info
Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Potenzieren mit ungeradem Exponenten im Reellen immer äquivalente Umformung?
47 views
Skip to first unread message
IV
Oct 11, 2015, 10:05:45 AM10/11/15
to
Hallo,
das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
werden. Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung dagegen
immer eine äquivalente Umformung? Oder kann mir vielleicht jemand eine
Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten
zusätzliche reelle Scheinlösungen liefert?
Danke.
das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
werden. Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung dagegen
immer eine äquivalente Umformung? Oder kann mir vielleicht jemand eine
Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten
zusätzliche reelle Scheinlösungen liefert?
Danke.
Christian Gollwitzer
Oct 11, 2015, 10:35:16 AM10/11/15
to
Am 11.10.15 um 16:04 schrieb IV:
Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangent (für n>=3), die
aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt
x==y <=> f(x) == f(y)
Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
Christian
> Oder kann mir vielleicht
> jemand eine Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem
> ungeradzahligen Exponenten zusätzliche reelle Scheinlösungen liefert?
Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton wachsende
> jemand eine Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem
> ungeradzahligen Exponenten zusätzliche reelle Scheinlösungen liefert?
Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangent (für n>=3), die
aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt
x==y <=> f(x) == f(y)
Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
Christian
IV
Oct 11, 2015, 4:03:55 PM10/11/15
to
"Christian Gollwitzer" schrieb im Newsbeitrag
news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
Prima, danke! Und Du hast auch gleich die Begründung mitgeliefert. Das hilft
mir sehr weiter.
news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
>> Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung dagegen
>> immer eine äquivalente Umformung?
>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung dagegen
>> immer eine äquivalente Umformung?
> Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton wachsende
> Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
> Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangente (für n>=3), die
> Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
> aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt
> x==y <=> f(x) == f(y)
> Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
Deine Antwort ist also: Ja?
> x==y <=> f(x) == f(y)
> Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
Prima, danke! Und Du hast auch gleich die Begründung mitgeliefert. Das hilft
mir sehr weiter.
Timo Fröhlich
Oct 11, 2015, 4:40:09 PM10/11/15
to
Timo
--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: ne...@netfront.net ---
WM
Oct 12, 2015, 3:12:51 AM10/12/15
to
Am Sonntag, 11. Oktober 2015 16:05:45 UTC+2 schrieb IV:
> das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
> eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
> Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
> werden.
Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n. Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/= 0 ==> f^n =/= 0. Da sehe ich keinen Unterschied zwischen geraden und ungeraden Exponenten. (x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der Nullstellen, aber im Reellen bleibt x = 1 die einzige, wenn sie auch mehrfach entartet sein kann.
> das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
> eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
> Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
> werden.
Gruß, WM
Helmut Richter
Oct 12, 2015, 3:47:07 AM10/12/15
to
Lösung 1. Nach Quadrieren der Gleichung steht da: x² = 1. Sie hat für x
die Lösungen 1 und -1. Das Quadrieren war also keine äquivalente
Umformung. Der OP wollte wissen, ob das Potenzieren mit einer ungeraden
ganzen Zahl im Gegensatz zum Quadrieren eine äquivalente Umformung ist.
Sie ist.
--
Helmut Richter
WM
Oct 12, 2015, 9:06:05 AM10/12/15
to
Gruß, WM
Ralf Bader
Oct 12, 2015, 1:04:38 PM10/12/15
to
"Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
0^n mit Nullstellen zu tun? Ach so, weil in der Gleichung 0 auftaucht, und
im freien Assoziieren und Komponieren von Banalitäten zu Schwachsinn ergibt
sich dann die tiefe Erkenntnis. "Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/=
0 ==> f^n =/= 0". Ist f die reelle Nichtnullstelle? Eine (Nicht)nullstelle
einer Funktion g:IR->IR ist eine Stelle x im Definitionsbereich, an der der
Wert g(x) gleich bzw. ungleich 0 ist. Was also ist f? Die Funktion (wofür
gerne der Buchstabe f verwendet wird?) Die Nullstelle, "für" die die
bescheuerte Aussage formuliert ist? Der Funktionswert, über den anscheinend
die Aussage "f =/= 0 ==> f^n =/= 0" getroffen wird?
"(x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der
Mal wieder so bedömmelt, daß wie bei weiland Professor Galletti ein Bein das
andere nicht mehr sieht? Ein Pferd vermehrt deren Anzahl, denn ohne hat der
Reitersmann nur zwei Beine, aber mit 4 oder gar 6, wenn man die ohne
Bodenkontakt mitzählt. Aber daß die Anzahl auch nach Vermehrung "im Reellen"
immer noch eins bleibt, so etwas ist wohl nicht einmal Professor Galletti
unterlaufen.
Eine "Hochschule", an der man es anscheinend für sinnvoll hält, einen
Pensionär, der solchen vollverblödeten Stuß zusammenschwadroniert,
mathematische Lehrveranstaltungen abhalten zu lassen, gehört institutionell
abgewickelt, das Gebäude kann in eine Flüchtlingsunterkunft umgewandelt
werden und die Verantwortlichen wegen Steuergeldverschwendung ins Gefängnis
geworfen.
Zumal Mückenheims Gesabbel mit der eigentlichen Frage über Umformungen von
Gleichungen überhaupt nichts zu tun hat und diese von Christian Gollwitzer
bereits korrekt beantwortet war. Die Gleichungen, um die es dabei ging, sind
mutmaßlich von der Form T = Q, wo T und Q Terme mit einer freien Variablen x
sind. Eine solche Gleichung kann man in die Form T - Q = 0 bringen, T - Q
kann man als Definitionsterm einer Funktion interpretieren, und die Lösungen
der Gleichung sind dann die Nullstellen dieser Funktion. Diese Umstände,
plus die Verwendung einer gewissen Funktion in Christian Gollwitzers
Antwort, haben mutmaßlich in der von Mückenheim heldenhaft praktizierten
Methode des freien Assoziierens mit Maximierung der Schwachsinnigkeit zum
wieder einmal bewundernswerten Resultat geführt.
IV
Oct 12, 2015, 1:18:08 PM10/12/15
to
"WM" schrieb im Newsbeitrag
news:56c9000a-159f-49ff...@googlegroups.com...
eines Gleichungstyps eine äquivalente Umformung sein, für andere dagegen
eine nichtäquivalente. Deshalb steht in der eingangs genannten "Definition"
das "kann".
Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren mit
einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente Umformung
ist.
news:56c9000a-159f-49ff...@googlegroups.com...
>>> das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
>>> eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
>>> Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
>>> werden.
>> Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n. Für eine reelle Nichtnullstelle
>> gilt f =/= 0 ==> f^n =/= 0. Da sehe ich keinen Unterschied zwischen
>> geraden und ungeraden Exponenten. (x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der
>> Nullstellen, aber im Reellen bleibt x = 1 die einzige, wenn sie auch
>> mehrfach entartet sein kann.
Eine Umformung kann für bestimmte Gleichungstypen oder für bestimmte Stellen
>>> eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
>>> Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
>>> werden.
>> Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n. Für eine reelle Nichtnullstelle
>> gilt f =/= 0 ==> f^n =/= 0. Da sehe ich keinen Unterschied zwischen
>> geraden und ungeraden Exponenten. (x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der
>> Nullstellen, aber im Reellen bleibt x = 1 die einzige, wenn sie auch
>> mehrfach entartet sein kann.
eines Gleichungstyps eine äquivalente Umformung sein, für andere dagegen
eine nichtäquivalente. Deshalb steht in der eingangs genannten "Definition"
das "kann".
Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren mit
einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente Umformung
ist.
IV
Oct 12, 2015, 1:43:43 PM10/12/15
to
"Christian Gollwitzer" schrieb im Newsbeitrag
news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
>>>> das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist
>>>> ja eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge
>>>> der Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens
>>>> vergrößert, werden. Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem
>>>> u n geradzahligen Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen
>>>> einer
>>>> Gleichung dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>>>> ja eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge
>>>> der Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens
>>>> vergrößert, werden. Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem
>>>> u n geradzahligen Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen
>>>> einer
>>>> Gleichung dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>> Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton wachsende
>> Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
>> Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangent (für n>=3), die
>> aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt
>> x==y <=> f(x) == f(y)
>> Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
>> Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine bijektive
>> Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangent (für n>=3), die
>> aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt
>> x==y <=> f(x) == f(y)
>> Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.
> Prima, danke! Und Du hast auch gleich die Begründung mitgeliefert. Das
> hilft mir sehr weiter.
Ich glaube, so einfach ist das dann doch nicht. Deshalb ja auch meine Frage
> hilft mir sehr weiter.
hier.
Seien f und g Funktionen der Variablen x, und n eine positive ungerade Zahl.
Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n sind bezüglich der
Lösungsmenge äquivalent, wenn f(x) und g(x) reell sind. Das trifft zu, wenn
sowohl f und g als auch x reell sind. Läßt sich eine allgemeine Aussage über
die Äquivalenz oder Nichtäquivalenz dieser Gleichungen angeben, wenn f, g
oder x nicht reell sind?
Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: Die beiden Gleichungen sind
in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g bijektiv sind.
Kann man daraus vielleicht noch mehr ableiten?
WM
Oct 12, 2015, 1:45:51 PM10/12/15
to
Am Montag, 12. Oktober 2015 19:04:38 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
> "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
> 0^n mit Nullstellen zu tun?
Dort ist der Funktionswert 0.
> "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
> 0^n mit Nullstellen zu tun?
> "Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/=
> 0 ==> f^n =/= 0". Ist f die reelle Nichtnullstelle?
> Was also ist f?
Eine abkürzende Schreibweise für f(x).
> Der Funktionswert, über den anscheinend
> die Aussage "f =/= 0 ==> f^n =/= 0" getroffen wird?
Oder soll hier einer schönen Tradition gepflogen werden, wie Mathematiker das schon immer gern taten?
