gruss, Wolfgang
Horst Kraemer
wrote:
> Horst Kraemer in 3b6f9fb5...@news.cis.dfn.de :
>
> > Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
> > Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
> > Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
> > I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
> > als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
> > rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
> > I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.
> Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
> es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
> des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
> mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.
Wer hat behauptet, dass irgendetwas "verschwindet" ? Wenn ich annehme,
dass eine als existent vorausgesetzte Menge ein Intervall [a,b) mit
a<b enthaelt, bin ich nicht bereit, dieses wieder "verschwinden" zu
lassen.
Dass es genuegt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen,
waere mir neu. Wie unterscheidet man zwischen den Intervallen [0,1]
und [1/2,1] wenn nur der obere Grenzpunkt bekannt ist ?
Ausserdem wird in einer Menge nichts "verkuerzt". Eine Menge ist etwas
Statisches, sie _wird_ nicht, sondern sie _ist_. Jedenfalls nach der
Auffassung von Menge, auf die sich der Begriff "Abzaehlbarkeit"
stuetzt, dessen Konsistenz Du angeblich widerlegen willst.
Und wenn die als existent angenommene Menge von Intervallen mit
Laenge>0, bei der jede rationale Zahl als Endpunkt eines Intervalls
vorkommen soll, zusaetzlich zu irgendeinem beliebigen [a,b) noch ein
weiteres Intervall mit einem Randpunkt (a+b)/2 und einer Laenge>0 als
Element enthaelt, dann enthalten dieses Intervall und das Intervall
[a,b) mindestens ein gemeinsames Element und die Intervalle dieser
Menge sind damit nicht paarweise disjunkt. q.e.d. Jetzt bin ich mir
allerdings nicht mehr sicher, ob Du meinen Beweis bestaetigen oder
anzweifeln wolltest. Dies geht aus Deiner Nachricht leider nicht
abschliessend hervor.
MfG
Horst
Rainer Rosenthal
>
> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl
> Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.
Grausliger Käse - Volksverdummung. Pfui !
Warum setzst Du Deinen sicherlich vorhandenen Verstand
nicht mal etwas selbstkritischer ein ?
Es ist wirklich ein Ärgernis, was hier verzapft wird.
Empört,
Rainer
Sönke Müller-Lund
> Dieter Jungmann in 3B6F6E0F...@t-online.de :
>
> | Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
> | der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
> | nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
> | nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
> | sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
> | Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
>
> Genial!
Genial?
Um es diplomatisch zu formulieren:
Dieters Idee ist absolut unbrauchbar!
Denn: Man kann die Diagonale von rechts oben nach links unten nicht
bilden. Wie lautet denn das erste Glied dieser "Diagonalfolge"?
Die Diagonalfolge in Cantors Überabzählbarkeitsbeweis läßt sich sehr
wohl angeben, d.h. für jedes n aus IN lässt sich das n-te Glied
bestimmen.
> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
> sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
> an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
> und "1"). Es ergibt sich
>
> c) ...111111100
Was soll c) sein? Eine natürliche Zahl ist das jedenfalls nicht, denn
Deine (Eure) natürlichen Zahlen sind _alle_ mit unendlich vielen Nullen
aufgefüllt, nicht mit unendlich vielen Einsen.
> Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
> mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
> nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.
Jede natürliche Zahl ist endlich und das charakterisiert gerade die
natürlichen Zahlen. Es ist mir klar, dass Dieter das bestreitet und alle
Beweise ignoriert.
> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt.
:)
Was soll man noch dazu sagen?
Dieter und Du führen "Beweise", die jeder Student im Grundstudium
Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
weiterbringen? Ich glaube kaum.
Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
> Nur ist halt die Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist
> oder nicht, primär Glaubenssache.
Mal Hand aufs Herz!
Glaubt Ihr wirklich, dass das nur Glaubenssache ist? (witzige Frage :) )
Meint Ihr nicht, dass wenn es so einfach wäre, die Mauern der Mathematik
einzureissen, dass nicht schon anderer Leute darauf gekommen wären?
Oder glaubt Ihr etwa, dass Ihr eine Verschwörung der Wissenschaftler auf
die Schliche gekommen seit, die über diese "gravierenden Lücken und
Widersprüche" das Mäntelchen des Schweigens decken?
Klingt das nicht ziemlich paranoid?
<pause/>
Um zwischenzeitlich mal wieder etwas Mathematik zu betreiben:
> Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
> es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
> des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
> mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.
Igendetwas kommt mir hier bekannt vor. ;)
> Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
>
> Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> Element der Menge sein.
>
> Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> nicht allesamt (aktual) gegeben sind!
Nein, sie lassen sich nicht nach der Größe abzählen.
Du kannst die rationalen zwar abzählen und damit auch eindeutige
Vorgänger und Nachfolger bestimmen, aber mit der Bijektion von IN nach
IQ überträgt sich NICHT die Ordnung von IN auf IQ. Ein
"Ordnungsisomorphismus" zwischen IN und IQ existiert nicht (eben wegen
a<(a+b)/2<b).
>
> Gruss, Wolfgang
In diesem Sinne
Sönke
Arnold Schiller
>
> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
> Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
> Glaubenssache.
>
Ich denke nicht, dass damit eine Überabzählbarkeit von |N bewiesen wäre.
Eine Zahl ist wie auch immer eine abgeschlossene Einheit. Ich kann eine
Zahl immer nur dann setzen, wenn ich diesen Abschluss tätige. Setze ich
diesen Abschluss nicht, befinde ich mich in einer undefinierten
Unendlichkeit. Warum die natürlichen Zahlen abzählbar unendlich sind,
ist leicht an einem anderen Beispiel nachvollziebar:
Eine Zahl ist wie ich oben postulierte immer eine abgeschlossene Einheit
ohne irgendeine besondere Eigenschaft. Dieses kann ich zum Beispiel mit
einem Klammersymbol ausdrücken {} Anfang und Ende einer x-beliebigen
Zahl. Nun kann ich wenn ich will darauf eine Definition aufbauen.
{} =: 0
{{}} =: 1
diese Definition kann ich dann x-beliebige in die Unendlichkeit hinein
erweitern.
{{{{{{{{{{}}}}}}}}}} =: 9 usw
die gröstmögliche Zahl ist nur dann eine Zahl, wenn es immer noch aus
einem Klammernpaar besteht.
Insofern kann ich dieses als abzählbar bezeichnen. Es ist links und
rechts ausgewogen und es ist eigentlich egal wieviel { und } ich links
und rechts von der Mitte stehen habe. Es ist auch oo schliesslich und
endlich eine Zahl, die zählbar ist. Anders sähe es aus, wenn dieses
Gleichgewicht nicht mehr gegeben ist.
Gruss
Arnold
Thomas Haunhorst
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>Dieter und Du führen "Beweise", die jeder Student im Grundstudium
>Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
>Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
>weiterbringen? Ich glaube kaum.
>Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"
spricht), ist nunmal nicht zu beweisen.
Will man das "Konzept der Ueberabzaehlbarkeit" angreifen, dann darf man nicht
mathematisch argumentieren, sondern philosophisch. Aber dann muss man auch
das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das Unendlichkeits-
axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
Ende haben.
Gruss Thomas
--
Arnold Schiller
> auch jedem^H^H^H fast jedem klar, warum das Probleme macht.
klar!
Was ist Klarheit?
Ein Widerspruch ist auch klar.
Je grösser das Erlernte desto grösser die Gewissheit und desto kleiner
das Wissen.
Thomas Haunhorst
>Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
>Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
>weiterbringen? Ich glaube kaum.
>Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"
spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).
Sönke Müller-Lund
> >Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
> >überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
> >besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
> >gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
> >betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
> >ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
>
> Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
> ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"
> spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).
endlich mal ein interessanter Aspekt in dieser eher müßigen Diskussion.
Zumal habe ich einige Fragen hierzu:
- Was ist ZF genau? Die uns bekannte Mathematik?
- Wenn man beweisen kann, dass man nicht beweisen kann, dass ZF
konsistent ist, dann kann man auch nicht beweisen kann, dass ZF
inkonsistent ist (was immer auch ZF sein mag), oder was meinst Du mit
"ist nunmal nicht zu beweisen"?
Klingt wie die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von Cantor.
> Will man das "Konzept der Ueberabzaehlbarkeit" angreifen, dann darf man nicht
> mathematisch argumentieren, sondern philosophisch.
Ja Moment!
Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?
> Aber dann muss man auch
> das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das Unendlichkeits-
> axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
> Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
> die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
> Ende haben.
Ist das nun möglich?
Oder hat irgendjemand bewiesen, dass zwar sich widersprechende Sätze
existieren, aber deren Angabe nicht möglich ist?
Ich will das wirklich wissen.
Sönke
Thomas Haunhorst
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>Moin Thomas,
>
>> >Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>> >überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>> >besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>> >gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>> >betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>> >ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
>>
>> Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
>> ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und
>> "Ueberabzaehlbarkeit"
>> spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).
>
>endlich mal ein interessanter Aspekt in dieser eher müßigen Diskussion.
>
>Zumal habe ich einige Fragen hierzu:
>- Was ist ZF genau? Die uns bekannte Mathematik?
ZF ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, welches in der Sprache der
Mengenlehre mit einem zweistelligen Praedikatszeichen, das Elementzeichen,
formuliert wird.
Darunter zaehlt das Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, das
Schema der Aussonderungsaxiome, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom,
Extensionalitaetsaxiom, das Schema der Ersetzungsaxiome (evtl. noch das
Fundierungsaxiom; vielleicht habe ich auf die Schnelle eines vergessen)
Begriffe wie "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit" sind
mengentheoretische Begriffe, und Cantor hat (noch in seiner "naiv" angwen-
deten Mengenlehre) gezeigt, dass die Menge der reellen Zahlen ueberabzaehlbar
ist. Diese Begriffe beziehen sich also auf Mengen; sie sind also Begriffe
der Sprache der Mengenlehre. Die Analysis verwendet Begriffe dieser Sprache
wie auch viele andere Teile der Mathematik.
>- Wenn man beweisen kann, dass man nicht beweisen kann, dass ZF
>konsistent ist, dann kann man auch nicht beweisen kann, dass ZF
>inkonsistent ist (was immer auch ZF sein mag), oder was meinst Du mit
>"ist nunmal nicht zu beweisen"?
Ist ZF konsistent, so laesst sich diese Konsistenz nicht /innerhalb/ von
ZF beweisen. Das heisst aber nicht, dass die Moeglichkeit ausgeschlossen
waere, zu zeigen, dass ZF inkonsistent sei. Wir wissen es einfach (mathe-
matisch) nicht, ob ZF konsistent ist.
>Ja Moment!
>Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
>überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?
Tja, man koennte auch sagen: Wuerden wir nicht etwas verpassen, wenn wir
annehmen wollten, dass ZF inkonsistent sei? Tatsaechlich geht man von der
Konsistenz von ZF aus, und das ist alles, was wir haben; es sind pragmatische
Gruende oder besser Rechtfertigungen.
>
>> Aber dann muss man auch
>> das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das
>> Unendlichkeits-
>> axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
>> Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
>> die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
>> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
>> Ende haben.
>
>Ist das nun möglich?
Die Moeglichkeit muss nicht ausgeschlossen sein; man weiss es einfach nicht.
Wenn jemand die Konsistenz von ZF /in/ ZF beweist, dann ist ZF nicht kon-
sistent.
>Oder hat irgendjemand bewiesen, dass zwar sich widersprechende Sätze
>existieren, aber deren Angabe nicht möglich ist?
Es geht darum, ob ein Satz und seine Negation aus einem Sequenzkalkuel inner-
halb der Sprache von ZF zu beweisen sind.
Du musst Dir das so "vorstellen". Du hast ein Alphabet begegeben mit einer
Menge von Variablen, Junktoren und einem Praedikatssymbol (das Elementzeichen).
In dieser Sprache koennen nach gewissen Regeln Terme und Ausdruecke und
Saetze gebildet werden. Das ist vorgeschrieben, wie man das macht. Was
ein Beweis ist, wird definiert durch einen Kalkuel, ein Regelsystem, wie
man - salopp gesprochen - Saetze miteinander "verbinden" und zu Saetzen
uebergehen kann, also eine Sequenz von Saetzen, die (Kalkuel)Regeln folgen.
Eine Theorie T ist dann konsistent, wenn aus diesem Kalkuel nicht sowohl
ein Ausdruck p als auch der Ausdruck ~p hergeleitet werden kann.
Es ist von Goedel bewiesen worden, dass man innerhalb von ZF (bei Annahme der
Konsistenz von ZF) eben die Konsistenz von ZF nicht zeigen kann.
Gruss Thomas
--
Norbert Micheel
> Dieter Jungmann in 3B6F6E0F...@t-online.de :
>
> | Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
> | der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
> | nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
> | nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
> | sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
> | Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
>
> Genial!
*hust*
> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
> sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
> an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
> und "1"). Es ergibt sich
>
> c) ...111111100
>
> Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
> mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
> nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.
Leider ist dieser 0,1 Folge ueberhaupt keine natuerliche Zahl zugeordnet
> (Sofern wir uns nur mit ins Unendliche erweiterbaren endlichen
> Mengen beschäftigen, wird die unendliche Anzahl führender "1"
> nicht benötigt).
witzig. wenn du die "fuehrenden 1en" in deinem c) entfernst, bleibt dir
nichts.
> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
> Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
> Glaubenssache.
Eigentlich hast du damit eher die Ueberabzaehlbarkeit der Menge aller
unendlichen 0,1 Folgen bewiesen.
Was bestimmt keinen Widerspruch zur Mengenlehre ergibt.
> Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
>
> Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> Element der Menge sein.
>
> Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> nicht allesamt (aktual) gegeben sind!
Die Behauptung dass rationale Zahlen sich "ordnen" lassen, so dass es einen
"Nachbar" gibt, ist einfach falsch. Das macht Folgerungen aus dieser
Behauptung ziemlich sinnleer.
Mit "uebergehen" hat das nichts zu tun.
N
Wolfgang G. G.
"einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.
Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
zu hantieren gelernt haben.
Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,
dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch, denn
die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
dazwischenliegende Grenzlinie gehört.
Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
diskreten Objekten) versteht, macht die Unterscheidung in
offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
Sinn. Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:
[3, 7[ = {3, 4, 5, 6}
Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen
]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
[1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.
Die zwei Fälle mögen dann so aussehen:
offenes oberes Ende: < '2.0' entspricht < 1.999995
geschlossenes Ende: <= '2.0' entspricht <= 2.000005
Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
Menge diskreter Objekte, sondern um ein (1-dimensionales)
Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.
Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
unendliche Menge benennbarer und somit abzählbarer DISKRETER
Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
bezeichnet.
Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
diesen Zahlen.
Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
aber auch beim reellen Kontinuum Sinn, wie die Funktion
f(x) = 1 / (1 - x^2)
zeigt. Die Funktion ist im Intervall ]-1, 1[ , nicht jedoch
im Intervall [-1, 1] definiert, da die Funktionswerte gegen
unendlich streben, wenn x sich den Endpunkten des Intervalls
nähert.
Das heisst, je grössere Werte wir als Funktionswerte zulassen,
desto mehr kann sich das Intervall zu den Grenzpunkten hin
ausdehnen. Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
bleibt immer ein echtes Intervall.
Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
Zahlen identisch sind.
Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
entstehen, würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt
sein müssen, auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
reellen Zahl wären.
Zusammenfassung:
Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
Einheiten).
Gruss,
Wolfgang Gottfried G.
Meine vorigen Beiträge:
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
Norbert Micheel
"Norbert Micheel" <N.mi...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3b709...@news.arcor-ip.de...
>
> > Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> > Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
> >
> > Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> > Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> > beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> > auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> > Element der Menge sein.
> >
> > Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> > dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> > warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> > Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> > nicht allesamt (aktual) gegeben sind!
> Die Behauptung dass rationale Zahlen sich "ordnen" lassen, so dass es
einen
> "Nachbar" gibt, ist einfach falsch. Das macht Folgerungen aus dieser
> Behauptung ziemlich sinnleer.
> Mit "uebergehen" hat das nichts zu tun.
Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
"ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich auch
schon hier beschrieben.
Aber da nur von "der Groesse nach ordnen" die Rede war, ging ich nur von der
ueblichen Ordnung aus, die ja wohl implizit gemeint war.
N
Dieter Jungmann
>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> ...
> >
> > Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> > wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> > einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
> > interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> > erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> > liegt die Beweiskraft?
> >
> > Ein Beispiel:
> > Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
> > dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
> > Liste angeordnet, z. B.
> >
> > 842
> > 912
> > 537
> > ...
> >
> > Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen.
> >
> Falsch.
> Die Diagonale Existiert nicht, da das Schema
> nicht quadratisch ist, also nicht in jeder n-ten
> Zeile auch eine n-te Spalte existiert.
> Alles folgende ist also Quatsch.
>
> < Quatsch gesnippt >
Danke fuer das Eingestaendnis. Wo die Argumente ausgehen,
beginnt die Polemik.
Gut, dann wenden wir diese Kriterien einmal auf die abzaehlbar
unendliche Menge N der nat. Zahlen an. Um alle nat. Zahlen darstellen
zu koennen, werden unendlich viele Stellen benoetigt, das wurde in
der zurueckliegenden Diskussion bestaetigt. Um eine einheitliche
Laenge der Zahlen zu erhalten, beruecksichtigen wir auch die fuehrenden
Nullen. Da die Anordnung der Zahlen in der Liste beliebig ist, ordnen
wir sie so an, dass die Anzahl der von 0 verschiedenen Ziffern am Ende
der Zahl von Zeile zu Zeile um wenigstens eine Stelle zunimmt. Z. B.
1) ...000 000 321
2) ...000 005 823
3) ...000 070 230
4) ...000 900 035
...
Die Diagonale von rechts oben nach links unten enthaelt jetzt nicht
nur Einsen und Nullen. Ausserdem erfasst sie nicht alle nat. Zahlen,
denn es gibt (abhaengig von der Stellenzahl) viele Zahlen mit der
gleichen Stellenzahl, waehrend die Diagonale nur je eine Zahl mit
gleicher Sellenzahl erfasst. Die uebrigen Zahlen mit denselben
Stellenzahlen stehen am Ende der Liste und werden von der Diagonalen
nicht erreicht. Nach deinem Kriterium ist die Menge der nat. Zahlen
also ueberabzaehlbar.
Der Einwand, die Diagonalzahl habe unendlich viele Stellen und
sei deshalb keine nat. Zahl, ist aus zwei Gruenden nicht stichhaltig.
Erstens kann man sie so "cantorisieren", dass die cantorisierte Zahl
unendlich viele fuehrende Nullen hat und die endliche Anzahl der von
0 verschiedenen Stellen eine Zahl ergibt, die nicht in dem von der
Diagonalen erfassten Teil der Liste vorkommt.
Zweitens macht die Diagonalzahl nur von den Stellen Gebrauch, die
anerkanntermassen zur Darstellung aller nat. Zahlen gebraucht werden.
Dass dabei eine Zahl mit unendlich vielen Stellen herauskommt, steht
zwar im Widerspruch zu den Aussagen der Theorie, aber gerade deshalb
ist sie ja nicht konsistent. Man kann doch nicht in einer serioesen
Theorie alle logischen Ueberlegungen, die zu einem Widerspruch fuehren,
einfach als unzulaessig erklaeren. Jede Ziffer der Diagonalzahl
schneidet eine Zeile. Und die Zahl, die in dieser Zeile steht, hat
mindestens so viele Stellen wie die Diagonale vom Schnittpunkt bis zu
ihrem Ende. Da jede Ziffer der Diagonalen eine Zeile schneidet, gibt
es wenigstens eine Zeile mit einer Zahl mit unendlich vielen Stellen,
wenn die Diagonale unendlich viele Stellen hat. Dies laesst sich nur
vermeiden, wenn eine obere Grenze fuer die Laenge der Diagonalen
festgesetzt wird.
Noch eine andere Ueberlegung: Wir sind uns darin einig, dass abzaehlbar
unendlich viel Dezimalstellen ueberabzaehlbar (im Cantorschen Sinne)
viele verschiedene Ziffernfolgen ergeben. Davon kann nur eine
abzaehlbare Teilmenge auf N abgebildet werden und diese Teilmenge
wird ja auch zur Darstellung der nat. Zahlen verwendet. Wie grenzt
sich diese Teilmenge von der Gesamtmenge ab?
Du kannst sagen: Wenn die Ziffernfolge unendlich viele fuehrende
Nullen hat, repraesentiert sie eine nat. Zahl, sonst nicht. Dieses
Auswahlkriterium liefert aber keine Menge sondern eine beliebig
erweiterbare Folge. Es kaeme also darauf an zu klaeren, wie das
Unendlichkeitsaxiom dieses Auswahlkriterium praezisiert, so dass
man tatsaechlich eine abzaehlbar unendliche Teil_menge_ der
ueberabzahlbaren Zeichenmenge erhaelt, die sich nicht nur verbal
von der beliebig erweiterbaren Folge unterscheidet.
Gruss
Dieter
Dieter Jungmann
>
...
>
> Die (abzaehlbare) Menge _aller_ rechts halboffenen Teilintervalle von
> [0,1) mit rationalen Endpunkten und Laenge>0 ist zunaechst nicht
> paarweise disjunkt, da z.B. die Intervalle [1/2,2/3) und [1/2,3/4)
> Elemente dieser Menge sind.
Richtig, hier habe ich mich ungenau ausgedrueckt. (Mir schien im
Kontext klar zu sein, was gemeint ist, aber du hast recht, dass
man sich bei diesem Thema keine Nachlaessigkeit leisten darf.)
Gemeint war die Menge der kleinsten rechts halboffenen Intervalle
von [0,1] mit rationalen Endpunkten.
Die Vorstellung von einem "kleinsten" solchen Intervall ist unsinnig,
wenn man unendliche Folgen nicht als Mengen sondern als beliebig
erweiterbare Folgen versteht. Deine Argumentation trifft auf genau
diese Vorstellung zu. Wenn man aber die Existenz der _Menge_ _aller_
rationalen Zahlen per Axiom voraussetzt und auch noch den Unterschied
zwischen der abzaehlbaen Menge der rationalen und der ueberabzaehlbaren
Menge der irrationalen Zahlen einfuehrt, muss die Frage nach dem
kleinsten Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen ernsthaft gestellt
werden. Wenn sie sich trotzdem nicht beantworten laesst, ist das nach
meiner Einschaetzung ein deutliches Indiz fuer eine Inkonsistenz der
Theorie.
Der "kleinste" Abstand muss natuerlich, wenn er existiert, eine
infinitesimale Groesse sein, deren Charakteristikum es ja gerade
ist, dass sie sich nicht explizit angeben laesst. Wenn du also
nach einem Intervall [a,b) und einer Zahl (a+b)/2 fragst, dann
fragst du nach einem Intervall, das nicht Element der Grenzmenge
G_q ist. G_q ist genau so wenig konstruktiv durch einen
kontinuierlichen Grenzuebergang definierbar wie die "Grenzmenge"
G_r, die alle reellen Zahlen von [0,1] enthaelt. Den einpunktigen
"Grenzintervallen" von G_r entsprechen die infinitesimalen Abstaende
zwischen zwei benachbarten rationalen Zahlen, zwischen denen sich ein
infinitesimales Kontinuum reeller Zahlen befindet. Dies ist, um
Missverstaendnissen vorzubeugen, nicht meine persoenliche Ueberzeugung
sondern eine Konsequenz aus den Aussagen der Mengenlehre.
Zu diesem Schluss komme ich auch auf folgendem Wege. Wir nehmen ein
beliebiges Cantorsches Diskontinuum D des Einheitsintervalls. Es geht
jetzt nicht darum, ob es konstruierbar ist, sondern wir setzen es als
existent voraus. Es enthaelt ueberabzaehlbar viele isolierte einzelne
Zahlen und nur solche. Die Komplemantaermenge C enthaelt die reellen
Zahlen des Einheitsintervalls, die nicht in D sind. Die Elemente von C
seien aber nicht die Zahlen sondern die Intervalle, die durch die Elemente
von D definiert sind und die Zahlen enthalten, die nicht in D sind.
C enthaelt echte (offene) Intervalle, aber nicht nur solche. Da die
Anzahl der Elemente von C ebenfalls ueberabzaehlbar ist, muss C auch
ueberabzaehlbar viele isolierte Zahlen enthalten. Die Vereinigungsmenge
einer einzelnen solchen Zahl aus C mit D enthaelt dann drei benachbarte
Zahlen, zwischen denen keine andere Zahl mehr Platz hat, obwohl es dies
nicht geben duerfte.
Da alle f(i) unterschiedlich sind und ohnehin jedem f(i) eine nat. Zahl
zugeordnet ist, kann man die f(i) auch zur Darstellung der nat. Zahlen
verwenden. Ob das zweckmaessig und in der Praxis (wegen moeglicher
technischer Schwierigkeiten) ueberhaupt realisierbar ist, spielt fuer
die theoretische Ueberlegung keine Rolle. (Man koennte sogar N auf eine
abzaehlbare Teilmenge der irrationalen Zahlen abbilden und diese dann
zur Darstellung der nat. Zahlen verwenden.)
Wenn nun die Existenz der Folge (a) die Ueberabzaehlbarkeit der f(i)
beweist, ist damit nur die Ueberabzaehlbarkeit der nat. Zahlen bewiesen.
Schliesslich hat eine unendliche Menge kein letztes Element. Warum
sollte man den f(i) also nicht die Folge (a), die ja auch nicht mehr
Stellen als die f(i) hat, hinzufuegen koennen, ohne dass sich dadurch
die Maechtigkeit der Vereinigungsmenge der f(i) mit (a) gegenueber der
Menge der f(i) veraendert?
Mich erinnert dieser Beweis in fatatler Weise an die Russellsche
Antinomie.
Zum Diagonalbeweis habe ich in meiner Antwort an Detlef Mueller noch
einmal Stellung genommen, so dass ich hier nicht weiter darauf eingehen
moechte.
Gruss
Dieter
Boris 'pi' Piwinger
Ich sehe zwar nicht, was das mit Philosopie zu tun hat, aber bitte.
Den Bezug zum Krieg im Subject sehe nun aber wirklich nicht.
>Die Meinung, echte Intervalle wie z.B. [0,1] würden sich aus
>"einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
>Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.
Das halte ich fuer recht mutig. Natuerlich gibt es "einpunktige
Intervall", es gibt fuer die Anfuehrungszeichen also keinen Grund. Und
die Elemente eines Intervalls reeller Zahlen sind -- Ueberraschung! --
reelle Zahlen. Das hat weniger mit einem Grundprinzip, "das heutzutage
als Standard gilt" zu tun als mit der simplen Definition eines
Intervalls reeller Zahlen.
>Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
>Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
>Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
>der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
>zu hantieren gelernt haben.
Der Sinn dieser Aussage erschliesst sich mir nicht.
>Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,
Was ist eine Ausdehnung? Der Begriff macht fuer einzelne reelle Zahlen
keinen Sinn. Du meinst wahrscheinlich die Laenge eines Intervalls, der
Spezialfall eines Masses (eines bestimmten, kanonischen Masses).
>dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch, denn
>die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
>ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
>dazwischenliegende Grenzlinie gehört.
Das ist grober Unfug. Zwei Sachen sind nicht deswegen ident, weil sie
gleich gross sind (in welchem Sinne auch immer).
>Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
>diskreten Objekten) versteht,
Genau das ist die Definition.
>macht die Unterscheidung in
>offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
>Sinn.
Eben.
>Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:
>
> [3, 7[ = {3, 4, 5, 6}
>
>Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen
>
> ]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
> [1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
>
>und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
>Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
>hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
>begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
>bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
>Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
>das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.
Und wo bitte hast Du bei rationalen Zahlen ein Intervall? Jedes
Intervall rationaler Zahlen mit mehr als einem Punkt enthaelt
abzaehlbare viele Punkte.
>Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
>Menge diskreter Objekte,
Was verstehst Du unter diskret?
>sondern um ein (1-dimensionales)
>Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
>benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.
So?
>Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
>unendliche Menge
Wieso potentiell unendlich? Sie ist unendlich.
>benennbarer
Was ist daran wichtig?
>und somit abzählbarer
Was ist daran wichtig?
>DISKRETER
Was das sein soll, sehe ich immer weniger.
>Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
>bezeichnet.
Du scheinst im Kopf zu haben, was ein Intervall sein darf und was
nicht. Mit Mathematik hat das aber nichts zu tun.
>Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
>übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
>werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
>Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
>ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
>zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
>diesen Zahlen.
Voellig unklar, was das heissen soll.
>Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
>aber auch beim reellen Kontinuum Sinn,
Natuerlich.
>wie die Funktion
>
> f(x) = 1 / (1 - x^2)
Das ist keine Funktion. Das ist eine Zuordnungsvorschrift.
>Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
>interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
>gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
>bleibt immer ein echtes Intervall.
Warum sollte man den Bildbereich ueberhaupt einschraenken?
>Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
>Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
>durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
>zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
Man kann natuerlich jedes Intervall reeller Zahlen auch in endlich
oder abzaehlbar viele Intervalle zerlegen (auch disjunkt).
>dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
>Zahlen identisch sind.
Das waere falsch. Wenn r eine reelle Zahl ist, dann ist r ungleich
{r}.
>Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
>entstehen,
Richtig.
>würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt sein müssen,
Verschieden. Ja, zwei verschiedene reelle Zahlen sind verschieden.
>auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
>liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
>reellen Zahl wären.
Reelle Zahlen haben ebensowenig wie rationale Zahlen (mit der
kanonischen Ordnung) Nachbarn.
>Zusammenfassung:
Das war alles grober Unfug.
pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)
Horst Kraemer
<N.mi...@gmx.de> wrote:
> Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
> "ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich auch
> schon hier beschrieben.
Lt Auswahlaxiom<-->Wohlordnungssatz laesst sich sogar _jede_ Menge so
ordnen, dass jedes Element einen Nachfolger hat. Nur ist das "Angeben"
einer solchen Ordnung fuer ueberabzaehlbare Mengen nicht ganz leicht.
Aber in diesem Thread stoert dies nicht weiter, denn wir koennen ja
nicht einmal die natuerlichen Zahlen "angeben" ;-)
MfG
Horst
Roman Hanhart
> Reelle Zahlen haben ebensowenig wie rationale Zahlen (mit der
> kanonischen Ordnung) Nachbarn.
Ich bitte freundlich um die Erklärung, was eine rationale und eine reele
Zahl ist, beziehungsweise der Unterschied zwischen ihnen.
Danke!
--
Roman Hanhart
http://www.yoda.ch
mailto:ne...@yoda.ch
Jens Makait
"Roman Hanhart" <ne...@yoda.ch> schrieb im Newsbeitrag
news:9ktvb3$qan$1...@ruby.nextra.ch...
> Ich bitte freundlich um die Erklärung, was eine rationale und eine
reele
> Zahl ist, beziehungsweise der Unterschied zwischen ihnen.
etwas lax gesagt:
rationale Zahlen sind die Zahlen, die sich als Bruch aus ganzen Zahlen
schreiben lassen
1/2, 7/9, 12345/1, 8/4, ...
und die rellen Zahlen sind die (viieel mehr) Zahlen, die entweder
rational sind oder zwischen diesen liegen
Pi, e, Wurzel_aus_2, ln_von_2, 2*Pi, 3*Pi, Pi^e...
Mehr gibts in einer Dimension dann auch nicht!
