unendliche Mengen
FrAKaLlI
Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge dadurch
beweisst, dass man sie angibt. Dann kann man aber nicht beweisen, dass
unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine angeben.
Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen, ich rede
von naiven Mengen.
Paul Ebermann
Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
(einzeln) aufschreiben.
Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
so kann man diese schon aufschreiben:
Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
aller der endlichen Mengen beschreiben.
Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
daraus konstruieren.
Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.
Paul
--
Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
Roberto Massi
"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:9h9evu$ce7dg$3...@ID-77081.news.dfncis.de...
Hi.
> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge
dadurch
> > beweisst, dass man sie angibt.
Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen. Die Existenz
(z.B.) einer Menge wuerde
sich doch auch dadurch ergeben, dass man die Nicht-Existenz dieser Menge
widerlegt.
Sogar die Eigenschaft "endlich" laesst sich in vielen Fällen anders
nachweisen als durch die
explizite Aufzählung aller Elemente.
> >Dann kann man aber nicht beweisen, dass
> > unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine
angeben.
Wenn aus "A" immer "B" folgt, folgt dann auch aus "A" immer "C" ? Du
solltest einen kleinen
Exkurs in Sachen Aussagenlogik unternehmen!
> > Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen,
ich rede
> > von naiven Mengen.
>
> Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
> (einzeln) aufschreiben.
Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
aufzuschreiben.;-)
> Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
> so kann man diese schon aufschreiben:
> Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
> aller der endlichen Mengen beschreiben.
> Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
> daraus konstruieren.
>
> Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
> Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
> nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.
>
> Paul
> --
> Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
> anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
>
Gruß
R.
Jan Röhrich
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)
>
wieso soll das nicht gehen? Es hat ja keiner davon geredet, wieviel Zeit
und Speicherpltz man benötigen darf!
Gruß Jan
SL
Anette Stegmann wrote:
> {2001-06-26 13:30} "Roberto Massi" (chi...@freakmail.de):
>
> >
> >> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten
> >> > endlichen Menge dadurch beweisst, dass man sie angibt.
> >
> >Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen.
>
> Die Existenz kann man nur nachweisen im Rahmen eines bestimmten
> Glaubens- oder Axiomsystems.
>
> Das heißt aber, daß man die Existenz letztendlich nur
> /postulieren/ und nicht beweisen kann. (dh. beweisen nur durch
> Zurückführung auf ein Postulat/Axiom.)
>
> Dies ist anders als bei den physikalischen Objekten, wo man
> Existenz durch Experimente klären kann (z.B. beim Higgs-Boson).
>
Ach, für Higgs-Bosonen ( od. Higgs-Felder) werden keine physikalischen
Postulate zugrunde gelegt?Keine Wechselwirkungen mehr über irgendwelche
'virtuellen Teilchen' ? Auf welchen Grundlagen basieren eigentlich
entsprechende Feldgleichungen ?
Roberto Massi
"Jan Röhrich" <j...@rw-gbr.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B38830A...@rw-gbr.de...
Hi Jan,
nee is klar. Dann schafft das "FrAKaLll" das ja auch mit abzaehlbaren Mengen
;-)
Gruss
R
FrAKaLlI
>so kann man diese schon aufschreiben:
>Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
>aller der endlichen Mengen beschreiben.
Ich dachte, die natürlichen Zahlen seien definiert als eine Menge, die die
Peano-axiome erfuellt?
Sind diese beiden Definitionen aquivalent?
Boris 'pi' Piwinger
Wenn Du keine Axiome heranziehen willst (willst Du eigentlich schon,
Du willst nur nicht darueber nachdenken, welche das sind;-), dann ist
es beliebig unklar, was es bedeuten soll, dass eine Menge existiert.
pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)
Paul Ebermann
Das hängt davon ab:
a) ist die leere Menge eine endliche Menge?
b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?
Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
sind die Mengen isomorph.
Es gibt allerdings auch noch andere Varianten, die Menge der
natürlichen Zahlen zu konstruieren, allerdings benötigt man
immer eine Art 'Unendlichkeitsaxiom', welches dann sagt, das
das auch wirklich eine Menge ist.
Paul Ebermann
> > (einzeln) aufschreiben.