The bulk of Frege's critique of Hilbert consists of criticizing Hilbert's lack of terminological clarity, {{Einen solchen Vorwurf hört man häufig: Irgendetwas wäre nicht formal genug dargestellt oder unsauber definiert oder überhaupt ganz und gar unverständlich. Dieser Einwand empfiehlt sich immer dann, wenn man das Gesagte nicht versteht oder das Gemeinte gemein findet, jedenfalls nicht akzeptieren möchte, aber andererseits nichts dagegen vorzubringen weiß, weil es einem im Moment nicht einfällt oder auch weil es gar nichts dagegen Vorzubringendes gibt. Hinweis: Hiermit ist kein Urteil in der Frege-Hilbert-Kontroverse beabsichtigt. Ich meine hier nur Zwerge, die auf den Schultern dieser Giganten zu stehen und zu sehen glauben.}}
Gruß, WM
WM
Oct 12, 2015, 1:51:05 PM10/12/15
to
Am Montag, 12. Oktober 2015 19:18:08 UTC+2 schrieb IV:
> Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren mit
> einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente Umformung
> ist.
Für Gleichungen der Form f(x) = "irgendwas" ist das Potenzieren mit beliebigen Exponenten > 0 eine Umformung, welche die Anzahl der reellen Nullstellen nicht verändert.
> Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren mit
> einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente Umformung
> ist.
Gruß, WM
Detlef Müller
Oct 12, 2015, 6:20:27 PM10/12/15
to
Am 12.10.2015 um 19:43 schrieb IV:
> "Christian Gollwitzer" schrieb im Newsbeitrag
> news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
[...]
> "Christian Gollwitzer" schrieb im Newsbeitrag
> news:mvdrv6$epp$1...@dont-email.me...
>>> Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton wachsende
>>> Funktion
>>> Deshalb gilt
>>> x==y <=> f(x) == f(y)
[...]
>>> x==y <=> f(x) == f(y)
> Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n
>Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: Die beiden Gleichungen
> sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g
> bijektiv sind.
Nein, hat er nicht und ist auch falsch.
> sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g
> bijektiv sind.
sin(x) = cos (x) ist äquivalent zu sin(x)^97 = cos(x)^97.
Christians "f" ist dann f: x |--> x^97, Deine "f" und "g" sind ganz
andere Funktionen (hier sin und cos).
Sein Argument geht für beliebige Gleichungen X=Y mit X,Y reell.
Dabei kann X auch h(z) und Y kann r(z) mit z aus der Menge der
Quarternionen sein - Hauptsache die Funktionen h,r sind
reellwertig.
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
H0Iger SchuIz
Oct 13, 2015, 6:35:58 AM10/13/15
to
Jetzt hat er's mal ganz genau formuliert. "Irgendwas". So muss man
mathematische Texte aufschreiben. "Irgendwas" hier, "Blablabla" da.
Lösen wir uns von den Fesseln, die uns vorschreiben, dass wir wissen
müssen, worüber wir reden.
Die Mathematik ist tot, es lebe Dada.
> ist das Potenzieren mit
> beliebigen Exponenten > 0 eine Umformung, welche die Anzahl der reellen
> Nullstellen nicht verändert.
Das ist immer noch nicht die Frage. Die Frage war, ob es eine
Äquivalenzumformung sei.
hs
mathematische Texte aufschreiben. "Irgendwas" hier, "Blablabla" da.
Lösen wir uns von den Fesseln, die uns vorschreiben, dass wir wissen
müssen, worüber wir reden.
Die Mathematik ist tot, es lebe Dada.
> ist das Potenzieren mit
> beliebigen Exponenten > 0 eine Umformung, welche die Anzahl der reellen
> Nullstellen nicht verändert.
Äquivalenzumformung sei.
hs
H0Iger SchuIz
Oct 13, 2015, 6:35:58 AM10/13/15
to
Soso. Ohje. Nachdem er uns in seiner Erleuchtugn nachdrücklich
beigebracht hat, dass er Mengenlehre niemals verstehen wird, möchte er
uns nun auch nich zeigen, dass er auch in anderen Bereichen der
Mathematik keinen Plan hat. Ok, nehmen wir zur Kenntnis.
Er stolpert bei einer Frage, die vom Niveau her ein Oberstufenschüler
oder Mathematik-Erstie problemlos beantworten kann. Auch ein
Physik-Erstie, der seine Mathematik- oder Rechenrechnik-Vorlesungen
nicht vollständig ignoriert hat, käme damit klar.
Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
Das wirkt alles wie ein "Da war doch was"-Hüftschuss. Natürlich muss man
zum Berechnen der Nullstellen eine Gleichung lösen, der Nexus ist aber
subtiler, als er es sich vorstellen kann.
Ein Beispiel zur Einstimmung:
Die Funktion
\[f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2+1\]
oder kurz als Funktionsgleichung>
\[f(x) =x^2+1\]
hat keine reellen Nullstellen.
Die "quadrierte" Funktion, sagen wir, g mit der Funktionsgleichung
\[g(x) = (x^2+1)^2\]
hat dann wohl auch keine. So weit, so trivial.
Das heißt aber nun nicht, dass man beim Berechnen der Nullstellen,
beliebig in der Gegend herumquadrieren dürfte. Quadrieren ist nämlich
keine Äquivalenzumformung. Beim Berechnen der Nullstellen oben als $f$
bezeichneter Funktion trifft man womöglich auf die Zeile
\[x^2=-1,\]
welche keine reellen Lösungen hat. Das sieht man hoffentlich. Quadriert
man nun auf beiden Seiten erhält man
\[x^4 = +1\]
mit zwei reellen Lösungen. Diese sind übrigens _nicht_ die Nullstellen
der oben "quadriert" genannten Funktion $g$.
Soweit zum Zusammenhang und Unterschied von Nullstellen und
Äquivalenzumformungen. Eigentlich keine große Sache, wenn man nur wenig
bis mäßig in Mathematik ausgebildet ist. Eigentlich eine Einsicht, die
z.B. ein studierter Physiker haben sollte und auch einigermaßen sauber
aufschreiben können müsste. Eigentlich.
Schauen wir mal, wie er es in seiner Erleuchtung verhackstückt:
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Am Sonntag, 11. Oktober 2015 16:05:45 UTC+2 schrieb IV:
>
> > das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
> > eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
> > Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
> > werden.
Okay. Also von "Nullstellen" ist hier nicht die Rede. Wir wissen nicht,
welche Gleichungen Nummer vier lösen will. Er redet aber von
Umformungen, Äquivalenzen und Lösungsmengen. Alles gut bis hierhin. Die
Frage ist hinreichend sauber und klar formuliert. Nummer vier, der gerne
betont, dass er kein Mathematiker sei, kann das.
Und dann kommt das hier:
> Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n.
Was ist hierbei $n$? Eine Zahl? Was für eine? Darf ich mir eine
aussuchen? Sind die Quantoren schon im Wochende? Und was passiert im
Falle $n=0$?
Darüber hat er es wohl nicht nötig nachzudenken. Stattdessen versucht er
sich auf eine nicht näher benannte Nullstelle einer nicht näher
benannten Funktion zu berufen, die in der "Gleichung" dann gar nicht
mehr auftauchen. Syntaktisch durchaus erlaubt, aber kein guter Stil.
Insbesondere kann man so nix erklären, sondern nur verwirren. Absicht
oder Unfähigkeit? Wer weiß es schon.
> Für eine reelle Nichtnullstelle
Kein kanonischer Begriff, aber zur Abwechslung mal einer, der sich aus
dem Kontext erschließt.
> gilt f =/= 0 ==> f^n =/= 0.
Und was ist jetzt f?
> Da sehe ich keinen Unterschied zwischen
> geraden und ungeraden Exponenten.
Das mag sein. Wenn man sich jeder bezüglich der Basis noch des
Exponenten Gedanken macht und somit eine inhaltsleere Scheinaussage
produziert, muss man sich auch um das Detail der Geradzahligkeit des
Exponenten nicht mehr kümmern.
> (x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der
> Nullstellen,
Quark. Inwiefern soll ein Term Nullstellen "vermehren". Begattet er
diese? Regt er sie zu Zellteilung an? Oder bestellt er welche beim
Bäcker?
hs
beigebracht hat, dass er Mengenlehre niemals verstehen wird, möchte er
uns nun auch nich zeigen, dass er auch in anderen Bereichen der
Mathematik keinen Plan hat. Ok, nehmen wir zur Kenntnis.
Er stolpert bei einer Frage, die vom Niveau her ein Oberstufenschüler
oder Mathematik-Erstie problemlos beantworten kann. Auch ein
Physik-Erstie, der seine Mathematik- oder Rechenrechnik-Vorlesungen
nicht vollständig ignoriert hat, käme damit klar.
Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
Das wirkt alles wie ein "Da war doch was"-Hüftschuss. Natürlich muss man
zum Berechnen der Nullstellen eine Gleichung lösen, der Nexus ist aber
subtiler, als er es sich vorstellen kann.
Ein Beispiel zur Einstimmung:
Die Funktion
\[f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2+1\]
oder kurz als Funktionsgleichung>
\[f(x) =x^2+1\]
hat keine reellen Nullstellen.
Die "quadrierte" Funktion, sagen wir, g mit der Funktionsgleichung
\[g(x) = (x^2+1)^2\]
hat dann wohl auch keine. So weit, so trivial.
Das heißt aber nun nicht, dass man beim Berechnen der Nullstellen,
beliebig in der Gegend herumquadrieren dürfte. Quadrieren ist nämlich
keine Äquivalenzumformung. Beim Berechnen der Nullstellen oben als $f$
bezeichneter Funktion trifft man womöglich auf die Zeile
\[x^2=-1,\]
welche keine reellen Lösungen hat. Das sieht man hoffentlich. Quadriert
man nun auf beiden Seiten erhält man
\[x^4 = +1\]
mit zwei reellen Lösungen. Diese sind übrigens _nicht_ die Nullstellen
der oben "quadriert" genannten Funktion $g$.
Soweit zum Zusammenhang und Unterschied von Nullstellen und
Äquivalenzumformungen. Eigentlich keine große Sache, wenn man nur wenig
bis mäßig in Mathematik ausgebildet ist. Eigentlich eine Einsicht, die
z.B. ein studierter Physiker haben sollte und auch einigermaßen sauber
aufschreiben können müsste. Eigentlich.