Jens
Sönke Müller-Lund
> Die Meinung, echte Intervalle wie z.B. [0,1] würden sich aus
> "einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
> Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.
ich wiederhole mich ungern, aber das ist keine Meinung, sondern eine
Vereinbarung, eine Definition eben. Ich fasse die Definitionen reeller
(beschränkter) Intervalle zusammen:
Seien a,b aus IR mit a < b, dann sind
[a,b] := {x aus IR; a<=x<=b}
]a,b] := {x aus IR; a<x<=b}
[a,b[ := {x aus IR; a<=x<b}
]a,b[ := {x aus IR; a<x<b}
> Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
> Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
> Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
> der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
> zu hantieren gelernt haben.
IMO nein, sondern eher an unserem Wunsch, uns die Mathematik
"vorzustellen".
> Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,
> dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch,
0 ist in [0,1] enthalten, aber nicht in ]0,1[.
> denn die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
> ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
> dazwischenliegende Grenzlinie gehört.
Betreiben wir hier Mathematik oder Politik? ;)
Weiter unten zeigst Du sehr wohl, dass dieser Unterschied relevant ist.
> Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
> diskreten Objekten) versteht, macht die Unterscheidung in
> offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
> Sinn. Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:
>
> [3, 7[ = {3, 4, 5, 6}
ok.
>
> Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen
>
> ]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
Die Elemente der rechten Seite alle > 1/2, das Intervall ]1,2] enthält
aber auch z.B. 1/4 oder 1/8.
> [1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
dto.
> und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
> Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
> hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
> begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
> bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
> Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
> das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.
> Die zwei Fälle mögen dann so aussehen:
>
> offenes oberes Ende: < '2.0' entspricht < 1.999995
> geschlossenes Ende: <= '2.0' entspricht <= 2.000005
>
> Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
> Menge diskreter Objekte, sondern um ein (1-dimensionales)
> Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
> benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.
Nicht "sondern". Beides ist richtig!
Die reelle Zahlengerade IST eine Menge diskreter Objekter UND ein
Kontiuum.
> Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
> unendliche Menge benennbarer und somit abzählbarer DISKRETER
> Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
> bezeichnet.
Es ist eine rationales Intervall (tausche in obiger Definition IR durch
IQ).
> Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
> übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
> werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
> Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
> ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
> zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
> diesen Zahlen.
Folgefehler!
> Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
> aber auch beim reellen Kontinuum Sinn, wie die Funktion
>
> f(x) = 1 / (1 - x^2)
>
> zeigt. Die Funktion ist im Intervall ]-1, 1[ , nicht jedoch
> im Intervall [-1, 1] definiert, da die Funktionswerte gegen
> unendlich streben, wenn x sich den Endpunkten des Intervalls
> nähert.
Genau. Offenbar sind ]-1, 1[ und [-1, 1] doch nicht so ganz identisch.
> Das heisst, je grössere Werte wir als Funktionswerte zulassen,
> desto mehr kann sich das Intervall zu den Grenzpunkten hin
> ausdehnen. Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
> interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
> gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
> bleibt immer ein echtes Intervall.
>
> Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
> Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
> durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
> zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
> dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
> Zahlen identisch sind.
Die meisten Diskussionsteilnehmer können das sogar beweisen.
> Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
> entstehen, würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt
> sein müssen,
Nein, das folgt daraus eben nicht.
> auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
> liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
> reellen Zahl wären.
Auch das hatten wir schon einmal, rationale (und somit auch reelle)
Zahlen haben keine Nachbarn, noch nicht einmal unbenennbare.
>
> Zusammenfassung:
>
> Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
> Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
> mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
> Einheiten).
Versuch dich frei zu machen, von irgendwelchen Anschauungen und
Anwendungen.
Sönke
--
Sönke Müller-Lund Alter Markt 1-2 Flughafenstr. 52a
Baltic Online Computer GmbH 24103 Kiel 22335 Hamburg
http://www.baltic-online.de +49-(0)431-54003-0 +49-(0)40-5329939
Boudewijn Moonen
>
> Relle Zahlen sind Grenzwerte von Folgen.
>
Anette Stegmann wrote:
>
> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).
>
Die Synopsis, bitte.
MfG
--
Boudewijn Moonen
Institut fuer Photogrammetrie der Universitaet Bonn
Nussallee 15
D-53115 Bonn
Sönke Müller-Lund
> >Mehr gibts in einer Dimension dann auch nicht!
>
> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).
warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
Boris 'pi' Piwinger
>warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
>eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
Was ist ein IC-Vektorraum?
Sönke Müller-Lund
> >warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
> >eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
>
> Was ist ein IC-Vektorraum?
Was ist jetzt genau Deine Frage?
Das Symbol IC schreiben andere und ich für die Menge der komplexen
Zahlen. Man kann IC^n bilden und zeigen, dass IC^n ein Vektorraum ist,
was leicht aus der Eigenschaft "IC ist ein Körper" folgt.
Sönke
Sönke Müller-Lund
> Ist ZF konsistent, so laesst sich diese Konsistenz nicht /innerhalb/ von
> ZF beweisen. Das heisst aber nicht, dass die Moeglichkeit ausgeschlossen
> waere, zu zeigen, dass ZF inkonsistent sei. Wir wissen es einfach (mathe-
> matisch) nicht, ob ZF konsistent ist.
>
> >Ja Moment!
> >Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
> >überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?
>
> Tja, man koennte auch sagen: Wuerden wir nicht etwas verpassen, wenn wir
> annehmen wollten, dass ZF inkonsistent sei? Tatsaechlich geht man von der
> Konsistenz von ZF aus, und das ist alles, was wir haben; es sind pragmatische
> Gruende oder besser Rechtfertigungen.
ok, eine gewisse Inkonsistenz ist doch bekannt, z.B. wenn man "wahllos"
Mengen bildet, oder?
> >> ... Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
> >> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
> >> Ende haben.
> >
> >Ist das nun möglich?
>
> Die Moeglichkeit muss nicht ausgeschlossen sein; man weiss es einfach nicht.
> Wenn jemand die Konsistenz von ZF /in/ ZF beweist, dann ist ZF nicht kon-
> sistent.
Über diesen Satz muss ich erstmal nachdenken.
Gibt es ein "Metasystem", das ZF enthält? Wenn ja, welche Logik ist dann
noch anwendbar, d.h. was darf man in diesem Metasystem?
> Es ist von Goedel bewiesen worden, dass man innerhalb von ZF (bei Annahme der
> Konsistenz von ZF) eben die Konsistenz von ZF nicht zeigen kann.
Ich hatte gehofft, dass es hier eine Analogie zur Cantorschen
"Kontinuumshypothese" gibt, die sich nachweisslich weder beweisen noch
widerlegen lässt. Ich kann so tun, als ob die KH richtig wäre und
möglicherweise spannende Sätze beweisen. Die Richtigkeit der KH ist hier
in der Tat "irrelevant", sofern ich damit nicht versuchen würde zu
zeigen, dass die KH richtig ist.
So habe ich nur die Hoffnung, dass ZF konsistent ist.
Sönke
Rainer Rosenthal
Horst Kraemer <hhkr...@web.de> wrote
> "Norbert Micheel" wrote:
>
> > Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
> > "ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich
auch
> > schon hier beschrieben.
>
> Lt Auswahlaxiom<-->Wohlordnungssatz laesst sich sogar _jede_ Menge so
> ordnen, dass jedes Element einen Nachfolger hat.
Hallo Norbert und Horst,
Ausgangspunkt dieser Nachbarschaftsdebatte war folgender Satz von Wolfgang
G.G.
"Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben."
Packt man die rationalen Zahlen in eine schöne Reihenfolge, dann hat jede
Zahl ausser der ersten sogar zwei Nachbarn. Das ist bei allgemeiner
Wohlordnung
nicht mehr der Fall, weil da nur der Nachbar "darüber" sicher zuhause ist.
Direkt "drunter" wohnt manchmal eine ganze Meute, aber es gibt keinen
direkten
Nachbarn drunter.
Wenn wir allerdings die rationalen Zahlen mal nicht so aufzählen:
r(1), r(2), r(3), r(4), r(5), usw.
sondern so:
...... r(5), r(3), r(1), r(2), r(4), .......
dann hat auch die arme erste rationale Zahl r(1) zwei Nachbarn.
Gruss,
Rainer
Norbert Micheel
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B72241D...@t-online.de...
> Gut, dann wenden wir diese Kriterien einmal auf die abzaehlbar
> unendliche Menge N der nat. Zahlen an. Um alle nat. Zahlen darstellen
> zu koennen, werden unendlich viele Stellen benoetigt, das wurde in
> der zurueckliegenden Diskussion bestaetigt. Um eine einheitliche
> Laenge der Zahlen zu erhalten, beruecksichtigen wir auch die fuehrenden
> Nullen. Da die Anordnung der Zahlen in der Liste beliebig ist, ordnen
> wir sie so an, dass die Anzahl der von 0 verschiedenen Ziffern am Ende
> der Zahl von Zeile zu Zeile um wenigstens eine Stelle zunimmt. Z. B.
> 1) ...000 000 321
> 2) ...000 005 823
> 3) ...000 070 230
> 4) ...000 900 035
> ...
>
> Die Diagonale von rechts oben nach links unten enthaelt jetzt nicht
> nur Einsen und Nullen. Ausserdem erfasst sie nicht alle nat. Zahlen,
> denn es gibt (abhaengig von der Stellenzahl) viele Zahlen mit der
> gleichen Stellenzahl, waehrend die Diagonale nur je eine Zahl mit
> gleicher Sellenzahl erfasst. Die uebrigen Zahlen mit denselben
> Stellenzahlen stehen am Ende der Liste und werden von der Diagonalen
> nicht erreicht. Nach deinem Kriterium ist die Menge der nat. Zahlen
> also ueberabzaehlbar.
Am Ende der Liste ? Die Liste hat kein Ende.
Und die Diagonale erreicht jede Zeile der Liste.
> Der Einwand, die Diagonalzahl habe unendlich viele Stellen und
> sei deshalb keine nat. Zahl, ist aus zwei Gruenden nicht stichhaltig.
> Erstens kann man sie so "cantorisieren", dass die cantorisierte Zahl
> unendlich viele fuehrende Nullen hat und die endliche Anzahl der von
> 0 verschiedenen Stellen eine Zahl ergibt, die nicht in dem von der
> Diagonalen erfassten Teil der Liste vorkommt.
Na dann "cantorisiere" doch; nenne uns die Definition deiner Diagonale !
Und zeige dann, sie ist einerseits ein Element der Menge, aber sie kommt
nicht in der Liste vor.
MACH ES !
Und behaupte es nicht nur.
> Zweitens macht die Diagonalzahl nur von den Stellen Gebrauch, die
> anerkanntermassen zur Darstellung aller nat. Zahlen gebraucht werden.
> Dass dabei eine Zahl mit unendlich vielen Stellen herauskommt, steht
> zwar im Widerspruch zu den Aussagen der Theorie, aber gerade deshalb
> ist sie ja nicht konsistent. Man kann doch nicht in einer serioesen
> Theorie alle logischen Ueberlegungen, die zu einem Widerspruch fuehren,
> einfach als unzulaessig erklaeren.
Wolltest du die Diagonale nicht eben noch so "cantorisieren", dass sie
unendlichviele fuehrende Nullen hat ? Wieso betrachtest du sie dann jetzt
als ob sie unendlich viele Stellen haette ?
Du hast mehere Chancen:
Entweder deine konstruierte Ziffernfolge hat unendlich viele fuehrende
Nullen - dann ist sie Element der betrachteten Menge, aber du musst noch
zeigen, dass sie nicht in der Liste vorkommt, um den Cantor'schen
Widerspruch zu erhalten.
Oder die konstruierte Ziffernfolge hat nicht unendlich viele fuehrenden
Nullen - dann ist sie kein Element der Menge, auf die du Cantors
Diagonalverfahren anwenden willst.
Auf jeden Fall greift das Verfahren nicht und kann folglich auch keinen
Beweis der Ueberabzaehlbarkeit von IN erbringen. Also auch keinen
Widerspruch.
> Jede Ziffer der Diagonalzahl
> schneidet eine Zeile. Und die Zahl, die in dieser Zeile steht, hat
> mindestens so viele Stellen wie die Diagonale vom Schnittpunkt bis zu
> ihrem Ende.
Du meinst wohl "bis zu ihrem Anfang". Denn ein Ende hat die Diagonale ja
nicht.
Diese Stellenanzahl die du beschreibst ist also endlich...
> Da jede Ziffer der Diagonalen eine Zeile schneidet, gibt
> es wenigstens eine Zeile mit einer Zahl mit unendlich vielen Stellen,
> wenn die Diagonale unendlich viele Stellen hat.
Wie kommst du denn darauf ?
Das ist immer noch der gleiche Denkfehler wie zu Beginn all dieser
Diskusionen.
> Dies laesst sich nur
> vermeiden, wenn eine obere Grenze fuer die Laenge der Diagonalen
> festgesetzt wird.
Es laesst sich auch "vermeiden", wenn man erkennt das die eigene
Schlussfolgerung falsch ist.
N
Boris 'pi' Piwinger
>> >warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
>> >eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
>>
>> Was ist ein IC-Vektorraum?
>
>Was ist jetzt genau Deine Frage?
>Das Symbol IC schreiben andere und ich für die Menge der komplexen
>Zahlen.
Argh. Ueblicherweise bezeichnet man die Komplexen Zahlen mit einem C.
Daniel Wintermute
Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> schrieb in im Newsbeitrag:
9ksd3t$11b$1...@newsreaderg1.core.theplanet.net...
[]
> Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
> Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
> mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
> Einheiten).
>
"leicht widersprüchlich"?
Dass Dir Niemand die Widerspruchsfreiheit der reelen oder auch nur der
natürlichen Zahlen beweisen wird, ist richtig. Wenn Du das "leicht"
widersprüchlich findest ist das richtig, aber nicht zu ändern. Wenn Du einen
echten handfesten logischen Widerspruch meinst (zu den Axiomen nicht zur
intuitiven Vorstellung), wundere ich mich warum man den nicht ganz konkret
angeben kann und er von nicht proffessionellen Mathematikern anerkannt wird
(handelt es sich etwa um eine Verschwörung?).
Dass die Mathematik hin und wieder mit der intuitiven Anschauung zu
kollidieren scheint (weiches Paradoxon), ist nichts neues. Gegen die reelen
Zahlen werden seit jeher Argumente angeführt, aber eine solche Diskussion
sollte konstruktiv geführt werden.Daher wer meckert hat bitte auch für
bessere alternativen zu sorgen.
Dass das Kontinuum aus diskreten Punkten bestehen soll (und dann auch noch
gleich aus überabzählbar vielen), mag befremdlich erscheinen, aber man kann
damit arbeiten. Es sind bisher auch keine harten Paradoxien aufgetaucht,
daher echte logische Widersprüche.
kurz:
Philosophische Argumente gegen die reelen Zahlen gibt es viele und sie sind
in aller Regel nicht neu. Sie werden aus pragmatischen Gründen nur von einer
sehr kleinen Minderheit überhaupt ernsthaft zur Kenntnis genommen. Handfeste
logische Argumente gegen die reelen Zahlen sind mir unbekannt.
>
> Gruss,
> Wolfgang Gottfried G.
>
>
> Meine vorigen Beiträge:
> http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
>
>
mfg Daniel
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Horst Kraemer schrieb am 7. Aug. 2001 08:28 GMT:
>
> >
> ...
> >
> > Die (abzaehlbare) Menge _aller_ rechts halboffenen Teilintervalle von
> > [0,1) mit rationalen Endpunkten und Laenge>0 ist zunaechst nicht
> > paarweise disjunkt, da z.B. die Intervalle [1/2,2/3) und [1/2,3/4)
> > Elemente dieser Menge sind.
>
> Richtig, hier habe ich mich ungenau ausgedrueckt. (Mir schien im
> Kontext klar zu sein, was gemeint ist, aber du hast recht, dass
> man sich bei diesem Thema keine Nachlaessigkeit leisten darf.)
Insbesondere dann, wenn einen in der "normalen" Mathematik sinnlosen
Begriff verwendet.
> Gemeint war die Menge der kleinsten rechts halboffenen Intervalle
> von [0,1] mit rationalen Endpunkten.
Eben. Die gibt es nicht.
> Die Vorstellung von einem "kleinsten" solchen Intervall ist unsinnig,
> wenn man unendliche Folgen nicht als Mengen sondern als beliebig
> erweiterbare Folgen versteht.
Ich wuesste nicht, was ein Intervall mit einer Folge zu tun haette.
> Deine Argumentation trifft auf genau
> diese Vorstellung zu. Wenn man aber die Existenz der _Menge_ _aller_
> rationalen Zahlen per Axiom voraussetzt und auch noch den Unterschied
> zwischen der abzaehlbaen Menge der rationalen und der ueberabzaehlbaren
> Menge der irrationalen Zahlen einfuehrt, muss die Frage nach dem
> kleinsten Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen ernsthaft gestellt
> werden.
Nach Deiner Meinung. Die erdrueckende Mehrheit der
Mathematikbeflissenen findet sich ohne Probleme damit ab, dass es zu
einer rationalen Zahl keine kleinste groessere und keine groesste
kleinere rationale Zahl gibt.
> Wenn sie sich trotzdem nicht beantworten laesst,
Doch, sie laesst sich beantworten. Es gibt ihn nicht, diesen
"kleinsten Abstand", weil es eben keine "kleinste Zahl >0" gibt.
> ist das nach
> meiner Einschaetzung ein deutliches Indiz fuer eine Inkonsistenz der
> Theorie.
Ich glaube, Du meinst etwas woellig anderes, wenn Du "Inkonsistenz"
sagst. Inkonsistenz bedeutet so viel wie "innere
Widerspruechlichkeit". Ich kann in der Theorie nichts endecken, was
die Existenz einer kleinsten Zahl >0 _erfordert_ und daher kann ich
auch keinem Aspekt entdecken, mit dem die Nichtexistenz inkonsistent
waere.
> Der "kleinste" Abstand muss natuerlich, wenn er existiert, eine
> infinitesimale Groesse sein, deren Charakteristikum es ja gerade
> ist, dass sie sich nicht explizit angeben laesst.
Hier verlasse ich Dich bezueglich dieses Themas. Ueber "Groessen", die
vorhanden sind, mit denen ich aber nicht umgehen kann, weil ich sie
nicht "benennen" kann, moechte ich nicht nachdenken.
> Wenn du also
> nach einem Intervall [a,b) und einer Zahl (a+b)/2 fragst, dann
> fragst du nach einem Intervall, das nicht Element der Grenzmenge
> G_q ist. G_q ist genau so wenig konstruktiv durch einen
> kontinuierlichen Grenzuebergang definierbar wie die "Grenzmenge"
> G_r, die alle reellen Zahlen von [0,1] enthaelt.
Ich erwarte ueberhaupt keine konstruktive Definition. Mit reicht
irgendeine Definition - allerdings in der Sprache meiner Mathematik,
in der es keine kleinste Zahl >0 gibt.
> Den einpunktigen
> "Grenzintervallen" von G_r entsprechen die infinitesimalen Abstaende
> zwischen zwei benachbarten rationalen Zahlen, zwischen denen sich ein
> infinitesimales Kontinuum reeller Zahlen befindet. Dies ist, um
> Missverstaendnissen vorzubeugen, nicht meine persoenliche Ueberzeugung
> sondern eine Konsequenz aus den Aussagen der Mengenlehre.
Bitte aus _welchen_ Aussagen welcher Mengenlehre ?
> Zu diesem Schluss komme ich auch auf folgendem Wege. Wir nehmen ein
> beliebiges Cantorsches Diskontinuum D des Einheitsintervalls. Es geht
> jetzt nicht darum, ob es konstruierbar ist, sondern wir setzen es als
> existent voraus. Es enthaelt ueberabzaehlbar viele isolierte einzelne
> Zahlen und nur solche.
Nein. Es enthaelt nicht eine einzige isolierte Zahl. Eine Zahl d aus D
heisst "isoliert in D", wenn es eine Zahl eps>0 gibt, zu der es
_keine_ von d verschiedene Zahl aus D mit einem Abstand <eps von d
gibt, wenn es also ein Intervall [d-eps,d+eps] gibt, das ausser d
keine andere Zahl aus D enthaelt. Beim Cantorschen Diskontinuum D
enthaelt jedes Intervall um jedes d aus D mindestens eine von d
verschiedene Zahl aus D und damit unendlich viele Zahlen aus D. Jedes
dieser Intervalle enthaelt auch unendlich viele Zahlen, die nicht in D
liegen.
Was Du vielleicht meinst, ist, dass es kein _Intervall_ gibt, das
ausschliesslich aus Elementen aus D besteht. So etwas nennt man "total
zusammenhanglos" (totally disconnected), aber deswegen muss keiner der
Punkte "isoliert" in der Gegend herumstehen. \Q ist auch als Teilmenge
von \R total zusammenhanglos und enthaelt ebenfalls keinen isolierten
Punkt.
> Die Komplemantaermenge C enthaelt die reellen
> Zahlen des Einheitsintervalls, die nicht in D sind. Die Elemente von C
> seien aber nicht die Zahlen sondern die Intervalle, die durch die Elemente
> von D definiert sind und die Zahlen enthalten, die nicht in D sind.
Ich glaube, Du willst C doch als Menge von Zahlen aufgefasst wissen,
Du willst nur darauf hinweisen, dass C aus Intervallen zusammengesetzt
ist.
> C enthaelt echte (offene) Intervalle, aber nicht nur solche.
Doch. Es enthaelt nur solche. C ist eine Vereinigung von abzaehlbar
vielen paarweise disjunkten offenen Intervallen. Denn so ist es
definiert. C ist die Vereinigung derjenigen abzaehlbar vielen offenen
paarweise disjunkten Intervalle, die insgesamt aus [0,1] entfernt
wurden und D ist das Komplement dieser Vereinigung. Wenn Du D anderes
definiert haben solltest, kannst Du anhand der ueblichen Rechenregeln
bez. Komplement, Vereinigung und Druchschnitt leicht nachpruefen, dass
meine Definition dazu aequivalent ist.
> Da die
> Anzahl der Elemente von C ebenfalls ueberabzaehlbar ist, muss C auch
> ueberabzaehlbar viele isolierte Zahlen enthalten.
Wieso das ?
> Die Vereinigungsmenge
> einer einzelnen solchen Zahl aus C mit D enthaelt dann drei benachbarte
> Zahlen, zwischen denen keine andere Zahl mehr Platz hat, obwohl es dies
> nicht geben duerfte.
Zu diesem Satz kann ich nicht Stellung nehmen, da ich nicht weiss, was
benachbarte Zahlen sind.
Das hatte ich zwar nicht gefordert, aber bitte...
> und ohnehin jedem f(i) eine nat. Zahl
> zugeordnet ist, kann man die f(i) auch zur Darstellung der nat. Zahlen
> verwenden. Ob das zweckmaessig und in der Praxis (wegen moeglicher
> technischer Schwierigkeiten) ueberhaupt realisierbar ist, spielt fuer
> die theoretische Ueberlegung keine Rolle. (Man koennte sogar N auf eine
> abzaehlbare Teilmenge der irrationalen Zahlen abbilden und diese dann
> zur Darstellung der nat. Zahlen verwenden.)
Bitte gern. Nichts einzuwenden.
> Wenn nun die Existenz der Folge (a) die Ueberabzaehlbarkeit der f(i)
> beweist, ist damit nur die Ueberabzaehlbarkeit der nat. Zahlen bewiesen.
> Schliesslich hat eine unendliche Menge kein letztes Element. Warum
> sollte man den f(i) also nicht die Folge (a), die ja auch nicht mehr
> Stellen als die f(i) hat, hinzufuegen koennen, ohne dass sich dadurch
> die Maechtigkeit der Vereinigungsmenge der f(i) mit (a) gegenueber der
> Menge der f(i) veraendert?
Natuerlich kann man das aus der bestehenden Abbildung konstruierte (a)
hinzufuegen, indem man z.B. f(1)=(a) definiert und die bisherigen f(i)
eine Stelle heraufrutschen laesst.
Die Menge der bisherigen f(i) zuzueglich (a) ist dann wieder
abzaehlbar.
Aber damit kommen doch jetzt nicht _alle_ unendlichen Folgen als
Bilder von natuerlichen Zahlen vor. Ich koennte jetzt wieder eine
Folge konstruieren, die bisher nicht vorkommt.
Ich fasse zusammen. Es wurde gezeigt, dass es bei _jeder_ Abbildung
von N in die Menge der unendlichen 0-1-Folgen _mindestens_ _eine_
0-1-Folge gibt, die _nicht_ als Bild vorkommt. Korrekt ?
Also gibt es _keine_ Abbildung von N in die Menge der unendlichen
0-1-Folgen, bei der _alle_ unendlichen 0-1-Folgen als Bild vorkommen.
Ist diese Schlussfolgerung aus dem vorigen Satz korrekt ?
Genau das bedeutet "die Menge der unendlichen 0-1-Folgen ist nicht
abzaehlbar".
MfG
Horst
Jens Makait
"Anette Stegmann" <anette_s...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:Xns90F8A223655D4...@news.t-online.de...
> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).
Oh, kannte ich nicht!
:-(
Google zeigt mir auf die Schnelle auch nicht, wo die hyperreellen
Zahlen erklärt werden.
Kann man das hier in Zwei Sätzen skizzieren?
Danke,
Jens
Jens Makait
"Sönke Müller-Lund" <s...@baltic-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B729953...@baltic-online.de...
> warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
> eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
sehr spitzfing halt, oder?
Jens
Horst Kraemer
wrote:
> Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
> Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
> durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
> zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
> dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
> Zahlen identisch sind.
Das Problem ist zunaechst, dass ueberhaupt nicht klar ist, was in
diesem Falle unter "Grenzuebergang" verstanden werden soll.
Wenn Du Beispielsweise nach folgendem Modell vorgehst: Man beginne mit
dem Intervall [0,1]. Im ersten Schritt nehme man die Intervallgrenze
1/2 hinzu, im zweiten und in jedem folgenden fuege man jeweils in der
Mitte jedes entstehenden Teilintervalls eine neue Intervallgrenze ein,
etc, Da man nun im Voraus bestimmten kann, welche Intervallgrenzen im
k. Schritt einzusetzen sind, koennte man sich vorstellen, dass man
alle diese Schritte fuer alle natuerlichen k gleichzeitig durchfuehrt.
Damit hat man insgsamt abzaehlbar viele "intervallgrenzen"
hinzugefuegt, und zwar alle Zahlen, die sich in einer Form m/2^n
schreiben lassen, wobei n eine natuerliche Zahl >0 und m eine
natuerliche Zahl mit 0<=m<=2^n ist. Diese Zahlenmenge nenne ich "das
Bineargitter von [0,1]". Weiter durch Mittelung unterteilen kann ich
nicht, da bereits alle moeglichen "Mittelungswerte" verbraucht sind.
Wenn wir der Meinung sind, dieser Prozess haette jetzt irgendetwas in
Form einer Ansammlungen von bis auf die Grenzen paarweise disjunkter
Intervall produziert, muessten wir fragen, was das sein koennte.
Nehmen wir als eine beliebige reelle Zahl, z.B. 1/3, die nicht zu,
Bineargitter gehoert. In welchem potentiellen "Intervall" liegt diese
nach dem "Grenzuebergang" ?
Wenn wir uns auf 1/3 stellen und die Teilung Schritt fuer Schritt
verfolgen, liegt 1/3 zuerst im Teilintervall [0,1], im zweiten im
Teilintervall [0,1/2], im dritten im Teilintervall [1/4,1/2] etc. D.h.
das 1/3 enthaltende Teilintervall wird bei jeden Schritt "um 1/3
herum" auf die Haelfte gekuerzt, indem rechts oder links ein neuer
Zaunpfahl eingepflanzt wird, ohne dass einer dieser Zaunphaehle jemals
x persoenlich trifft.
Welches "Intervall" koennte man jetzt als dasjenige bezeichnen, das x
"an der Grenze" enthaelt ? Eine andere Zahl y ausser x koennte diese
"Intervall" nicht enthalten, denn wenn z.B. x<y ist, gibt es
nachweislich eine Zahl aus dem Bineargitter, die zwischen x und y
liegt - x und y werden also garantiert bei irgendeinem (sogar
berechenbaren) Schritt #k separiert, so dass sie sich in
verschiedenen, im Schritt #k entstandenen Teilintervallen befinden.
Wenn man also jenes durch den Prozess motivierte "Grenzintervall"
sucht, das 1/3 enthaelt, stellt man fest, dass es ein Intervall sein
muss, das als einzige Zahl 1/3 enthaelt. Wie jetzt die potentiellen
"Grenzpunkte" dieses Intervalls aussehen koennten, sei jetzt Dir
ueberlassen. Was ist Deine Meinung zu diesem Fall ?
Ich wollte damit nicht behaupten, dass das "Resultat" dieses Prozesses
die Menge aller Einpunktintervalle [x] fuer saemtliche reellen Zahlen
aus [0,1] _ist_, sondern nur, dass man ihm eigentlich kein anderes
Resultat zuordnen _kann_, wenn man ihm denn ein Resultat zuordnen
_will_.
> Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
> entstehen, würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt
> sein müssen, auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
> liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
> reellen Zahl wären.
Die blinde Folgerung, dass das "Endresultat" eines unendlichen
Prozesses, eine bestimmte Eigenschaft A haben muesse (die Intervalle
sind in natuerlicher Weise angeordnet, so dass jedes Intervall bis auf
das Randintervall zwei Nachbarn hat), wenn jede Stufe des Prozesses
diese Eigenschaft hat, entbehrt jeder mathematischen Grundlage -
insbesondere deswegen, weil die Definition von "Endresultat" immer
willkuerlich, d.h. definitionsbeduerftig ist. In der Mathematik
definiert sich nichts von selbst. Man kann hoechstens a priori fordern
- moeglicherweise von "Intuition" und "Anschauung" geleitet - dass das
zu definierende Endresultat gewisse Eigenschaften haben solle. Wenn es
kein moegliches Endresultat innerhalt der Theorie gibt, das alle diese
Eigenschaften einschliesslich der Wunscheigenschaft A hat, hat man
eben Pech gehabt. Im obigen Falle widerspricht die Forderung nach
Eigenschaft A halt anderen Forderungen - natuerlich alles innerhalb
des Modells "reelle Zahlen".
Ob es nun ein besseres Modell gibt, das so etwas zulaesst, _nicht_ von
vornherein in sich widerspruechlich ist, ebenfalls die intuitive
Vorstellung von "Kontinuum" bedient und ueberdies in der Praxis
vernueftig handhabbar ist, ist eine offene Frage. Die ueberwaeltigende
Mehrheit der arbeiteten Mathematiker scheint mit dem bestehenden
Modell zufrieden zu sein.
> Zusammenfassung:
> Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
> Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
> mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
> Einheiten).
In den gaengigen Darstellungen der heutigen Mathematik sind "die
rellen Zahlen" ein mengentheoretisches (einschließlich des Begriffs
der "Ordnung") und algebraisches Konzept ohne jeden Rueckgriff auf
irgendeine Geometrie, der Begriff "Kontinuum" wird nur als Metapher
fuer den Begriff "Intervall" verwendet und ein "Intervall" ist
definiert als eine Menge von Zahlen, die mit jedem Zahlenpaar x<=y
auch saemtliche Zahlen z mit der Eigenschaft x<=z<=y enthaelt.
