Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Rico Poser
wie kann man prinzipiell den Konvergenzbereich einer Potenzreihe folgenden
Typs bestimmen:
Bsp:
Summe [n=1 bis unendlich] von (n^2)/(2^n) * ((5*x)/(x^2+1))^n
Wo liegt der Entwicklungspunkt? Ist der Konvergenzradius r=2?
Vielen Dank im voraus...
Rico
Michael Hoppe
> Summe [n=1 bis unendlich] von (n^2)/(2^n) * ((5*x)/(x^2+1))^n
>
> Wo liegt der Entwicklungspunkt? Ist der Konvergenzradius r=2?
Fast. Du möchtest noch die Ungleichung |5x/(x^2+1)| < 2 nach x
auflösen.
Michael
--
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Joerg Ruesges
> Summe [n=1 bis unendlich] von (n^2)/(2^n) * ((5*x)/(x^2+1))^n
i.a. versucht man durch das zurueckfuehren auf bekanntes den grenzwert von
reihen zu berechnen. in diesem fall fuehrt man die reihe auf die geometrische
zurueck :
n^2 (5*x) n^(2/n) * (5*x)
--- * (-------)^n = (---------------)^n
2^n (x^2+1) 2 * (x^2+1)
eine geometrische reihe
q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n
konvergiert fuer n->oo, wenn |q| < 1
in unserem fall muss also
n^(2/n) * (5*x)
(---------------) < 1
2 * (x^2+1)
da
lim n^(2/n) = 1
n->oo
bleibt die ungleichung
(5*x)
----------- < 1
2 * (x^2+1)
zu loesen (duerfte kein grosses problem sein).
mfg
joerg
H. Loewe
wrote:
>Rico Poser <Rico....@gmx.de> wrote:
>
>> Summe [n=1 bis unendlich] von (n^2)/(2^n) * ((5*x)/(x^2+1))^n
>>
>> Wo liegt der Entwicklungspunkt? Ist der Konvergenzradius r=2?
>
>Fast. Du möchtest noch die Ungleichung |5x/(x^2+1)| < 2 nach x
>auflösen.
Ja. Und dann erhält man (modulo Rechenfehler): x < 1/2 oder x>2; daß
das kein "Kreis" ist (und man deswegen nicht von "Konvergenzradius"
reden kann), liegt an der folgenden Tatsache: Die betrachtete Reihe
ist keine Potenzreihe - die sehen nämlich so aus
Summe[n=0 bis unendlich] a(n)*(x-x0)^n,
wobei x0 der Entwicklungspunkt ist. Demzufolge kann man bei der
gegebenen Reihe auch nicht von "Entwicklungspunkt" reden...
Erst die Substitution z=5*x/(x^2+1) macht aus dieser Reihe eine
Potenzreihe in z (sic!); diese hat den Konvergenzradius 2, und deshalb
muß man die oben genannte Ungleichung nach x auflösen.
H. Loewe
Sebastian Klein
> Ja. Und dann erhält man (modulo Rechenfehler): x < 1/2 oder x>2; daß
> das kein "Kreis" ist (und man deswegen nicht von "Konvergenzradius"
> reden kann), liegt an der folgenden Tatsache: Die betrachtete Reihe
> ist keine Potenzreihe - die sehen nämlich so aus
> Summe[n=0 bis unendlich] a(n)*(x-x0)^n,
> wobei x0 der Entwicklungspunkt ist. Demzufolge kann man bei der
> gegebenen Reihe auch nicht von "Entwicklungspunkt" reden...
Aber man kann die Reihe als sogenannte Laurent-Reihe schreiben, das
ist eine Reihe von der Form
Summe[n=-unendlich bis unendlich] a(n)*(x-x0)^n
Sie konvergiert genau dann, wenn sowohl der "Hauptteil", das ist
die Reihe
Summe[n=1 bis Unendlich] a(-n)*(x-x0)^(-n)
als auch der "Nebenteil"
Summe[n=0 bis Unendlich] a(n)*(x-x0)^n
konvergiert. Daher sieht man, daß Laurent-Reihen auf Kreisringen
um den Entwicklungspunkt x0 konvergieren, d.h. für x mit
r < |x-x0| < R, dabei ist R>r>0, wobei r durch den Hauptteil
und R durch den Nebenteil bestimmt wird. Auf den Rändern ist das
Verhalten nicht allgemein vorhersagbar, genau wie bei Potenzreihen.