Schauen wir mal, wie er es in seiner Erleuchtung verhackstückt:
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Am Sonntag, 11. Oktober 2015 16:05:45 UTC+2 schrieb IV:
>
> > das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
> > eine n i c h t äquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
> > Gleichung kann dadurch verändert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
> > werden.
welche Gleichungen Nummer vier lösen will. Er redet aber von
Umformungen, Äquivalenzen und Lösungsmengen. Alles gut bis hierhin. Die
Frage ist hinreichend sauber und klar formuliert. Nummer vier, der gerne
betont, dass er kein Mathematiker sei, kann das.
Und dann kommt das hier:
> Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n.
aussuchen? Sind die Quantoren schon im Wochende? Und was passiert im
Falle $n=0$?
Darüber hat er es wohl nicht nötig nachzudenken. Stattdessen versucht er
sich auf eine nicht näher benannte Nullstelle einer nicht näher
benannten Funktion zu berufen, die in der "Gleichung" dann gar nicht
mehr auftauchen. Syntaktisch durchaus erlaubt, aber kein guter Stil.
Insbesondere kann man so nix erklären, sondern nur verwirren. Absicht
oder Unfähigkeit? Wer weiß es schon.
> Für eine reelle Nichtnullstelle
Kein kanonischer Begriff, aber zur Abwechslung mal einer, der sich aus
dem Kontext erschließt.
> gilt f =/= 0 ==> f^n =/= 0.
> Da sehe ich keinen Unterschied zwischen
> geraden und ungeraden Exponenten.
Exponenten Gedanken macht und somit eine inhaltsleere Scheinaussage
produziert, muss man sich auch um das Detail der Geradzahligkeit des
Exponenten nicht mehr kümmern.
> (x-1)^n vermehrt zwar die Zahl der
> Nullstellen,
diese? Regt er sie zu Zellteilung an? Oder bestellt er welche beim
Bäcker?
hs
H0Iger SchuIz
Oct 13, 2015, 6:35:58 AM10/13/15
to
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Am Montag, 12. Oktober 2015 19:04:38 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
>
>
> > "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
> > 0^n mit Nullstellen zu tun?
>
> Dort ist der Funktionswert 0.
Oh, welch Erkenntnis. Womöglich hat er sogar eine wage Vorstellung vom
> Am Montag, 12. Oktober 2015 19:04:38 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
>
>
> > "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
> > 0^n mit Nullstellen zu tun?
>
> Dort ist der Funktionswert 0.
Begriff der Nullstelle. Trotzdem ist seine obige Formulierung daneben.
Die Gültikkeit der angegeben "Gleichung" hängt von $n$ ab, nicht von
einer ungenannten Nullstelle einer ungenannten Funktion.
> > "Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/=
> > 0 ==> f^n =/= 0". Ist f die reelle Nichtnullstelle?
>
> f ist der Funktionswert an einer Nichtnullstelle.
> > Was also ist f?
>
> Eine abkürzende Schreibweise für f(x).
bisher nirgends auftauchen, ist das eine fehlerhafte Wahl von
Bezeichnern. Wenn $f$ eine Funktion bezeichnet, kann $f$ nicht auch
einen Fuktionswert jener bezeichnen.
> > Der Funktionswert, über den anscheinend
> > die Aussage "f =/= 0 ==> f^n =/= 0" getroffen wird?
>
> Na also, es geht doch! Einfach lesen, was da präzise formuliert worden ist.
und Laune durch die Gegend. Das kann nicht präzise sein. Wenn man schon
keinen Bock hat, sich festzulegen, über welche Objekte man da spricht,
braucht man auch deren Eigenschaften nicht zu formulieren versuchen.
Aber er wird sich gleich enttarnen, indem er uns erzählt, was er
wirklich von der Präzession hält:
> {{Einen solchen Vorwurf hört man häufig: Irgendetwas wäre nicht formal
> genug dargestellt oder unsauber definiert oder überhaupt ganz und gar
> unverständlich. Dieser Einwand empfiehlt sich immer dann, wenn man das
> Gesagte nicht versteht oder das Gemeinte gemein findet, jedenfalls nicht
> akzeptieren möchte, aber andererseits nichts dagegen vorzubringen weiß,
> weil es einem im Moment nicht einfällt oder auch weil es gar nichts
> dagegen Vorzubringendes gibt.
> }}
Blablabla. Eine Pauschalausrede, die man immer anbringen kann. Aber sie
hat schnell als solche entlarvt.
Natürlich kann man gegen sein Geschreibsel inhaltlich nichts vorbringen.
Es ist so neben der Spur formuliert, dass gar keine Inhalte vorkommen
können. Er scheitert halt schon an den Schreibweisen. Da er nicht weiter
kommt, muss auch die Kritik nicht weiter gehen.
hs
Ralf Bader
Oct 13, 2015, 12:58:01 PM10/13/15
to
WM wrote:
> Am Montag, 12. Oktober 2015 19:04:38 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
>
>
>> "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
>> 0^n mit Nullstellen zu tun?
>
> Dort ist der Funktionswert 0.
>
>> "Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/=
>> 0 ==> f^n =/= 0". Ist f die reelle Nichtnullstelle?
>
> f ist der Funktionswert an einer Nichtnullstelle.
>
>> Was also ist f?
>
> Eine abkürzende Schreibweise für f(x).
>
>> Der Funktionswert, über den anscheinend
>> die Aussage "f =/= 0 ==> f^n =/= 0" getroffen wird?
>
> Na also, es geht doch! Einfach lesen, was da präzise formuliert worden
> ist.
>
> Oder soll hier einer schönen Tradition gepflogen werden, wie Mathematiker
> das schon immer gern taten?
>
> The bulk of Frege's critique of Hilbert
Hier geht es nicht um Hilbert und Frege, sondern um die Idiotie Ihres
> Am Montag, 12. Oktober 2015 19:04:38 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
>
>
>> "Für eine reelle Nullstelle gilt 0 = 0^n". Was hat die Gültigkeit von 0 =
>> 0^n mit Nullstellen zu tun?
>
> Dort ist der Funktionswert 0.
>
>> "Für eine reelle Nichtnullstelle gilt f =/=
>> 0 ==> f^n =/= 0". Ist f die reelle Nichtnullstelle?
>
> f ist der Funktionswert an einer Nichtnullstelle.
>
>> Was also ist f?
>
> Eine abkürzende Schreibweise für f(x).
>
>> Der Funktionswert, über den anscheinend
>> die Aussage "f =/= 0 ==> f^n =/= 0" getroffen wird?
>
> Na also, es geht doch! Einfach lesen, was da präzise formuliert worden
> ist.
>
> Oder soll hier einer schönen Tradition gepflogen werden, wie Mathematiker
> das schon immer gern taten?
>
> The bulk of Frege's critique of Hilbert
Geschreibsels. Wenn ein Satz beginnt mit "Für eine reelle Nullstelle gilt",
dann erwartet man anschließend eine Aussage über eine reelle Nullstelle und
keine allgemeine Banalität. In ähnlicher Weise ist jeder Satz Ihrer Antwort,
die das Thema obendrein völlig verfehlt hat, ein Krampf. Hilbertsche Sätze
sind hingegen nicht einmal dann Krampf, wenn sie falsch oder unvollständig
sind. Daß Sie sich, mit Ihrer "hohen mathematischen Bildung" (R. Sponsel)
erlauben, sich in eine Beziehung zu Hilbert zu setzen, ist nackter Wahn.
IV
Oct 13, 2015, 2:58:02 PM10/13/15
to
"Detlef Müller" schrieb im Newsbeitrag
news:mvhbna$beg$1...@gwaiyur.mb-net.net...
ja schon das Kriterium gebracht: die Bijektivität. Die beiden Gleichungen
sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl die Funktion f^n: x |->
f(x)^n als auch die Funktion g^n: x |-> g(x)^n bijektiv ist. Kann man daraus
vielleicht noch mehr über die komplexen Funktionen f und g ableiten?
news:mvhbna$beg$1...@gwaiyur.mb-net.net...
>>>>> Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
>>>>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung
>>>>> dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>>>>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung
>>>>> dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>>>> Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton
>>>> wachsende Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine
>>>> bijektive Abbildung. ... Deshalb gilt
>>>> x==y <=> f(x) == f(y)
>>>> Im Komplexen stimmt es nicht
>>> Seien f und g Funktionen der Variablen x, und n eine positive ungerade
>>> Zahl. Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n sind bezüglich
>>> der Lösungsmenge äquivalent, wenn f(x) und g(x) reell sind. Das trifft
>>> zu, wenn sowohl f und g als auch x reell sind. Läßt sich eine
>>> allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder Nichtäquivalenz dieser
>>> Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell sind?
>>> Zahl. Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n sind bezüglich
>>> der Lösungsmenge äquivalent, wenn f(x) und g(x) reell sind. Das trifft
>>> zu, wenn sowohl f und g als auch x reell sind. Läßt sich eine
>>> allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder Nichtäquivalenz dieser
>>> Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell sind?
>> Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: Die beiden Gleichungen
>> sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g
>> bijektiv sind.
> Nein, hat er nicht und ist auch falsch.
Ach ja. Danke. Ich versuche zu korrigieren:
>> sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g
>> bijektiv sind.
> Nein, hat er nicht und ist auch falsch.
Läßt sich eine allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder Nichtäquivalenz
dieser Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell sind? Christian hat
ja schon das Kriterium gebracht: die Bijektivität. Die beiden Gleichungen
sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl die Funktion f^n: x |->
f(x)^n als auch die Funktion g^n: x |-> g(x)^n bijektiv ist. Kann man daraus
vielleicht noch mehr über die komplexen Funktionen f und g ableiten?
Detlef Müller
Oct 13, 2015, 4:13:32 PM10/13/15
to
Am 13.10.2015 um 20:57 schrieb IV:
> "Detlef Müller" schrieb im Newsbeitrag
[...]
> "Detlef Müller" schrieb im Newsbeitrag
>>>>> Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton
>>>>> wachsende Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine
>>>>> bijektive Abbildung. ... Deshalb gilt
>>>>> x==y <=> f(x) == f(y)
[...]