MfG
Horst
Hermann Kremer
Jens Makait schrieb in Nachricht ...
>
>"Anette Stegmann" <anette_s...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
>news:Xns90F8A223655D4...@news.t-online.de...
>> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).
>
>Oh, kannte ich nicht!
>:-(
>
>Google zeigt mir auf die Schnelle auch nicht, wo die hyperreellen
>Zahlen erklärt werden.
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html
Möglicherweise wegen Wartung momentan außer Betrieb, siehe
http://forum.swarthmore.edu
Grüße
Hermann
--
Wolfgang G. G.
> > Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
> > Dieter (dieser aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
> > durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
> > zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
> > dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
> > Zahlen identisch sind.
>
> Das Problem ist zunaechst, dass ueberhaupt nicht klar ist, was in
> diesem Falle unter "Grenzuebergang" verstanden werden soll.
Egal was damit gemeint ist, ohne so einen ominösen "Grenzübergang"
erreicht eine Grenzwertfolge weder den Grenzwert, noch lassen sich
echte Intervalle in einpunktige Intervalle zerlegen.
Das ist die altbekannte Grenzwertproblematik. Wenn wir nur die
Zaunpfähle bzw. Punkte links vom Zielpunkt 1/3 betrachten, dann
starten wir mit 0, erhöhen um 1/4, weiter um 1/16, um 1/64 ...
Der Abstand zum Zielpunkt reduziert sich mit jedem Schritt auf 1/4.
Es hindert uns nichts, diesen Vorgang mit "Vergrösserungsglas" zu
beobachten, wobei wir mit jedem Schritt die Vergrösserung um den
Faktor vier erhöhen. Somit bleibt der beobachtete Abstand eines
jeden neuen Punkts zum Zielpunkt immer konstant, und das Faktum,
dass der Grenzpunkt x = 1/3 durch eine unüberbrückbare Kluft von
den Punkten der (auf 1/4 basierenden) Folge getrennt bleibt, wird
besonders offensichtlich.
> Welches "Intervall" koennte man jetzt als dasjenige bezeichnen, das x
> "an der Grenze" enthaelt ?
Wenn es um die Frage geht, in wieviele echte Intervalle mit
reellen oder nur rationalen Endpunkten sich das Einheits-
intervall zerlegen lässt, ist das Problem dadurch gelöst, dass
das Einheitsintervall auch am Punkt 1/3 geteilt werden kann.
> Eine andere Zahl y ausser x koennte diese
> "Intervall" nicht enthalten, denn wenn z.B. x<y ist, gibt es
> nachweislich eine Zahl aus dem Bineargitter, die zwischen x und y
> liegt - x und y werden also garantiert bei irgendeinem (sogar
> berechenbaren) Schritt #k separiert, so dass sie sich in
> verschiedenen, im Schritt #k entstandenen Teilintervallen befinden.
Diese Überlegung gilt nicht nur für x = 1/3 sondern für alle
reelen Zahlen, die nicht zum "Bineargitter" gehören (d.h. für
alle Zahlen die sich nicht in der Form m/2^n) schreiben lassen.
Das sind insbesondere auch alle irrationalen Zahlen.
> Wenn man also jenes durch den Prozess motivierte "Grenzintervall"
> sucht, das 1/3 enthaelt, stellt man fest, dass es ein Intervall sein
> muss, das als einzige Zahl 1/3 enthaelt. Wie jetzt die potentiellen
> "Grenzpunkte" dieses Intervalls aussehen koennten, sei jetzt Dir
> ueberlassen. Was ist Deine Meinung zu diesem Fall ?
Was du hier als "'Grenzpunkte' des Intervalls mit der einzigen
Zahl 1/3" bezeichnest, ist im wesentlichen eine Umschreibung
von "Nachbarn von 1/3".
Meine Meinung ist ganz einfach: das Intervall um den Punkt 1/3
bleibt immer ein echtes Intervall (Vergrösserungsglas-Argument).
Somit bleibe ich auch davon überzeugt, dass gemäss Cantors
Diagonalprinzip-Definition das Einheitsintervall sich aus einer
überabzählbaren Menge echter Intervalle mit reellen Grenzpunkten
zusammensetzt.
> Ich wollte damit nicht behaupten, dass das "Resultat" dieses Prozesses
> die Menge aller Einpunktintervalle [x] fuer saemtliche reellen Zahlen
> aus [0,1] _ist_, sondern nur, dass man ihm eigentlich kein anderes
> Resultat zuordnen _kann_, wenn man ihm denn ein Resultat zuordnen
> _will_.
Insofern man die Argumentation zulässt, dass Intervalle sich
mittels Grenzübergang auf Punkte zusammenziehen, ergibt sich
genau dieses "Resultat": Auch die Zahlen, die ursprünglich als
nicht zum (abzählbar unendlichen) Bineargitter gehörig definiert
wurden, gehören dazu. (Dieter lässt grüssen!)
> Die blinde Folgerung, dass das "Endresultat" eines unendlichen
> Prozesses, ...
Dass sich beim Spekulieren über das "Endresultat" eines endlosen
Prozesses Willkür einschleicht und Widersprüche kaum vermeidbar
sind, ist wenig erstaunlich.
Gruss, Wolfgang
_________
Mathematik ohne Formalismus ist lahm, Mathematik ohne Anschauung blind
(frei nach Immanuel Kant)
Rainer Rosenthal
Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> wrote
> Somit bleibe ich auch davon überzeugt, dass gemäss Cantors
> Diagonalprinzip-Definition das Einheitsintervall sich aus einer
> überabzählbaren Menge echter Intervalle mit reellen Grenzpunkten
> zusammensetzt.
>
Hallo Wolfgang,
"Diagonalprinzip-Definition" ist witzig. Was soll denn das sein ?
Und im Namen von Herrn Cantor möchte ich widersprechen, denn
wäre Deine Überzeugung richtig, dann gäbe es ja überabzählbar
viele rationale Zahlen ( aus jedem der Intervalle eine rausgepickt.)
So wie er mittels Diagonalprinzip ( ein etwas bombastischer Name
für ein pfiffiges Verfahren) nachgewiesen hat, dass die reellen Zahlen
sich nie in eine Liste aufreihen lassen, so hat er mit gutem anderem
Verfahren zeigen können, dass die rationalen Zahlen sich sehr
wohl in eine Liste reihen lassen.
Also 1:0 für Cantor.
Gruss,
Rainer
Horst Kraemer
wrote:
>Somit bleibe ich auch davon überzeugt, dass gemäss Cantors
>Diagonalprinzip-Definition das Einheitsintervall sich aus einer
>überabzählbaren Menge echter Intervalle mit reellen Grenzpunkten
>zusammensetzt.
Aha. Aber die simplen Gegenbeweise unter Einsatz eben dieses
Cantorschen Diagonalprinzips, die Dir hier vorgefuehrt wurden, gelten
nicht.
Danke fuer das Gespraech
MfG
Horst
Thomas Haunhorst
On Thu, 09 Aug 2001 20:47:01 +0200,
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>ok, eine gewisse Inkonsistenz ist doch bekannt, z.B. wenn man "wahllos"
>Mengen bildet, oder?
Eben, der Mengen- oder noch umfassender der Klassenbegriff ist so "umfassend",
dass er "naiv" verwendet zu Widerspruechen fuehrt. Deshalb muss die Verwendung
von Klassen in einer Theorie axiomatisch festgelegt werden, da er sonst zu-
viel leistet. Es gibt dabei verschiedene Moeglichkeiten, die Verwendung
dieses Begriffes zu regeln. Man kann z.B. eine weitgehende Komprehension zu-
lassen und neben Mengen auch echte Klassen in einer 2-sortalen Sprache mit
einem 2-stelligen Pradikat zulassen. Laesst man eine "unbeschraenkte"
Komprehension zu, so muss man die Verwendung des 2-stelligen Praedikats-
zeichen, kurz E, einschraenken, was man in einer axiomatischen Mengenlehre so
machen kann, dass man, wenn man X E Y schreibt, das X eine Menge sein muss,
aber das Y auch eine echte Klasse sein kann. Die Klasse {x|~xEx}, also die
Russellsche Klasse, wuerde, wenn man sie als Menge annimmt, zu einem Wider-
spruch fuehren. Deshalb ist {x|~xEx} auch keine Menge, sondern eine echte
Klasse, die nicht auf der linken Seite von E stehen kann. Du siehst hier
schon, dass man durch die Einschraenkung der Praedikation mit so einer Klasse
widerspruchsfrei in so einer Theorie (zumindest vorerst) fertig wird.
Man koennte das alles noch genauer formulieren, aber mir kommte es im
wesentlichen darauf an, zu sehen, dass man eine Trennung von Objekt- und
Metasprache machen muss.
Es kommt also darauf an, ein System von Saetzen in einer Objektsprache zu
finden, aus dem man mit Hilfe eines Kalkuels keine sich widersprechende
Saetze ableiten kann. Man kann sagen, dass die so entstehenden Objekt-
sprachen der Mathematik nicht nur aus Gruenden der /Einfachheit/ und /Ein-
deutigkeit/ entstehen, sondern auch eben ein gewisses Beschneiden der
Umgangssprache ist, und man sich nur noch in dieser Objektsprache argumentiert.
Wie Du an diesem Thread siehst, wird dieser Weg groesstenteils verlassen, und
es fliessen hier Aspekte ein, die nichts mit der Mathematik zu tun haben.
Man muss sich schon an ein Begriffssystem halten, wenn man in diesem argu-
mentieren will.
>> Die Moeglichkeit muss nicht ausgeschlossen sein; man weiss es einfach nicht.
>> Wenn jemand die Konsistenz von ZF /in/ ZF beweist, dann ist ZF nicht kon-
>> sistent.
>
>Über diesen Satz muss ich erstmal nachdenken.
Mit einigen Tricks kann man in ZF ueber die Beweise in ZF selbst sprechen.
Dazu werden im wesentlichen Beweise und Saetze der Objektsprache durch
Terme in ZF kodiert. Man kann so z.B. ein "Beweispraedikat" in dieser
Sprache schaffen und so dann den Satz bilden "Ist ZF konsistent, so ist
die Konsistenz nicht zu beweisen, wobei dann hier con_{ZF}:=~bew(~0=0),
also "0 ungleich 0 ist nicht beweisbar", heisst. Dann hiesse
ZF|-con_{ZF}->~bew(con_{ZF}), dass in ZF unter der Annahme der Konsistenz,
diese nicht zu beweisen ist. Das spielt sich aber alles in ZF ab; die
"Ableitungsrelation" |- drueckt das aus. Wuerde es nun aber gelingen aus
ZF con{ZF} abzuleiten, dann waere ja die Konsistenz beweisbar und stuende
mit der Nicht-Beweisbarkeit in Widerspruch.
>
>Gibt es ein "Metasystem", das ZF enthält?
Ja, die Umgangssprache.
>Wenn ja, welche Logik ist dann
>noch anwendbar, d.h. was darf man in diesem Metasystem?
Das, was einem der gesunde Menschenverstand sagt. Aber die Umgangssprache
kann zu Paradoxen fuehren. Nicht nur aus diesem Grund gilt es dann, Objekt-
sprachen zu beschneiden. Es gibt noch einen anderen Grund, eine Trennung
von Objekt- und Metasprache zu machen, und das ist die Verwendung eines
Wahrheitspraedikates. Ein universelles Wahrheitspraedikat ist in der
Objektsprache ZF nicht widerspruchsfrei zu definieren, auch nicht in der
Umgangssprache, da diese semantisch geschlossen ist. Man kann aber gewisse
Einschraenkung auch hier an gewissen selbstbezueglichen Saetzen machen, so
dass das womoeglich doch wieder geht.
>Ich hatte gehofft, dass es hier eine Analogie zur Cantorschen
>"Kontinuumshypothese" gibt, die sich nachweisslich weder beweisen noch
>widerlegen lässt.
Speziell zur CH gibt es zu dem, was ich oben ausgefuehrt habe keine Analogie.
Aber hinsichtlich des allgemeinen Nachweises der Unvollstaendigkeit von
ZF werden im Prinzip dieselben Kodierungen der Sprache vorgenommen wie beim
Nachweis, dass aus ZF heraus, die Konsistenz nicht zu beweisen ist.
>
>So habe ich nur die Hoffnung, dass ZF konsistent ist.
Nunja, es funktioniert ja auch schon eine Weile. ;-)
Gruss Thomas
--
Boris 'pi' Piwinger
>>Somit bleibe ich auch davon überzeugt, dass gemäss Cantors
>>Diagonalprinzip-Definition das Einheitsintervall sich aus einer
>>überabzählbaren Menge echter Intervalle mit reellen Grenzpunkten
>>zusammensetzt.
Was soll eigentlich ein echtes Intervall sein?
>Aha. Aber die simplen Gegenbeweise unter Einsatz eben dieses
>Cantorschen Diagonalprinzips, die Dir hier vorgefuehrt wurden, gelten
>nicht.
>
>Danke fuer das Gespraech
Ich habe mich eh gewundert, dass umfaengliche Kritik in diesem Thread
einfach ignoriert wird.
Ralf Muschall
> Ein Modell sind Summen von Zahlen und Differentialen, wie
> 3 + 5 dx. In der Geometrie: Summen von Steigung und Krümmung
Sowas kenne ich als Jetbündel (abgesehen von der Ordnung),
die noch fehlende Projektion wäre dann wahrscheinlich
p(z) = (z*(0,1))/(0,1)
. Ist mit hyperreell dasselbe gemeint, oder diente das Beispiel nur
als Metapher?
Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a C++++ UL+++ UH++ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K- w--- !O M- V-
PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++ D? G+ e++++ h+ r? y?
Dieter Jungmann
>
> On Thu, 09 Aug 2001 07:50:46 +0200, Dieter Jungmann
> <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>
>
> > Die Vorstellung von einem "kleinsten" solchen Intervall ist unsinnig,
> > wenn man unendliche Folgen nicht als Mengen sondern als beliebig
> > erweiterbare Folgen versteht.
>
> Ich wuesste nicht, was ein Intervall mit einer Folge zu tun haette.
Dasselbe, was eine Zahl mit einer Folge zu tun hat. Wir betrachten
hier Grenzfaelle von Intervallen und haben es daher mit Folgen von
Intervallen zu tun.
>
> > Der "kleinste" Abstand muss natuerlich, wenn er existiert, eine
> > infinitesimale Groesse sein, deren Charakteristikum es ja gerade
> > ist, dass sie sich nicht explizit angeben laesst.
>
> Hier verlasse ich Dich bezueglich dieses Themas. Ueber "Groessen", die
> vorhanden sind, mit denen ich aber nicht umgehen kann, weil ich sie
> nicht "benennen" kann, moechte ich nicht nachdenken.
Wenn du dich an diese Aussage halten wuerdest, waeren wir uns einig.
Es geht mir ja gerade darum, alles nicht Benennbare aus der Theorie
zu entfernen. Oder kannst du eine irrationale Zahl (nicht ein Symbol)
nennen?
Wie definierst du eine irrationale Zahl?
In der Mengenlehre ist sie definiert als Durchschnitt aller Intervalle
einer unendlichen Folge von rationalen Intervallen (Intervallen mit
rationalen Grenzen). Diese Intervalle sind ineinander geschachtelt,
d. h. jedes Intervall ist ein echtes Teilintervall des in der Folge
vorhergehenden Intervalls.
Wenn man von dem Trivialfall des Durchschnitts einer Menge, die nur
eine Zahl enthaelt, mit sich selbst absieht, ergibt der Durchschnitt
von zwei Intervallen nur dann eine einzelne Zahl, wenn sie die
gemeinsame Grenze der an dieser Seite abgeschlossenen Intervalle ist.
Der Durchschnitt der Intervalle [0, 1/2] und [1/2, 1] ist 1/2.
Bei ineinander geschachtelten Intervallen ist der Durchschnitt nur
dann eine einzelne Zahl, wenn diese selbst eines der Intervalle ist.
Es stellen sich nun folgende Fragen:
1. Wie bildet man den Durchschnitt von unendlich vielen Intervallen,
wenn man diese gar nicht alle kennt?
2. Wenn man sie doch "irgendwie" kennt, warum nimmt man dann verbal
den Durchschnitt, obwohl er bei ineinander geschachtelten Intervallen
identisch ist mit dem kleinsten Intervall?
3. Wenn der Durchschnitt der Intervalle der rationalen Folge, mit der
die irrationale Zahl definiert wird, tatsaechlich eine Zahl ist,
ist diese Folge endlich. Da die Intervalle ineinander geschachtelt
sind, muss die Zahl selbst ein Element der Folge sein. Sie ist dann
aber das letzte Element der Folge und diese daher endlich. Der
Durchschnitt einer unendlichen Folge von geschachtelten Intervallen
kann also keine Zahl sein, sondern mit aolchen unendlichen Folgen
laesst sich eine Zahl hoechstens als Grenzwert definieren.
4. Wie erhaelt man mit rationalen Folgen uebarabzaehlbar viele
irrationale Zahlen? Zwar kann eine Teilfolge einer rationalen Folge,
mit der eine irrationale Zahl definiert ist, auch Teilfolge der
rationalen Folge einer anderen irrationalen Zahl sein. Aber keine
Teilfolge kann in ueberabzaehlbar vielen verschiedenen rationalen
Folgen enthalten sein, weil es nur abzaehlbar viele verschiedene
rationale Zahlen zur Fortsetzung dieser Teilfolge gibt. Die Menge
der irrationalen Zahlen ist daher hoechstens die Vereinigung von
abzaehlbar vielen abzahlbaren Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar.
Nehmen wir deine Definition als Grundlage. Die Intervalle von C sind
zusammenhaengend.
Die Menge Z der Zwischenraeume von C (also der diskreten Zahlen oder
Intervalle, die nicht Element von C sind) kann auch nur abzaehlbar
unendlich sein. Die Zwischenraueme sind entweder diskrete Zahlen oder
zusammenhaengende Intervalle. Letzteres ist ausgeschlossen, da D nur
total zusammenhaglose Intervalle enthaelt.
D ist nach deiner Definition nicht identisch mit Z. D kann daher nur
die Menge der Intervalle mit den Elementen von Z als Intervallgrenzen
sein. D hat daher die Maechtigkeit des Kreuzprodukts Z x Z und ist
daher ebenfalls abzaehlbar. Wenn du auf grund einer anderen Ueberlegung
zu einem anderen Ergebnis kommst, haben wir einen Widerspruch. Um ihn
aufzuloesen, muesstest du in meiner Argumentation einen Fehler nachweisen.
Nicht nur eine. Mit einer gegebenen (unendlichen) Menge von f(i)
kann man unendlich viele neue Folgen (a) bilden. Nach Aussage der
Mengenlehre sind es sogar ueberabzaehlbar viele. Aber das muss man
bereits vorher wissen bzw. definiert haben. Woher weisst du sonst,
dass die Anzahl der Vorgaenge, bei denen eine weitere Vereinigungsmenge
aus der vorhergehenden Menge von f(i) und dem neuen (a) gebildet wird,
nicht abzaehlbar unendlich ist? Dass man mit dieser Methode an kein Ende
kommt, ergibt sich aus der Definition der abzaehlbar unendlichen Menge.
Du koenntest sagen, dass man deshalb das Unendlichkeitsaxiom braucht,
um sicher zu stellen, dass die Anzahl der Vorgaenge doch "irgendwie"
abgeschlossen ist, wenn sie abzaehlbar unendlich ist, und dass aus der
Unmoeglichkeit eines Endes die Ueberabzaehlbarkeit folgt. Aber warum
gilt dieses Argument dann nicht bereits fuer die urspruengliche Menge
der f(i)? Wenn N tatsaechlich eine Menge und nicht nur eine beliebig
erweiterbare Folge von Zahlen ist, kann man der Menge der f(i) nichts
Abzaehlbares mehr hinzufuegen, weil schon alle nat. Zahlen in den
Indizes i enthalten sind.
>
> Ich fasse zusammen. Es wurde gezeigt, dass es bei _jeder_ Abbildung
> von N in die Menge der unendlichen 0-1-Folgen _mindestens_ _eine_
> 0-1-Folge gibt, die _nicht_ als Bild vorkommt. Korrekt ?
Hmm, handelt es sich wirklich um eine Abbildung von N in die Menge
der 0-1-Folgen? Was du dir unter den Indizes i vorstellst, hat auf
die Argumentation keinen Einfluss. Du koenntest auch annehmen, dass
die Indizes nur eine unendliche Teilmenge von N oder die Menge der
rationalen oder sogar der reellen Zahlen sind.
> Also gibt es _keine_ Abbildung von N in die Menge der unendlichen
> 0-1-Folgen, bei der _alle_ unendlichen 0-1-Folgen als Bild vorkommen.
> Ist diese Schlussfolgerung aus dem vorigen Satz korrekt ?
Bevor sich die Frage beantworten laesst, muss man eine klare Vorstellung
von der Menge N haben. In binaerer Schreibweise der nat. Zahlen ist die
Menge der Indizes i identisch mit der Menge der 0-1-Folgen oder eine
Teilmenge davon. Wenn man sie als Teilmenge definiert, ist der
Diagonalbeweis ueberfluessig, er bestaetigt nur, dass eine Menge nicht
gleichmaechtig ist wie eine ihrer echten Teilmengen.
Ausserdem waere zu klaeren, wie die Teilmenge ausgewaehlt ist. Mir
scheint es eher so zu sein, dass die Diagonale dazu dient, eine Teil-
menge aus der Menge der 0-1-Folgen auszuwaehlen. Ob diese Teilmenge
identisch ist mit N waere erst zu beweisen.
Um uns von jeder Zahlen-Interpretation frei zu machen, koennen wir
annehmen, dass die 0-1-Folgen selbst als Indizes dienen. Sie werden
also auf sich selbst abgebildet. Das Diagonalverfahern "beweist" also,
dass diese Abbildung nicht moeglich ist.
Gruss
Dieter
Dieter Jungmann
Ob man alle nat. Zahlen "angeben" kann, sei dahingestellt. Aber
diejenigen, welche man "angeben" kann, werden durch eine Abbildung
auf eine angeblich ueberabzaehlbare Menge dargestellt, naemlich durch
Abbildung auf die Elemente der Potenzmenge der Potenzen einer Zahl g.
Damit ist diese Potenzmenge gleichzeitig wohlgeordnet.
Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Grundmenge ist die Menge D
der Zweierpotenzen. Den Elementen ihrer Potenzmenge Pot(D) werden
umkehrbar eindeutig die nat. Zahlen zugeordnet, indem man jedem
Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet, die gleich der Summe
der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes von Pot(D) ist. Darauf
beruht das Dualsystem.
Nun wurde in dieser Diskussion wiederholt behauptet, dass man zur
Darstellung aller nat. Zahlen unendlich viele Binaerstellen braucht,
dass aber jede einzelne nat. Zahl nur endlich viele Stellen hat. Da
die Zweierpotenzen eine Teilmenge von N sind, gilt das auch fuer sie.
Die Summe von beliebig vielen _unterschiedlichen_ Zweierpotenzen (das
trifft bei dieser Abbildung von Pot(D) auf N zu) hat hoechstens eine
Binaerstelle mehr als die groesste dieser Zweierpotenzen. Wieviele
Stellen das sind ist uninteressant. Wenn ich mich darauf verlassen kann,
dass es endlich viele Stellen sind, hat auch die Summe endlich viele
Stellen. Folglich muss sich Pot(D) _vollstaendig_ auf N abbilden lassen,
denn die Summe von abzaehbar vielen Zweierpotenzen mit endlich vielen
Stellen ergibt eine Zahl mit endlich vielen Stellen und das ist eine
nat. Zahl.
Gruss
Dieter
Sönke Müller-Lund
> Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Grundmenge ist die Menge D
> der Zweierpotenzen. Den Elementen ihrer Potenzmenge Pot(D) werden
> umkehrbar eindeutig die nat. Zahlen zugeordnet, indem man jedem
> Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet, die gleich der Summe
> der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes von Pot(D) ist.
Netter Versuch!
Das wiederholen wir jetzt aber mit etwas Mathematik:
Sei D:=Menge aller Zweierpotenzen, d.h. D={2^n; n in IN_0}.
Die Abbildung d:IN_0 -> D; n -> 2^n ist offenbar bijektiv, also ist D
abzählbar unendlich.
Deine Behauptung:
Es existiert eine Bijektion p:Pot(D) -> IN
Dein Beweis:
> ... indem man jedem Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet,
> die gleich der Summe der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes
> von Pot(D) ist. Darauf beruht das Dualsystem.
Das hört sich zwar gut an, ist aber schlicht weg gemogelt!
Die Injektivität von der Abbildung p müsstest Du zeigen mit:
Aus x,y in Pot(D) mit x<>y folgt: p(x)<>p(y)
Du nimmst Dir bei Deiner Konstruktion aber nicht jeweils _ein_ Element,
sondern gleich endlich viele, also Teilmengen von Pot(D). Damit fällst
Du keine Aussage über p.
> Nun wurde in dieser Diskussion wiederholt behauptet, dass man zur
> Darstellung aller nat. Zahlen unendlich viele Binaerstellen braucht,
> dass aber jede einzelne nat. Zahl nur endlich viele Stellen hat. Da
> die Zweierpotenzen eine Teilmenge von N sind, gilt das auch fuer sie.
> Die Summe von beliebig vielen _unterschiedlichen_ Zweierpotenzen (das
> trifft bei dieser Abbildung von Pot(D) auf N zu) hat hoechstens eine
> Binaerstelle mehr als die groesste dieser Zweierpotenzen.
Die Summe von beliebig vielen _unterschiedlichen_ Zweierpotenzen kann
man i.A. genauso wenig bilden, wie die Summe über alle natürlichen
Zahlen.
Ebensowenig existiert eine groesste Zweierpotenz.
Und selbst wenn dem so wäre, Deine Folgerung ist durch nichts begründet,
nicht einmal durch Philosophie.
> Wieviele Stellen das sind ist uninteressant.
> Wenn ich mich darauf verlassen kann,
> dass es endlich viele Stellen sind, hat auch die Summe endlich viele
> Stellen.
Das ist richtig.
> Folglich muss sich Pot(D) _vollstaendig_ auf N abbilden lassen,
> denn die Summe von abzaehbar vielen Zweierpotenzen mit endlich vielen
> Stellen ergibt eine Zahl mit endlich vielen Stellen und das ist eine
> nat. Zahl.
Deine Ausflüge in die Welt der größten natürlichen Zahlen hättest Du gar
nicht machen brauchen, um zu sehen, dass deine Behauptung falsch ist.
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>Nehmen wir deine Definition als Grundlage. Die Intervalle von C sind
>zusammenhaengend.
Ja. C ist eine abzaehlbare Vereinigung von paarweise disjunkten
offenen Teilintervallen von [0,1]. Jedes einzelne dieser Intervalle
ist zusammenhaengend.
>Die Menge Z der Zwischenraeume von C (also der diskreten Zahlen oder
>Intervalle, die nicht Element von C sind) kann auch nur abzaehlbar
>unendlich sein.
Non sequitur. Dies ist ein nicht mathematisch begruendbarer Schluss.
Nach jedem Schritt ist die Restmenge der Vereinigung der ersten n
disjunkten offenen Intervalle eine disjunkte Vereinigung von endlich
vielen abgeschlossenen Intervallen. Aber die Restmenge der Vereinigung
_aller_ abzaehlbar unendlich vielen paarweise disjunkten offenen
Intervalle ist _keine_ abzaehlbare Vereinigung von Intervallen oder
was auch immer...
Das Cantorsche Diskontinuum ist ja gerade ein Lehrstueck dafuer, dass
die Struktur von Komplementen von offenen Mengen (d.h. die Struktur
der abgeschlossenen Mengen von R) in _keiner_ Weise der Einfachheit
der Struktur von offenen Mengen entspricht.
Eine offene Menge in R ist immer eine hoechstens abzaehlbar unendliche
Vereinigung von paarweise disjunkten offenen Intervallen. Das
Komplement einer offenen Menge ist i.d.R. dramatisch weit davon
entfernt, eine abzaehlbare Vereinigung von irgendwelchen
zusammenhaengenden "Zwischenraeumen" zu sein.
Ich mag dies jetzt nicht alles erneut auseinanderzuposamentieren, und
ich mag auch nicht staendig die Vielzahl der unzutreffenden
Schlussfolgerungen mit "nein, dies folgt nicht" zu dekorieren. Nimm
bitte ein Analysislehrbuch zur Hand, in dem das Cantorsche
Diskontinuum ausfuehrlich beschrieben wird. Wenn danach etwas unklar
bleiben sollte, stehen die Leser dieses Formumgs sicher gerne fuer
Nachfragen zur Verfuegung.
MfG
Horst
Sönke Müller-Lund
> Netter Versuch!
>
> Das wiederholen wir jetzt aber mit etwas Mathematik:
>
> Sei D:=Menge aller Zweierpotenzen, d.h. D={2^n; n in IN_0}.
> Die Abbildung d:IN_0 -> D; n -> 2^n ist offenbar bijektiv, also ist D
> abzählbar unendlich.
>
> Deine Behauptung:
>
> Es existiert eine Bijektion p:Pot(D) -> IN
>
> Dein Beweis:
>
> > ... indem man jedem Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet,
> > die gleich der Summe der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes
> > von Pot(D) ist. Darauf beruht das Dualsystem.
>
> Das hört sich zwar gut an, ist aber schlicht weg gemogelt!
>
> Die Injektivität von der Abbildung p müsstest Du zeigen mit:
> Aus x,y in Pot(D) mit x<>y folgt: p(x)<>p(y)
Halt, jetzt habe ich Mist gebaut! :(
In der Tat, Dieter, kannst Du tatsächlich eine Bijektion zwischen den
"endlichen" Elementen aus Pot(D) und IN finden, eben so, wie Du die
natürlichen Zahlen aus (endlichen) Summen von Zweierpotenzen bildest.
Das Problem sind die unendlichen Mengen aus Pot(D). Welche natürliche
Zahl willst Du D selbst zuordnen, denn D ist Element von Pot(D)?
> Deine Ausflüge in die Welt der größten natürlichen Zahlen ...
in die imaginäre Welt der größten natürlichen Zahlen.
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Horst Kraemer schrieb am 9. Aug. 2001 08:27 GMT:
> >
> > On Thu, 9 Aug 2001 04:02:26 +0200, "Norbert Micheel"
> > <N.mi...@gmx.de> wrote:
> >
> > > Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
> > > "ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich auch
> > > schon hier beschrieben.
> >
> > Lt Auswahlaxiom<-->Wohlordnungssatz laesst sich sogar _jede_ Menge so
> > ordnen, dass jedes Element einen Nachfolger hat. Nur ist das "Angeben"
> > einer solchen Ordnung fuer ueberabzaehlbare Mengen nicht ganz leicht.
> > Aber in diesem Thread stoert dies nicht weiter, denn wir koennen ja
> > nicht einmal die natuerlichen Zahlen "angeben" ;-)
>
> Ob man alle nat. Zahlen "angeben" kann, sei dahingestellt. Aber
> diejenigen, welche man "angeben" kann, werden durch eine Abbildung
> auf eine angeblich ueberabzaehlbare Menge dargestellt, naemlich durch
> Abbildung auf die Elemente der Potenzmenge der Potenzen einer Zahl g.
> Damit ist diese Potenzmenge gleichzeitig wohlgeordnet.