>
> Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)
Was hältst du davon:
1^1, 10^10, 100^100, 1000^1000, 10000^10000
SCNR
Paul
Franz Kallista
>
>Das hängt davon ab:
>a) ist die leere Menge eine endliche Menge?
Unendlich ist sie ja jedenfalls nicht.
>b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?
Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.
>Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
>sind die Mengen isomorph.
Wie beweisst man das denn?
.
Paul Ebermann
>
> Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.
Genau. Und wenn du dieses erste Element '0' nennst (was ja
die Kardinalität der leeren Menge ist), musst du eben auch
die leere Menge zu den endlichen Mengen hinzuzählen.
Wenn du dieses erste Element '1' nennst, ist die leere Menge
keine endliche Menge (sondern hat einen Sonderstatus).
> >Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
> >sind die Mengen isomorph.
>
> Wie beweisst man das denn?
Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
sich selbst enthalten solle).
0 := card({}) ist das erste Element.
Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
ist also immer noch eine endliche Menge.
Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
nichts an der Kardinalität.
Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
- Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
von Elementen die leere Menge entsteht.
- Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
wir immer noch keine endliche Menge.
- Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
wir zur leeren Menge.
Dies ist jetzt nicht formal korrekt, allerdings sieht
man wohl den Ansatz.
Umgekehrt kann man auch zu jeder natürlichen Zahl eine
endliche Menge mit dieser Zahl an Elementen suchen,
und deren Kardinalität dann damit identifizieren.
Paul
Joerg Neulist
>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>ist also immer noch eine endliche Menge.
Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Gruß,
Jörg
Boris 'pi' Piwinger
>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>
>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?
Paul Ebermann
> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>
> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
Dann schließen wir diese Probleme aus.
Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
Menge sich selbst enthält.
Die Russelsche Antinomie wird dadurch jedenfalls ausgeschlossen.
Paul
Thomas Haunhorst
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.
Der Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.
Gruss Thomas
--
Thomas Haunhorst
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.
Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
Thomas Haunhorst
>Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
>kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
>aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
>axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.
Nachtrag: Das "Problem" der Russellschen Antinomie wird in ZF durch die "gere-
gelte" Komprehension "vorlaeufig" geloest, und in einer Mengenlehre, die ne-
ben Mengen auch noch echte Klassen zulaesst, dadurch, dass man die Element-
beziehung einschraenkt. Eine Komprehension wie {x|x ist nicht Element von x}
ist dann nicht ausgeschlossen, aber durch den Widerspruch, der entsteht, wenn
man diese Klasse als Menge annimmt, ergibt sich, dass sie keine Menge ,
also eine echte Klasse ist. In der Mengentheorie NBG (Neumann-Goedel-Bernays)
wird das so gemacht. Wenn man dort schreibt X\in Y, so muss X immer eine
Menge sein, aber Y kann auch eine echte Klasse sein.
Joerg Neulist
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
Dann stellst Du nur sicher, dass obige Operation tatsächlich # erhöht.
Ich kenne es jedenfalls so, dass man es vermeidet, Mengenelemente aus
verschiedenen Meta-ebenen zusammenzusuchen, insbesondere
Selbstenthaltung. Ich sehe da oben keinen direkten Widerspruch, wollte
das nur anmerken.
Gruß,
Jörg
Joerg Neulist
>Joerg Neulist <dusk...@gmx.de> wrote:
>
>>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?
siehe Antwort auf Paul.
Gruß,
Jörg
Dieter Jungmann
>
> Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
> der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
> sich selbst enthalten solle).
> 0 := card({}) ist das erste Element.
>
> Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
> 'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> ist also immer noch eine endliche Menge.
> Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
> S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
> Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
> hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
> nichts an der Kardinalität.
>
> Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
> - Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
> von Elementen die leere Menge entsteht.
> - Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
> darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
> wir immer noch keine endliche Menge.
> - Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
> durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
> die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
> wir zur leeren Menge.