>>>>> wachsende Funktion von R->R, stetig und unbeschränkt und damit eine
>>>>> bijektive Abbildung. ... Deshalb gilt
>>>>> x==y <=> f(x) == f(y)
>>>> Zahl. Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n sind bezüglich
>>>> der Lösungsmenge äquivalent, wenn f(x) und g(x) reell sind. Das trifft
>>>> zu, wenn sowohl f und g als auch x reell sind. Läßt sich eine
>>>> allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder Nichtäquivalenz dieser
>>>> Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell sind?
Das sind unglückliche Bezeichnungen, weil Christian das Potenzieren
x |--> x^n mit einer ungeraden Potenz als Abbildung namens f getauft
hat.
>>> Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: Die beiden Gleichungen
>>> sind in den Bereichen äquivalent, über denen sowohl f als auch g
>>> bijektiv sind.
>> Nein, hat er nicht und ist auch falsch.
> Ach ja. Danke. Ich versuche zu korrigieren:
> Läßt sich eine allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder
> Nichtäquivalenz dieser Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell
> sind? Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: die Bijektivität.
> Die beiden Gleichungen sind in den Bereichen äquivalent, über denen
> sowohl die Funktion f^n: x |-> f(x)^n als auch die Funktion g^n: x |->
> g(x)^n bijektiv ist.
(1) sin(x) = cos(x) <=> sin(x)^n = cos(x)^n , für x reell und
n natürlich und ungerade.
Weder sin noch cos noch sin^n oder cos^n sind bijektiv.
Bitte schau Dir das Beispiel genau an und gleiche die
Unstimmigkeit ab: entweder habe ich Deine Aussage nicht
richtig verstanden, oder bei Dir liegt ein Denkfehler
vor. Das sollte man nicht so einfach übergehen.
Es kommt imo einzig und allein auf die Bijektivität der Abbildung
F: R-->R, x |--> x^n an, die ich, da wir mit f anderes bezeichnen
wollen, mal mit dem Großbuchstaben bezeichne.
Allgemeiner:
ist F: D_F --> W_F eine bijektive Abbildung und
sind f: D --> W_f sowie g: D --> W_g Abbildungen, deren
Wertebereiche W_f und W_g in D_F enthalten sind, so haben
die Gleichungen
f(x) = g(x) und F(f(x)) = F(g(x))
die selbe Lösungsmenge (und D kann dabei beliebig sein, Reelle,
Komplexe Zahlen, Quarternionen - eine beliebige Menge halt).
Der Spezialfall hier: F: R --> R, x --> x^n.
Wenn Du Dir weitere Gedanken dazu machen möchtest,
schau folgendes Beispiel an:
f: R --> C, x|--> i*sin(x)
g: R --> C, x|--> i*cos(x)
Dann gilt (n aus N ungerade):
f(x)=g(x) <=> i*sin(x)=i*cos(x) <=> sin(x)=cos(x) <=> [mit (1)]
sin(x)^n = cos(x)^n <=> i^n sin(x)^n = i^n cos(x)^n
<=> f(x)^n = g(x)^n
Auf gewissen Teilmengen der Komplexen Zahlen ist unser Potenzieren
eben doch bijektiv.
K. Huller
Oct 14, 2015, 6:40:42 AM10/14/15
to
Am 12.10.2015 19:16, schrieb IV:
>
> Eine Umformung kann für bestimmte Gleichungstypen oder für bestimmte
> Stellen eines Gleichungstyps eine äquivalente Umformung sein, für andere
> dagegen eine nichtäquivalente. Deshalb steht in der eingangs genannten
> "Definition" das "kann".
> Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren
> mit einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente
> Umformung ist.
>
Nehmen wir mal an, die Gleichung liege in der Form f(x)=g(x) vor. Dann
>
> Eine Umformung kann für bestimmte Gleichungstypen oder für bestimmte
> Stellen eines Gleichungstyps eine äquivalente Umformung sein, für andere
> dagegen eine nichtäquivalente. Deshalb steht in der eingangs genannten
> "Definition" das "kann".
> Meine Frage ist, für welche Gleichungstypen und Stellen das Potenzieren
> mit einem positiv ungeradzahligen Exponenten immer eine äquivalente
> Umformung ist.
>
kann man sie immer in die Form (f-g)(x)=0 bringen und u.U. auch in
weitere Formen f*(x)=g*(x), wenn nämlich f oder g Summanden enthält, die
sich auf die andere Seite verschieben lassen. Weil die gewählte Form
zumindest bei geraden Potenzen eine Rolle spielt (s. dazu ein anderes
Posting), muß man mit sehr allgemeinen Voraussetzungen über f und g
arbeiten. Ich setze jetzt nur voraus, daß es Funktionen sind. Dann
entfallen diverse Ablenkungen und es wird m.E. ganz einfach.
Nehmen wir also an, es gebe ein n aus |N sowie ein x aus dem gemeinsamen
Definitionsbereich von f und g mit den Eigenschaften
1. f(^(2n+1))(x)=g(^(2n+1))(x)
2. f(x)=/=g(x)
und suchen nach Widersprüchen darin
Fall 1): Sollten die rechte und linke Seite in 1. den Zahlenwert null
haben, dann sind wir fertig, denn beide Seiten zerfallen in Faktoren,
von denen jeweils mindestens einer null sein muß. Als Faktoren stehen
links nur Ausdrücke f(x) und rechts nur Ausdrücke g(x), also f(x)=0=g(x)
und Widerspruch zu 2.
Fall 2): Die Ausdrücke in 1.sind ungleich null. Dann sind f(x) UND g(x)
endlich und a:=f(x)/g(x) ist eine definierte endliche Zahl.
3. f(x)=a*g(x)
eingesetzt in 1. ergibt das:
4. (a^(2n+1))*g(^(2n+1)((x)=g(^(2n+1))(x)
Die Potenzen von g lassen sich wegen g(x)=/=0 wegdividieren und es bleibt
5. a^(2n+1)=1
oder
6. a=1
also erneut Widerspruch zu 2.
Hätte die Potenz in 5. die Form 2n, wäre auch a=-1 möglich und 2.
könnte(!) weiterhin gültig sein.
Zusammengefaßt: Ich denke also, die ungerade Potenzierung ist im reellen
immer eine Äquivalenzumformung. Gibts das wirklich noch nirgendwo
vorgerechnet oder habe ich irgendwas übersehen?
Gruß
Knut
K. Huller
Oct 14, 2015, 6:41:18 AM10/14/15
to
Am 13.10.2015 12:36, schrieb H0Iger SchuIz:
>
> Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
> soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
> Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
>
Das hat einen plausiblen Grund. Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
>
> Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
> soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
> Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
>
umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
Gleichung'? Betrachten wir dazu das im Thread schon aufgetauchte
Beispiel x=1 oder x-1=0, also f(x)=x, g(x)=1 und F(x)=x-1. Quadrieren
der ersten Form ergibt x²=1² und ist keine Äquivalenzumformung, da nun
als weitere Lösung x=-1 auftaucht. Das Quadrieren der zweiten Form
dagegen ist eine, denn (x-1)²=0² hat weiterhin nur die Lösung x=1.
Ob 'potenzieren' eine Äquivalenzumformung ist, kann also auch von der
Schreibweise der Gleichung abhängen und es hat Sinn, zunächst eine
Standardform festzulegen. F(x)=0, d.h. die Umwandlujng in eine
Nullstellenproblem, bietet sich dafür an, weil diese Form zumindest
eindeutig ist. f(x)=g(x) ist es nicht, denn sobald f oder g in Summanden
zerfällt, lassen sich durch deren Hin- und Herschieben neue Formen
f*(x)=g*(x) bilden.
(mir ist klar, daß es im Thread um ungerade Potenzen geht, aber ich
wollte hier nur ein logisches Problem aufzeigen).
Gruß
Knut
Helmut Richter
Oct 14, 2015, 7:09:59 AM10/14/15
to
Am 14.10.2015 um 12:41 schrieb K. Huller:
> Am 13.10.2015 12:36, schrieb H0Iger SchuIz:
>>
>> Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
>> soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
>> Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
>>
> Das hat einen plausiblen Grund. Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
> Gleichung'?
'Quadrieren der(!)
> Am 13.10.2015 12:36, schrieb H0Iger SchuIz:
>>
>> Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
>> soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
>> Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
>>
> Das hat einen plausiblen Grund. Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
> Gleichung'?
Gleichung' heißt: Eine Gleichung mit k freien Variablen x_1, ..., x_k
wird quadriert (oder einer beliebigen anderen überall definierten
Funktion unterzogen), indem man daraus die Gleichung macht, deren linke
und rechte Seite das Quadrat (bzw. der Wert der anderen Funktion) der
linken bzw. rechten Seite der Ausgangsgleichung ist. Lösungs-k-tupel der
Ausgangsgleichung sind dann auch Lösungs-k-tupel der quadrierten (bzw.
...) Gleichung, aber nicht notwendigerweise umgekehrt.
> Ob 'potenzieren' eine Äquivalenzumformung ist, kann also auch von der
> Schreibweise der Gleichung abhängen und es hat Sinn, zunächst eine
> Standardform festzulegen.
*alle* Gleichungen gilt. "f(x)=g(x)" und "f(x)-g(x)=0" sind verschiedene
Gleichungen, werden also im allgemeinen verschiedenes Verhalten zeigen.
> F(x)=0, d.h. die Umwandlujng in eine
> Nullstellenproblem, bietet sich dafür an, weil diese Form zumindest
> eindeutig ist. f(x)=g(x) ist es nicht, denn sobald f oder g in Summanden
> zerfällt, lassen sich durch deren Hin- und Herschieben neue Formen
> f*(x)=g*(x) bilden.
vom Potenzieren? Man möchte ja die Gleichung der Lösung näherbringen.
Beispiel: man hat sqrt(2+x) + sqrt(5) - 20 = 0. Könnte man so lösen:
sqrt(2+x) = 20 - sqrt(5)
2 + x = 400 - 40 sqrt(5) + 5
x = 403 - 40 sqrt(5)
mit einem nicht-äquivalenten Schritt des Quadrierens.
Hätte das Quadrieren der Ausgangsgleichung irgendetwas gebracht?