>
> Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Grundmenge ist die Menge D
> der Zweierpotenzen. Den Elementen ihrer Potenzmenge Pot(D) werden
> umkehrbar eindeutig die nat. Zahlen zugeordnet, indem man jedem
> Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet, die gleich der Summe
> der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes von Pot(D) ist. Darauf
> beruht das Dualsystem.
Ja. Solange Du mit "den Elementen ihrer Potenzmenge Pot(D)", die
endlichen Elemente ihrer Potenzmenge Pot(D) meinst. Der Menge D
selbst, die ja ein Element von Pot(D) ist, entspricht dabei z.B. kein
Element von D.
> Nun wurde in dieser Diskussion wiederholt behauptet, dass man zur
> Darstellung aller nat. Zahlen unendlich viele Binaerstellen braucht,
> dass aber jede einzelne nat. Zahl nur endlich viele Stellen hat.
Ich weiss nicht, was mit "man braucht" gemeint sein koennte. Der
Begriff ist mir zu schwammig in die notorisch unpraezise
Umgangssprache eingebettet.. Das Einzige, was ich weiss bzw. behaupte,
ist, dass man fuer jede einzelne matuerliche Zahl nur je endlich viele
Stellen benoetigt, und das nur das, was sich durch endlich viele
Stellen darstellbar ist, "natuerliche Zahl" ist.
> Da
> die Zweierpotenzen eine Teilmenge von N sind, gilt das auch fuer sie.
> Die Summe von beliebig vielen _unterschiedlichen_ Zweierpotenzen (das
> trifft bei dieser Abbildung von Pot(D) auf N zu) hat hoechstens eine
> Binaerstelle mehr als die groesste dieser Zweierpotenzen. Wieviele
> Stellen das sind ist uninteressant. Wenn ich mich darauf verlassen kann,
> dass es endlich viele Stellen sind, hat auch die Summe endlich viele
> Stellen. Folglich muss sich Pot(D) _vollstaendig_ auf N abbilden lassen,
> denn die Summe von abzaehbar vielen Zweierpotenzen mit endlich vielen
> Stellen ergibt eine Zahl mit endlich vielen Stellen und das ist eine
> nat. Zahl.
Die Summe von abzaehlbar unendlich vielen verschiedenen Zweierpotenten
existiert nicht, und wenn sie existierte, haette sie unendlich viele
Stellen und waere damit keine natuerliche Zahl.
Daraus. dass eine einzelne Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat,
folgt zwar, dass auch jede Zweierpotenz einer unendlichen Menge von
Zweierpotenzen ebenfalls eine endliche Anzahl von Stellen hat, aber
daraus folgt nicht, dass es unter diesen Zweierpotenzen eine groesste
gibt, sondern umgekehrt, dass es darunter _beliebig_ grosse endliche
Zweierpotenzen gibt, insbesondere gibt zu jedem natuerlichen n eine
Zweierpotenz aus dieser unendlichen Menge, die eine Laenge groesser n
hat. Daher laesst sich kein n durch eine unendliche Menge von
Zweierpotenzen darstellen.
MfG
Horst
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Wie definierst du eine irrationale Zahl?
> In der Mengenlehre ist sie definiert als Durchschnitt aller Intervalle
> einer unendlichen Folge von rationalen Intervallen (Intervallen mit
> rationalen Grenzen). Diese Intervalle sind ineinander geschachtelt,
> d. h. jedes Intervall ist ein echtes Teilintervall des in der Folge
> vorhergehenden Intervalls.
Man kann die reellen Zahlen nicht als _Durchschnitt_ von Folgen
verschachtelter rationaler Intervalle mit Laenge->0 definieren
(rationale Intervallschachtelungen), weil ein solcher Durchschnitt ja
leer waere, wenn die Folge _keine_ rationale Zahl "in die Mitte
nimmt", also wenn es keine rationale Zahl gibt, die in allen [a_n,b_n]
als Element enthalten ist. Und genau diese Intervallschachtelungen mit
(in Q) leerem Durchschnitt sind/werden die irrationalen Zahlen.
Man definiert die reellen Zahlen als "die rationalen
Intervallschachtelungen persoenlich" - wobei man vorher zusaetzlich
solche Intervallfolgen zu einem Objekt zusammenfassen muss
(Aequivalenzklasse) die "dasselbe leisten".
Zwei Intervallschachtelungen ([a_n,b_n]) und ([a_n',b_n']) definiert
man als aequivalent, wenn lim |a_n-a_n'| = 0. Daraus folgt automatisch
wegen lim b_n-a_n = lim b_n'-a_n'=0 auch lim |b_n'-b_n|=0.
Eine reelle Zahl wird dann definiert als "Klasse zueinander
aequivalenten Intervallschachtelungen".
> Wenn man von dem Trivialfall des Durchschnitts einer Menge, die nur
> eine Zahl enthaelt, mit sich selbst absieht, ergibt der Durchschnitt
> von zwei Intervallen nur dann eine einzelne Zahl, wenn sie die
> gemeinsame Grenze der an dieser Seite abgeschlossenen Intervalle ist.
> Der Durchschnitt der Intervalle [0, 1/2] und [1/2, 1] ist 1/2.
> Bei ineinander geschachtelten Intervallen ist der Durchschnitt nur
> dann eine einzelne Zahl, wenn diese selbst eines der Intervalle ist.
Dies gilt bei endlichen vielen Intervallen.
> Es stellen sich nun folgende Fragen:
> 1. Wie bildet man den Durchschnitt von unendlich vielen Intervallen,
> wenn man diese gar nicht alle kennt?
Das "bilden" eines Durchschnitts ist nur sprachlich als "Aktion"
formuliert. Er ist aber keine Aktion. DER DURCHSCHNITT einer Familie
von Mengen ist definiert als die Menge derjenigen Dinge, die in
_jedem_ Mitglied der Familie als Element enthalten ist. Der
Durchschnitt _ist_ also. Er wird nicht _gebildet_. Auch wenn ich die
Mitglieder der Mengenfamilie nicht persoenlich kenne, gilt fuer jedes
beliebige x : entweder ist x Element eines Mitglieds, oder x ist nicht
Element eines Mitglieds. Dies ist die Auffassung "der Mengenlehre".
> 2. Wenn man sie doch "irgendwie" kennt, warum nimmt man dann verbal
> den Durchschnitt, obwohl er bei ineinander geschachtelten Intervallen
> identisch ist mit dem kleinsten Intervall?
Weil es bei unendlich vielen verschachtelten Intervallen kein
"kleinstes" geben muss.
> 3. Wenn der Durchschnitt der Intervalle der rationalen Folge, mit der
> die irrationale Zahl definiert wird, tatsaechlich eine Zahl ist,
> ist diese Folge endlich.
Nein.
> Da die Intervalle ineinander geschachtelt
> sind, muss die Zahl selbst ein Element der Folge sein.
Nein. Das Intervall [0,0], d.h. die Menge {0}, ist nicht Element der
Folge [-1/n,1/n],n=1,2,3,.... Trotzdem ist 0 die einzige Zahl, die in
allen Intervallen der obigen Form als Element enthalten ist. Daher ist
{0}=[0,0] "der Durchschnitt" der Elemente der Folge [-1/n,1/n].
> 4. Wie erhaelt man mit rationalen Folgen uebarabzaehlbar viele
> irrationale Zahlen?
Weil es ueberabzaehlbar viele Folgen rationaler Zahlen gibt ?
> Zwar kann eine Teilfolge einer rationalen Folge,
> mit der eine irrationale Zahl definiert ist, auch Teilfolge der
> rationalen Folge einer anderen irrationalen Zahl sein.
Definiere bitte "Teilfolge".
Falls Du mit "Teilfolge" unendliche Teilfolgen meinst - nein. Wenn
eine Folge x eine reelle Zahl definiert, definiert jede unendliche
Teilfolge von x genau dieselbe reelle Zahl. Wenn Du mit "Teilfolge"
endliche Teilfolgen, also "Anfangsstuecke" endliche Laenge meinst -
natuerlich.
> Aber keine
> Teilfolge kann in ueberabzaehlbar vielen verschiedenen rationalen
> Folgen enthalten sein, weil es nur abzaehlbar viele verschiedene
> rationale Zahlen zur Fortsetzung dieser Teilfolge gibt.
Es gibt nur abzaehlbar viele rationale Zahlen, es gibt aber (in
unserer Mathematik) ueberabzaelbar viele Folgen rationaler Zahlen.
Es gibt auch nur abzaehlbar viele Elemente in der Menge {0,1}. Es gibt
aber (in unserer Mathematik) ueberabzahlbar viele Folgen, die aus
Nullen und Einsen bestehen.
MfG
Horst
Dieter Jungmann
>
> Moin,
>
> > Netter Versuch!
> >
> > Das wiederholen wir jetzt aber mit etwas Mathematik:
> >
> > Sei D:=Menge aller Zweierpotenzen, d.h. D={2^n; n in IN_0}.
> > Die Abbildung d:IN_0 -> D; n -> 2^n ist offenbar bijektiv, also ist D
> > abzählbar unendlich.
> >
> > Deine Behauptung:
> >
> > Es existiert eine Bijektion p:Pot(D) -> IN
> >
> > Dein Beweis:
> >
> > > ... indem man jedem Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet,
> > > die gleich der Summe der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes
> > > von Pot(D) ist. Darauf beruht das Dualsystem.
> >
> > Das hört sich zwar gut an, ist aber schlicht weg gemogelt!
> >
> > Die Injektivität von der Abbildung p müsstest Du zeigen mit:
> > Aus x,y in Pot(D) mit x<>y folgt: p(x)<>p(y)
>
> Halt, jetzt habe ich Mist gebaut! :(
>
> In der Tat, Dieter, kannst Du tatsächlich eine Bijektion zwischen den
> "endlichen" Elementen aus Pot(D) und IN finden, eben so, wie Du die
> natürlichen Zahlen aus (endlichen) Summen von Zweierpotenzen bildest.
> Das Problem sind die unendlichen Mengen aus Pot(D). Welche natürliche
> Zahl willst Du D selbst zuordnen, denn D ist Element von Pot(D)?
Dafuer gibt es viele Moeglichkeiten. Wenn ich erst einmal eine
Abbildung einer unendlichen Teilmenge von Pot(D) auf N habe, kann
ich mit Bijektionen (veranschaulicht durch Hilberts Hotel) Platz
fuer abzaehlbar unendlich viele weitere abzaehbar unendliche Mengen
schaffen.
Auf dieses umstaendliche Verfahren kann man aber verzichten, weil es
nur darum geht, die Abzaehlbarkeit von Pot(D) zu zeigen. Ich kann
Pot(D) daher auf eine beliebige abzaehlbae Menge abbilden. Eine
solche abzaehlbare Menge ist z. B. die Vereinigungsmenge V = {N u 1/2}.
Ich bilde also D auf 1/2 ab.
Eine andere Moeglichkeit ist die Vereinigungsmenge M = {N u {N}}.
Jetzt bilde ich das Element {D} von Pot(D) auf das Element {N} von
M ab.
Das laesst sich beliebig fortsetzen, indem ich die Menge X definiere,
die {N} und mit jedem x auch x u {x} enthaelt. Da hierbei nur
abzaehlbare Mengen vereinigt werden, ist auch X abzaehlbar. Sollte
das immer noch nicht reichen, kann man entsprechend eine Menge Y mit
{X} als Anfangselement definieren.
Alle anderen unendlichen Teilmengen von D (die ja Elemente von Pot(D)
sind) werden von der Abbildungsvorschrift (Teilmenge --> Summe der
Zweierpotenzen der Teilmenge) erfasst. Das Gegenargument ist
gemogelt, wie du es nennst, weil es mit zweierlei Mass misst.
Es werden einige Zweierpotenzen hingeschrieben, so dass das Auswahl-
verfahren erkennbar ist, dann folgen Puenktchen. Aber auch die
Abbildung dieser unendlichen Teilmengen von D auf N existiert, wenn
die Voraussetzungen der Theorie widerspruchsfrei sind, denn
1. Alle Teilmengen von D sind abzaehlbar.
2. Keine Zweierpotenz kommt mehrmals in einer Teilmenge vor.
3. Keine Zweierpotenz hat unendlich viele Stellen.
Mit der Kenntnis der Eigenschaften der Summen von Zweierpotenzen
kann ich sicher aussagen, dass diese Summe unter den genannten
Voraussetzungen existiert und endlich viele Stellen hat. Dass sie
nicht explizit angegeben werden kann, liegt daran, dass auch die
Summanden nicht angegeben werden. Darin besteht die Mogelei, dass
man sich bei der Angabe der Summanden grosszuegig mit Puenktchen
begnuegt, waerend die Summe konkret genannt werden soll. Summen
von unendlich vielen Summanden sind nichts aussergewoehnliches
(unendliche Reihen, auch irrationale Zahlen sind unendliche Summen).
Als Motivation fuer die Einsicht, dass auch Potenzmengen von
unendlichen Mengen abzaehlbar sein koennen, noch ein paar Hinweise.
Die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge verdoppelt sich, wenn die
Grundmenge ein Element mehr hat als die vorhergehende. Das gilt auch
fuer unendliche Mengen. Wenn du 2^0 in D weglaesst, kannst du nur noch
die geraden Zahlen im Dualsystem darstellen. Auch wenn eine beliebige
andere Zweierpotenz weggelassen wird, halbiert sich die Anzahl der
darstellbaren Zahlen, lediglich das Muster wird etwas komplizierter.
Wenn man 2 Zweierpotenzen weglaesst, halbiert sich die Anzahl zweimal,
es sind dann nur noch 1/4 der Zahlen im Dualsystem darstellbar. Wenn
man 2^0 und 2^1 weglaesst, wird die Sinnhaftigkeit dieser Aussage
besonders anschaulich, weil sich dann von 4 beliebigen aufeinander
folgenden nat. Zahlen nur noch eine darstellen laesst.
Um nun zu erreichen, dass die Potenzmnege einer unendlichen Teilmenge D
von N auf N abgebildet werden kann, muss man die Elemente von D so
waehlen, dass sich die Differenz von 2 benachbarten Zahlen von Schritt
zu Schritt mindestens verdoppelt. Die Menge der Zweierpotenzen erfuellt
diese Bedingung gerade, deshalb ist sie zur Darstellung der nat. Zahlen
besonders gut geeignet. (Man braucht dann keine Ziffern, 0 und 1 koennen
als Ja/Nein-Entscheidung interpretiert werden.)
Die Maechtigkeit der Potenzmenge der Zehnerpotenzen ist kleiner als
die von N. Deshalb koennen nicht alle nat. Zahlen darauf abgebildet
werden, sondern man muss die Zehnerpotenzen mehrfach zur Abbildung
heranziehen. Deshalb werden zusaetzlich die Ziffern 2 bis 9 benoetigt.
Die Vorstellung von ueberabzaehlbaren Mengen halte ich fuer einen
Widerspruch in sich, weil sie die Voraussetzung impliziert, dass
die Menge der nat. Zahlen doch irgendwann ausgeschoepft sein muss,
so dass keine nat. Zahl fuer eine Abbildung mehr zur Verfuegung steht.
Dann muesste N aber ein letztes Element haben.
Gruss
Dieter
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Die Summe von beliebig vielen _unterschiedlichen_ Zweierpotenzen (das
> trifft bei dieser Abbildung von Pot(D) auf N zu) hat hoechstens eine
> Binaerstelle mehr als die groesste dieser Zweierpotenzen.
Eine Menge von unendlich vielen Zweierpotenzen enthaelt keine groesste
Zweierpotenz, da es keine unendliche Teilmenge von N gibt, die eine
groesste Zahl enthaelt.
MfG
Horst
Sönke Müller-Lund
fassen wir kurz zusammen:
> > > Sei D:=Menge aller Zweierpotenzen, d.h. D={2^n; n in IN_0}.
> > > Die Abbildung d:IN_0 -> D; n -> 2^n ist offenbar bijektiv, also ist D
> > > abzählbar unendlich.
> > >
> > > Deine Behauptung:
> > >
> > > Es existiert eine Bijektion p:Pot(D) -> IN
> > >
> > > Dein Beweis:
> > >
> > > > ... indem man jedem Element von Pot(D) die nat. Zahl zuordnet,
> > > > die gleich der Summe der Zweierpotenzen des jeweiligen Elementes
> > > > von Pot(D) ist. Darauf beruht das Dualsystem.
> > >
> > > Das hört sich zwar gut an, ist aber schlicht weg gemogelt!
> > >
> > > Die Injektivität von der Abbildung p müsstest Du zeigen mit:
> > > Aus x,y in Pot(D) mit x<>y folgt: p(x)<>p(y)
> >
> > Halt, jetzt habe ich Mist gebaut! :(
> >
> > In der Tat, Dieter, kannst Du tatsächlich eine Bijektion zwischen den
> > "endlichen" Elementen aus Pot(D) und IN finden, eben so, wie Du die
> > natürlichen Zahlen aus (endlichen) Summen von Zweierpotenzen bildest.
> > Das Problem sind die unendlichen Mengen aus Pot(D). Welche natürliche
> > Zahl willst Du D selbst zuordnen, denn D ist Element von Pot(D)?
>
> Dafuer gibt es viele Moeglichkeiten. Wenn ich erst einmal eine
> Abbildung einer unendlichen Teilmenge von Pot(D) auf N habe, kann
> ich mit Bijektionen (veranschaulicht durch Hilberts Hotel) Platz
> fuer abzaehlbar unendlich viele weitere abzaehbar unendliche Mengen
> schaffen.
Wir haben nun Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D) die Menge aller endlichen
Teilmengen von D und U(D) die Menge aller unendlichen Teilmengen von D
sei. Du hast bisher gezeigt:
E(D) ist abzählbar.
Du behauptest nun, U(D) sei ebenfalls abzählbar, weil die Vereinigung
abzählbar vieler abzählbar unendlicher Mengen wieder abzählbar ist. Mit
anderen Worten: "U(D) ist abzählbar, weil U(D) abzählbar ist".
Sorry Dieter, das Argument können wir nicht gelten lassen. ;)
Es ist ja gerade der Witz, dass U(D) nicht abzählbar ist. Da Du D so
schön gewählt hast, ist eine Bijektion von Pot(D) in die Menge der
0,1-Folgen einfach zu bilden, in dem jedes Vorhandensein einer
Zweierpotenz mit 1 und sonst mit 0 gekennzeichnet wird. Von der Menge
der 0,1-Folgen wissen wir, dass sie überabzählbar ist.
> Auf dieses umstaendliche Verfahren kann man aber verzichten, weil es
> nur darum geht, die Abzaehlbarkeit von Pot(D) zu zeigen.
Dazu musst Du eine Bijektion von Pot(D) nach IN finden.
> Ich kann
> Pot(D) daher auf eine beliebige abzaehlbae Menge abbilden. Eine
> solche abzaehlbare Menge ist z. B. die Vereinigungsmenge V = {N u 1/2}.
> Ich bilde also D auf 1/2 ab.
>
> Eine andere Moeglichkeit ist die Vereinigungsmenge M = {N u {N}}.
> Jetzt bilde ich das Element {D} von Pot(D) auf das Element {N} von
> M ab.
>
> Das laesst sich beliebig fortsetzen, indem ich die Menge X definiere,
> die {N} und mit jedem x auch x u {x} enthaelt. Da hierbei nur
> abzaehlbare Mengen vereinigt werden, ist auch X abzaehlbar. Sollte
> das immer noch nicht reichen, kann man entsprechend eine Menge Y mit
> {X} als Anfangselement definieren.
>
> Alle anderen unendlichen Teilmengen von D (die ja Elemente von Pot(D)
> sind) werden von der Abbildungsvorschrift (Teilmenge --> Summe der
> Zweierpotenzen der Teilmenge) erfasst. Das Gegenargument ist
> gemogelt, wie du es nennst, weil es mit zweierlei Mass misst.
> Es werden einige Zweierpotenzen hingeschrieben, so dass das Auswahl-
> verfahren erkennbar ist, dann folgen Puenktchen. Aber auch die
> Abbildung dieser unendlichen Teilmengen von D auf N existiert, wenn
> die Voraussetzungen der Theorie widerspruchsfrei sind,
Welche Abbildungen existieren?
Es interessieren nur Bijektionen.
> denn
> 1. Alle Teilmengen von D sind abzaehlbar.
> 2. Keine Zweierpotenz kommt mehrmals in einer Teilmenge vor.
> 3. Keine Zweierpotenz hat unendlich viele Stellen.
Das ist richtig.
> Mit der Kenntnis der Eigenschaften der Summen von Zweierpotenzen
> kann ich sicher aussagen, dass diese Summe unter den genannten
> Voraussetzungen existiert und endlich viele Stellen hat.
Diese Schlussfolgerung entbehrt jeder Mathematik und Logik.
> Dass sie nicht explizit angegeben werden kann, liegt daran, dass auch die
> Summanden nicht angegeben werden.
Jeder Summend kann angegeben werden, aber nicht alle. Dieser scheinbar
paradoxe Unterschied zwischen "jeder" und "alle" kannst Du offenbar
nicht begreifen. Du kannst _jede_ natürliche Zahl angeben, weil jede
natürliche Zahl endlich ist, aber Du kannst nicht _alle_ natürlichen
Zahlen angeben, weil die Menge der natürlichen Zahlen nicht endlich ist.
> Darin besteht die Mogelei, dass
> man sich bei der Angabe der Summanden grosszuegig mit Puenktchen
> begnuegt, waerend die Summe konkret genannt werden soll.
Auch falsch!
Die Summe kann nicht genannt werden, weil sie nicht existiert. Die
unendliche Summe ist keine natürliche Zahl, keine rationale oder reelle
Zahl oder sonst irgendein Element einer Zahlenmenge.
> Summen von unendlich vielen Summanden sind nichts aussergewoehnliches
> (unendliche Reihen, auch irrationale Zahlen sind unendliche Summen).
Genaugenommen gibt es keine unendlichen Summen. Die Aufsummierung bis oo
ist nichts weiter als der Grenzwert von Summenfolgen, deren Existenz
explizit nachgewiesen werden muss.
> Als Motivation fuer die Einsicht, dass auch Potenzmengen von
> unendlichen Mengen abzaehlbar sein koennen, noch ein paar Hinweise.
Satz:
Jede abzählbare Potenzmenge ist endlich.
Beweis:
Für eine beliebige Menge X gilt |Pot(X)| > |X|. Ist X endlich, so auch
Pot(X), genau: |Pot(X)|=2^n, mit n:=|X|. Ist X unendlich, so ist Pot(X)
wegen obiger Beziehung schon überabzählbar.
Und es gilt schon gar nicht:
> Die Maechtigkeit der Potenzmenge der Zehnerpotenzen ist kleiner als
> die von N.
Denn das hiesse: Die Potenzmenge der Mange aller Zehnerpotenzen ist
endlich.
Wenn Du es so willst, Dieter: "Die Menge der natürlichen Zahlen ist die
kleinste unendliche Menge".
> Die Vorstellung von ueberabzaehlbaren Mengen halte ich fuer einen
> Widerspruch in sich, weil sie die Voraussetzung impliziert, dass
> die Menge der nat. Zahlen doch irgendwann ausgeschoepft sein muss,
> so dass keine nat. Zahl fuer eine Abbildung mehr zur Verfuegung steht.
> Dann muesste N aber ein letztes Element haben.
Diese Argumentation greift nur, wenn eine ueberabzählbare Menge doch nur
abzählbar wäre.
Ich kann verstehen, dass Du damit Probleme hast. Ich behaupte einfach
mal, dass sich niemand eine überabzählbare Menge vorstellen kann. Es
kann sich auch niemand eine abzählbar unendliche Menge vorstellen. In
Wirklichkeit macht unser Gehirn einen "Knick", d.h. wir versuchen, die
Unendlichkeit zu beugen und stellen uns astronomisch aberwitzige hohe
Zahlen vor, die in jeder denkbaren Praxis irrelevant sind und somit für
uns das "Ende" der natürlichen Zahlen beschreiben.
Wir verstehen dann irgendwann, dass z.B.
12^77889999999999^ack(ack(2567642734023429084,234792349237428934),ack(42,7438829))
wirklich riesengroß, aber endlich ist, d.h. selbst wenn irgendjemand
soviel Schäfchen gezählt hat, so hat er die meisten noch vor sich.
"Und das soll immer noch nicht reichen?"
Die Mathematik ist da unbarmherzig uns sagt "Nein, die Menge der
natürlichen Zahlen reicht nicht aus, um jede unendliche Menge zu
beschreiben".
Sönke
Sönke Müller-Lund
> Als Motivation fuer die Einsicht, dass auch Potenzmengen von
> unendlichen Mengen abzaehlbar sein koennen, noch ein paar Hinweise.
> Die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge verdoppelt sich, wenn die
> Grundmenge ein Element mehr hat als die vorhergehende.
für endliche Mengen ist das richtig, denn für jede endliche Menge X
gilt:
|Pot(X)| = 2^|X|
> Das gilt auch fuer unendliche Mengen. Wenn du 2^0 in D weglaesst,
> kannst du nur noch die geraden Zahlen im Dualsystem darstellen.
Na und?
Sei G:={2n; n aus IN} (die Menge der geraden natürlichen Zahlen), dann
gilt:
|G| = |IN|
Beweis:
Die Abbildung g:IN->G; g(n):=2n ist bijektiv.
Injektivität: Für beliebige n,m mit n<>m aus IN ist auch g(n)<>g(m).
Surjektivität: Sei k aus G, dann ex. n aus IN mit 2n=k nach Definition
von G.
Die Mächtigkeit der Menge der geraden natürlichen Zahlen ist also
genauso groß, wie die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen.
Mit der "Verdoppellung" oder "Halbierung" der Menge ändert sich die
Mächtigkeit also nicht. Es wundert mich eh, dass Du das anführst, wo Du
an anderer Stelle erzählst:
> Wenn ich erst einmal eine
> Abbildung einer unendlichen Teilmenge von Pot(D) auf N habe, kann
> ich mit Bijektionen (veranschaulicht durch Hilberts Hotel) Platz
> fuer abzaehlbar unendlich viele weitere abzaehbar unendliche Mengen
> schaffen.
Jetzt reisst Du das Hilbert Hotel nieder, weil es dich bei deiner
Argumentation stört?
Ohne die Art und Weise deiner Argumentation tiefgreifend zu bewerten
bleibt der Schluss, dass dein Beitrag zutiefst widersprüchlich ist.
Sönke
Dieter Jungmann
Hallo Sönke,
du hast scheinbar die Bedeutung der Menge M = {N u {N}}, die ich
im letzten posting angegeben habe, nicht erkannt.
M ist ein Element von Pot(Pot(N)), ihre Existenz kannst du also
nicht leugnen. Da M nur ein Element mehr hat als N, ist sie abzaehlbar.
Wenn M existiert, existieren auch die Mengen M_1 = {M u {M}},
M_2 = {M_1 u {M_1}} usw. Es gibt also "groessere" abzaehlbare
Mengen als N, wobei diejenige von zwei Mengen die groessere ist,
welche die andere als echte Teilmenge enthaelt.
Wenn man die Maechtigkeit einer Menge X durch Bijektion bestimmen
will, muss man sinnvollerweise eine Bijektion auf die groesste noch
abzaehlbare Menge versuchen. Solange du die groesste abzaehlbare Menge
nicht angeben kannst, ist das Schwert der Bijektionen stumpf. Auf die
Maechtigkeitsdefinition der Mengenlehre kannst du dich nicht
berufen, weil deren Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist.
Wuenschenswert waere also eine Kontrollmoeglichkeit. Dass es sie
gibt, habe ich bereits im Laufe der Diskussion in dem Thread
"Widersprueche der Mengenlehre" am Beispiel der Potenzmengen gezeigt.
Diese sind eine Vereinigung von abzaehbar unendlich vielen abzaehlbar
unendlichen Teilmengen, die ihrerseits durch Vereinigung der teils
endlichen teils unendlichen abzaehlbaren Elemente der Potenzmenge
definiert sind. Der Beweis ist nicht widerlegt worden, statt dessen
wurde auf die Bijektionen verwiesen, deren Widerspruchsfreiheit ja
gerade damit getestet werden sollte.
>
> Wir haben nun Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D) die Menge aller endlichen
> Teilmengen von D und U(D) die Menge aller unendlichen Teilmengen von D
> sei. Du hast bisher gezeigt:
> E(D) ist abzählbar.
>
> Du behauptest nun, U(D) sei ebenfalls abzählbar, weil die Vereinigung
> abzählbar vieler abzählbar unendlicher Mengen wieder abzählbar ist. Mit
> anderen Worten: "U(D) ist abzählbar, weil U(D) abzählbar ist".
Das habe ich nicht gezeigt. Ich habe gezeigt, dass es eine unbegrenzte
Folge von Potenzmengen gibt, die bijektiv auf N abgebildet werden. Zu
jeder Zweierpoenz 2^i existiert die Bijektion der Potenzmenge Pot(D_i)
der Menge D_i aller Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i auf die nat. Zahlen
von 1 bis (2^(i+1) - 1). (Die leere Menge in Pot(D_i) wird auf 0
abgebildet.)
Das gilt fuer alle i. Jede Pot(D_i) ist Teilmenge von Pot(D_(i+1)).
Pot(D) enthaelt alle Elemente, die in saemtlichen Pot(D_i) enthalten
sind. Waehrend alle Pot(D_i) endlich sind, ist Pot(D) unendlich.
Man sieht die Analogie zu N. Man kann Teilmengen N_k von N definieren,
die alle nat. Zahlen von 0 bis k enthalten. N enthaelt alle nat. Zahlen,
die in saemtlichen N_k enthalten sind. Alle N_k sind endlich, N ist
unendlich.
Zu jedem Pot(D_i) existiert ein N_k (man kann es sogar angeben:
k = 2^(i+1) - 1) mit einer Bijektion Pot(D_i) --> N_k.
Pot(D) ist die Vereinigungsmenge aller Elemente der Pot(D_i)
(nicht die Vereinigung der Pot(D_i)). N ist die Vereinigungsmenge
aller Elemente der N_k. Wie begruendest du nun die unterschiedliche
Maechtigkeit von Pot(D) und N?
>
> Es ist ja gerade der Witz, dass U(D) nicht abzählbar ist. Da Du D so
> schön gewählt hast, ist eine Bijektion von Pot(D) in die Menge der
> 0,1-Folgen einfach zu bilden, in dem jedes Vorhandensein einer
> Zweierpotenz mit 1 und sonst mit 0 gekennzeichnet wird. Von der Menge
> der 0,1-Folgen wissen wir, dass sie überabzählbar ist.
Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
Die Zeichen links davon bleiben unveraendert, die Zeichen rechts davon
werden auf 0 gesetzt. Wenn keine 0 vorhanden ist, wird links eine 1
hinzugefuegt und alle 1 rechts von der neuen auf 0 gesetzt. Als
Anfangsfolge nehmen wir eine einzelne 0. Jede 0,1-Folge hat einen
eindeutig bestimmten Nachfolger.
Wir erhalten auf diese Weise eine wohlgeordnete unendliche
Folge F von 0,1-Folgen.
Ist F abzaehlbar oder ueberabzaehlbar?
Deine Antwort muesste lauten: ueberabzaehlbar.
Ich will dich nun nicht damit traktieren, das ohne Rueckgriff auf
vorgefasste Meinungen zu begruenden. Wir nehmen die Aussage als
gegeben hin. F enthaelt dann eine abzaehlbar unendliche Teilmenge,
sagen wir N, die man als Menge der nat. Zahlen interpretieren kann.