Hallo Paul,
das hast du anschaulich erklaert. Ich nenne einmal die Mengen m_k, die
mit der Nachfolgerelation (m vereinigt {m}) konstruiert werden, Z-Mengen.
m_0 ist die leere Menge. Alle Z-Mengen m_k enthalten nur endlich viele
Elemente. Bildet man die Einermengen {m_k} und von diesen die Vereini-
gungsmengen M_k = {m_0, m_1, ..., m_k} fuer jedes k, so erhaelt man die
Mengenfolge M_k. Alle M_k enthalten, wie umnittelbar einzusehen ist,
ebenfalls nur endlich viele, naemlich k + 1, Elemente.
Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom. Durch
dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst waere es
ueberfluessig. Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren. Nach
Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
zurueckkehren kann. Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
Moeglichkeit?
Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.
Gruss Dieter
Paul Ebermann
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag news:3B3E8A11...@t-online.de...
Hallo Paul,
Soweit ist das richtig.
> Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> waere es ueberfluessig.
Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
> Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.
Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
> Nach
> Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
unserer Menge M nicht erfüllt.
Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
zurückkommen können?
> Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
> mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
> dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
> durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
> zurueckkehren kann.
Stimmt.
> Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
> unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
> aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
> um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
> Moeglichkeit?
Es gibt überhaupt keine natürliche Zahl, von der aus das
nicht möglich ist. Damit benötigen wir auch keine unendlich
vielen Stellen.
> Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
> Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
> man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.
Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
oder sonstigen) Stellen darstellen.
Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.
Paul
Dieter Jungmann
>
> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > waere es ueberfluessig.
>
> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist. Wenn das
konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht erfuellt,
laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom auch nicht erreichen,
man wuerde dann lediglich einen Widerspruch in die Theorie einfuehren.
Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.
>
> > Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> > Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> > Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> > Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.
>
> Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
Zahlen.
>
> > Nach
> > Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> > viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> > endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
>
> Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
> unserer Menge M nicht erfüllt.
> Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
> Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
> zurückkommen können?
Das waere nur moeglich, wenn die Menge unendlich viele endliche
Schleifen enthaelt. In einer schleifenfreien geordneten Menge
erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
vielen Schritten. Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
Kardinalitaet. Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.
Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein. Die Mengenlehre
versucht das Unmoegliche mit einem Trick zu erreichen, indem sie den
Begriff der Kardinalitaet einfuehrt.
Eine abzaehlbar unendliche Menge hat die Kardinalitaet w, die sich
nicht aendert, wenn man noch ein Element hinzufuegt. Damit hat man
das Gewuenschte erreicht: Eine (scheinbar) abgeschlossene Menge, der
man noch weitere Elemente hinzufuegen kann, so dass es trotz Wohlordnung
derselben kein letztes Element aber doch einen Abschluss gibt. Erreicht
wird das durch Aufsplitten der Begriffe: "kein letztes Element" bezieht
sich auf die offene Anzahl der Elemente, "Abschluss" auf die Kardinalitaet,
die sich durch das Hinzufuegen weiterer Elemente nicht mehr aendert und
daher zu einem Abschluss gekommen ist. Es bleibt allerdings zu klaeren,
was w eigentlich ist.
Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.
Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
acht. Weder in der Alltagssprache noch in der mathematischen Sprache ist
diese Möglichkeit vorgesehen. (Man braucht sie ja auch nicht.) Ein
Praktiker könnte sagen, dann brauche ich auch keine Theorie für unendlich
viele Zahlen. Wenn man aber eine Theorie für unendlich viele Zahlen
aufstellt, kann die Tatsache, dass die vorhandenen Sprachen keine
Zahlen mit unendlich vielen Stellen nennen können, nicht als
Begründung für deren Nichtexistenz dienen. Wenn sich ihre Existenz
als unverzichtbar zur Erfüllung der übrigen Axiome erweist, muss sie
genau so durch ein Axiom postuliert werden wie die Existenz von
unendlich vielen Zahlen, auch wenn sich diese Zahlen nicht explizit
angeben lassen. Bei den irrationalen Zahlen wird die Existenz von
Zahlen mit unendlich vielen Stellen schliesslich auch postuliert,
obwohl man sie nicht angeben kann. Man kann höchstens einen
unbegrenzt anwendbaren Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern einer
irrationalen Zahl angeben. Das ist aber bei den natürlichen Zahlen
nicht anders. Jeder g-adische Algorithmus ist ein Beispiel dafür.
> Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
> oder sonstigen) Stellen darstellen.
> Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
> wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
> unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
> mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.
Eben darum ergeben Zahlen mit endlich vielen Stellen auch keine
abgeschlossene Menge sondern nur eine unbegrenzte Mengenfolge ohne
jemals die Kardinalitaet w zu erreichen.
Eine vorgegebene Zahl ist willkürlich aus der Menge N herausgegriffen.
Es steht daher von vornherein fest, dass diese Zahl sowohl einen
Vorgänger (wenn du nicht gerade die 0 herausgegriffen hast) als auch
einen Nachfolger hat. Der Nachweis, dass es noch mehr _endliche_ Zahlen
gibt, ist also gar nicht mehr notwendig, weil dies in der Tatsache, dass
es eine irgendwo aus der geordneten Menge ausgewählte endliche Zahl ist,
bereits enthalten ist. Das ist einer der logischen Zirkel der Mengenlehre.
Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
nicht für alle Zahlen gelten kann, denn
1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.
2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.
3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
durch ein eigenes Axiom gesichert werden.
Gruss Dieter
Boris 'pi' Piwinger
>> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
>> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
>> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
>> > waere es ueberfluessig.
>>
>> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
>> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
>Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
>Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom.
Ich will sehen.
>Andernfalls
>braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
>nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.
So ist es. Allerdings braucht man gelegentlich auch mehrere Axiome;-)
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
> Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein.
Und das von Dir missverstandene "Unendlichkeitsaxiom" besagt genau
dieses - auch wenn es Dir nicht gefaellt. Ich kann gerne ein Posting
von Dir zitieren, in dem Du dies bereits akzeptiert hattest ;-)
Es _gibt_ (mindestens) eine Menge, die {} als Element enthaelt
und zu jedem Element x auch das Element x u {x}
Und |N ist per Definition der Durchschnitt _aller_ Mengen mit dieser
Eigenschaft. Der Begriff "abgeschlossen" ist in der Mengenlehre
unbekannt. Wenn man per Axiom fordert, dass eine Menge mit einer
bestimmten Eigenschaft existiert, dann existiert sie halt ab sofort,
es sei denn, diese Existenzforderung fuehrt zu Widerspruechen zu den
bisherigen Axiomen dieser Mengenlehre. Solche Widersprueche sind in
den letzten 100 Jahren bezueglich |N nicht bekannt geworden.
MfG
Horst
Norbert Micheel
> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.
Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt daraus
NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
HAT, ist sie definitv endlich.
Horst Kraemer
In diesem speziellen Falle solltest Du erfahrungsgemaess die Sprache
unmissverstaendlich gestalten:
Wenn man JEDES k in JE endlich vielen Schritten erreichen KANN,
folgt daraus NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit INSGESAMT endlich vielen
Schritten erreicht HAT, ist sie definitiv endlich.
Es gibt Leser, die keinen Unterschied zwischen JEDES und ALLE erkennen
wollen. Im mathematischen Kontext sind die Formulierungen
Fuer alle k gilt
Fuer jedes k gilt
durchaus gleichbedeutend.
MfG
Horst
Norbert Micheel
"Horst Kraemer" <hhkr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3b44055a....@news.cis.dfn.de...
Ich benutze unterschiedliche Woerter, um deutlich zu machen, dass dort ein
Unterschied existiert.
Die geistige Arbeit zu erkennen worin dieser besteht, kann ich eh keinem
abnehmen.
Ich hab nicht behauptet es gaebe eine mathematische Konvention, die die
Woerter ALLE oder JEDES betraefe. Oder sogar erwartet jeder (*grins*)
muesste das auf eine bestimmte Weise "richtig" verstehen.
Meine Formulierung (jeder waehlt ja seine eigene, die ihm deutlich genug
scheint) war eigentlich "JEDES EINZELNE". Ich hab es aber weggelassen, weil
es auch nichts aendert. Denn:
Vielleicht ist es sogar besser zu sagen:
Ich kann alle k \in IN nicht in endlich vielen Schritten erreichen,
aber ich kann alle k in endlich vielen Schritten erreichen.
Vielleicht reizt der vermeintliche Widerspruch ja mal zum Nachdenken.
bye
N
Paul Ebermann
> > > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > > waere es ueberfluessig.