--
Helmut Richter
H0Iger SchuIz
Oct 14, 2015, 8:56:01 AM10/14/15
to
K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
> Am 13.10.2015 12:36, schrieb H0Iger SchuIz:
> >
> > Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
> > soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
> > Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
> >
> Das hat einen plausiblen Grund.
Nein, plausible Gründe gibt es nur bei Leuten, die wissen wovon sie
> Am 13.10.2015 12:36, schrieb H0Iger SchuIz:
> >
> > Dieser hier aber, der angeblich ein Physik-Studium abgeschlossen haben
> > soll, versteht schon die Frage nicht. Es wurde eindeutig nach
> > Äquivalenzumformungen gefragt. Er fabuliert aber etwas über Nullstellen.
> >
> Das hat einen plausiblen Grund.
reden.
> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
> Gleichung'?
Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken. Zumal dabei die
Antwort anders ausfällt als im allgemeinen Fall.
> Betrachten wir dazu das im Thread schon aufgetauchte
> Beispiel x=1 oder x-1=0, also f(x)=x, g(x)=1 und F(x)=x-1. Quadrieren
> der ersten Form ergibt x"=1" und ist keine Äquivalenzumformung, da nun
> als weitere Lösung x=-1 auftaucht. Das Quadrieren der zweiten Form
> dagegen ist eine, denn (x-1)"=0" hat weiterhin nur die Lösung x=1.
auftritt, hinreichend beschrieben.
> Ob 'potenzieren' eine Äquivalenzumformung ist,
> kann also auch von der
> Schreibweise der Gleichung abhängen und es hat Sinn, zunächst eine
> Standardform festzulegen. F(x)=0,
Potenzieren möchte. Da wir nicht wissen, mit welcher Art Gleichung er es
zu tun hat, empföhle ich keinen Hüftschuss als Lösungsstrategie.
> (mir ist klar, daß es im Thread um ungerade Potenzen geht, aber ich
> wollte hier nur ein logisches Problem aufzeigen).
Danke für deine Anmerkungen.
hs
K. Huller
Oct 14, 2015, 9:20:12 AM10/14/15
to
Am 14.10.2015 14:56, schrieb H0Iger SchuIz:
bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
Sie eignet sich deshalb als Standardform.
Möglicherweise ist es die einzige Umformung, die immer möglich ist (und
damit die einzige denkbare Standardform), aber das wäre ein anderes Thema.
Gruß
Knut
> K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
>
>> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
>> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
>> Gleichung'?
>
> Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
> Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
> Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
>
Das ist kein Spezialfall, sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
>
>> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
>> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
>> Gleichung'?
>
> Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
> Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
> Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
>
bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
Sie eignet sich deshalb als Standardform.
Möglicherweise ist es die einzige Umformung, die immer möglich ist (und
damit die einzige denkbare Standardform), aber das wäre ein anderes Thema.
Gruß
Knut
H0Iger SchuIz
Oct 14, 2015, 9:33:51 AM10/14/15
to
K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
> Am 14.10.2015 14:56, schrieb H0Iger SchuIz:
> > K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
> >
> >> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
> >> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
> >> Gleichung'?
> >
> > Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
> > Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
> > Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
> >
> Das ist kein Spezialfall,
Doch.
> Am 14.10.2015 14:56, schrieb H0Iger SchuIz:
> > K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
> >
> >> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
> >> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
> >> Gleichung'?
> >
> > Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
> > Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
> > Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
> >
> Das ist kein Spezialfall,
> sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
> bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
> null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
> Sie eignet sich deshalb als Standardform.
in denen diese Spezialform vorliegt, potenzieren möchte. Seine Anfrage
gibt jedenfalls keine Anlass zu dieser Annahme. Die Frage, war ob
Potenzieren mit einer ungeraden Potenz eine Äquivalenzumformung sei.
Nicht, ob es Formen von Gleichungen gebe, in denen (beliebiges)
Potenzieren eine äquivalante Gleichung liefert.
hs
Detlef Müller
Oct 14, 2015, 10:36:09 AM10/14/15
to
Am 14.10.2015 um 15:20 schrieb K. Huller:
> Am 14.10.2015 14:56, schrieb H0Iger SchuIz:
>> K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
>>> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
>>> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
>>> Gleichung'?
>> Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
>> Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
>> Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
> Das ist kein Spezialfall, sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
> bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
> null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
> Sie eignet sich deshalb als Standardform.
Bei Brüchen p/q betrachtet man Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren.
> Am 14.10.2015 14:56, schrieb H0Iger SchuIz:
>> K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
>>> Jede Gleichung f(x)=g(x) kann man
>>> umformen zu F(x)=0 mit F:=f-g. Was heißt jetzt 'Quadrieren der(!)
>>> Gleichung'?
>> Der TO wird wissen, warum er vom Potenzieren _einer_ Gleichung schrieb.
>> Offensichtlich war eine beliebige Gleichung gemeint. Es gibt also keinen
>> Grund sich auf den Spezialfall "... = 0" zu beschränken.
> Das ist kein Spezialfall, sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
> bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
> null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
> Sie eignet sich deshalb als Standardform.
Eine Standard-Darstellung ist dann die gekürzte Darstellung mit
q>0.
Da ein Bruch als Objekt selbst die Äquivalenzklassen ist und nicht
die Darstellung p/q selbst, identifiziert man die Vertreter einer
Äquivalenzklasse.
Für Gleichungen ist es aber unüblich unter einer Gleichung eine
Äquivalenzklasse modulo Äquivalenzumformungen zu verstehen.
Sprachlich wird das manchmal unsauber formuliert, weil es manchmal
heißt "wir formen die Gleichung um", als wäre es danach nicht
eine andere Gleichung.
Die Gleichungen (1) f(x) = g(x) und (2) f(x) - g(x) = 0
sind zwar äquivalent, es handelt sich aber um verschiedene
Gleichungen.
WM
Oct 14, 2015, 11:53:46 AM10/14/15
to
Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 13:09:59 UTC+2 schrieb Helmut Richter:
> Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man dann
> vom Potenzieren?
Den Nachweis, dass es bei geraden und ungeraden natürlichen Exponenten keine Veränderung erzeugt.
> Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man dann
> vom Potenzieren?
Gruß, WM
WM
Oct 14, 2015, 12:02:45 PM10/14/15
to
Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 16:36:09 UTC+2 schrieb Detlef Müller:
> > Das ist kein Spezialfall, sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
> > bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
> > null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
> > Sie eignet sich deshalb als Standardform.
Ist sie auch.
> > Das ist kein Spezialfall, sondern eine Form, in die sich jede Gleichung
> > bringen läßt, indem man nämlich auf beiden Seiten g(x) subtrahiert (ggf.
> > null, falls rechts schon eine Null steht, also g die Nullfunktion ist.
> > Sie eignet sich deshalb als Standardform.
>
> Für Gleichungen ist es aber unüblich unter einer Gleichung eine
> Äquivalenzklasse modulo Äquivalenzumformungen zu verstehen.
> Sprachlich wird das manchmal unsauber formuliert, weil es manchmal
> heißt "wir formen die Gleichung um", als wäre es danach nicht
> eine andere Gleichung.
Es ist und bleibt dieselbe Lösungsmenge.
> Für Gleichungen ist es aber unüblich unter einer Gleichung eine
> Äquivalenzklasse modulo Äquivalenzumformungen zu verstehen.
> Sprachlich wird das manchmal unsauber formuliert, weil es manchmal
> heißt "wir formen die Gleichung um", als wäre es danach nicht
> eine andere Gleichung.
>
> Die Gleichungen (1) f(x) = g(x) und (2) f(x) - g(x) = 0
> sind zwar äquivalent, es handelt sich aber um verschiedene
> Gleichungen.
Die Lösungen sind in beiden Fällen dieselben, deswegen darf man die erste Form in die zweiten umwandeln. Das ist eine Äquivalenzumformung. Wenn die Frage nach Äquivalenzumformungen bei der Potenzierung gestellt wird, sollte man die Standardform wählen. Darunter wird in der Mathematik ganz überwiegend die Form (2) verstanden.
> Die Gleichungen (1) f(x) = g(x) und (2) f(x) - g(x) = 0
> sind zwar äquivalent, es handelt sich aber um verschiedene
> Gleichungen.
Gruß, WM
Michael Klemm
Oct 14, 2015, 12:31:47 PM10/14/15
to
freilich mit Schlägen davonjagen.
Gruß
Michael
IV
Oct 14, 2015, 4:04:47 PM10/14/15
to
"Detlef Müller" schrieb im Newsbeitrag
news:mvjola$itl$1...@gwaiyur.mb-net.net...
>>>> Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
>>>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung
>>>> dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>>>> Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung
>>>> dagegen immer eine äquivalente Umformung?
>> Seien f und g Funktionen der Variablen x, und n eine positive ungerade
>> Zahl. Die Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n = g(x)^n ...
>> Läßt sich eine allgemeine Aussage über die Äquivalenz oder
>> Nichtäquivalenz dieser Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell
>> sind? Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: die Bijektivität.
>> Die beiden Gleichungen sind in den Bereichen äquivalent, über denen
>> sowohl die Funktion f^n: x |-> f(x)^n als auch die Funktion g^n: x |->
>> Nichtäquivalenz dieser Gleichungen angeben, wenn f, g oder x nicht reell
>> sind? Christian hat ja schon das Kriterium gebracht: die Bijektivität.
>> Die beiden Gleichungen sind in den Bereichen äquivalent, über denen
>> sowohl die Funktion f^n: x |-> f(x)^n als auch die Funktion g^n: x |->
>> g(x)^n bijektiv ist. Kann man daraus vielleicht noch mehr über die
>> komplexen Funktionen f und g ableiten?
>> komplexen Funktionen f und g ableiten?
> Auch das stimmt nicht, mein Gegenbeispiel war und ist:
> (1) sin(x) = cos(x) <=> sin(x)^n = cos(x)^n , für x reell und n natürlich
> und ungerade.
> Weder sin noch cos noch sin^n oder cos^n sind bijektiv.
Ich hatte geschrieben und gemeint: "Die beiden Gleichungen sind in den
> (1) sin(x) = cos(x) <=> sin(x)^n = cos(x)^n , für x reell und n natürlich
> und ungerade.
> Weder sin noch cos noch sin^n oder cos^n sind bijektiv.