N enthaelt endliche Teilmengen N_k.
Ist N die einzige zusammenhaengende abzaehlbare unendliche Teilmenge
von F? Mit zusammenhaengend ist gemeint, dass die angegebene
Nachfolgerelation der 0,1-Folgen an keiner Stelle unterbrochen wird.
Wenn nicht, wie unterscheiden sich diese Mengen? Wenn ja, wo ist die
Grenze?
Wo befinden sich die Elemente von Pot(D), die sich nicht bijektiv
auf N abbilden lassen? Das muessten die unendlichen 0,1-Folgen
sein, die nicht in der abzaehlbaren Teilmenge N enthalten sind.
Was haben diese aber mit den Zweierpotenzen zu tun, die ja
Elemente von N sind? Und alle Elemente von Pot(D), die auch
Elemente einer Teilmenge Pot(D_i) sind, sind ebenfalls Elemente
von N. Es muesste also eine erste Zweierpotenz i geben, die dann
gleichzeitig die letzte in N waere, fuer die das nicht mehr gilt.
>
> Satz:
> Jede abzählbare Potenzmenge ist endlich.
>
> Beweis:
> Für eine beliebige Menge X gilt |Pot(X)| > |X|. Ist X endlich, so auch
> Pot(X), genau: |Pot(X)|=2^n, mit n:=|X|. Ist X unendlich, so ist Pot(X)
> wegen obiger Beziehung schon überabzählbar.
Genauer: Pot(X) ist als ueberabzaehlbar definiert. Wie kommt es zu
dieser Definition?
Bei endlichen Mengen ist unmittelbar einsehbar, dass eine Menge
nicht bijektiv auf eine ihrer echten Teilmengen abgebildet werden
kann. Bei unendlichen Mengen ist das schwieriger. Das nutzt die
Mengenlehre fuer die Behauptung, unendliche Mengen koennten auf ihre
unendlichen echten Teilmengen bijektiv abgebildet werden, obwohl sich
das nur fuer endliche Teilmengen, die nach Belieben so ausgewaehlt
werden, dass es gerade zutrifft, "beweisen" laesst. Es waere daher
wuenschenswert, ein Kriterium zur Ueberpruefung dieser Behauptung
zu haben.
Ein solches Kriterium gibt es. Unter den vielen Moeglichkeiten,
Mengen und Teilmengen zu definieren, nimmt die Potenzmenge eine
Sonderstellung ein. Die Grundmenge G ist eine echte Teilmenge
ihrer Potenzmenge Pot(G). Cantor hat mit einer einfachen logischen
Ueberlegung bewiesen, dass Pot(G) nicht auf G bijektiv abgebildet
werden kann. Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen. Da die
Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
Behauptung aufzugeben. Statt dessen fuehrt die Mengenlehre den
Begriff der Ueberabzaehlbarkeit ein. Es muss jeder selbst entscheiden,
wie ueberzeugend das ist.
>
> Wenn Du es so willst, Dieter: "Die Menge der natürlichen Zahlen ist die
> kleinste unendliche Menge".
Sie ist die kleinste induktive Menge, d. h. sie enthaelt keine echte
Teilmenge mit Peano-Struktur, denn bei jeder Teilmenge ist die Nach-
folgerelation unterbrochen. Sie enthaelt aber echte Teilmengen, die
abzaehlbar unendlich und in diesem Sinne kleiner als N sind.
Gruss
Dieter
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
Eine unendliche 0-1-Folge hat kein rechtes Ende. Das, was Du suchst,
waere das "letzte" Element der Folge, das 0 ist. Zu einer Folge f, in
der unendlich viele Nullen vorkommen, gibt es kein n mit f(n)=0 und
f(m)=1 fuer alle m>n. Du erwischst damit nur diejenigen Folgen, fuer
die ab irgendeinem n gilt f(m)=1 fuer alle m>n. Diese Menge _ist_ die
Menge der natuerlichen Zahlen.
> Die Zeichen links davon bleiben unveraendert, die Zeichen rechts davon
> werden auf 0 gesetzt. Wenn keine 0 vorhanden ist, wird links eine 1
> hinzugefuegt und alle 1 rechts von der neuen auf 0 gesetzt. Als
> Anfangsfolge nehmen wir eine einzelne 0. Jede 0,1-Folge hat einen
> eindeutig bestimmten Nachfolger.
> Wir erhalten auf diese Weise eine wohlgeordnete unendliche
> Folge F von 0,1-Folgen.
1) Hast nur fuer bestimmte Folgen und nicht fuer alle einen Nachfolger
definiert.
2) Selbst _wenn_ Du fuer jede 0-1-Folge einen Nachfolger definiert
haettest, waere damit nicht gezeigt, dass die Menge _wohlgeordnet_
ist, aber lassen wir dies aussen vor.
3) Selbst wenn Du fuer in einer Menge eine eindeutige
Nachfolgerfunktion definiert haettest, so dass je zwei verschiedene
Elemente verschiedene Nachfolger haben. wuerde dies nicht zeigen, dass
diese Menge abzaehlbar ist. (Zur Mengenlehre gehoert i.A. das Axiom,
dass fuer _jede_ Menge eine Wohlordnung gibt). Entscheidennd ist, dass
Du zeigen muesstest, dass jedes Element ausser dem ersten auch
Nachfolger _ist_, d.h. dass es in der Menge einen unmittelbaren
Vorgaenger besitzt.
Diese simple Widerlegung Deines "Abzaehlbarweises" fuer P(N) in dem
erwaehnten Artikel hast Du anscheinend grosszuegig unter den Tisch
fallen lassen.
Das erste "Teilstueck" Deiner Konstruktion bestand aus den endlichen
Teilmengen von M. Fuer diese hast du je einen eindeutigen Nachfolger
in Form eiener ebenfalls endlichen Teilmenge von N angegegeben.
Aber es fehlt das Bindeglied zu den unendlichen Teilmengen von N. In
Deiner Konstruktion gab es keine endliche Teilmenge von N, deren
Nachfolger eine unendliche Teilmenge von N ist. Damit besitzten die
endlichen Teilmengen von N bereits "Peano-Struktur", und die von dir
"gemeinte" induktiv definierte Abbildung:
f(0) = leere Menge
f(n+1) = Nachfolger von f(n)
erfasst nur die endlichen Teilmengen von f.
Wenn zwischen N und einer Menge M eine bijektive Abbildung existiert,
die die Nachfolgerrelation auf M wiedergibt, so besitzt damit M
automatisch eine Peanostruktur bezueglich dieser Nachfolgerrelation.
Deine Konstruktion hat aber keine Peanostruktur, da eine echte
Teilmenge (die endlichen Teilmengen von N) bereits allein
Peanostruktur besitzt, Die wesentliche Eigenschaft einer
Peaonostruktur ist, dass keine echte Teilmenge der Struktur ebenfalls
Peanostruktur ist. Genau dies wird bei der Definition der natuerlichen
Zahlen durch "N ist die _kleinste_ Menge...." ausgedrueckt.
> Ist F abzaehlbar oder ueberabzaehlbar?
> Deine Antwort muesste lauten: ueberabzaehlbar.
> Ich will dich nun nicht damit traktieren, das ohne Rueckgriff auf
> vorgefasste Meinungen zu begruenden. Wir nehmen die Aussage als
> gegeben hin. F enthaelt dann eine abzaehlbar unendliche Teilmenge,
> sagen wir N, die man als Menge der nat. Zahlen interpretieren kann.
> N enthaelt endliche Teilmengen N_k.
>
> Ist N die einzige zusammenhaengende abzaehlbare unendliche Teilmenge
> von F? Mit zusammenhaengend ist gemeint, dass die angegebene
> Nachfolgerelation der 0,1-Folgen an keiner Stelle unterbrochen wird.
> Wenn nicht, wie unterscheiden sich diese Mengen? Wenn ja, wo ist die
> Grenze?
Siehe oben. In F _ist_ nicht jedes Element bis auf ein bestimmtes
Element (vulgo Startelement) unmittelbarer Nachfolger eines anderen
Elements. Bei N _ist_ jedes Element ausser 0 unmittelbarer
Nachfolger.eines anderen Elements von N. Damit ist F nicht auf
dieselbe Weise bezeuglich der Nachfolgeroperation "zusammenhaengend"
wie N.
Der Fall liegt aehnlich wie hier.
Du definiert in N folgende Nachfolgerrelation:
Nachfolger(n) := n+2
du kannst jetzt induktiv eine Abbildung definieren mit
f(0) = 0
f(n+1) = Nachfolger(f(n))
Diese Abbildung erwischt aber nur die geraden Zahlen und ist damit
eine Bijektion zwischen N und den geraden Zahlen. Die obige
Nachfolgerrelation auf N ist also keine Nachfolgerrelation, die eine
Bijektion _induziert_, die man zur Definition einer Bijektion
verwenden kann, die eine Bijektion "ergibt". obwohl jedes Element
einen Nachfolger _hat_. Der Punkt ist, dass 1 bezeuglich der
Nachfolgerrelation kein Nachfolger _ist_. Die Kette hat einen Bruch.
> Wo befinden sich die Elemente von Pot(D), die sich nicht bijektiv
> auf N abbilden lassen?
Keine Ahnung. Jedenfalls hast Du nur solche Elemente auf N abgebildet,
die von einem Startelement aus ueber je endlich viele Nachfolger
erreichbar sind. Dies ist genau das, was N characterisiert. Jedes
einzelne Element von N ist von 0 aus durch je endlich viele Additionen
von 1 erreichbar. In F ist nicht zu erkennen, wie man jedes einzelne
Element durch je endlich viele Schritte erreichen kann.
> > Satz:
> > Jede abz=E4hlbare Potenzmenge ist endlich.
> > =
>
> > Beweis:
> > F=FCr eine beliebige Menge X gilt |Pot(X)| > |X|. Ist X endlich, so auc=
> h
> > Pot(X), genau: |Pot(X)|=3D2^n, mit n:=3D|X|. Ist X unendlich, so ist Po=
> t(X)
> > wegen obiger Beziehung schon =FCberabz=E4hlbar.
>
> Genauer: Pot(X) ist als ueberabzaehlbar definiert. Wie kommt es zu
> dieser Definition?
Man kann beweisen, dass es keine Bijektion zwischen N und Pot(N) gibt.
Dieser Beweis ist hier dutzendfach gefuehrt worden.
Damals hast Du eingewendet. Ja, aber ich habe doch eine Bijektion
gefunden, also ist die Mengenlehre (aus der dieser Beweis folgt)
widerspruechlich.
Wenn Du nun nicht mehr so ganz ueberzeugt bist, dass Du eine Bijektion
gefunden hast, steht zwar immer noch im Raum, dass die Mengenlehre
widerspruechlich sein _koennte_ aber Du haettest nichts mehr auf dem
Tisch, was Deine Auffassung belegt.
Wir wollen Dich nicht davon ueberzeugen, dass die Mengelehre
widerspruchsfrei ist, denn dies koennen wir nicht, Wir wollen Dich nur
davon ueberzeugen, dass _Du_ keinen Widerspruch gefunden hast.
> Sie ist die kleinste induktive Menge, d. h. sie enthaelt keine echte
> Teilmenge mit Peano-Struktur, denn bei jeder Teilmenge ist die Nach-
> folgerelation unterbrochen.
Du sagst es. Deine konstruierten Nachfolgerrelationen sind ebenfalls
in diesem Sinne "unterbrochen".Daher taugt sie nicht zur induktiven
Definition einer Bijektion a la
f(0) = Startelement
f(n+1) = Nachfolger(f(n))
und nur so laesst sich eine Bijektion von N definieren, die eine Menge
bezueglich dieser Relation "abzaehlbar macht". Dies ist die
mathematisch exakte Formulierung, die hinter Deiner
"Puenktchenschreibweise"
f(0) = Startelement
f(1) = Nachfolger(Startelement)
und so weiter
stecken muss, damit sie einen Sinn ergibt. Deine "Wunschbijektionen"
springen immer grosszuegig ueber die tief klaffenden Loecher in den
Puenkchenfolgen in Pot(N) hinweg, obwohl das, was hinter einem Loch
liegt, "unerreichbar" ist. Dies soll nur eine Metapher sein. Eine
exaktere Formuliereng (nicht vorhandene Peano-Struktur von Pot(N)
bezeuglich der Nachfolgerrelation in Pot(N)) steht oben.
MfG
Horst
Torsten Rönsch
> Horst Kraemer schrieb am 9. Aug. 2001 21:24 GMT:
> >
> > On Thu, 09 Aug 2001 07:50:46 +0200, Dieter Jungmann
> > <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
[...]
> > > Der "kleinste" Abstand muss natuerlich, wenn er existiert, eine
> > > infinitesimale Groesse sein, deren Charakteristikum es ja gerade
> > > ist, dass sie sich nicht explizit angeben laesst.
> >
> > Hier verlasse ich Dich bezueglich dieses Themas. Ueber "Groessen", die
> > vorhanden sind, mit denen ich aber nicht umgehen kann, weil ich sie
> > nicht "benennen" kann, moechte ich nicht nachdenken.
>
> Wenn du dich an diese Aussage halten wuerdest, waeren wir uns einig.
> Es geht mir ja gerade darum, alles nicht Benennbare aus der Theorie
> zu entfernen. Oder kannst du eine irrationale Zahl (nicht ein Symbol)
> nennen?
Kannst Du überhaupt irgendeine Zahl (nicht ein Symbol) nennen)?
Gruß
Torsten
Sönke Müller-Lund
> du hast scheinbar die Bedeutung der Menge M = {N u {N}}, die ich
> im letzten posting angegeben habe, nicht erkannt.
> M ist ein Element von Pot(Pot(N)),
nein, da N aus Pot(N) und {N} aus Pot(Pot(N)) ist, ist M aus Pot(Pot(N)
u Pot(Pot(n))), also lasse mal lieber eine Klammerebene weg, d.h. ich
erlaube mir, zu schreiben: M := N u {N}
> ihre Existenz kannst du also nicht leugnen.
Das will ich auch gar nicht.
> Da M nur ein Element mehr hat als N, ist sie abzaehlbar.
Ja.
> Wenn M existiert, existieren auch die Mengen M_1 = {M u {M}},
> M_2 = {M_1 u {M_1}} usw. Es gibt also "groessere" abzaehlbare
> Mengen als N, wobei diejenige von zwei Mengen die groessere ist,
> welche die andere als echte Teilmenge enthaelt.
Ok.
> Wenn man die Maechtigkeit einer Menge X durch Bijektion bestimmen
> will, muss man sinnvollerweise eine Bijektion auf die groesste noch
> abzaehlbare Menge versuchen.
Nein, das muss man nicht. Bijektionen sind transitiv, d.h. es reicht
durchaus, eine Bijektion zu irgendeiner abzählbaren Menge zu finden.
> Solange du die groesste abzaehlbare Menge nicht angeben kannst,
Du hast gerade gezeigt, dass es keine groesste abzählbare Menge gibt.
> ist das Schwert der Bijektionen stumpf. Auf die
> Maechtigkeitsdefinition der Mengenlehre kannst du dich nicht
> berufen, weil deren Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist.
Daher nehmen wir das Jungmannsche Auswahlaxiom und verwenden genau den
Satz, der uns gerade in den Kram passt?
Zeige mir einen Widerspruch und ich bin ruhig.
> Wuenschenswert waere also eine Kontrollmoeglichkeit. Dass es sie
> gibt, habe ich bereits im Laufe der Diskussion in dem Thread
> "Widersprueche der Mengenlehre" am Beispiel der Potenzmengen gezeigt.
> Diese sind eine Vereinigung von abzaehbar unendlich vielen abzaehlbar
> unendlichen Teilmengen, die ihrerseits durch Vereinigung der teils
> endlichen teils unendlichen abzaehlbaren Elemente der Potenzmenge
> definiert sind.
Nein, eine Potenzmenge einer Menge X ist die Menge aller Teilmengen von
X. Nicht mehr und nicht weniger.
> Der Beweis ist nicht widerlegt worden,
Der "Beweis" ist nie erbracht worden.
> > Wir haben nun Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D) die Menge aller endlichen
> > Teilmengen von D und U(D) die Menge aller unendlichen Teilmengen von D
> > sei. Du hast bisher gezeigt:
> > E(D) ist abzählbar.
> >
> > Du behauptest nun, U(D) sei ebenfalls abzählbar, weil die Vereinigung
> > abzählbar vieler abzählbar unendlicher Mengen wieder abzählbar ist. Mit
> > anderen Worten: "U(D) ist abzählbar, weil U(D) abzählbar ist".
>
> Das habe ich nicht gezeigt. Ich habe gezeigt, dass es eine unbegrenzte
> Folge von Potenzmengen gibt, die bijektiv auf N abgebildet werden.
Eine "Folge von Potenzmengen"?
Weisst Du überhaupt, was Du eigentlich beweisen musst?
Nochmal:
Um zu zeigen, dass eine Menge X abzählbar unendlich ist, muss Du eine
Bijektion von X nach N oder nach einer anderen abzählbaren Menge finden.
Um zu zeigen, dass eine Menge X überabzählbar ist, muss man zeigen, dass
keine Bijektion von X nach N existiert. Dies kann man dadurch machen,
dass die Annahme, es gäbe eine solche Bijektion zum Widerspruch führt
(wie Cantor es getan hat).
> Zu
> jeder Zweierpoenz 2^i existiert die Bijektion der Potenzmenge Pot(D_i)
> der Menge D_i aller Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i auf die nat. Zahlen
> von 1 bis (2^(i+1) - 1). (Die leere Menge in Pot(D_i) wird auf 0
> abgebildet.)
>
> Das gilt fuer alle i. Jede Pot(D_i) ist Teilmenge von Pot(D_(i+1)).
> Pot(D) enthaelt alle Elemente, die in saemtlichen Pot(D_i) enthalten
> sind. Waehrend alle Pot(D_i) endlich sind, ist Pot(D) unendlich.
>
> Man sieht die Analogie zu N. Man kann Teilmengen N_k von N definieren,
> die alle nat. Zahlen von 0 bis k enthalten. N enthaelt alle nat. Zahlen,
> die in saemtlichen N_k enthalten sind. Alle N_k sind endlich, N ist
> unendlich.
>
> Zu jedem Pot(D_i) existiert ein N_k (man kann es sogar angeben:
> k = 2^(i+1) - 1) mit einer Bijektion Pot(D_i) --> N_k.
> Pot(D) ist die Vereinigungsmenge aller Elemente der Pot(D_i)
> (nicht die Vereinigung der Pot(D_i)).
Die Vereinigung der Elemente von Pot(X) und Pot(Y) ergibt stets X u Y,
d.h. wenn Du alle Pot(D_i) auf diese Art "vereinigst", enthälst Du D,
aber nicht Pot(D).
Somit ist deine Analogieargumentation
> N ist die Vereinigungsmenge
> aller Elemente der N_k. Wie begruendest du nun die unterschiedliche
> Maechtigkeit von Pot(D) und N?
nicht wert.
> > Es ist ja gerade der Witz, dass U(D) nicht abzählbar ist. Da Du D so
> > schön gewählt hast, ist eine Bijektion von Pot(D) in die Menge der
> > 0,1-Folgen einfach zu bilden, in dem jedes Vorhandensein einer
> > Zweierpotenz mit 1 und sonst mit 0 gekennzeichnet wird. Von der Menge
> > der 0,1-Folgen wissen wir, dass sie überabzählbar ist.
>
> Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft,
Doch, das hat es!
> das habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> worden.
Deine Begründung wurde mehrfach widerlegt!
> Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
> groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
Warum?
> Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
Das ist Bockmist!
Es _gibt_ kein "rechtes" Ende, denn das würde bedeuten, dass 0,1-Folgen
endlich wären.
Ich dachte, dass hättest Du kapiert. :(
Deine weitere Argumentation stützt sich auf diese falsche Annahme und
ist deshalb wertlos.
> Wo befinden sich die Elemente von Pot(D), die sich nicht bijektiv
> auf N abbilden lassen? Das muessten die unendlichen 0,1-Folgen
> sein, die nicht in der abzaehlbaren Teilmenge N enthalten sind.
Ja genau, das ist doch meine Aufteilung Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D)
die endlichen und U(D) die unendlichen Teilmengen von D enthält.
> Was haben diese aber mit den Zweierpotenzen zu tun, die ja
> Elemente von N sind?
Die Zweierpotenzen stecken in E(D), E(D) ist ja auch abzählbar.
> Und alle Elemente von Pot(D), die auch
> Elemente einer Teilmenge Pot(D_i) sind, sind ebenfalls Elemente
> von N.
Die sind natürlich auch in E(D) enthalten, da Pot(D_i) auch nur endliche
Teilmengen von D enthält.
> Es muesste also eine erste Zweierpotenz i geben, die dann
> gleichzeitig die letzte in N waere, fuer die das nicht mehr gilt.
Für die was nicht mehr gilt?
> > Satz:
> > Jede abzählbare Potenzmenge ist endlich.
> >
> > Beweis:
> > Für eine beliebige Menge X gilt |Pot(X)| > |X|. Ist X endlich, so auch
> > Pot(X), genau: |Pot(X)|=2^n, mit n:=|X|. Ist X unendlich, so ist Pot(X)
> > wegen obiger Beziehung schon überabzählbar.
>
> Genauer: Pot(X) ist als ueberabzaehlbar definiert. Wie kommt es zu
> dieser Definition?
Nein, Pot(X) ist _nicht_ als überabzählbar definiert. |X| beschreibt die
Mächtigkeit von X und ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn X
endlich ist. Es gilt |X|=|N| :<=> X ist abzählbar unendlich <=> Es gibt
eine Bijektion von X nach M. |X|>|N| :<=> X ist mächtiger als N (=> X
ist überabzählbar <=> Es gibt keine Bijektion von X nach M).
> Bei endlichen Mengen ist unmittelbar einsehbar, dass eine Menge
> nicht bijektiv auf eine ihrer echten Teilmengen abgebildet werden
> kann. Bei unendlichen Mengen ist das schwieriger. Das nutzt die
> Mengenlehre fuer die Behauptung, unendliche Mengen koennten auf ihre
> unendlichen echten Teilmengen bijektiv abgebildet werden, obwohl sich
> das nur fuer endliche Teilmengen, die nach Belieben so ausgewaehlt
> werden, dass es gerade zutrifft, "beweisen" laesst. Es waere daher
> wuenschenswert, ein Kriterium zur Ueberpruefung dieser Behauptung
> zu haben.
> Ein solches Kriterium gibt es. Unter den vielen Moeglichkeiten,
> Mengen und Teilmengen zu definieren, nimmt die Potenzmenge eine
> Sonderstellung ein. Die Grundmenge G ist eine echte Teilmenge
> ihrer Potenzmenge Pot(G). Cantor hat mit einer einfachen logischen
> Ueberlegung bewiesen, dass Pot(G) nicht auf G bijektiv abgebildet
> werden kann.
Woher nun der Sinneswandel?
Oder siehst Du nicht, dass das die Aussage ist, die Du widerlegen
willst?
> Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
> G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
> zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
> ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen.
Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
> Da die Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
> Behauptung aufzugeben.
Mächtigkeiten werden über Bijektionen definiert, nicht umgekehrt.
Sönke
Sönke Müller-Lund
> Nein, Pot(X) ist _nicht_ als überabzählbar definiert. |X| beschreibt die
> Mächtigkeit von X und ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn X
> endlich ist. Es gilt |X|=|N| :<=> X ist abzählbar unendlich <=> Es gibt
> eine Bijektion von X nach M. |X|>|N| :<=> X ist mächtiger als N (=> X
von X nach N
> ist überabzählbar <=> Es gibt keine Bijektion von X nach M).
X ist überabzählbar <=> Es gibt keine Bijektion von X nach N und X ist
unendlich.
Sönke
Norbert Micheel
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B7B548F...@t-online.de...
> Antwort auf das posting vom 15. Aug. 2001 12:46 h von Sönke Müller-Lund
> Hallo Sönke,
> du hast scheinbar die Bedeutung der Menge M = {N u {N}}, die ich
> im letzten posting angegeben habe, nicht erkannt.
> M ist ein Element von Pot(Pot(N)), ihre Existenz kannst du also
> nicht leugnen. Da M nur ein Element mehr hat als N, ist sie abzaehlbar.
Du meinst bestimmt M = N u {N}, oder ?
Egal, beide sind kein Element von POT(POT(N)).
> Wuenschenswert waere also eine Kontrollmoeglichkeit. Dass es sie
> gibt, habe ich bereits im Laufe der Diskussion in dem Thread
> "Widersprueche der Mengenlehre" am Beispiel der Potenzmengen gezeigt.
> Diese sind eine Vereinigung von abzaehbar unendlich vielen abzaehlbar
> unendlichen Teilmengen, die ihrerseits durch Vereinigung der teils
> endlichen teils unendlichen abzaehlbaren Elemente der Potenzmenge
> definiert sind. Der Beweis ist nicht widerlegt worden, statt dessen
> wurde auf die Bijektionen verwiesen, deren Widerspruchsfreiheit ja
> gerade damit getestet werden sollte.
Ein Beweis ist schon dann nicht korrekt, wenn einer der Beweisschritte keine
logische Folgerung ist. Davon haben wir genuegend herausgedeutet. Wie du auf
die Idee kommst du koenntest das ignorieren und dein "Beweis" haette
trotzdem bestand, wird uns allen ein Raetsel bleiben.
Und wenn du einen "Beweis" lieferst, der die zu beweisende Aussage bereits
verwendet, dann ist das eben kein Beweis.
> > Es ist ja gerade der Witz, dass U(D) nicht abzählbar ist. Da Du D so
> > schön gewählt hast, ist eine Bijektion von Pot(D) in die Menge der
> > 0,1-Folgen einfach zu bilden, in dem jedes Vorhandensein einer
> > Zweierpotenz mit 1 und sonst mit 0 gekennzeichnet wird. Von der Menge
> > der 0,1-Folgen wissen wir, dass sie überabzählbar ist.
> Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
> habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
> groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
Das Diagonalverfahren ist in dem Beweis geschildert worden (von Horst
Kraemer) - du konntest keine Stelle benennen, an der ein logisch falscher
Schluss vorliegt.
> Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
> Die Zeichen links davon bleiben unveraendert, die Zeichen rechts davon
> werden auf 0 gesetzt. Wenn keine 0 vorhanden ist, wird links eine 1
> hinzugefuegt und alle 1 rechts von der neuen auf 0 gesetzt. Als
> Anfangsfolge nehmen wir eine einzelne 0. Jede 0,1-Folge hat einen
> eindeutig bestimmten Nachfolger.
Ja, nur leider erzeugst du so nur endliche 0,1 Folgen !
[an alle anderen: Dieter schreibt die Folgen doch von rechts nach links...
er schildert hier nur die normale Binaerschreibweise ]
> Wir erhalten auf diese Weise eine wohlgeordnete unendliche
> Folge F von 0,1-Folgen.
> Ist F abzaehlbar oder ueberabzaehlbar?
> Deine Antwort muesste lauten: ueberabzaehlbar.
Nope. Dein F ist abzaehlbar. Sie ist die Menge aller endlichen 0,1 Folgen.
> Bei endlichen Mengen ist unmittelbar einsehbar, dass eine Menge
> nicht bijektiv auf eine ihrer echten Teilmengen abgebildet werden
> kann. Bei unendlichen Mengen ist das schwieriger. Das nutzt die
> Mengenlehre fuer die Behauptung, unendliche Mengen koennten auf ihre
> unendlichen echten Teilmengen bijektiv abgebildet werden, obwohl sich
> das nur fuer endliche Teilmengen, die nach Belieben so ausgewaehlt
> werden, dass es gerade zutrifft, "beweisen" laesst. Es waere daher
> wuenschenswert, ein Kriterium zur Ueberpruefung dieser Behauptung
> zu haben.
Die Mengen 2IN und IN sind nicht endlich, 2IN ist eine echte Teilmenge von
IN
und die Abbildung f: 2IN-->IN, 2k |---> k ist bijektiv.
Das ist eine Konsequenz der Definitionen.
Was davon zweifelst du an ?
> Ein solches Kriterium gibt es. Unter den vielen Moeglichkeiten,
> Mengen und Teilmengen zu definieren, nimmt die Potenzmenge eine
> Sonderstellung ein. Die Grundmenge G ist eine echte Teilmenge
> ihrer Potenzmenge Pot(G). Cantor hat mit einer einfachen logischen
> Ueberlegung bewiesen, dass Pot(G) nicht auf G bijektiv abgebildet
> werden kann. Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
> G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
> zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
> ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen. Da die
> Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
> Behauptung aufzugeben. Statt dessen fuehrt die Mengenlehre den
> Begriff der Ueberabzaehlbarkeit ein. Es muss jeder selbst entscheiden,
> wie ueberzeugend das ist.
Wie schon oben gezeigt: es gibt unendliche Mengen, die sich bijektiv auf
eine ihrer echten Teilmengen abbilden lassen. Deshalb geht das schon etwas
ueber eine "Behauptung der Mengenlehre" hinaus.
G ist ein Element von POT(G) ! Keine Teilmenge !
Die Idee "G ist unendlich, wenn man sie bijektiv auf eine ihrer Teilmengen
abbilden kann" wuerde ja bedeuten, es gibt eine bijektive Abbildung von
einem Element von POT(G) auf G.
Dass es keine bijektive Abbildung von ganz POT(G) auf G gibt, ist doch kein
Indiz fuer einen Widerspruch.
> > Wenn Du es so willst, Dieter: "Die Menge der natürlichen Zahlen ist die
> > kleinste unendliche Menge".
> Sie ist die kleinste induktive Menge, d. h. sie enthaelt keine echte
> Teilmenge mit Peano-Struktur, denn bei jeder Teilmenge ist die Nach-
> folgerelation unterbrochen. Sie enthaelt aber echte Teilmengen, die
> abzaehlbar unendlich und in diesem Sinne kleiner als N sind.
IN enthaelt keine echte Teilmenge mit derselben Peano-Struktur, aber sie
enthaelt echte Teilmengen (wie z.B. 2IN), die auch eine Peano-Struktur haben
Jede bijektive Abbildung von IN auf eine Menge M, bedeutet doch nur eine
"Umbennenung" der Objekte von IN, wobei M=f(IN) die Struktur von IN "erbt".
In diesem Sinne kann ich die Elemente von IN mit den Elementen von 2IN
bezeichnen; dann stellt es doch kein "Problem" dar, dass es jetzt kein
Element in M gibt, dass mit "1" bezeichnet ist.
Es gibt eben einen Unterschied zwischen den Abbildungen:
f1: IN ---> IN, n |---> 2n und
f2: IN ---> 2IN, n |---> 2n.
f2 ist bijektiv, f1 nicht.
N
kemoauc
Dieter Jungmann schrieb:
> Antwort auf das posting vom 15. Aug. 2001 12:46 h von Sönke Müller-Lund
>
> [snip]
>
> Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
> habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
> groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
>
Nun , das Umgekehrte , nämlich die Gültigkeit Deiner 'Widerlegung', ist nur
dann überzeugend/beweiskräftig wenn Du damit die kleinste reelle Zahl größer
Null angeben kannst
[snip]
Arnold Schiller
Die kleinste reele Zahl grösser Null ist die 0 selbst.
Was leicht zu beweisen wäre, denn 0,0 = 0
0,00 = 0
0,000 = 0
0,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=0
0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=0
0,0 ist eigentlich schon richtig, weil ich in der Schreibweise schon
zwei Zeichen habe und damit eigentlich schon ein binäres System.