R=unendlich ist möglich, so z.B. in dem angegebenen Beispiel.
Laurent-Reihen spielen vor allem in der Funktionentheorie eine
sehr wichtige Rolle (z.B. ist der Koeffizient a(-1) i.W. das
sog. Residuum, das bei der Bereichnung von Kurvenintegralen
von großer Wichtigkeit ist, vgl. Residuensatz).
Grüße,
Sebastian
--
Sebastian Klein / Student of Mathematics / Geek of All Trades
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H. Loewe
<a283...@smail.rrz.uni-koeln.de> wrote:
Erstmal muß ich mein erstes Statement etwas revidieren:
Als Lösungsmenge der Ungleichung
|5*x/(x^2+1)| < 2
erhält man
(-oo, -2) vereinigt (-1/2,1/2) vereinigt (1/2, oo)
Sorry.
Nun noch drei Anmerkungen zu der Antwort von Herrn Klein:
(1.) Was die Wichtigkeit und Nützlichkeit der Laurentreihen angeht, so
rennen Sie weit offene Türen ein.
Aber - worum es mir in meinem Beitrag ging: Die vorgelegte Reihe ist
keine Potenzreihe und die Suche nach einem "Entwicklungspunkt" und
einem "Konvergenzradius" ist (mit diesem Hintergrund) sinnlos.
(2.) Die angegebene Reihe ist keine Laurentreihe - aus einem Kreisring
kann die reelle Achse nämlich nicht drei Teile aussägen. Abgesehen
davon: Die Lösungsmenge der komplexen Gleichung
|5*x/(x^2+1)| ) = 2
beschreiben keine zwei konzentrischen Kreise; so wie mir scheint noch
nicht einmal konzentrische Ellipsen, sondern zwei Kurven 4. Ordnung.
Da der Konvergenzbereich der vorliegenden Reihe kein Kreisring ist,
ist die Reihe eben keine Laurentreihe...
(3.) Natürlich kann man die durch die vorliegende Reihe definierte
Funktion in eine (bzw. sogar ganz viele) Laurentreihe ENTWICKELN;
mangels isolierter Singularitäten verschwindet dabei der "Nebenteil"
und wir erhalten ordinäre Potenzreihen (nämlich die Taylorreihen um
den jeweiligen Entwicklungspunkt). Das aber ist, wie gesagt, eine
LOKALE Beschreibung der Funktion und sollte nicht mit der Funktion
verwechselt werden.
Mit freundlichen Grüßen
H. Löwe
Sebastian Klein
H. Loewe <hlo...@cymes-bs.de> wrote:
> (2.) Die angegebene Reihe ist keine Laurentreihe - aus einem Kreisring
> kann die reelle Achse nämlich nicht drei Teile aussägen.
Ja, sorry! Ein Denkfeher meinerseits ... ich hatte daran gedacht, daß
sich (5x/(x^2+1))^n als Laurentreihe entwickeln läßt und sich diese
Reihen zu einer zusammenfassen lassen. (Da Laurentreihen im Innern
des Konvergenzbereichs absolut konvergieren, wäre das Umordnen/
die Grenzwertvertauschung ok.) Dabei hatte ich leider nicht
berücksichtigt, daß die Entwicklungsreihen i.A. nicht überall dort
konvergieren, wo die vorgelegte Reihe konvergiert und man daher
nur auf einem Teilgebiet eine Darstellung als Laurentreihe erhält.
> (3.) Natürlich kann man die durch die vorliegende Reihe definierte
> Funktion in eine (bzw. sogar ganz viele) Laurentreihe ENTWICKELN;
> mangels isolierter Singularitäten verschwindet dabei der "Nebenteil"
> und wir erhalten ordinäre Potenzreihen (nämlich die Taylorreihen um
> den jeweiligen Entwicklungspunkt). Das aber ist, wie gesagt, eine
> LOKALE Beschreibung der Funktion und sollte nicht mit der Funktion
> verwechselt werden.
Ja, natürlich.