Bereichen äquivalent, ...", nicht "Die beiden Gleichungen sind genau dann
äquivalent, ..."
Für den Fall f(x) und g(x) beide reell hatte ja Christian die Antwort
gegeben: die Bijektivität der Potenzfunktion mit positivem ungeradem
Exponenten.
Meine späteren Fragen meinten die Fälle
a) x reell + f(x) oder g(x) nichtreell,
b) x nichtreell oder komplex + f(x) oder g(x) nichtreell,
c) x komplex + f(x) und/oder g(x) komplex.
Da ich noch nicht weiß, in welchen Bereichen außer bei reellem x die
Potenzfunktion x |-> x^3 im Komplexen bijektiv ist, mußte ich mich mit einer
Teilantwort zufrieden geben: Wenn bei komplexem x f(x), g(x), f(x)^n und
g(x)^n bijektiv sind oder f(x)^n und g(x)^n bijektiv sind, dann (nicht:
genau dann) sind die Lösungsmengen der Gleichungen f(x) = g(x) und f(x)^n =
g(x)^n identisch.
Kann man vielleicht noch mehr über f und g in den Fällen a), b) und c)
sagen?
In manchen Büchern wird nur erwähnt, daß das Potenzieren mit positivem
ganzzahligem Exponenten eine nichtäquivalente Umformung ist, in anderen wird
gesagt, daß das Potenzieren mit positivem geradem Exponenten eine
nichtäquivalente Umformung ist. Mich hat nun interessiert, ob man vielleicht
auch für eine komplexwertige Gleichung oder für eine komplexe
Gleichungsvariable Aussagen darüber treffen kann, wann das Potenzieren mit
positivem ungeradem Exponenten eine Äquivalenzumformung ist.
Ralf Bader
Oct 14, 2015, 5:44:32 PM10/14/15
to
Gleichungen in "Standardform". Das ist nun kein wirklich komplizierter
Sachverhalt, ich glaube Ihnen aber gerne, daß Sie zu blöde sind, ihn zu
durchblicken.
WM
Oct 15, 2015, 3:57:22 AM10/15/15
to
Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 23:44:32 UTC+2 schrieb Ralf Bader:
> > Die Lösungen sind in beiden Fällen dieselben, deswegen darf man die erste
> > Form in die zweiten umwandeln. Das ist eine Äquivalenzumformung. Wenn die
> > Frage nach Äquivalenzumformungen bei der Potenzierung gestellt wird,
> > sollte man die Standardform wählen. Darunter wird in der Mathematik ganz
> > überwiegend die Form (2) verstanden.
> > Die Lösungen sind in beiden Fällen dieselben, deswegen darf man die erste
> > Form in die zweiten umwandeln. Das ist eine Äquivalenzumformung. Wenn die
> > Frage nach Äquivalenzumformungen bei der Potenzierung gestellt wird,
> > sollte man die Standardform wählen. Darunter wird in der Mathematik ganz
> > überwiegend die Form (2) verstanden.
> Die Frage bezog sich auf Gleichungen in beliebiger Form
Meine Antwort gilt für die Standardform und ist richtig, auch wenn Dich das sehr verärgert.
> ich glaube Ihnen aber gerne, daß Sie zu blöde sind, ihn zu
durchblicken.
http://math.stackexchange.com/questions/1476254/can-mathematical-objects-with-partially-uncountable-properties-be-constructed
Seine entsprechende Frage in MathOverflow wurde umgehend gelöscht.
Es stellt sich immer deutlicher heraus, das die transfinite Mengenlehre kein mathematisches Problem ist, sondern ein rein psychologisches. Und das nicht erst seit heute. Cantor starb in geistiger Umnachtung, und schon Hilbert seine Blockade Brouwer gegenüber in hässlich intriganter Weise ausgelebt:
Sehr geehrter Herr Kollege! Da es mir bei der Unvereinbarkeit unserer Auffassungen in grundlegenden Fragen nicht möglich ist, mit Ihnen zusammenzuarbeiten, habe ich die Mitglieder der geschäftsführenden Redaktion der Mathematischen Annalen um die Ermächtigung gebeten und von den Herren Blumenthal und Carathéodory {{Carathéodory war ein Freund Brouwers. Sein Name wurde hier missbraucht.}} die Ermächtigung erhalten, Ihnen mitzuteilen, daß wir fernerhin auf Ihre Mitwirkung bei der Redaktion der Annalen verzichten und demnach Ihren Namen auf dem Titelblatt weglassen werden.
Einstein weigerte sich ebenfalls, der Entlassung Brouwers zuzustimmen, aber Hilbert drohte mit seinem baldigen Ableben (das sich dann doch noch eine Weile hinzog) und erpresste so seine nähere Umgebung, ihm zu folgen. Ein charakterlich absolut unsauberes Verhalten dieses drittgrößten Göttinger Mathematikers. Übrigens hat er auch Gödels Widerlegung seines hehren Ziels und Skolems widerlegung seiner Paradiesvorstellungen niemals akzeptiert und in den mittlerweile von ihm nach dem Führerprinzip (schon vor 1933) regierten Annalen einfach totgeschwiegen.
Fazit: Transfinite Mengenlehre, ein Fall für Psycholgen und Staatsanwälte. Keine Mathematik.
Gruß, WM
K. Huller
Oct 15, 2015, 4:27:42 AM10/15/15
to
1. Die Umwandlung in eine Nullstellenproblem kann ein ersterSchritt auf
dem Weg zur Lösung sein.
2. Dieser Ansatz erlaubt u.a. die Anwendung von 'Potenzieren'.
3. Das kann(!) die Rechnung erleichtern.
Gruß
Knut
Helmut Richter
Oct 15, 2015, 4:54:25 AM10/15/15
to
Am 15.10.2015 um 10:27 schrieb K. Huller:
>> Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 13:09:59 UTC+2 schrieb Helmut Richter:
>>
>>
>>> > Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man
>>> > dann > vom Potenzieren?
>>
>>> Den Nachweis, dass es bei geraden und ungeraden natürlichen Exponenten
>>> keine Veränderung erzeugt.
>>
>> Den Lehrer, der diesen Nachweis als Übungsaufgabe fordert, sollte man
>> freilich mit Schlägen davonjagen.
>>
> Was hältst du von folgender praktisch ausgerichteter Überlegung:
Nichts.
>> Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 13:09:59 UTC+2 schrieb Helmut Richter:
>>
>>
>>> > Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man
>>> > dann > vom Potenzieren?
>>
>>> Den Nachweis, dass es bei geraden und ungeraden natürlichen Exponenten
>>> keine Veränderung erzeugt.
>>
>> Den Lehrer, der diesen Nachweis als Übungsaufgabe fordert, sollte man
>> freilich mit Schlägen davonjagen.
>>
> Was hältst du von folgender praktisch ausgerichteter Überlegung:
> 1. Die Umwandlung in eine Nullstellenproblem kann ein ersterSchritt auf
> dem Weg zur Lösung sein.
> 2. Dieser Ansatz erlaubt u.a. die Anwendung von 'Potenzieren'.
Dazu habe ich ein Beispiel gegeben, das leider niemand zur Kenntnis
genommen hat.
> 3. Das kann(!) die Rechnung erleichtern.
--
Helmut Richter
Michael Klemm
Oct 15, 2015, 6:10:24 AM10/15/15
to
Michael Klemm
Oct 15, 2015, 6:15:35 AM10/15/15
to
> Was hältst du von folgender praktisch ausgerichteter Überlegung:
> 1. Die Umwandlung in eine Nullstellenproblem kann ein ersterSchritt auf
> dem Weg zur Lösung sein.
2. Dieser Ansatz erlaubt u.a. die Anwendung von 'Potenzieren'.
3. Das kann(!) die Rechnung erleichtern.
Das Potenzieren von Gleichungen in Gleichungssystemen kann nützlich sein.
> 1. Die Umwandlung in eine Nullstellenproblem kann ein ersterSchritt auf
> dem Weg zur Lösung sein.
2. Dieser Ansatz erlaubt u.a. die Anwendung von 'Potenzieren'.
3. Das kann(!) die Rechnung erleichtern.
Man muß dann aber nachprüfen, ob die gefundenen Lösungen auch tatsächlich
stimmen.
Gruß
Michael
H0Iger SchuIz
Oct 15, 2015, 6:16:04 AM10/15/15
to
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 13:09:59 UTC+2 schrieb Helmut Richter:
>
>
> > Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man dann
> > vom Potenzieren?
Nichts.
> Am Mittwoch, 14. Oktober 2015 13:09:59 UTC+2 schrieb Helmut Richter:
>
>
> > Die Umwandlung in ein Nullstellenproblem ist zwecklos. Was hat man dann
> > vom Potenzieren?
> Den Nachweis, dass es bei geraden und ungeraden natürlichen Exponenten
> keine Veränderung erzeugt.
"Veränderungen" meint, aber ich möchte doch anmerken, dass man
Umformaungsschritte, bei denen sich nichts ändert, auch bleiben lassen
kann.
hs
Helmut Richter
Oct 15, 2015, 6:18:45 AM10/15/15
to
sinnlos -- und nur darum ging es in diesem Teilthread zuletzt. Dafür
braucht man trivialerweise in *diesem Fall* die Lösungen nicht zu
überprüfen, weil für die Null das Potenzieren umkehrbar ist.
--
Helmut Richter
H0Iger SchuIz
Oct 15, 2015, 7:22:00 AM10/15/15
to
K. Huller <kl.h...@web.de> wrote:
> Was hältst du von folgender praktisch ausgerichteter Überlegung:
Inwiefern ist das praktisch ausgerichtet? Beispiele_
> Was hältst du von folgender praktisch ausgerichteter Überlegung:
> 1. Die Umwandlung in eine Nullstellenproblem kann ein ersterSchritt auf
> dem Weg zur Lösung sein.
Also ich kenne eher den umgekehrten Fall, dass man von einer Gleichung,
die nach einer Nullstelle fragt, ausgeht, und dann erst mal aufräumt.
Schon bei linearen Gleichungen lernte ich damals "alles mit 'x' nach
links, alles ohne 'x' nach rechts".