00 = 0
000000000000000000000000000000 = 0
stimmt aber genauso.
Eine unendlich Anzahl von 0 ist immer noch 0, solange dies gilt ist die
kleinst reele Zahl die 0 selbst.
Eine leere Festplatte hat als Speicherinhalt 0 und als Speicherinhalt
schon irgendetwas, wenn sich nur eine 1 darauf befindet. Es mag aber
eine 1 irrellevant sein so dass ich immer noch von 0 sprechen könnte.
Mathematisch korekt ist das alles mal wieder nicht. Aber es ist
irgendwie realistisch davon auszugehen, dass auch Mathematik begrenzt
ist.
Somit ist die 0 als Zeichen auch die kleinste reele Zahl, da eine 0
genausoviel Wert ist wie alle Nullen die ich hintereinandersetzen kann
und alle Nullen insgesammt liessen sich auf die Natürlichen Zahlen
bijektiv Abbilden. Die Menge der Natürlichen Zahlen könnte ich
demzufolge auch einer Grösse gleich Null zuordnen.
Gruss
Arnold
Joerg Plate
> Die kleinste reele Zahl grösser Null ist die 0 selbst.
--
"I'm working on it." <http://www.psyche.kn-bremen.de/>
1998: U.S.Congress abolished Free Speech by replacing First Amendment with DMCA.
Wolfgang G. G.
> Ich finde, dass man diese Diskussion wirklich nur in dsm führen
> sollte. Ich antworte daher hier auch nur auf die physikalischen
> Aspekte.
Man stelle sich vor, ein etwa 17-jähriger Grünschnabel, der
sich teilweise fast schon gesucht unorthodox (PM2-Threads) und
unkonventionell [1] gibt, führt sich hier auf wie ein Beauftragter
für Rechtschaffenheit und Rechtgläubigkeit persönlich.
> "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> writes:
>
> > Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
> > Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
> > wiederauferstanden, kann als Theologisierung von Mathematik und
> > Physik bezeichnet werden. (Der grösste Theologisierungsschub
> > in der Physik dürfte Heisenberg zu verdanken sein).
> >
> > "Theologisierung" deshalb, weil die Immunisierungsstrategien
> > gegenüber logischen (d.h. vernünftigen, synthetisch-apriorischen)
> > Einwänden exakt dieselben sind, wie die Immunisierungsstrategien
> > der mittelalterlichen Theologie. Aus Maximen wie
> >
> > - Man kann/darf sich Gott, Engelsscharen usw. nicht konkret
> > vorstellen.
> > - Die Vernunft ist unzureichend, um die theologischen Dogmen
> > zu beurteilen.
> >
> > wurden
> >
> > - Man kann/darf sich von den Entitäten (z.B. den virtuellen
> > Teilchen) und den Erklärungen (z.B. der elektrostatischen
> > Anziehung) der modernen Quantentheorien keine konkreten
> > Vorstellungen machen.
> > - Die Widersprüche, die wir in der modernen Physik zu erkennen
> > glauben, sind nur scheinbar und zeigen, dass die (anschauliche)
> > Vernunft nicht ausreicht, die tiefe Wahrheit dieser Wissenschaft
> > zu erfassen.
>
> Zuerst zum Begriff "Theologisierung": Da steckt das griechische Wort
> für "Gott" drinnen. Das ist absolut unpassend, was du meinst ist
> vielleicht eher "Dogmatisierung".
Der zitierte Text und auch die gesnippten Beispiele sollten es
klar genug gemacht haben, dass ich bewusst "Theologisierung"
und nicht "Dogmatisierung" gewählt habe, was Harald (oder dessen
Ghost-Writer) wohl auch kapiert haben dürfte. (Zudem kann Gott
auch "unbewegter Beweger", "prima causa" oder "was die Welt im
Innersten zusammenhält" bedeuten.)
Mangelnde Ehrlichkeit hat Harald auch in seiner Antwort auf meine
Email-Antwort auf sein Posting bewiesen. Auf
"Du solltest dir wenigstens mein Posting "H. Hertz oder die
Unterordnung des Experiments unter die Theorie" zu Gemüte führen:
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=9jckp4$1hd$1...@newsreaderg1.core.theplanet.net "
antwortete er:
"Danke, ich hab' das Posting gelesen, als der Thread lief. Ich sehe
da keine Ansätze für eine Religion. Hertz hat seine experimentellen
Ergebnisse verworfen, weil sie nicht reproduzierbar waren. - Und
das ist das einzige, was ein seriöser Wissenschaftler in dieser
Situation tun kann."
Dass ähnliche oberflächliche oder unehrliche (d.h. absichtlich in
die Irre führende) Antworten auch im ursprünglichen Thread gefallen
sind (z.B. [4]), ohne dass ich mir die Mühe gemacht habe, auf ihre
offensichtliche Unrichtigkeit hinzuweisen, lasse ich nicht als
Entschuldigung für Harald gelten.
Also wenn Harald tatsächlich bis vor kurzem ein Schüler der
"7. Klasse AHS in Mödling (bei Wien)" [2] gewesen sein sollte,
dann müsste es sich bei der Vielfalt und Qualität seiner Beiträge
schon fast um jemanden vom Kaliber eines sagen wir mal Heisenberg
handeln.
Ich halte es aber auch für gut möglich, dass die PM2-Threads
(PM2 = perpetuum mobile der 2. Art) mit Harald und Tristan Stark
auch als Ablenkung gedacht waren. Als die Diskussion um einen echten
GAU der modernen Physik (inkarniert als triviale instantane e.m.
Wechselwirkungen) in vollem Gang war [9], schrieb Tristan Sprüche
wie "... noch drei Tage bis zum Thermodynamik-Super-GAU" [3].
Es würde mich nicht sonderlich erstaunen, wenn beide, d.h. Harald
und Tristan, als Personen Fälschungen sind, die u.a. Material
posten, das im Wesentlichen ursprünglich von anderen stammt.
________________________________
Ein weiterer Poster, an dessen Seriosität ich inzwischen gewisse
Zweifel habe, ist Dieter Jungmann (dsm). Seit ich im Vorvorgänger
dieses Postings seine "scharfe und konsistente Logik" gelobt habe
(wegen z.B. [5]), scheinen mir seine Postings immer inkonsistenter,
ja sogar absurd zu werden (was kaum zur Gänze auf selektive
Wahrnehmung meinerseits zurückzuführen sein dürfte).
In diesem Lichte bekommt auch das Faktum eine neue Dimension,
dass Dieter "mein" "Schachmatt der Überabzählbarkeit" [6] eher
untergraben denn gestützt hat.
Dieter Jungmann in [7]:
| Ich mache einen Vorschlag. Wir beschraenken uns auf das Einheits-
| intervall [0,1]. Es enthaelt abzaehlbare Mengen A, B, C, D, ... von
| paarweise disjunkten Intervallen. Es gibt ueberabzaehlbar viele
| solcher Mengen. Ueber diese Voraussetzungen herrscht offensichtlich
| Einigkeit.
|
| Wolfgang meint, wenn ich ihn richtig verstehe, folgendes:
| Einige der Intervalle z. B. der Mengen A und B ueberschneiden sich.
| Wir bilden die Durchschnitte dieser Intervalle und fassen sie mit
| den evtl. verbleibenden Differenzintervallen zur neuen Menge X
| zusammen. X enthaelt nur paarweise disjunkte Intervalle.
|
| Bildet man nun von allen ueberabzaehlbar vielen Mengen disjunkter
| Intervalle die Durchschnitts- und ggf. Differenzintervalle und fasst
| sie zu einer Menge G_r zusammen, erhaelt man die gesuchte Menge
| paarweise disjunkter Intervalle. Diese sind aber zu Punkten
| "entartet" und somit keine Intervalle mehr. Die gesuchte Menge
| ist identisch mit der Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls.
| Sie ist daher nicht geeignet, den beabsichtigten Beweis zu liefern,
| dass es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben muss, [...]
Ich halte das auch deshalb für bemerkenswert, weil es dem
widerspricht, was Dieter nicht nur im selben sondern auch in
seinem allerersten Posting "Widersprüche der Mengenlehre" von
sich gegeben hat [8]:
"Es sind keine zwei irrationalen Zahlen bekannt, die so dicht
beieinander liegen, dass nicht noch beliebig viele rationale
Zahlen dazwischen Platz hätten. Dies dürfte nicht der Fall sein,
wenn die Behauptung zuträfe, dass I [die irrationalen Zahlen]
dichter ist als Q."
Um mich (und sich selber?) hier zu widerlegen, nimmt Dieter aber an,
dass die zur Cantorisierung aufgelisteten reellen Grenzpunkte (mit
denen das Einheitsintervall zerlegt werden soll) so dicht beieinander
liegen müssen, dass keine anderen Zahlen (ausser vielleicht 1-punktige
Löcher für die durch Cantorisierung neu erzeugbaren Zahlen) mehr
zwischen den aufgelisteten Zahlen bzw. Grenzpunkten möglich sind.
| Der Gedanke hinter Wolfgangs Ueberlegung ist im Prinzip richtig,
| er wuerde aber nur dann zu einem unanfechtbaren Beweis fuehren,
| wenn der Grenzfall kontinuierlich erreichbar waere. [...]
Davon ist die Überlegung [6] nicht abhängig.
| (Eigentlich haette er nur irrationale Zahlen als Endpunkte
| verwenden duerfen.)
Der Zweck dieser meines Erachtens völlig unmotivierten Bemerkung
dürfte dann wohl sein, mangelnde Kompetenz meinerseits suggerieren.
Gruss,
Wolfgang Gottfried G.
http://members.lol.li/twostone/find.html
________________________________
[1] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=9hstim$6k1$1...@haraldgeyer.fqdn.th-h.de
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=9ihu2a$3t4$1...@haraldgeyer.fqdn.th-h.de
[2] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3A75CB31...@utanet.at
[3] Original-Postings wegen "X-No-Archive: yes" nicht verfügbar
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=9i58mt$gs4u0$1...@fu-berlin.de
[4] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=87zo9x6...@poch.cib.linuxnet.org
[5] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3AFB23C4...@t-online.de
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B0097D3...@t-online.de
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B02E87C...@t-online.de
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B049D7F...@t-online.de
[6] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=9jvjqv$7p4$1...@newsreaderm1.core.theplanet.net
[7] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B6F6E0F...@t-online.de
[8] http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3A5214BA...@t-online.de
[9] http://members.lol.li/twostone/google1.html#qm
Horst Kraemer
wrote:
>...
>Der Zweck dieser meines Erachtens völlig unmotivierten Bemerkung
>dürfte dann wohl sein, mangelnde Kompetenz meinerseits suggerieren.
Si tacuisses...
MfG
Horst
Rainer Rosenthal
> Bemerkung > dürfte dann wohl sein, mangelnde Kompetenz
> meinerseits suggerieren.
>
Hallo Wolfgang,
in de.sci.mathematik wird Kompetenz recht eng gefasst
als die Fähigkeit Beweise zu führen.
Mangelnde Kompetenz in diesem Bereich wurde nicht durch
irgendwas suggeriert, sondern sie war das einzige, was Du
wirklich bewiesen hast.
2:0 für Cantor.
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Paul Ebermann
"Sönke Müller-Lund" <s...@ki.comcity.de> schrieb im Newsbeitrag news:3B7BF820...@ki.comcity.de...
> Moin Dieter,
>
> > du hast scheinbar die Bedeutung der Menge M = {N u {N}}, die ich
> > im letzten posting angegeben habe, nicht erkannt.
> > M ist ein Element von Pot(Pot(N)),
>
> nein, da N aus Pot(N) und {N} aus Pot(Pot(N)) ist, ist M aus Pot(Pot(N)
> u Pot(Pot(n))), also lasse mal lieber eine Klammerebene weg, d.h. ich
> erlaube mir, zu schreiben: M := N u {N}
>
> > ihre Existenz kannst du also nicht leugnen.
>
> Das will ich auch gar nicht.
>
> > Da M nur ein Element mehr hat als N, ist sie abzaehlbar.
>
> Ja.
>
> > Wenn M existiert, existieren auch die Mengen M_1 = {M u {M}},
> > M_2 = {M_1 u {M_1}} usw. Es gibt also "groessere" abzaehlbare
> > Mengen als N, wobei diejenige von zwei Mengen die groessere ist,
> > welche die andere als echte Teilmenge enthaelt.
>
> Ok.
>
> > Wenn man die Maechtigkeit einer Menge X durch Bijektion bestimmen
> > will, muss man sinnvollerweise eine Bijektion auf die groesste noch
> > abzaehlbare Menge versuchen.
>
> Nein, das muss man nicht. Bijektionen sind transitiv, d.h. es reicht
> durchaus, eine Bijektion zu irgendeiner abzählbaren Menge zu finden.
>
> > Solange du die groesste abzaehlbare Menge nicht angeben kannst,
>
> Du hast gerade gezeigt, dass es keine groesste abzählbare Menge gibt.
Genausowenig gibt es eine kleinste abzählbar unendliche Menge -
aber das hatten wir schon häufig diskutiert.
Im Inklusionssinne kann man zu jeder unendlichen Menge A
beliebiger Mächtigkeit (also insbesondere zu abzählbar
unendlichen Mengen) eine weitere Menge B finden, die
die gleiche Mächtigkeit hat, und eine Teilmenge von A
ist. Man findet ebenso eine Menge C, die die selbe Mächtigkeit
wie A hat, so dass A Teilmenge von C ist.
Vom Mächtigkeitssinne sind jedoch alle gleichmächtigen
Mengen gleichgroß, da kann man nicht von kleinerer
oder größerer Menge reden.
> > ist das Schwert der Bijektionen stumpf. Auf die
> > Maechtigkeitsdefinition der Mengenlehre kannst du dich nicht
> > berufen, weil deren Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen ist.
Die Wiedersprüchlichkeit willst du ja gerade zeigen - dafür musst
du aber im Rahmen der Theorie bleiben.
> Daher nehmen wir das Jungmannsche Auswahlaxiom und verwenden genau den
> Satz, der uns gerade in den Kram passt?
> Zeige mir einen Widerspruch und ich bin ruhig.
Zusätzliche Sätze (Axiome) können zu Widersprüchen führen,
das sagt aber nichts über die Konsistenz des Systems an sich aus.
> Nochmal:
> Um zu zeigen, dass eine Menge X abzählbar unendlich ist, muss Du eine
> Bijektion von X nach N oder nach einer anderen abzählbaren Menge finden.
>
> Um zu zeigen, dass eine Menge X überabzählbar ist, muss man zeigen, dass
> keine Bijektion von X nach N existiert. Dies kann man dadurch machen,
> dass die Annahme, es gäbe eine solche Bijektion zum Widerspruch führt
> (wie Cantor es getan hat).
Man kann auch allgemeiner zeigen, dass keine Menge zu ihrer
Potenzmenge bijektiv äquivalent ist.
Dazu ein Beweis, wie er im ersten Semester in meiner
LAAG-Vorlesung geführt wurde.
(Siehe http://members.tripod.de/ePaul/LAAG-script.zip,
Seite 33, Satz 0.4.1)
Dieser Beweis vermeidet die vermeintlichen Schwächen des
Cantorschen Diagonalbeweises, wenn man dazu zeigt,
dass die Menge der reellen Zahlen zur Potenzmenge von
N bijektiv äquivalent ist.
------------------------------------------------------
|Satz:
| Sei X eine Menge. Dann sind X und Pot(X) nicht
| gleichmächtig, genauer
| Surj(X, P(X)) = {}
Bemerkung: Jede Bijektion ist natürlich auch eine Surjektion,
wenn es keine Surjektion gibt, kann es also auch keine Bijektion
geben.
| Beweis:
| Sei f : X --> Pot(X) eine beliebige Abbildung.
(Eine solche gibt es ja immer, falls X nicht leer ist.
Im Falle X = {} ist die Nichtexistenz von Surjektionen klar.)
Jedem x aus X wird nun also durch f eine Teilmenge f(x) von
X zugeordnet.
| Bilden wir die Menge
| C_f := { x in X | x nicht in f(x) }
Diese Menge ist als Teilmenge von X wohldefiniert und
wirklich eine Menge.
| Nehmen wir nun an, f wäre surjektiv.
(Jetzt beginnt unser indirekter Beweis, denn dies
wollen wir ja wiederlegen.)
| Dann müsste Pot(X) = im(f) sein, also insbesondere
| C_f in im(f).
im(f) ist die Menge aller Bildpunkte von f:
im(f) := { f(x) | x in X }
| Es müsste also ein x0 geben, so dass f(x0) = C_f.
(sonst wäre ja C_f nicht im Bild von f.)
| Nun untersuchen wir, ob x0 in f(x0)= C_f enthalten ist.
| Wäre dies der Fall, so müsste x0 (laut Definition von C_f)
| nicht in C_f enthalten sein.
| Ist hingegen x0 nicht in f(x0) = C_f, dann müsste x0 in C_f
| gelten.
| Dies ist jedesmal ein Widerspruch.
| Damit muss die Annahme (f surjektiv) falsch sein,
| es gibt also keine surjektiven Abbildungen von einer
| Menge in ihre Potenzmenge. QED.
----------------------
Wir haben also für jede beliebige Abbildung f : X --> Pot(X)
eine Menge (nämlich C_f) gefunden, die nicht im Bild von
f enthalten ist, wodurch natürlich f nicht bijektiv sein kann.
> > > Satz:
> > > Jede abzählbare Potenzmenge ist endlich.
> > >
> > > Beweis:
> > > Für eine beliebige Menge X gilt |Pot(X)| > |X|. Ist X endlich, so auch
> > > Pot(X), genau: |Pot(X)|=2^n, mit n:=|X|. Ist X unendlich, so ist Pot(X)
> > > wegen obiger Beziehung schon überabzählbar.
> >
> > Genauer: Pot(X) ist als ueberabzaehlbar definiert. Wie kommt es zu
> > dieser Definition?
>
> Nein, Pot(X) ist _nicht_ als überabzählbar definiert. |X| beschreibt die
> Mächtigkeit von X und ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn X
> endlich ist. Es gilt |X|=|N| :<=> X ist abzählbar unendlich <=> Es gibt
> eine Bijektion von X nach M. |X|>|N| :<=> X ist mächtiger als N (=> X
> ist überabzählbar <=> Es gibt keine Bijektion von X nach M).
Einige andere (äquivalente) Definitionen von
- endlich
- unendlich
- abzählbar
- abzählbar unendlich
- überabzählbar
hatte (nicht nur) ich Dieter ja schon mehrfach gepostet.
> > Bei endlichen Mengen ist unmittelbar einsehbar, dass eine Menge
> > nicht bijektiv auf eine ihrer echten Teilmengen abgebildet werden
> > kann. Bei unendlichen Mengen ist das schwieriger. Das nutzt die
> > Mengenlehre fuer die Behauptung, unendliche Mengen koennten auf ihre
> > unendlichen echten Teilmengen bijektiv abgebildet werden, obwohl sich
> > das nur fuer endliche Teilmengen, die nach Belieben so ausgewaehlt
> > werden, dass es gerade zutrifft, "beweisen" laesst. Es waere daher
> > wuenschenswert, ein Kriterium zur Ueberpruefung dieser Behauptung
> > zu haben.
> > Ein solches Kriterium gibt es. Unter den vielen Moeglichkeiten,
> > Mengen und Teilmengen zu definieren, nimmt die Potenzmenge eine
> > Sonderstellung ein. Die Grundmenge G ist eine echte Teilmenge
> > ihrer Potenzmenge Pot(G).
Die Grundmenge G ist keine Teilmenge ihrer Potenzmenge, sondern
ein Element.
> > Cantor hat mit einer einfachen logischen
> > Ueberlegung bewiesen, dass Pot(G) nicht auf G bijektiv abgebildet
> > werden kann.
Der Cantorsche Diagonalbeweis funktioniert für den Spezialfall
der Grundmenge G = N, mein obiger Beweis gilt immer (auch für
überabzählbare und endliche Mengen).
> Woher nun der Sinneswandel?
> Oder siehst Du nicht, dass das die Aussage ist, die Du widerlegen
> willst?
>
> > Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
> > G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
> > zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
> > ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen.
Noch einmal: die Grundmenge G ist keine Teilmenge ihrer
Potenzmenge, sondern ein Element.
Es gibt allerdings Teilmengen von Pot(G), die zu G bijektiv
äquivalent sind. Im Falle der unendlichen Mengen ist etwa
End(G) := { X in Pot(G) | X endlich }
(die Menge der endlichen Teilmengen) eine unendliche Teilmenge,
die zu G bijektiv äquivalent sind.
Gleiches gilt z.B. auch für
CoEnd(G) := { X in Pot(G) | G \ X endlich }
(die sogenannten ko-endlichen Mengen).
Dagegen ist
U(G) := {X in Pot(G) | X unendlich } = Pot(G) \ End(G)
eine Menge, die zu Pot(G) gleichmächtig ist.
> Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
> ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
Es gibt natürlich nicht von jeder unendlichen Menge M auf jede
ihrer unendlichen Teilmengen eine Bijektion.
Dies gilt so nur, wenn M abzählbar unendlich ist.
Hilberts Hotel-Veranschaulichung zeigt das auch nur
für abzählbar unendliche Mengen.
(Wegen dieser Behauptung hatte ich mich entschlossen, eine
Antwort auf das Posting zu schreiben - es wurde dann doch
etwas länger).
> > Da die Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
> > Behauptung aufzugeben.
Die Behauptung lautet korrekt:
| Zu jeder unendlichen Menge G gibt es eine echte
| Teilmenge M, so dass M und G gleichmächtig sind.
Und diese Behauptung ist bisher nicht wiederlegt
(sogar bewiesen).
> Mächtigkeiten werden über Bijektionen definiert, nicht umgekehrt.
Paul
Sönke Müller-Lund
> Man kann auch allgemeiner zeigen, dass keine Menge zu ihrer
> Potenzmenge bijektiv äquivalent ist.
> Dazu ein Beweis, wie er im ersten Semester in meiner
> LAAG-Vorlesung geführt wurde.
schönes Teil.
> > Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
> > ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
>
> Es gibt natürlich nicht von jeder unendlichen Menge M auf jede
> ihrer unendlichen Teilmengen eine Bijektion.
> Dies gilt so nur, wenn M abzählbar unendlich ist.
> Hilberts Hotel-Veranschaulichung zeigt das auch nur
> für abzählbar unendliche Mengen.
>
> (Wegen dieser Behauptung hatte ich mich entschlossen, eine
> Antwort auf das Posting zu schreiben - es wurde dann doch
> etwas länger).
Ja, Du hast natürlich recht. Ich war da etwas zu allgemein (und wenn
Dieter pfiffig und schnell genug gewesen wäre, hätte er nun folgern
können, dass er mit seiner Behauptung doch richtig liegt).
In diesem Sinne
Sönke
Arnold Schiller
>
> > Die kleinste reele Zahl grösser Null ist die 0 selbst.
> Du behauptest gerade das Null ungleich Null ist...
>
Wenn 0,9p =1 ist behaupte nicht ich das.
Joerg Plate
>> Du behauptest gerade das Null ungleich Null ist...
> Wenn 0,9p =1 ist behaupte nicht ich das.
nicht gleich Null sein, denn dann wäre sie nicht größer...
a > b => a != b (oder bezweifelst Du das auch?)
Du behauptest a = 0 = b und daraus würde folgen: 0 != 0
(a = "kleinste reelle Zahl größer Null")
Davon abgesehen: es gibt diese kleinste reelle Zahl grösser Null
nicht, denn zwischen ihr und der Null sind immer noch unendlich
viele reelle Zahlen...
a > b => a > (a+b)/2 > b
Robin Koch
Hast du geschrieben, daß 0>0 ist, oder nicht. Das kann man Umformen: 0<0.
Huch!
Ist 0-0 nun positiv oder negativ?
(Und was hat das mit 0,p9 zu tun?)
--
Robin Koch (robi...@t-online.de)
-----------------------------------------------------------
A Member of the ---> MELISSA JOAN HART <--- Fanclub Germany
since http://www.thur.de/fan-mjh 3/98
-----------------------------------------------------------
Arnold Schiller
>
> >>> Die kleinste reele Zahl grösser Null ist die 0 selbst.
> >> Du behauptest gerade das Null ungleich Null ist...
> > Wenn 0,9p =1 ist behaupte nicht ich das.
> 0,p9 ist 1. Und eine Zahl größer als Null kann offensichtlich
> nicht gleich Null sein, denn dann wäre sie nicht größer...
>
> a > b => a != b (oder bezweifelst Du das auch?)
>
> Du behauptest a = 0 = b und daraus würde folgen: 0 != 0
> (a = "kleinste reelle Zahl größer Null")
>
> Davon abgesehen: es gibt diese kleinste reelle Zahl grösser Null
> nicht, denn zwischen ihr und der Null sind immer noch unendlich
> viele reelle Zahlen...
>
> a > b => a > (a+b)/2 > b
>
Was ist mit Der Wertigkeit, die Du in all Deinen Rechnungen hier
vornimmst.
+0 = -0 = 0
Allerdings ist hier bereits eine Wert festgelegt.
Die Wirtschaft spricht manchmal gerne von einer schwarzen 0 und meint
damit, dass zwar das Rechenergebniss eine Null ausweist, aber es wohl
Faktoren gibt, die von einem positiven Ertragsergebniss ausgehen, obwohl
es eine 0 ist.
(0+0)/2 > 0
Gruss
Arnold
Arnold Schiller
>
> "Arnold Schiller" <nospams...@babsi.de> schrieb:
> > Joerg Plate wrote:
> > >
> > > > Die kleinste reele Zahl grösser Null ist die 0 selbst.
> > > Du behauptest gerade das Null ungleich Null ist...
> > >
> > Wenn 0,9p =1 ist behaupte nicht ich das.
>
> Hast du geschrieben, daß 0>0 ist, oder nicht. Das kann man Umformen: 0<0.
> Huch!
> Ist 0-0 nun positiv oder negativ?
>
> (Und was hat das mit 0,p9 zu tun?)
>
wie
_ _ _
0,3 + 0,3 + 0,3 = 1 ist.
Aber
3/3 Äpfel sind niemals ein Apfel.
Gruss
Arnold
Robin Koch
> Es geht um Differenzen nichts weiter. 0,p9 = 1 ist richtig in dem Sinne
> wie
> _ _ _
> 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1 ist.
>
> Aber
> 3/3 Äpfel sind niemals ein Apfel.
Du meinst also, das bei 1/3 etwas verloren geht? Ja, wo ist es den hin?
Joerg Plate
> Was ist mit Der Wertigkeit, die Du in all Deinen Rechnungen hier vornimmst.
> Die Wirtschaft spricht manchmal gerne von einer schwarzen 0 und meint
> damit, dass zwar das Rechenergebniss eine Null ausweist, aber es wohl
> Faktoren gibt, die von einem positiven Ertragsergebniss ausgehen,
> obwohl es eine 0 ist.
Und? Das beweist doch nur das die Wirtschaftler auch nicht rechnen
können. Oder sie können es, aber es hat andere Gründe diese Sichtweise
zu wählen. Rein rechnerisch ist eine Null aber nicht positiv. (Ein
Verlust von Null Euro hat aber etwas Positives an sich :-)
> (0+0)/2 > 0
Unfug.
Dieter Jungmann
>
...
> > Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
> > habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> > worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
> > groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> > einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
>
> Das Diagonalverfahren ist in dem Beweis geschildert worden (von Horst
> Kraemer) - du konntest keine Stelle benennen, an der ein logisch falscher
> Schluss vorliegt.
Entweder hast du meine Antwort auf die Darstellung von Horst Kraemer
nicht gelesen oder sie war dir zu allgemein. Du kannst es auch
konkreter haben.
Wir betrachten eine Liste von 0,1-Folgen. Zur Veranschaulichung kann
man sie sich als binaere Darstellung der reellen Zahlen des Einheits-
intervalls vorstellen. Die Zeilen sind nummeriert, also abzaehlbar.
Die Liste enthaelt also eine abzaehlbare Menge A von 0,1-Folgen.
Wir bilden die Diagonale jetzt wieder von links oben nach rechts unten.
Die cantorisierte Diagonale ist eine 0,1-Folge, die nicht in A
enthalten ist. Durch Vertauschen der Reihenfolge der in der Liste
aufgefuehrten 0,1-Folgen (ohne sie zu veraendern) erhaelt man mit der
cantorisierten Diagonalen beliebig viele 0,1-Folgen, die nicht in A
enthalten sind.
Soweit die Fakten. Aus der Tatsache, dass die cantorisierte Diagonale
eine 0,1-Folge ist, die nicht in der abzaehlbaren Menge A enthalten
ist, wird der Schluss gezogen, dass die Menge F aller 0,1-Folgen
ueberabzaehlbar ist. Der Schluss ist jedoch voreilig, weil auch die
Vereinigungsmenge von A und der neuen 0,1-Folge abzaehlbar ist.
Sogar die Vereinigungsmenge von A und abzaehlbar unendlich vielen
abzaehlbar unendlichen Mengen von 0,1-Folgen ist abzaehlbar. Es
muesste also bewiesen werden, dass man durch Vertauschen der Reihen-
folge der Elemente von A mit der cantorisierten Diagonale ueber-
abzaehlbar viele unterschiedliche 0,1-Folgen erhaelt. Der Beweis
ist aber nicht erbracht worden.
Auch die Tatsache, dass man das Diagonalverfahren auch auf alle
Vereinigungsmengen anwenden kann und man jedesmal eine neue 0,1-Folge
erhaelt, hat keine Beweiskraft. Begruendung:
Es existiere eine zweite abzaehlbar unendliche Menge B, die nur
0,1-Folgen enthaelt, die nicht in A sind. Der Durchschnitt von
A und B ist also die leere Menge. B muss existieren, sonst waere
F nicht ueberabzaehlbar. (Es muessen sogar unendlich viele
abzaehlbar unendliche Mengen existieren, deren Durchschnitt die
leere Menge ist. Und selbst das waere noch kein Beweis fuer die
Uberabzaehlbarkeit von F.) Man kann annehmen, dass B auch oder
sogar nur die cantorisierten Diagonalen von A enthaelt.
Man kann nun das Diagonalverfahren auf die Vereinigungsmenge C
von A und B anwenden. Wie vereinigt man A und B? Man kann die
beiden Mengen nicht einfach aneinander haengen, weil sie kein
Ende haben. Sie muessen also ineinander geschachtelt werden.
Dabei geht die Uebersicht verloren, welche 0,1-Folgen in
unendlicher Entfernung vom Anfang der Liste stehen.
Wir wissen aus dem Versuch mit der Menge A nur, dass die
Liste nicht alle, nicht einmal alle 0,1-Folgen einer
abzaehlbaren Teilmenge von F, enthaelt. Wer garantiert also,
dass alle Elemente von C Platz in der Liste haben? Die Menge
B verdankt ihre Existenz ja gerade der Tatsache, dass die
Liste bereits "voll" war. Die Menge A enthaelt naemlich soviele
0,1-Folgen wie moeglich, d. h. soviele sich eben auf N abbilden
lassen. Nur unter dieser Voraussetzung ergibt der Diagonalbeweis
einen Sinn. Dass N eine wohldefinierte, wenn auch unbekannte,
und daher unveraenderliche Anzahl von Zahlen enthaelt, folgt
daraus, dass sie als Menge und nicht als beliebig erweiterbare
Folge definiert ist.
In dem Thread "Cantor und die rationalen Zahlen", der am 19. 2. 2001
17:25 h von Thomas Hoffbauer in dsm eroeffnet wurde, ging es um die
Frage, ob der Diagonalbeweis auch die Ueberabzaehlbarkeit der rationalen
Zahlen des Einheitsintervalls beweist. Als Kriterium wurde genannt,
dass die cantorisierte Diagonale eine rationale und keine irrationale
Zahl sein muss. Wenn dieses damals akzeptierte Kriterium noch gilt,
ist der Beweis mit einem Beispiel leicht zu fuehren.
Die folgende Liste enthaelt in jeder Zeile die Nachkommastellen einer
nicht periodischen rationalen Zahl in binaerer Darstellung:
1) 1 1
2) 1 1 0 1
3) 1 0 1 1
4) 1 1 1 1 1
5) 0 1 0 0 0 1
6) . . . . . 1
7) . . . . . . 1
...
Ab Zeile 6) gilt: die k-te Ziffer der Zahl in der Zeile k ist 1.
Die Stellen hinter den angegebenen Ziffern koennen mit Nullen
aufgefuellt werden.
Die Diagonale von links oben nach rechts unten ist 111 101 111 1...
und die cantorisierte Diagonale 000 010 000 00... . Dies sind die
Nachkommastellen einer rationalen Zahl, die nicht in der Liste
enthalten ist, womit der Beweis erbracht ist.
>
> > Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> > Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
> > Die Zeichen links davon bleiben unveraendert, die Zeichen rechts davon
> > werden auf 0 gesetzt. Wenn keine 0 vorhanden ist, wird links eine 1
> > hinzugefuegt und alle 1 rechts von der neuen auf 0 gesetzt. Als
> > Anfangsfolge nehmen wir eine einzelne 0. Jede 0,1-Folge hat einen
> > eindeutig bestimmten Nachfolger.
>
> Ja, nur leider erzeugst du so nur endliche 0,1 Folgen !
>
> [an alle anderen: Dieter schreibt die Folgen doch von rechts nach links...
> er schildert hier nur die normale Binaerschreibweise ]
>
> > Wir erhalten auf diese Weise eine wohlgeordnete unendliche
> > Folge F von 0,1-Folgen.
> > Ist F abzaehlbar oder ueberabzaehlbar?
> > Deine Antwort muesste lauten: ueberabzaehlbar.
>
> Nope. Dein F ist abzaehlbar. Sie ist die Menge aller endlichen 0,1 Folgen.
Die Antwort ueberrascht mich, obwohl sie meine Ueberzeugung wiedergibt.
Es ist also nicht moeglich, in abzaehlbar vielen Schritten eine
0,1-Folge mit unendlich vielen Stellen zu erreichen. Daraus folgt,
dass es auch keinen Algorithmus zum Erzeugen einer solchen Folge
gibt. Ein Algorithmus zum Erzeugen, Definieren oder Berechnen einer
0,1-Folge muss zwar nicht alle moeglichen 0-1-Kombinationen durch-
probieren, diese Erleichterung bingt aber nur eine Einsparung von
abzaehlbar vielen Schritten. Das gilt zumindest solange nur endliche
0,1-Folgen erzeugt werden. Wenn es moeglich ist, unendliche 0,1-Folgen
mit einem Algorithmus zu erzeugen, muss es also einen Punkt geben,
von dem an die Nachfolgerelation ihm nicht mehr folgen kann. Wie
laesst sich das begruenden? Wenn es diesen Punkt nicht gibt, bedeutet
das, dass es keinen Algorithmus zur Erzeugung einer unendlichen
0,1-Folge in abzaehlbar vielen Schritten gibt. Zur binaeren Darstellung
der irrationalen Zahlen werden aber solche Algorithmen benoetigt.
Wird dadurch nicht die Existenz der irrationalen Zahlen in Frage
gestellt?
Bis jetzt hat noch niemand zwei unendliche Mengen bijektiv abgebildet.
Die Abbildungen gelten immer nur fuer geeignet ausgesuchte endliche
Teilmengen. Warum bei unendlichen Mengen Zweifel bestehen, habe ich
in meiner Antwort an Sönke Müller-Lund begruendet.
>
> G ist ein Element von POT(G) ! Keine Teilmenge !
{G} ist ein Element von Pot(G), G ist eine Teilmenge, weil alle
Elemente von G auch Elemente von Pot(G) sind.
> Die Idee "G ist unendlich, wenn man sie bijektiv auf eine ihrer Teilmengen
> abbilden kann" wuerde ja bedeuten, es gibt eine bijektive Abbildung von
> einem Element von POT(G) auf G.
> Dass es keine bijektive Abbildung von ganz POT(G) auf G gibt, ist doch kein
> Indiz fuer einen Widerspruch.
Dass sich eine unendliche Menge auf eine ihrer echten Teilmengen
abbilden laesst, ist keine Selbstverstaendlichkeit. Dass dies bei
beliebig ausgewaehlten Teilmengen moeglich ist, ist eine Trivialitaet.
Dass das aber fuer die gesamte Menge gilt, kann man nicht beweisen,
man muss es glauben. Dieser Glaube ist eine fundamentale Voraussetzung
der Mengenlehre. Angesichts der weitreichenden Konsequenzen, die sich
daraus ergeben, ist eine Moeglichkeit zur Ueberpruefung dieses Glaubens
wuenschenswert. Die Potenzmenge ist eine solche Moeglichkeit. Da sich
hier, wo es eine eindeutige Antwort gibt, zeigt, dass sich Pot(G) nicht
auf ihre Teilmenge G abbilden laesst, wird der Glaube zumindest in Frage
gestellt.
Gruss
Dieter
Dieter Jungmann
>
...
> ich erlaube mir, zu schreiben: M := N u {N}
Einverstanden. M enthaelt alle Elemente, die auch N enthaelt,
und zusaetzlich das Element {N}, also ein Element mehr als N.
Wie bildest du M auf N ab?
Eine 1. Abbildung besteht darin, jede Zahl k aus M, ich nenne sie
zur Unterscheidung k_m, auf die Zahl k_n aus N abzubilden. Dann
bleibt aber {N} aus M ohne Bild in N. Diese Abbildung ist also
keine Bijektion.
In einer 2. Abbildung koennte man willkuerlich {N} aus M auf
5_n aus N abbilden. Dann hat aber 5_m kein Bild in N. Also bildet
man 5_m auf 6_n, 6_m auf 7_n usw. ab. Dabei werden nur endliche
Teilmengen abgebildet, zumindest werden die Bildpunkte nur fuer
endliche Teilmengen angegeben. Das funktioniert reibungslos, weil
die Teilmengen beliebig erweitert werden koennen. Wegen dieser
Beliebigkeit sind die Bijektionen eine inhaltsleere Trivialitaet.
Vor allem bleibt die Frage unbeantwortet, ob sich auf diese Weise
tatsaechlich _alle_ Elemente von M auf N abbilden lassen. Man kann
naemlich nicht fuer alle Elemente von M das Bild in N angeben, weil
gar nicht alle Elemente bekannt sind. Man weiss nur, dass es bei
beliebig ausgewaehlten Teilmengen funktioniert. Dieser Zweifel
wuerde nicht entstehen, wenn _jede_ Abbildung, bei der alle
Elemente der einen Menge auf genau ein Element der anderen Menge
abgebildet werden, eine Bijektion waere, wenn unterschiedliche
Abbildungen also nur Permutationen derselben Abbildung waeren.
Die Abbildungen lassen sich nach Belieben so definieren, dass sich
eine Injektion von M nach N oder von N nach M oder eine Bijektion
ergibt. Eine einzige Abbildng nimmt eine Sonderstellung ein. Im
vorliegenden Beispiel ist das die 1. Abbildung. Sie entscheidet
eindeutig, dass N echte Teilmenge von M ist und nicht umgekehrt.
Die Existenz dieser ausgezeichneten Abbildung berechtigt Zweifel
am Sinn der anderen Abbildungen. Deshalb ist eine Moeglichkeit zur
Ueberpruefung, wie sie die Potenzmenge bietet, wuenschenswert.
Darauf gehe ich unten nochmal ein.
Die Existenz von M bestaetigt, dass N nur eine beliebige Menge in
einer Mengenfolge ist. Mengentheoretisch sind die Zahlen
folgendermassen definiert: (vgl. S. 73, H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung
in die Mengenlehre, 3. Aufl. 1994, B.I. Wissenschaftsverlag)
0 = {} = leere Menge
1 = {{}}
2 = { {},{{}} }
3 = { {},{{}},{{},{{}}} }
...
k = (k-1) u {(k-1)}
...
Diese ausfuehrliche Schreibweise ist unuebersichtlich. Es ist daher
zweckmaessig, die uebliche Schreibweise der nat. Zahlen als Abkuerzung
der vorstehenden Definitionen zu verwenden. Es wird dann
0 = {}
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
4 = {0,1,2,3}
5 = {0,1,2,3,4}
...
Jede Zahl ist echte Teilmenge jeder groesseren Zahl. Die Vereinigungs-
menge z. B. der Zahlen (= Mengen) 5 und 3 ist 5. Jede Zahl k ist die
Menge aller Zahlen von 0 bis k-1. Die Menge N aller nat. Zahlen ist
also der Nachfolger eben dieser Zahlen und der Nachfogler von N ist
M = N u {N}.
N ist also eine beliebige Teilmenge in einer beliebig erweiterbaren
Mengenfolge. Es bestaetigt sich, dass der Begriff _alle_ nat. Zahlen
keinen Sinn hat.
>
> > Wuenschenswert waere also eine Kontrollmoeglichkeit. Dass es sie
> > gibt, habe ich bereits im Laufe der Diskussion in dem Thread
> > "Widersprueche der Mengenlehre" am Beispiel der Potenzmengen gezeigt.
> > Diese sind eine Vereinigung von abzaehbar unendlich vielen abzaehlbar
> > unendlichen Teilmengen, die ihrerseits durch Vereinigung der teils
> > endlichen teils unendlichen abzaehlbaren Elemente der Potenzmenge
> > definiert sind.
>
> Nein, eine Potenzmenge einer Menge X ist die Menge aller Teilmengen von
> X. Nicht mehr und nicht weniger.
So ist es. Und genau diese Menge laesst sich als Vereinigung von
abzaehlbar unendlich vielen abzaehlbar unendlichen Mengen beschreiben.
Das hatte ich gezeigt.
>
> > > Wir haben nun Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D) die Menge aller endlichen
> > > Teilmengen von D und U(D) die Menge aller unendlichen Teilmengen von D
> > > sei. Du hast bisher gezeigt:
> > > E(D) ist abzählbar.
> > >
> > > Du behauptest nun, U(D) sei ebenfalls abzählbar, weil die Vereinigung
> > > abzählbar vieler abzählbar unendlicher Mengen wieder abzählbar ist. Mit
> > > anderen Worten: "U(D) ist abzählbar, weil U(D) abzählbar ist".
> >
> > Das habe ich nicht gezeigt. Ich habe gezeigt, dass es eine unbegrenzte
> > Folge von Potenzmengen gibt, die bijektiv auf N abgebildet werden.
>
> Eine "Folge von Potenzmengen"?
> Weisst Du überhaupt, was Du eigentlich beweisen musst?
>
> Nochmal:
> Um zu zeigen, dass eine Menge X abzählbar unendlich ist, muss Du eine
> Bijektion von X nach N oder nach einer anderen abzählbaren Menge finden.
Das ist _eine_ Moeglichkeit. Eine andere besteht darin, zu zeigen, dass
X die Vereinigung von abzaehlbar vielen abzaehlbaren Mengen ist. Dann
muss es auch eine Bijektion von X nach N geben. Wenn es sie nicht gibt,
liegt ein Widerspruch vor, der die Inkonsistenz der Theorie beweist.
>
> Um zu zeigen, dass eine Menge X überabzählbar ist, muss man zeigen, dass
> keine Bijektion von X nach N existiert. Dies kann man dadurch machen,
> dass die Annahme, es gäbe eine solche Bijektion zum Widerspruch führt
> (wie Cantor es getan hat).
>
> > Zu
> > jeder Zweierpoenz 2^i existiert die Bijektion der Potenzmenge Pot(D_i)
> > der Menge D_i aller Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i auf die nat. Zahlen
> > von 1 bis (2^(i+1) - 1). (Die leere Menge in Pot(D_i) wird auf 0
> > abgebildet.)
> >
> > Das gilt fuer alle i. Jede Pot(D_i) ist Teilmenge von Pot(D_(i+1)).
> > Pot(D) enthaelt alle Elemente, die in saemtlichen Pot(D_i) enthalten
> > sind. Waehrend alle Pot(D_i) endlich sind, ist Pot(D) unendlich.
> >
> > Man sieht die Analogie zu N. Man kann Teilmengen N_k von N definieren,
> > die alle nat. Zahlen von 0 bis k enthalten. N enthaelt alle nat. Zahlen,
> > die in saemtlichen N_k enthalten sind. Alle N_k sind endlich, N ist
> > unendlich.
> >
> > Zu jedem Pot(D_i) existiert ein N_k (man kann es sogar angeben:
> > k = 2^(i+1) - 1) mit einer Bijektion Pot(D_i) --> N_k.
> > Pot(D) ist die Vereinigungsmenge aller Elemente der Pot(D_i)
> > (nicht die Vereinigung der Pot(D_i)).
>
> Die Vereinigung der Elemente von Pot(X) und Pot(Y) ergibt stets X u Y,
> d.h. wenn Du alle Pot(D_i) auf diese Art "vereinigst", enthälst Du D,
> aber nicht Pot(D).
Du hast recht, hier habe ich nicht aufgepasst. Pot(D) ist die
Vereinigung aller Pot(D_i) und N die Vereinigung aller N_k.
Da jedes Pot(D_i) auf ein N_k abgebildet und die Menge der N_k
abzaehlbar ist, sind auch die Vereinigungsmengen N und Pot(D)
abzaehlbar.
>
> > > Es ist ja gerade der Witz, dass U(D) nicht abzählbar ist. Da Du D so
> > > schön gewählt hast, ist eine Bijektion von Pot(D) in die Menge der
> > > 0,1-Folgen einfach zu bilden, in dem jedes Vorhandensein einer
> > > Zweierpotenz mit 1 und sonst mit 0 gekennzeichnet wird. Von der Menge
> > > der 0,1-Folgen wissen wir, dass sie überabzählbar ist.
> >
> > Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft,
>
> Doch, das hat es!
>
> > das habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> > worden.
>
> Deine Begründung wurde mehrfach widerlegt!
Wo? Offenbar hast du mein posting vom 13. Aug. 2001 06:18 h
an Horst Kraemer nicht gelesen. Der Teil, der sich mit dem
Diagonalverfahren befasst, ist bisher unbeantwortet.
>
> > Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> > Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
>
> Das ist Bockmist!
> Es _gibt_ kein "rechtes" Ende, denn das würde bedeuten, dass 0,1-Folgen
> endlich wären.
>
> Ich dachte, dass hättest Du kapiert. :(
>
> Deine weitere Argumentation stützt sich auf diese falsche Annahme und
> ist deshalb wertlos.
Das rechte "Ende" einer wie ueblich von links nach rechts geschriebenen
Dualzahl ist hier der Anfang einer 0,1-Folge, die von rechts nach links
gelesen wird (so dass Stellen gleicher Wertigkeit untereinander stehen).
Das wird aus dem Zusammenhang klar. (Norbert Micheel hat es richtig
verstanden.) Die Argumentation bleibt daher gueltig.
>
> > Wo befinden sich die Elemente von Pot(D), die sich nicht bijektiv
> > auf N abbilden lassen? Das muessten die unendlichen 0,1-Folgen
> > sein, die nicht in der abzaehlbaren Teilmenge N enthalten sind.
>
> Ja genau, das ist doch meine Aufteilung Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D)
> die endlichen und U(D) die unendlichen Teilmengen von D enthält.
E(D) ist jedenfalls abzaehlbar und kann daher auf eine Teilmenge
von N bijektiv abgebildet werden. Es steht daher eine unendliche
Teilmenge von N fuer zumindest einen Teil von U(D) zur Verfuegung.
Deine Aufteilung ist daher wertlos, wenn du sie nicht genauer
spezifizierst.
>
> > Was haben diese aber mit den Zweierpotenzen zu tun, die ja
> > Elemente von N sind?
>
> Die Zweierpotenzen stecken in E(D), E(D) ist ja auch abzählbar.
Sehr schoen. Und alle 0,1-Folgen, auf welche die Elemente von
Pot(D_i) abgebildet werden, befinden sich im Bereich von 0 bis
2^(i+1) - 1, also ebenfalls im abzaehlbaren Bereich. Das gilt
ohne Ausnahme fuer alle Zweierpotenzen mit endlich vielen Stellen,
und da es nach Voraussetzung nur solche gibt, gilt es also fuer
alle. Du solltest dir die Folge F der 0,1-Folgen noch einmal
genauer ansehen, bevor du sie als "Bockmist" abtust.
Wenn du die Zweierpotenz 2^i im abzaehlbaren Bereich angeben kannst,
ab der nicht mehr gilt, dass die Bilder der Potenzmenge aller
Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i ebenfalls im abzaehlbaren Bereich
liegen, hast du gewonnen. Wenn du sie nicht nennen kannst und trotzdem
bei der Behauptung bleibst, dass Pot(D) ueberabzaehlbar ist, muss es
auch Zweierpotenzen ausserhalb des abzaehlbaren Bereichs geben. Das
wuerde bedeuten, dass es nicht abzaehlbare nat. Zahlen gibt.
Das Dualsystem beruht auf einer Abbildung der nat. Zahlen auf die
Potenzmengen Pot(D_i) der Zweierpotenzen. N ist abzaehlbar unendlich.
Es gibt aber keine abzaehlbar unendliche Pot(D_i). Folglich lassen
sich nicht alle nat. Zahlen binaer darstellen. Wie stellst du jenen
Teil von N dar, der sich nicht binaer darstellen laesst? In der
Praxis wird dir dieser Teil zwar nie begegnen, aber hier geht es
um die grundsaetzliche Frage.
Wieso Sinneswandel? Unterschiedliche Ueberlegungen fuehren in der
Mengenlehre zu verschiedenen Ergebnissen. Darin besteht ja die
Inkonsistenz der Theorie. Wenn ich das harausstelle, hat das nichts
mit Sinneswandel zu tun.
>
> > Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
> > G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
> > zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
> > ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen.
>
> Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
> ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
Und wie ist es bei der Potenzmenge? Die Elemente von G sind auch
Elemente von Pot(G). G ist also eine echte Teilmenge von Pot(G).
(waehrend {G} ein Element von Pot(G) ist.)
>
> > Da die Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
> > Behauptung aufzugeben.
>
> Mächtigkeiten werden über Bijektionen definiert, nicht umgekehrt.
Umgekehrt ist es ohnehin nicht moeglich. Die Frage ist nur, welchen
Sinn die Maechtigkeitsdefinition ueber Bijektionen von beliebig
waehlbaren Teilmengen hat.
Gruss
Dieter
Paul Ebermann
> > Um zu zeigen, dass eine Menge X abzählbar unendlich ist, muss Du eine
> > Bijektion von X nach N oder nach einer anderen abzählbaren Menge finden.
>
> Das ist _eine_ Moeglichkeit. Eine andere besteht darin, zu zeigen, dass
> X die Vereinigung von abzaehlbar vielen abzaehlbaren Mengen ist. Dann
> muss es auch eine Bijektion von X nach N geben. Wenn es sie nicht gibt,
> liegt ein Widerspruch vor, der die Inkonsistenz der Theorie beweist.
Wenn X = Vereinigungsmenge der Elemente von Y,
und Y eine abzählbare Menge ist, deren Elemente
wieder abzählbare Mengen sind, können wir (etwa analog
des Cantorschen Diagonalisierungsbeweises der Abzählbarkeit
der Menge der rationalen Zahlen) eine Surjektion von
X nach N finden. Damit ist X abzählbar.
Wenn X auch noch unendlich ist, dann ist X sogar abzählbar unendlich,
also gibt es eine Bijektion zu N.
(Dies ist also nur ein Spezialfall der ersten Möglichkeit).
Wenn du also eine abzählbare Menge Y, deren Elemente wieder
abzählbare Mengen sind, findest, so dass X die Vereinigungsmenge
der Elemente von Y ist, dann ist X abzählbar.
Wir zweifeln jedoch daran, dass du eine solche
Menge Y findest, so dass X = Pot(N) (oder X = Pot(G), mit
G einer beliebigen abzählbar unendlichen Menge).
Wenn du dieses aufzeigen könntest, hättest du
wirklich eine Inkonsistenz gezeigt.
> > Die Vereinigung der Elemente von Pot(X) und Pot(Y) ergibt stets X u Y,
> > d.h. wenn Du alle Pot(D_i) auf diese Art "vereinigst", enthälst Du D,
> > aber nicht Pot(D).
>
> Du hast recht, hier habe ich nicht aufgepasst. Pot(D) ist die
> Vereinigung aller Pot(D_i) und N die Vereinigung aller N_k.
Pot(D) ist nicht die Vereinigungsmenge aller Pot(D_i),
denn dann müsste jede Teilmenge von D, insbesondere D selbst,
in einem der D_i enthalten sein.
Dass ist aber nicht der Fall.
Hier liegt ein Fehler in deinem Beweis.
> Da jedes Pot(D_i) auf ein N_k abgebildet und die Menge der N_k
> abzaehlbar ist, sind auch die Vereinigungsmengen N und Pot(D)
> abzaehlbar.
Die Vereinigungsmenge der Pot(D_i) ist in der Tat abzählbar:
Es ist die Menge
End(D),
die Menge der endlichen Teilmengen von D.
Es gibt aber noch (überabzählbar) viele weitere Teilmengen
von D, die nicht in End(D) enthalten sind.
> > > Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> > > Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
>
> Das rechte "Ende" einer wie ueblich von links nach rechts geschriebenen
> Dualzahl ist hier der Anfang einer 0,1-Folge, die von rechts nach links
> gelesen wird (so dass Stellen gleicher Wertigkeit untereinander stehen).
> Das wird aus dem Zusammenhang klar. (Norbert Micheel hat es richtig
> verstanden.) Die Argumentation bleibt daher gueltig.
Diese Nachfolgerrelation hat aber einige Mängel:
- Es gibt kein eindeutiges erstes Element, denn
...000010
und
...000100
sind etwa beide nicht Nachfolger einer anderen Folge.
Auch ist die Nachfolger-Relation nicht injektiv, denn es gilt etwa
Nachfolger(...000011101) = ...0000011111
Nachfolger(...000011011) = ...0000011111
Damit hilft dir diese Relation kein bisschen, um
eine Wohlordnung deiner 0-1-Folgen zu finden.
> > > Wo befinden sich die Elemente von Pot(D), die sich nicht bijektiv
> > > auf N abbilden lassen? Das muessten die unendlichen 0,1-Folgen
> > > sein, die nicht in der abzaehlbaren Teilmenge N enthalten sind.
> >
> > Ja genau, das ist doch meine Aufteilung Pot(D) = E(D) u U(D), wobei E(D)
> > die endlichen und U(D) die unendlichen Teilmengen von D enthält.
>
> E(D) ist jedenfalls abzaehlbar und kann daher auf eine Teilmenge
> von N bijektiv abgebildet werden. Es steht daher eine unendliche
> Teilmenge von N fuer zumindest einen Teil von U(D) zur Verfuegung.
> Deine Aufteilung ist daher wertlos, wenn du sie nicht genauer
> spezifizierst.
Das Problem ist ja, dass U(D) eine _überabzählbare_ Menge ist.
Selbst wenn du alle natürlichen Zahlen dafür reservieren würdest,
kannst du damit nicht alle Mengen aus U(D) abdecken.
Wenn du es doch schaffst, hast du entweder einen Fehler
begangen, oder wirklich einen Widerspruch gefunden.
> > > Was haben diese aber mit den Zweierpotenzen zu tun, die ja
> > > Elemente von N sind?
> >
> > Die Zweierpotenzen stecken in E(D), E(D) ist ja auch abzählbar.
>
> Sehr schoen. Und alle 0,1-Folgen, auf welche die Elemente von
> Pot(D_i) abgebildet werden, befinden sich im Bereich von 0 bis
> 2^(i+1) - 1, also ebenfalls im abzaehlbaren Bereich. Das gilt
> ohne Ausnahme fuer alle Zweierpotenzen mit endlich vielen Stellen,
> und da es nach Voraussetzung nur solche gibt, gilt es also fuer
> alle. Du solltest dir die Folge F der 0,1-Folgen noch einmal
> genauer ansehen, bevor du sie als "Bockmist" abtust.
> Wenn du die Zweierpotenz 2^i im abzaehlbaren Bereich angeben kannst,
> ab der nicht mehr gilt, dass die Bilder der Potenzmenge aller
> Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i ebenfalls im abzaehlbaren Bereich
> liegen, hast du gewonnen. Wenn du sie nicht nennen kannst und trotzdem
> bei der Behauptung bleibst, dass Pot(D) ueberabzaehlbar ist, muss es
> auch Zweierpotenzen ausserhalb des abzaehlbaren Bereichs geben. Das
> wuerde bedeuten, dass es nicht abzaehlbare nat. Zahlen gibt.
Wie gesagt, liegt dies daran, dass die Vereinigung von
Potenzmengen nicht gleich der Potenzmenge der Vereinigung
ist (sondern meist nur eine echte Teilmenge).
Dies gilt schon im endlichen Bereich, wieso willst gerade _du_
es im unendlichen Bereich außer Kraft setzen?
> > > Das gilt immer, ohne dass die Anzahl der Elemente von
> > > G bekannt sein muss. Daher ist die Potenzmenge das ideale Kriterium
> > > zur Ueberpruefung der Behauptung, dass sich unendliche Mengen auf
> > > ihre unendlichen Teilmengen bijektiv abbilden lassen.
> >
> > Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
> > ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
>
> Und wie ist es bei der Potenzmenge? Die Elemente von G sind auch
> Elemente von Pot(G). G ist also eine echte Teilmenge von Pot(G).
> (waehrend {G} ein Element von Pot(G) ist.)
Noch einmal: Die Elemente von G sind (meist) nicht Elemente von Pot(G).
Elemente von Pot(G) sind die Teilmengen von G.
Allerdings gibt es Teilmengen von Pot(G), die zu G bijektiv äquivalent
sind, etwa die Menge aller einelementigen Teilmengen von G.
Die Behauptung Sönkes,
> > Es gibt immer Bijektionen einer beliebigen unendlichen Mengen X in jede
> > ihrer unendlichen echten Teilmengen (Hilbert Hotel).
ist allerdings trotzdem i.a. falsch, daran solltest du deinen
Beweis also nicht knüpfen.
> > > Da die Antwort des Kriteriums negativ ist, waere es konsequent, die
> > > Behauptung aufzugeben.
> >
> > Mächtigkeiten werden über Bijektionen definiert, nicht umgekehrt.
>
> Umgekehrt ist es ohnehin nicht moeglich. Die Frage ist nur, welchen
> Sinn die Maechtigkeitsdefinition ueber Bijektionen von beliebig
> waehlbaren Teilmengen hat.
Wir wählen keine beliebigen Teilmengen aus, um eine Bijektion
zu finden.
Seien X und Y zwei Mengen.
| Eine Bijektion ist eine Abbildung
| f : X --> Y,
| mit den Eigenschaften:
|
| a) [Surjektivität]
| Für jedes y in Y gilt:
| Es existiert ein x in X, so dass:
| f(x) = y
|
| b) [Injektivität]
| Für jedes x1 aus X gilt:
| Für jedes x2 aus X gilt:
| Wenn f(x1) = f(x2) , dann x1 = x2 .
| Wenn du eine Abbildung konstruierst,
| bei der dies der Fall ist (oder die Existenz
| einer solchen Abbildung nachweisen kannst),
| dann sind X und Y gleichmächtig.
Wenn es eine Bijektion zwischen X und Y gibt,
gibt es in der Regel (wenn |X| > 1) auch noch
eine (oder viele) weitere andere.
| Wenn du zeigen kannst, dass eine solche
| Abbildung nicht existieren kann, sind
| X und Y nicht gleichmächtig.
Sonst sind X und Y entweder gleichmächtig oder nicht,
wir wissen aber nichts darüber.
Wenn du den Sinn dieser Definition anzweifeln
willst, gerne - dies ist jedoch kein
Aufhängepunkt für die Inkonsistenz einer Theorie.
Paul
Paul Ebermann
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag news:3B805015...@t-online.de...
Norbert Micheel schrieb am 16.Aug.2001 21:13 h:
>
...
> > > Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
> > > habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> > > worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du die
> > > groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> > > einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
> >
> > Das Diagonalverfahren ist in dem Beweis geschildert worden (von Horst
> > Kraemer) - du konntest keine Stelle benennen, an der ein logisch falscher
> > Schluss vorliegt.
>
> Entweder hast du meine Antwort auf die Darstellung von Horst Kraemer
> nicht gelesen oder sie war dir zu allgemein. Du kannst es auch
> konkreter haben.
Mal sehen, ob irgendwo ein Fehler im Diagonalbeweis
gezeigt wird.
> Wir betrachten eine Liste von 0,1-Folgen. Zur Veranschaulichung kann
> man sie sich als binaere Darstellung der reellen Zahlen des Einheits-
> intervalls vorstellen.
> Die Zeilen sind nummeriert, also abzaehlbar.
Genauer: Wir nehmen an, wir hätten eine Bijektion zwischen
N und der Menge der 0,1-Folgen. Das führen wir zu einem
Widerspruch, also kann es keine solche Liste geben.
> Die Liste enthaelt also eine abzaehlbare Menge A von 0,1-Folgen.
Wir haben angenommen, dass die Menge der 0,1-Folgen
abzählbar ist. Dann müsste also eine Bijektion existieren,
so dass A = {Menge _aller_ 0,1-Folgen }.
> Wir bilden die Diagonale jetzt wieder von links oben nach rechts unten.
> Die cantorisierte Diagonale ist eine 0,1-Folge, die nicht in A
> enthalten ist.
Und dies ist ein Widerspruch zu der Folgerung, dass A die Menge
aller 0,1-Folgen ist.
Mehr wollten wir gar nicht.
> Durch Vertauschen der Reihenfolge der in der Liste
> aufgefuehrten 0,1-Folgen (ohne sie zu veraendern) erhaelt man mit der
> cantorisierten Diagonalen beliebig viele 0,1-Folgen, die nicht in A
> enthalten sind.
Dies ist dabei ziemlich irellevant. (In Wahrheit kannst du
durch solche Vertauschungen wirklich überabzählbar viele
0,1-Folgen erhalten).
> Soweit die Fakten. Aus der Tatsache, dass die cantorisierte Diagonale
> eine 0,1-Folge ist, die nicht in der abzaehlbaren Menge A enthalten
> ist, wird der Schluss gezogen, dass die Menge F aller 0,1-Folgen
> ueberabzaehlbar ist.
Nicht direkt.
Wenn F abzählbar unendlich wäre, müsste man F als A
(also abzählbare Liste) darstellen können. Dies ist die
Definition abzählbarer Mengen. Wir können also von F = A
ausgehen, wenn F abzählbar ist.
Da wir nun F = A wiederlegt haben, kann F also nicht
abzählbar sein, muss also überabzählbar sein.