> 2. Dieser Ansatz erlaubt u.a. die Anwendung von 'Potenzieren'.
rechts die Null hinsubtrahiert, um dann anschließend mit Potenzieren der
Lösung näher zu kommen.
> 3. Das kann(!) die Rechnung erleichtern.
hs
H0Iger SchuIz
Oct 15, 2015, 7:22:00 AM10/15/15
to
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Wenn die Frage nach Äquivalenzumformungen bei der Potenzierung gestellt
> wird, sollte man die Standardform wählen.
Beim hier als Standardform bezeichnte Spezielfall mit "links nur der
> Wenn die Frage nach Äquivalenzumformungen bei der Potenzierung gestellt
> wird, sollte man die Standardform wählen.
Null", ist aber das Potenzieren völlig langweilig bis nutzlos. Er ist
auch für die Betrachtung der Äquivalenz ungeeignet. Das eigentliche
Phänomen, das beim Potenzieren auftreten kann, hat mit den Vorzeichen zu
tun. Das ist's bei der Null halt Näse, die hat nämlich keines.
> Darunter wird in der
> Mathematik ganz überwiegend die Form (2) verstanden.
auftauchen.
Ist es nicht viemehr so, dass Kurt lediglich vorgeschlagen hat, jene als
"Standardform" festzulegen und der Erleuchtete plappert den Begriff
zusammenhanglos nach? Ja, so könnte es sein.
H0Iger SchuIz
Oct 15, 2015, 7:22:00 AM10/15/15
to
WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Meine Antwort gilt für die Standardform und ist richtig, auch wenn Dich
> das sehr verärgert.
Nur dass nach diesem Spezialfall niemand gefragt hat. Und er hilft bei
> Meine Antwort gilt für die Standardform und ist richtig, auch wenn Dich
> das sehr verärgert.
der Frage nach der Äquivalenz nicht weiter.
Die Probleme die beim Potenzieren auftreten (können), sind wohl darin
begründet, dass beim Potenzieren mit geraden Exponenten die Vorzeichen
verloren gehen. Weniger Information bedeutet dann eine Vergrößerung der
Lösungsmenge.
Bei ungeraden Exponenten sieht das anders aus, die lassen die Vorzeichen
leben, und somit geht keine Information verloren. Da hatte Nummer vier
schon den richtigen Riecher.
Beschränkt man sich aber auf einen Spezialfall " ... = 0" kann man
dieses Phänomen gar nicht beobachten. Das liegt daran, dass die Null gar
nicht so'n schönes Vorzeichen hat, wie die positiven und die negativen
Zahlen.
Müsste so etwas eigentlich nicht merken, wenn man schon mal ein paar
Gleichungen gelöst hat?
Mir begehrt nach einem Beispiel. Nummer vier lässt und leider im Dunkeln
bezüglich der Gleichungen, die er vermöge Potenzierens zu lösen gedenkt.
Mir fällt echt nur ein, dass irgendwie eine Wurzel auftaucht, die man
loswerden möchte. Ansonsten habe ich eher den Eindruck, dass Potenzieren
die Gleichung komplizierter macht, einen also nicht der Lösung näher
bringt.
Womöglich braucht man so etwas aber in irgendeiner Herleitung, einem
Beweisschritt oder ähnlichem, also gar nicht bei der praktischen Lösung
einer konkreten Gleichung.
Ein Beispiel, beim dem man erst den Spezialfall "... = 0" herstellt, um
alsdann zu potenzieren, will mir aber so oder so nicht einfallen. Ich
komme vielmehr immer bei so etwas 'raus, bei dem ich, damit man hübsch
"hoch 3" tun kann, eine dritte Wurzel einbaue, wie wär's hiermit:
\[f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt[3]{(x^2+11)}-3\]
Die Frage nach den Nullstellen liefert uns die Gleichung
\[\sqrt[3]{(x^2+11)}-3 = 0.\]
Das ist dann schon die Huller-Mückenheimsche "Standardform". Und? Hält
es jemand für die geeignete Strategie _jetzt_ mit drei zu Potenzieren?
Ist das alles standardisiert und einfach? Oder machen wir das besser,
_nachdem_ wir die "Standardform" in einen völlig wirren
unstandardisierten Wust umwandeln?
\[\sqrt[3]{(x^2+11)} = 3\]
Könnte dann da stehen. Auf beiden Seiten "hoch 3" und man erhält man
eine quadratische Gleichung, die man durch rhytmisches Hinkucken lösen
kann. Die beiden Lösungen \{-4;+4\} sind übrigens die Nullstellen der
Funktion $f$.
Wo wir gerade dabei sind, schauen wir uns noch das Beispiel
\[g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt[3]{(x^2+11)}+3\]
Diese Funktion hat keine Nullstellen, und wir kommen auch beim analogen
Lösungsweg zu keiner Lösung, weil das Potenzieren mit drei das negative
Vorzeichen auf der linken Seite erhält. So kommen wir dann zu einer
quadratischen Gleichung ohne reelle Lösungen.
Schauen wir uns aber die Funktionen
\[h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt[4]{(x^2+11)}-3\]
und
\[j: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt[4]{(x^2+11)}+3\]
an, so sieht die Welt anders aus. Wählen wir wieder den analogen
Lösungsweg, so haben wir nach dem Potenzieren mit 4 in beiden Fällen die
selbe Gleichung, die uns wieder zwei Lösungen liefert. Jedoch sind das
nur die Nullstellen der Funktion $h$. Die Funktion $j$ hat keine.
Ja, ich wüsste jetzt nur gerne, wie ich, wenn ich die "Standardform"
$h(x) = 0$ bzw. $j(x) = 0$ nicht verlassen möchte, nach dem Potenzieren
zu $(h(x))^4 = 0$ bzw. $(j(x))^4 = 0$ weiterrechnen soll. Mal ganz
praktisc gedacht um die Einfacheit der Standardform auszunutzen.
"Standardform", so'n Scheiß.
Und den Rest des Postings des Erleuchteten trägt auch nicht zur Klärung
der gestellten Frage bei. Vielmehr fabuliert er wieder etwas über
Mengenlehre dahin. Es scheint ihn echt zu beschäftigen, dass er da auch
nicht durchblickt.
So versucht er dann immer wieder darauf zu sprechen zu kommen. So fängt
er ständig irgendwelche Threads mit Anekdötchen an, deren Auswahl man
nicht so ganz nachvollziehen kann. Gerne auch mit religiöser
Konnotation, das ist ihm wohl wichtig. Der Sermon endet dann immer
(sinngemäß) mit "Mengenlehre ist doof. Amen." Je nach Verschäumungsgrad
auch ergänzt durch "Und ihr seid auch doof." Ja, mei, das wissen wir
doch.
Und wenn die Zitate aus der Schrift nicht mehr reichen, relativiert man
die Nazis:
> von ihm nach dem Führerprinzip (schon vor 1933) regierten Annalen einfach
> totgeschwiegen.
welche Form von Verbrechen er da kleinredet. Aber dass er sich für etwas
interessiert, heißt ja (mal wieder) nicht, dass er davon etwas versteht.
""
> Fazit: Transfinite Mengenlehre, ein Fall für Psycholgen und Staatsanwälte.
Und doof ist sie.
> Fazit: Transfinite Mengenlehre, ein Fall für Psycholgen und Staatsanwälte.
hs
Detlef Müller
Oct 15, 2015, 7:42:37 AM10/15/15
to
Am 15.10.2015 um 12:16 schrieb H0Iger SchuIz:
> WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
[...]
> Es ist zwar nicht ganz klar (wie immer), was er mit dem "Erzeugen" von
> "Veränderungen" meint, aber ich möchte doch anmerken, dass man
> Umformaungsschritte, bei denen sich nichts ändert, auch bleiben lassen
> kann.
Naja, Wenn da
sqrt(x^2-1) = 0
steht, kann man mit dem Quadrieren die Wurzel wegdiskutieren. Das
ergibt auch ein (recht triviales Beispiel) einer Gleichung, in
der es sinnvoll ist, sie vor dem Potenzieren in diese Form zu
bringen:
sqrt(x^2-1) + x = x
Zugegeben stolpert man hier "zufällig" beim Isolieren der Wurzel
auf die Gestalt f(x) = 0.
Allgemein sollte sich bei allen Umformungsschritten (wenn sie
der Bestimmung einer Lösungsmenge dienen sollen) möglichst
nichts an der Lösungsmenge ändern - wenn man die aber bleiben
lässt (weil sich ja nichts ändert), wird man einer konkreten
Darstellung der Lösungsmenge nicht näher kommen.
> WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
[...]
> Es ist zwar nicht ganz klar (wie immer), was er mit dem "Erzeugen" von
> "Veränderungen" meint, aber ich möchte doch anmerken, dass man
> Umformaungsschritte, bei denen sich nichts ändert, auch bleiben lassen
> kann.
sqrt(x^2-1) = 0
steht, kann man mit dem Quadrieren die Wurzel wegdiskutieren. Das
ergibt auch ein (recht triviales Beispiel) einer Gleichung, in
der es sinnvoll ist, sie vor dem Potenzieren in diese Form zu
bringen:
sqrt(x^2-1) + x = x
Zugegeben stolpert man hier "zufällig" beim Isolieren der Wurzel
auf die Gestalt f(x) = 0.
Allgemein sollte sich bei allen Umformungsschritten (wenn sie
der Bestimmung einer Lösungsmenge dienen sollen) möglichst
nichts an der Lösungsmenge ändern - wenn man die aber bleiben
lässt (weil sich ja nichts ändert), wird man einer konkreten
Darstellung der Lösungsmenge nicht näher kommen.
K. Huller
Oct 15, 2015, 8:28:04 AM10/15/15
to
Am 15.10.2015 12:19, schrieb Helmut Richter:
zu F(x)=0 und F^n(x)=0
Könnte es sein, daß einschlägige Algorithmen Ableitungen von F nutzen
und daß die Ableitungen von F^n und F' sich unterscheiden?
Gruß
Knut
zu F(x)=0 und F^n(x)=0
>
> Das Potenzieren von Gleichungen, deren eine Seite Null ist, ist immer
> sinnlos -- und nur darum ging es in diesem Teilthread zuletzt. Dafür
> braucht man trivialerweise in *diesem Fall* die Lösungen nicht zu
> überprüfen, weil für die Null das Potenzieren umkehrbar ist.