Wo ist hier ein Fehler?
> Der Schluss ist jedoch voreilig, weil auch die
> Vereinigungsmenge von A und der neuen 0,1-Folge abzaehlbar ist.
a) Dies interressiert nicht, wir haben ja schon einen
Widerspruch.
b) Du meinst die Vereinigungsmenge A' := A u {'die neue 0,1-Folge'}.
Dass diese abzählbar ist, daran besteht kein Zweifel.
Wenn du aber eine Bijektion N --> A' aufstellst, damit also
die neue Liste A' aufschreibst, erhältst du eine neue
Diagonal-Folge, die wiederum nicht in A' enthalten war.
> Sogar die Vereinigungsmenge von A und abzaehlbar unendlich vielen
> abzaehlbar unendlichen Mengen von 0,1-Folgen ist abzaehlbar. Es
> muesste also bewiesen werden, dass man durch Vertauschen der Reihen-
> folge der Elemente von A mit der cantorisierten Diagonale ueber-
> abzaehlbar viele unterschiedliche 0,1-Folgen erhaelt.
Dies muss nicht bewiesen werden: Wir haben die Existenz einer
Abzählung von F (Bijektion F --> N) angenommen, und diese Annahme
widerlegt. Mehr brauchen wir nicht, wenn du dir die Definition
von überabzählbar noch einmal ansiehst.
> Der Beweis
> ist aber nicht erbracht worden.
[... eine weitere abzählbare Menge B]
> Man kann nun das Diagonalverfahren auf die Vereinigungsmenge C
> von A und B anwenden. Wie vereinigt man A und B? Man kann die
> beiden Mengen nicht einfach aneinander haengen, weil sie kein
> Ende haben. Sie muessen also ineinander geschachtelt werden.
Es ist mir ziemlich egal, wie du die Mengen zusammenführst.
Wenn die Menge C abzählbar unendlich ist, dann gibt es eine
Bijektion N --> C. Und dann kann man wieder eine Diagonalzahl
finden, die nicht in C enthalten ist.
> Dabei geht die Uebersicht verloren, welche 0,1-Folgen in
> unendlicher Entfernung vom Anfang der Liste stehen.
> Wir wissen aus dem Versuch mit der Menge A nur, dass die
> Liste nicht alle, nicht einmal alle 0,1-Folgen einer
> abzaehlbaren Teilmenge von F, enthaelt. Wer garantiert also,
> dass alle Elemente von C Platz in der Liste haben?
Die Tatsache, dass C nur abzählbar unendlich ist.
> Die Menge B verdankt ihre Existenz ja gerade der Tatsache, dass die
> Liste bereits "voll" war. Die Menge A enthaelt naemlich soviele
> 0,1-Folgen wie moeglich, d. h. soviele sich eben auf N abbilden
> lassen. Nur unter dieser Voraussetzung ergibt der Diagonalbeweis
> einen Sinn. Dass N eine wohldefinierte, wenn auch unbekannte,
> und daher unveraenderliche Anzahl von Zahlen enthaelt, folgt
> daraus, dass sie als Menge und nicht als beliebig erweiterbare
> Folge definiert ist.
In eine Menge können keine weiteren Elemente hinzugefügt
werden, das ist richtig. Wir können uns aber eine Liste
vorstellen, in der (z.B. abwechselnd) beide Mengen eingefügt
werden. Da ja die Liste abzählbar unendlich ist, können wir
auch alle Elemente von C dort unterbringen.
> In dem Thread "Cantor und die rationalen Zahlen", der am 19. 2. 2001
> 17:25 h von Thomas Hoffbauer in dsm eroeffnet wurde, ging es um die
> Frage, ob der Diagonalbeweis auch die Ueberabzaehlbarkeit der rationalen
> Zahlen des Einheitsintervalls beweist. Als Kriterium wurde genannt,
> dass die cantorisierte Diagonale eine rationale und keine irrationale
> Zahl sein muss. Wenn dieses damals akzeptierte Kriterium noch gilt,
> ist der Beweis mit einem Beispiel leicht zu fuehren.
Mal sehen ...
> Die folgende Liste enthaelt in jeder Zeile die Nachkommastellen einer
> nicht periodischen rationalen Zahl in binaerer Darstellung:
>
> 1) 1 1
> 2) 1 1 0 1
> 3) 1 0 1 1
> 4) 1 1 1 1 1
> 5) 0 1 0 0 0 1
> 6) . . . . . 1
> 7) . . . . . . 1
> ...
>
> Ab Zeile 6) gilt: die k-te Ziffer der Zahl in der Zeile k ist 1.
> Die Stellen hinter den angegebenen Ziffern koennen mit Nullen
> aufgefuellt werden.
> Die Diagonale von links oben nach rechts unten ist 111 101 111 1...
> und die cantorisierte Diagonale 000 010 000 00... . Dies sind die
> Nachkommastellen einer rationalen Zahl, die nicht in der Liste
> enthalten ist, womit der Beweis erbracht ist.
Du hast den Beweis erbracht, dass nicht alle rationalen Zahlen
in deiner Liste vorkommen - dies liegt an dem ausgewählten
Beispiel. Du kannst aber IMHO nicht beweisen, dass es keine
solche Liste gibt, die alle rationalen Zahlen (in [0,1])
enthält.
Betrachte doch etwa die folgende Liste:
(Die Perioden sind mit () gekennzeichnet und
vom vorperiodischen Anteil durch | getrennt,
damit klar wird, welche Folge gemeint ist.)
1) |(1)111111111... = 1
2) |(0)000000000... = 0
3) 1|(0)00000000... = 1/2
4) 0|(1)11111111... = 1/2 (sogar doppelt, kann weggelassen werden)
5) |(10)10101010... = 2/3
6) |(01)01010101... = 1/3
7) 01|(0)0000000... = 1/4
8) 00|(1)1111111... = 1/4
9) 11|(0)0000000... = 3/4
10) 10|(1)1111111... = 3/4 (doppelt)
11) |(0011)001100... = 1/5
12) |(0110)011001... = 2/5
13) |(1001)100110... = 3/5
14) |(1100)110011... = 4/5
usw.
Hier kommt jede rationale Zahl zwischen 0 und 1
mindestens einmal vor (Wenn du die ersten beiden
weglässt, nur die echt dazwischenligenden).
Wenn du die doppelten Zahlen weglässt (alle mit (1)-Periode),
hast du sogar eine Bijektion.
Egal wie du jetzt umsortierst, du erhältst nie eine
Diagonal-Folge, die eine rationale Zahl darstellt
(also irgendwann eine 0- oder 1- Periode hat).
> > > Wir koennen fuer die 0,1-Folgen eine Nachfolgerelation definieren.
> > > Beginnend am rechten Ende suchen wir die erste 0 und setzen sie auf 1.
> > > Die Zeichen links davon bleiben unveraendert, die Zeichen rechts davon
> > > werden auf 0 gesetzt. Wenn keine 0 vorhanden ist, wird links eine 1
> > > hinzugefuegt und alle 1 rechts von der neuen auf 0 gesetzt. Als
> > > Anfangsfolge nehmen wir eine einzelne 0. Jede 0,1-Folge hat einen
> > > eindeutig bestimmten Nachfolger.
> >
> > Ja, nur leider erzeugst du so nur endliche 0,1 Folgen !
> >
> > [an alle anderen: Dieter schreibt die Folgen doch von rechts nach links...
> > er schildert hier nur die normale Binaerschreibweise ]
> >
> > > Wir erhalten auf diese Weise eine wohlgeordnete unendliche
> > > Folge F von 0,1-Folgen.
Wie ich schon in meinem anderen Posting schrieb:
Dies ist keine Wohlordnung, da es beliebig viele
Anfänge gibt (alles, was an der letzten Ziffer
eine 0 hat), und es für fast jeden nicht-Anfang x
mehrere Folgen y1, y2, ... gibt, so dass x der direkte
Nachfolger aller dieser Folgen ist.
> > > Ist F abzaehlbar oder ueberabzaehlbar?
> > > Deine Antwort muesste lauten: ueberabzaehlbar.
> >
> > Nope. Dein F ist abzaehlbar. Sie ist die Menge aller endlichen 0,1 Folgen.
Wenn wir mit einer 0,1-Folge beginnen (etwa ...000),
so sind in der Folge nur
....00000
....00001
....00011
....00111
....01111
usw,
also nur die um 1 verminderten Zweierpotenzen
enthalten.
Diese Menge ist natürlich abzählbar (unendlich), aber
noch lange nicht die Menge aller endlichen 0,1-Folgen.
> Die Antwort ueberrascht mich, obwohl sie meine Ueberzeugung wiedergibt.
> Es ist also nicht moeglich, in abzaehlbar vielen Schritten eine
> 0,1-Folge mit unendlich vielen Stellen zu erreichen.
Mit deiner missglückten Nachfolger-Relation kann das
ja nicht möglich sein.
> Daraus folgt,
> dass es auch keinen Algorithmus zum Erzeugen einer solchen Folge
> gibt.
Warum das?
> Ein Algorithmus zum Erzeugen, Definieren oder Berechnen einer
> 0,1-Folge muss zwar nicht alle moeglichen 0-1-Kombinationen durch-
> probieren, diese Erleichterung bingt aber nur eine Einsparung von
> abzaehlbar vielen Schritten. Das gilt zumindest solange nur endliche
> 0,1-Folgen erzeugt werden. Wenn es moeglich ist, unendliche 0,1-Folgen
> mit einem Algorithmus zu erzeugen, muss es also einen Punkt geben,
> von dem an die Nachfolgerelation ihm nicht mehr folgen kann.
Wie wäre es damit:
Nimm die oben von mir genannte Liste der rationalen Zahlen
und bilde dann die Diagonalzahl. Da jede Zahl meiner Liste
wohldefiniert ist (also die k'te Stelle der k'ten Zahl in
endlich vielen Schritten bestimmt werden kann), kann ich dir
also nach und nach alle Stellen dieser irrationalen Zahl
ausspucken.
> Wie
> laesst sich das begruenden? Wenn es diesen Punkt nicht gibt, bedeutet
> das, dass es keinen Algorithmus zur Erzeugung einer unendlichen
> 0,1-Folge in abzaehlbar vielen Schritten gibt. Zur binaeren Darstellung
> der irrationalen Zahlen werden aber solche Algorithmen benoetigt.
> Wird dadurch nicht die Existenz der irrationalen Zahlen in Frage
> gestellt?
Die Existenz einer Zahl ist nicht davon abhängig, ob es einen
Algorithmus zu ihrer Berechnung gibt.
> >
> > Die Mengen 2IN und IN sind nicht endlich, 2IN ist eine echte Teilmenge von
> > IN
> > und die Abbildung f: 2IN-->IN, 2k |---> k ist bijektiv.
> > Das ist eine Konsequenz der Definitionen.
> > Was davon zweifelst du an ?
> >
> > [...]
> >
> > Wie schon oben gezeigt: es gibt unendliche Mengen, die sich bijektiv auf
> > eine ihrer echten Teilmengen abbilden lassen. Deshalb geht das schon etwas
> > ueber eine "Behauptung der Mengenlehre" hinaus.
>
> Bis jetzt hat noch niemand zwei unendliche Mengen bijektiv abgebildet.
> Die Abbildungen gelten immer nur fuer geeignet ausgesuchte endliche
> Teilmengen. Warum bei unendlichen Mengen Zweifel bestehen, habe ich
> in meiner Antwort an Sönke Müller-Lund begruendet.
Ich glaube, du hast eine andere Vorstellung von einer
Abbildung als wir.
Definiere doch bitte deinen Abbildungsbegriff (oder den
von Bijektion), oder sage, was dich an der von Norbert
genannten Abbildung f : 2N --> N, f(2k) := k
stört.
> > G ist ein Element von POT(G) ! Keine Teilmenge !
>
> {G} ist ein Element von Pot(G), G ist eine Teilmenge, weil alle
> Elemente von G auch Elemente von Pot(G) sind.
Umgekehrt wird ein Schuh daraus:
{G} ist eine (einelementige) Teilmenge von Pot(G),
wohingegen G nur ein Element (keine Teilmenge) von G ist.
> > Die Idee "G ist unendlich, wenn man sie bijektiv auf eine ihrer Teilmengen
> > abbilden kann" wuerde ja bedeuten, es gibt eine bijektive Abbildung von
> > einem Element von POT(G) auf G.
Genauer: Einem Element X von Pot(G), wobei X <> G ist.
> > Dass es keine bijektive Abbildung von ganz POT(G) auf G gibt, ist doch kein
> > Indiz fuer einen Widerspruch.
Dass das nie geht, ist doch schon mehrfach bewisen worden.
> Dass sich eine unendliche Menge auf eine ihrer echten Teilmengen
> abbilden laesst, ist keine Selbstverstaendlichkeit.
Das ist eine der Definitionen unendlicher Mengen.
Da du dich ja immer noch nicht für eine dieser Definitionen
entschieden hast, kannst du es natürlich nicht beweisen.
> Dass dies bei
> beliebig ausgewaehlten Teilmengen moeglich ist, ist eine Trivialitaet.
Für jede unendliche Menge X gibt es eine echte Teilmenge Y von X,
so dass eine Bijektion X --> Y existiert.
Hier steht natürlich nicht, dass es für alle Teilmengen Y gilt.
> Dass das aber fuer die gesamte Menge gilt, kann man nicht beweisen,
> man muss es glauben.
Was soll denn dieser Satz bedeuten?
a) "Nicht jede Teilmenge einer unendlichen Menge muss zu
dieser bijektiv äquivalent sein"
b) "Es gibt zwar eine Bijektion, diese ist aber nicht auf der
ganzen Menge, sondern nur auf einer (beliebigen) Teilmenge
definiert"
c) etwas ganz anderes
a) wurde von niemanden bestritten.
b) macht keinen Sinn, denn Abbildungen sind immer
auf der ganzen Definitionsmenge definiert.
c) erkläre das bitte genauer.
> Dieser Glaube ist eine fundamentale Voraussetzung
> der Mengenlehre. Angesichts der weitreichenden Konsequenzen, die sich
> daraus ergeben, ist eine Moeglichkeit zur Ueberpruefung dieses Glaubens
> wuenschenswert. Die Potenzmenge ist eine solche Moeglichkeit. Da sich
> hier, wo es eine eindeutige Antwort gibt, zeigt, dass sich Pot(G) nicht
> auf ihre Teilmenge G abbilden laesst, wird der Glaube zumindest in Frage
> gestellt.
Es hat niemand wirklich behauptet, dass jede unendliche Menge
zu jeder ihrer unendlichen Teilmengen gleichmächtig ist(*).
Zur Frage steht nur:
Zu jeder unendlichen Menge _gibt_ es eine echte Teilmenge,
die zur Menge gleichmächtig ist.
Paul
Fup2 dsm, weil ich keinen Philosophischen Gehalt in
dieser Diskussion sehe.
(*) Sönke hatte versehentlich eine solche Behauptung
aufgestellt, diese inzwischen aber korrigiert.
Norbert Micheel
> Norbert Micheel schrieb am 16.Aug.2001 21:13 h:
>
...
> > > Woher weisst du das? Das Diagonalverfahren hat keine Beweiskraft, das
> > > habe ich ausfuehrlich begruendet und das ist bisher nicht widerlegt
> > > worden. Der Beweis durch Bijektion waere erst ueberzeugend, wenn du
die
> > > groesste abzaehlbare Menge, also die Menge, die keine echte Teilmenge
> > > einer anderen abzaehlbaren Menge ist, angeben kannst.
> >
> > Das Diagonalverfahren ist in dem Beweis geschildert worden (von Horst
> > Kraemer) - du konntest keine Stelle benennen, an der ein logisch
falscher
> > Schluss vorliegt.
> Entweder hast du meine Antwort auf die Darstellung von Horst Kraemer
> nicht gelesen oder sie war dir zu allgemein. Du kannst es auch
> konkreter haben.
Mir scheint eher du hast nicht gelesen, was ich sagte.
"Konkret" waere gewesen, die Stelle in dem Beweis zu nennen.
> Wir betrachten eine Liste von 0,1-Folgen. Zur Veranschaulichung kann
> man sie sich als binaere Darstellung der reellen Zahlen des Einheits-
> intervalls vorstellen. Die Zeilen sind nummeriert, also abzaehlbar.
> Die Liste enthaelt also eine abzaehlbare Menge A von 0,1-Folgen.
> Wir bilden die Diagonale jetzt wieder von links oben nach rechts unten.
> Die cantorisierte Diagonale ist eine 0,1-Folge, die nicht in A
> enthalten ist.
Wenn du etwas gegen Widerspruchsbeweise hast, solltest du das vorher sagen.
Da kann man drueber reden.
Du schilderst es fast korrekt. Nur an der Stelle, an der du feststellst,
dass die Diagonale ein Element der vermeintlich abzaehlbaren Menge ist und
sie andererseits kein Urbild in IN hat (nicht in der Liste ist) ist der
Widerspruch zur Annahme erreicht. Also ist die Menge - entgegen der
Annahme - nicht abzaehlbar.
Q.E.D. Beweis-Ende. Finito. Ende. Basta. Aus die Maus. Erledigt. Abgehakt.
> Durch Vertauschen der Reihenfolge der in der Liste
> aufgefuehrten 0,1-Folgen (ohne sie zu veraendern) erhaelt man mit der
> cantorisierten Diagonalen beliebig viele 0,1-Folgen, die nicht in A
> enthalten sind.
Du darfst auch nicht vergessen, dass man die Abbildung f waehlt.
Sie ist zwar beliebig, aber innerhalb des Beweises dann fest. (bitte nicht
schlagen Herr Beutelspacher :-))
Wenn du die Liste "umsortierst" aenderst du die Abbildung f !
> Soweit die Fakten. Aus der Tatsache, dass die cantorisierte Diagonale
> eine 0,1-Folge ist, die nicht in der abzaehlbaren Menge A enthalten
> ist, wird der Schluss gezogen, dass die Menge F aller 0,1-Folgen
> ueberabzaehlbar ist. Der Schluss ist jedoch voreilig, weil auch die
> Vereinigungsmenge von A und der neuen 0,1-Folge abzaehlbar ist.
> Sogar die Vereinigungsmenge von A und abzaehlbar unendlich vielen
> abzaehlbar unendlichen Mengen von 0,1-Folgen ist abzaehlbar.
Du verwendest extra einmal die Menge A und dann die Menge F in deinem Satz.
Sie sind aber identisch.
Es muss eigentlich heissen "aus der Tatsache, dass ein Element aus A
gefunden wurde, dass keine "Nummer" erhalten hat, wird der Schluss gezogen,
dass A doch nicht abzaehlbar ist."
Die Diagonal-Folge ist nicht "neu" - sie muesste laut Annahme in der
"Abzaehlung" drin sein.
Der Schluss ist nicht "voreilig", weil die Annahme nun mal war, die
Abbildung f ist eine "Abzahlung", die alle Elemente zaehlt. Also muessen
alle Elemente, die ich _finde_ -nicht konstruiere!- eine Nummer haben.
Ich kann dich beruhigen:
Die Existenz der irrationalen Zahlen in der Mathematik ist nicht abhaengig
von irgendwelchen Algorithmen.
Was soll das jetzt bedeuten ?
Wenn du mit uns nicht ueber Mathematik diskutieren willst, solltest du es
einfach lassen.
Nochmal weil's so schoen ist:
Die Mengen sind _nicht_endlich, die Abbildung ist auf ihnen definiert und
sie _ist_ bijektiv.
Wenn du glaubst, man koennte von einer Abbildung zwischen unendlichen Mengen
nicht zeigen, dass sie bijektiv ist, dann hast du ein Problem mit den
mathematischen Schlussweisen. Das ist dein guten Recht.
Aber du solltest aufhoeren zu behaupten, die Definitionen wuerden
Widersprueche enthalten.
> >
> > G ist ein Element von POT(G) ! Keine Teilmenge !
>
> {G} ist ein Element von Pot(G), G ist eine Teilmenge, weil alle
> Elemente von G auch Elemente von Pot(G) sind.
{G} ist kein Element von POT(G), weil G kein Element von G ist.
Kein Element von G ist ein Element von POT(G), weil ein Element keine
Teilmenge ist.
> > Die Idee "G ist unendlich, wenn man sie bijektiv auf eine ihrer
Teilmengen
> > abbilden kann" wuerde ja bedeuten, es gibt eine bijektive Abbildung von
> > einem Element von POT(G) auf G.
> > Dass es keine bijektive Abbildung von ganz POT(G) auf G gibt, ist doch
kein
> > Indiz fuer einen Widerspruch.
> Dass sich eine unendliche Menge auf eine ihrer echten Teilmengen
> abbilden laesst, ist keine Selbstverstaendlichkeit. Dass dies bei
> beliebig ausgewaehlten Teilmengen moeglich ist, ist eine Trivialitaet.
> Dass das aber fuer die gesamte Menge gilt, kann man nicht beweisen,
> man muss es glauben. Dieser Glaube ist eine fundamentale Voraussetzung
> der Mengenlehre. Angesichts der weitreichenden Konsequenzen, die sich
> daraus ergeben, ist eine Moeglichkeit zur Ueberpruefung dieses Glaubens
> wuenschenswert. Die Potenzmenge ist eine solche Moeglichkeit. Da sich
> hier, wo es eine eindeutige Antwort gibt, zeigt, dass sich Pot(G) nicht
> auf ihre Teilmenge G abbilden laesst, wird der Glaube zumindest in Frage
> gestellt.
Nochmal:
G ist keine Teilmenge von POT(G).
Und selbst wenn, dann hast du eine unendliche Menge (POT(G)), die sich auf
_eine_ ihrer Teilmengen nicht bijektiv abbilden laesst. Dass dies nicht die
Negation von "laesst sich bijektiv auf eine ihrer Teimengen abbilden" ist,
sollte klar sein.
Weil sqrt(x) nicht fuer alle x \in IR eine natuerliche Zahl ist, gibt das
Anlass zu glauben es gaebe kein x fuer das sqrt(x) eine natuerliche Zahl ist
? Mir jedenfalls nicht.
N
Norbert Micheel
Sönke Müller-Lund schrieb am 16.Aug.2001 18:43 h:
>
...
> Die Existenz von M bestaetigt, dass N nur eine beliebige Menge in
> einer Mengenfolge ist. Mengentheoretisch sind die Zahlen
> folgendermassen definiert: (vgl. S. 73, H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung
> in die Mengenlehre, 3. Aufl. 1994, B.I. Wissenschaftsverlag)
Keiner hat behauptet, wenn M1=M u {M} gilt fuer eine beliebige Menge, dann
muesste M1 ein Element der natuerlichen Zahlen sein !
> 0 = {} = leere Menge
> 1 = {{}}
> 2 = { {},{{}} }
> 3 = { {},{{}},{{},{{}}} }
> ...
> k = (k-1) u {(k-1)}
> ...
> Diese ausfuehrliche Schreibweise ist unuebersichtlich. Es ist daher
> zweckmaessig, die uebliche Schreibweise der nat. Zahlen als Abkuerzung
> der vorstehenden Definitionen zu verwenden. Es wird dann
> 0 = {}
> 1 = {0}
> 2 = {0,1}
> 3 = {0,1,2}
> 4 = {0,1,2,3}
> 5 = {0,1,2,3,4}
> ...
> Jede Zahl ist echte Teilmenge jeder groesseren Zahl. Die Vereinigungs-
> menge z. B. der Zahlen (= Mengen) 5 und 3 ist 5. Jede Zahl k ist die
> Menge aller Zahlen von 0 bis k-1. Die Menge N aller nat. Zahlen ist
> also der Nachfolger eben dieser Zahlen und der Nachfogler von N ist
> M = N u {N}.
IN ist kein Element von IN.
IN hat keinen Nachfolger.
IN ist nicht der Nachfolger irgendeiner natuerlichen Zahl.
> N ist also eine beliebige Teilmenge in einer beliebig erweiterbaren
> Mengenfolge. Es bestaetigt sich, dass der Begriff _alle_ nat. Zahlen
> keinen Sinn hat.
IN ist die Menge aller Mengen, die mit der vorgebenen Vorschrift entstehen.
IN laesst sich nicht "erweitern".
Du bist mein lebendes Argument dafuer, warum ich diese Definition der
Natuerlichen Zahlen nicht bevorzuge. Denn du trennst nicht zwischen den
Mengenklammern, die bei der Konstruktionsvorschrift benutzt werden und den
Klammern, die ich schreibe, wenn ich sage "IN ist die Menge aller ...".
> > > Wuenschenswert waere also eine Kontrollmoeglichkeit. Dass es sie
> > > gibt, habe ich bereits im Laufe der Diskussion in dem Thread
> > > "Widersprueche der Mengenlehre" am Beispiel der Potenzmengen gezeigt.
> > > Diese sind eine Vereinigung von abzaehbar unendlich vielen abzaehlbar
> > > unendlichen Teilmengen, die ihrerseits durch Vereinigung der teils
> > > endlichen teils unendlichen abzaehlbaren Elemente der Potenzmenge
> > > definiert sind.
>
> > Nein, eine Potenzmenge einer Menge X ist die Menge aller Teilmengen von
> > X. Nicht mehr und nicht weniger.
> So ist es. Und genau diese Menge laesst sich als Vereinigung von
> abzaehlbar unendlich vielen abzaehlbar unendlichen Mengen beschreiben.
> Das hatte ich gezeigt.
Ganz bestimmt nicht.
*gaehn* Es fehlen mal wieder die unendlichen Teilmengen von POT(D).
Vereinigung_i (POT(D_i)) <> POT(D)
> > > Was haben diese aber mit den Zweierpotenzen zu tun, die ja
> > > Elemente von N sind?
> >
> > Die Zweierpotenzen stecken in E(D), E(D) ist ja auch abzählbar.
> Sehr schoen. Und alle 0,1-Folgen, auf welche die Elemente von
> Pot(D_i) abgebildet werden, befinden sich im Bereich von 0 bis
> 2^(i+1) - 1, also ebenfalls im abzaehlbaren Bereich. Das gilt
> ohne Ausnahme fuer alle Zweierpotenzen mit endlich vielen Stellen,
> und da es nach Voraussetzung nur solche gibt, gilt es also fuer
> alle. Du solltest dir die Folge F der 0,1-Folgen noch einmal
> genauer ansehen, bevor du sie als "Bockmist" abtust.
>
> Wenn du die Zweierpotenz 2^i im abzaehlbaren Bereich angeben kannst,
> ab der nicht mehr gilt, dass die Bilder der Potenzmenge aller
> Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^i ebenfalls im abzaehlbaren Bereich
> liegen, hast du gewonnen. Wenn du sie nicht nennen kannst und trotzdem
> bei der Behauptung bleibst, dass Pot(D) ueberabzaehlbar ist, muss es
> auch Zweierpotenzen ausserhalb des abzaehlbaren Bereichs geben. Das
> wuerde bedeuten, dass es nicht abzaehlbare nat. Zahlen gibt.
>
> Das Dualsystem beruht auf einer Abbildung der nat. Zahlen auf die
> Potenzmengen Pot(D_i) der Zweierpotenzen. N ist abzaehlbar unendlich.
> Es gibt aber keine abzaehlbar unendliche Pot(D_i). Folglich lassen
> sich nicht alle nat. Zahlen binaer darstellen. Wie stellst du jenen
> Teil von N dar, der sich nicht binaer darstellen laesst? In der
> Praxis wird dir dieser Teil zwar nie begegnen, aber hier geht es
> um die grundsaetzliche Frage.
Jede natuerliche Zahl laesst sich binaer darstellen.
Und jede unendliche 0,1 Folge ist keine natuerliche Zahl.
Mengen sind abzaehlbar, Zahlen nicht.
N
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>Einverstanden. M enthaelt alle Elemente, die auch N enthaelt,
>und zusaetzlich das Element {N}, also ein Element mehr als N.
>Wie bildest du M auf N ab?
Nein. Zusaetzlich das Element N - also die Menge der natuerlichen
Zahlen als zusaetzliches Element. {N} bezeichnet eine Menge deren
einziges Element die Menge der Menge der natuerlichen Zahlen ist.
f(0) = N
f(k) = k-1 fuer alle k>0
>Vor allem bleibt die Frage unbeantwortet, ob sich auf diese Weise
>tatsaechlich _alle_ Elemente von M auf N abbilden lassen.
Nein. Die Frage ist oben beantwortet.
>Die Existenz von M bestaetigt, dass N nur eine beliebige Menge in
>einer Mengenfolge ist. Mengentheoretisch sind die Zahlen
>folgendermassen definiert: (vgl. S. 73, H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung
>in die Mengenlehre, 3. Aufl. 1994, B.I. Wissenschaftsverlag)
>
>0 =3D {} =3D leere Menge
>1 =3D {{}}
>2 =3D { {},{{}} }
>3 =3D { {},{{}},{{},{{}}} }
>=2E..
>k =3D (k-1) u {(k-1)}
>=2E..
>
>Diese ausfuehrliche Schreibweise ist unuebersichtlich. Es ist daher
>zweckmaessig, die uebliche Schreibweise der nat. Zahlen als Abkuerzung
>der vorstehenden Definitionen zu verwenden. Es wird dann
>0 =3D {}
>1 =3D {0}
>2 =3D {0,1}
>3 =3D {0,1,2}
>4 =3D {0,1,2,3}
>5 =3D {0,1,2,3,4}
>=2E..
>
>Jede Zahl ist echte Teilmenge jeder groesseren Zahl. Die Vereinigungs-
>menge z. B. der Zahlen (=3D Mengen) 5 und 3 ist 5. Jede Zahl k ist die
>Menge aller Zahlen von 0 bis k-1. Die Menge N aller nat. Zahlen ist
>also der Nachfolger eben dieser Zahlen und der Nachfogler von N ist
>M =3D N u {N}.
Nein. Die Menge N ist niemands Nachfolger bezueglich der
Nachfolgerrelation
Nachfolger x := x u {x}
bzw. anders ausgedrueckt. Es gibt keine natuerliche Zahl n, dessen
Nachfolger N ist. Deine Aussage, N sei "der Nachfolger eben dieser
Zahlen", ist eine mathematisch inhaltsleere Methapher.
>N ist also eine beliebige Teilmenge in einer beliebig erweiterbaren
>Mengenfolge.
Nein, da N kein Nachfolger einer natuerlichen Zahl _ist_.
>Du hast recht, hier habe ich nicht aufgepasst. Pot(D) ist die
>Vereinigung aller Pot(D_i) und N die Vereinigung aller N_k.
Nein. Pot(D) ist nicht die Vereinigung aller Pot(D_i). Da saemtliche
Elemente saemtlicher Pot(D_i) endliche Mengen sind, sind saemtliche
Elemente der Vereinigung aller Pot(D_i) endliche Mengen - dies folgt
aus der Definition des Begriffs "Vereinigung".
Pot(D) hat demgegenueber auch unendlichen Mengen als Elemente. Z.B.
die Menge D persoenlich. D ist kein Element irgendeines Pot(D_i), also
ist D auch kein Element der Vereinigung aller Pot(D_i). Der Rest
Deiner Ausfuehrungen ist daher gegenstandslos.
Anscheinend verwendest Du hier einen uns unbekannten Begriff, den Du
"Vereinigung" nennst und der nicht mit dem in der Mengentheorie
definierten Begriff "Vereinigung" zusammenfaellt.
MfG
Horst