>
Es kommt in praktischen Anwendungen auf das FINDEN der Nullstelle an.
> Das Potenzieren von Gleichungen, deren eine Seite Null ist, ist immer
> sinnlos -- und nur darum ging es in diesem Teilthread zuletzt. Dafür
> braucht man trivialerweise in *diesem Fall* die Lösungen nicht zu
> überprüfen, weil für die Null das Potenzieren umkehrbar ist.
>
Könnte es sein, daß einschlägige Algorithmen Ableitungen von F nutzen
und daß die Ableitungen von F^n und F' sich unterscheiden?
Gruß
Knut
Ralf Bader
Oct 15, 2015, 9:04:31 AM10/15/15
to
H0Iger SchuIz wrote:
> WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> Meine Antwort gilt für die Standardform und ist richtig, auch wenn Dich
>> das sehr verärgert.
>
> Nur dass nach diesem Spezialfall niemand gefragt hat. Und er hilft bei
> der Frage nach der Äquivalenz nicht weiter.
>
> Die Probleme die beim Potenzieren auftreten (können), sind wohl darin
> begründet, dass beim Potenzieren mit geraden Exponenten die Vorzeichen
> verloren gehen. Weniger Information bedeutet dann eine Vergrößerung der
> Lösungsmenge.
>
> Bei ungeraden Exponenten sieht das anders aus, die lassen die Vorzeichen
> leben, und somit geht keine Information verloren. Da hatte Nummer vier
> schon den richtigen Riecher.
>
> Beschränkt man sich aber auf einen Spezialfall " ... = 0" kann man
> dieses Phänomen gar nicht beobachten. Das liegt daran, dass die Null gar
> nicht so'n schönes Vorzeichen hat, wie die positiven und die negativen
> Zahlen.
>
> Müsste so etwas eigentlich nicht merken, wenn man schon mal ein paar
> Gleichungen gelöst hat?
>
> Mir begehrt nach einem Beispiel.
Das hatte doch Helmut Richter bereits geliefert, und die Nichtwahrnehmung
> WM <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> Meine Antwort gilt für die Standardform und ist richtig, auch wenn Dich
>> das sehr verärgert.
>
> Nur dass nach diesem Spezialfall niemand gefragt hat. Und er hilft bei
> der Frage nach der Äquivalenz nicht weiter.
>
> Die Probleme die beim Potenzieren auftreten (können), sind wohl darin
> begründet, dass beim Potenzieren mit geraden Exponenten die Vorzeichen
> verloren gehen. Weniger Information bedeutet dann eine Vergrößerung der
> Lösungsmenge.
>
> Bei ungeraden Exponenten sieht das anders aus, die lassen die Vorzeichen
> leben, und somit geht keine Information verloren. Da hatte Nummer vier
> schon den richtigen Riecher.
>
> Beschränkt man sich aber auf einen Spezialfall " ... = 0" kann man
> dieses Phänomen gar nicht beobachten. Das liegt daran, dass die Null gar
> nicht so'n schönes Vorzeichen hat, wie die positiven und die negativen
> Zahlen.
>
> Müsste so etwas eigentlich nicht merken, wenn man schon mal ein paar
> Gleichungen gelöst hat?
>
> Mir begehrt nach einem Beispiel.
dieses Beispiels ist in meine Blödheitsdiagnose eingegangen.
Michael Klemm
Oct 15, 2015, 10:08:07 AM10/15/15
to
vermutlich beim Potenzieren Vereinfachungen ergeben, auch wenn da überall =
0 steht. Davon war hier aber wohl nirgends die Rede. Deine schönes Beispiel
habe ich natürlich gesehen ;-)
Gruß
Michael
IV
Oct 15, 2015, 3:59:50 PM10/15/15
to
"H0Iger SchuIz" schrieb im Newsbeitrag
news:1mcc2mu.teisn160qf6gN%q...@gmx.net...
> Mir begehrt nach einem Beispiel. Nummer vier lässt uns leider im Dunkeln
nicht einmischen. Da ich aber glaube, daß ich hier erwähnt wurde, will ich
mich doch noch kurz dazu einlassen.
Potenzieren als äquivalente oder nichtäquivalente Umformung: Ich weiß im
Moment nicht, wo das Potenzieren einer Gleichung unter Betrachtung
äquivalenter oder nicht äquivalenter Lösungsmengen außerdem noch eine Rolle
spielt, aber das Naheliegendste ist natürlich das Potenzieren als
Umkehroperation zum Radizieren. Obwohl meine Frage eingangs wie immer ganz
bewußt sehr allgemein gehalten ist, so hatte ich doch eigentlich und
vornehmlich das Rationalmachen irrationaler Gleichungen im Sinn. Da ich im
Moment noch kein erschöpfendes Werk zu der Thematik habe finden können,
mußte ich die unvollständigen Angaben und Einzelaussagen, die ich dazu bis
jetzt in der Literatur habe finden können, um eigene Gedanken erweitern.
Jede irrationale Gleichung kann durch Ersetzen jedes Wurzelausdrücke oder
Potenzen mit gebrochenrationalem Exponenten enthaltenden Terms durch einen
neuen Variablennamen und anschließende Elimination der Variablen durch
algebraische Umformungen aus den entstehenden Gleichungssystemen in eine
rationale Gleichung transformiert werden, deren Lösungsmenge die
Lösungsmenge der irrationalen Gleichung enthält (siehe z. B. Knar, J.:
Anfangsgründe der allgemeinen Mathematik I. Anfangsgründe der Arithmetik und
ihrer Anwendung auf Größen überhaupt. Damian und Sorge, Graz, 1829).
Gewisse Arten irrationaler Gleichungen mit nur wenigen Wurzelausdrücken oder
Potenzen mit gebrochenrationalem Exponenten kann man aber auch durch
sukzessives Potenzieren (und geeignetes Umstellen) der auftretenden
Gleichungen rationalmachen. Wie ich herausgefunden habe, vermindert sich die
Anzahl der irrationalen Summanden einer Summe bei ganz bestimmten niedrigen
Summandenanzahlen und ganz bestimmten niedrigen Potenzen der Summe, während
sie bei ganz bestimmten anderen Summandenanzahlen und Potenzen gleich bleibt
und bei noch anderen zunimmt. Deshalb lassen sich einfache (kurze)
irrationale Gleichungen auf diesem Wege vereinfachen bzw. rationalmachen,
und größere nicht. Die genauen formelmäßigen Zusammenhänge will ich noch
herausarbeiten - weil ich dazu ja bisher in der Literatur noch nichts habe
finden können.
news:1mcc2mu.teisn160qf6gN%q...@gmx.net...
> Mir begehrt nach einem Beispiel. Nummer vier lässt uns leider im Dunkeln
> bezüglich der Gleichungen, die er vermöge Potenzierens zu lösen gedenkt.
> Mir fällt echt nur ein, dass irgendwie eine Wurzel auftaucht, die man
> loswerden möchte. Ansonsten habe ich eher den Eindruck, dass Potenzieren
> die Gleichung komplizierter macht, einen also nicht der Lösung näher
> bringt.
Eigentlich wollte ich mich in Eure tagelangen Schimpftiraden um Banalitäten
> Mir fällt echt nur ein, dass irgendwie eine Wurzel auftaucht, die man
> loswerden möchte. Ansonsten habe ich eher den Eindruck, dass Potenzieren
> die Gleichung komplizierter macht, einen also nicht der Lösung näher
> bringt.
nicht einmischen. Da ich aber glaube, daß ich hier erwähnt wurde, will ich
mich doch noch kurz dazu einlassen.
Potenzieren als äquivalente oder nichtäquivalente Umformung: Ich weiß im
Moment nicht, wo das Potenzieren einer Gleichung unter Betrachtung
äquivalenter oder nicht äquivalenter Lösungsmengen außerdem noch eine Rolle
spielt, aber das Naheliegendste ist natürlich das Potenzieren als
Umkehroperation zum Radizieren. Obwohl meine Frage eingangs wie immer ganz
bewußt sehr allgemein gehalten ist, so hatte ich doch eigentlich und
vornehmlich das Rationalmachen irrationaler Gleichungen im Sinn. Da ich im
Moment noch kein erschöpfendes Werk zu der Thematik habe finden können,
mußte ich die unvollständigen Angaben und Einzelaussagen, die ich dazu bis
jetzt in der Literatur habe finden können, um eigene Gedanken erweitern.
Jede irrationale Gleichung kann durch Ersetzen jedes Wurzelausdrücke oder
Potenzen mit gebrochenrationalem Exponenten enthaltenden Terms durch einen
neuen Variablennamen und anschließende Elimination der Variablen durch
algebraische Umformungen aus den entstehenden Gleichungssystemen in eine
rationale Gleichung transformiert werden, deren Lösungsmenge die
Lösungsmenge der irrationalen Gleichung enthält (siehe z. B. Knar, J.:
Anfangsgründe der allgemeinen Mathematik I. Anfangsgründe der Arithmetik und
ihrer Anwendung auf Größen überhaupt. Damian und Sorge, Graz, 1829).
Gewisse Arten irrationaler Gleichungen mit nur wenigen Wurzelausdrücken oder
Potenzen mit gebrochenrationalem Exponenten kann man aber auch durch
sukzessives Potenzieren (und geeignetes Umstellen) der auftretenden
Gleichungen rationalmachen. Wie ich herausgefunden habe, vermindert sich die
Anzahl der irrationalen Summanden einer Summe bei ganz bestimmten niedrigen
Summandenanzahlen und ganz bestimmten niedrigen Potenzen der Summe, während
sie bei ganz bestimmten anderen Summandenanzahlen und Potenzen gleich bleibt
und bei noch anderen zunimmt. Deshalb lassen sich einfache (kurze)
irrationale Gleichungen auf diesem Wege vereinfachen bzw. rationalmachen,
und größere nicht. Die genauen formelmäßigen Zusammenhänge will ich noch
herausarbeiten - weil ich dazu ja bisher in der Literatur noch nichts habe
finden können.
0 new messages