> >
> > Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> > Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
> Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
> Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
> braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
> nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.
Nenn doch mal bitte deine Variante des Fundierungsaxioms.
Sonst können wir schlecht diskutieren.
> Wenn das
> konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht
> erfuellt, laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom
> auch nicht erreichen, man wuerde dann lediglich einen Widerspruch
> in die Theorie einfuehren.
Natürlich kann es Widersprüche ergeben, wenn man zu
einem Axiomensystem weitere Axiome hinzufügt.
Dies muss aber nicht zwangsweise geschehen.
Die Mengenlehre ist auch ohne das Unendlichkeitsaxiom
(oder die Verneinung davon) möglich, allerdings können
wir dann nicht mehr nachweisen, ob unser oben betrachtetes
Objekt M wirklich eine Menge ist.
> Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
> zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
> hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
> Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
> die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
> neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.
Dieses Axiom fügt etwas neues in die Theorie ein, nämlich die Tatsache,
dass M eine Menge ist.
Aussagen, die schon aus anderen Axiomen geschlussfolgert werden können,
sind in einem Axiomensystem wirklich überflüssig und gehören IMHO entfernt.
Dies ist aber in unserem Fall nicht gegeben.
> > Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> > beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> > du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
>
> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.
Hier gibt es unterschiede, in welche Richtung du gehst.
Wenn du bei "null" (unserem ersten Element) anfängst,
und jeweils zum Nachfolger übergehst, kommst du nie
an ein Ende. Wenn du mit einem Weg alle Elemente
besuchen willst, kann dies kein endlicher Weg sein.
Dies verhindert aber gar nicht, dass du, wenn du dir
ein beliebiges Element heraussuchst, zu diesem in endlich
vielen Schritten gelangen kannst.
Nebenbei: Wie definierst du den Begriff "endliche Menge" und
"endlich viele Schritte"?
> In einer schleifenfreien geordneten Menge
> erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
> vielen Schritten.
Könnte dies vielleicht daran liegen, dass w nicht Element unserer
Menge ist? w ist schließlich die *kleinste unendliche* Kardinalität,
und wir wollen doch nur endliche Kardinalitäten betrachten.
> Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
> Kardinalitaet.
Richtig.
> Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
> Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
> abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.
Was ist bei dir eine "abgeschlossene Menge"?
Identifizierst du vielleicht diesen Begriff un(ter)bewusst
mit "endliche Menge"?
> Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
> in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
> mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
> dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
> aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.
Dabei gehst du aber davon aus, dass es in N ein "letztes Element"
gibt, an dem du beginnen könntest. Dieses gibt es erwiesenermaßen
nicht - w ist eben *kein* Element von N.
> Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
> angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
> nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
> von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
> acht.
Wie willst du denn von einer endlichen Menge (repräsentiert eine
natürliche Zahl mit endlich vielen Elementen) durch Hinzufügen
eines Elementes zu einer unendlichen Menge (repräsentiert eine
Zahl mit unendlich vielen Stellen) kommen?
> Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
> gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
> Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
> ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
> nicht für alle Zahlen gelten kann, denn
Du meinst bestimmt die Aussage: "alle natürlichen Zahlen lassen sich
mit endliche vielen Stellen darstellen".
> 1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
> erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
> der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.
Wie ich vorhin sagte, es gibt keine solche _maximale_ Anzahl der
Stellen. Allerdings ist zu jeder einzelnen natürliche Zahl eine
ebenfalls natürliche Stellen-Anzahl gegeben.
> 2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
> Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
> mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
> der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.
Noch einmal: Wann ist eine Menge "offen", wann "abgeschlossen"?
> 3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
> benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
> Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
> Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
> axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
> durch ein eigenes Axiom gesichert werden.
Dafür benötigen wir dann aber die Peano-Axiome. Ihre Gültigkeit setze
ich aber bei Betrachtung der Mengenlehre nicht vorraus, und um
dort für unendliche Mengen (wie N) die Existenz nachzuweisen,
benötige ich das Unendlichkeitsaxiom.
Paul
Dieter Jungmann
Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
Schritten erreicht HAT einschliessen. Wird diese Moeglichkeit dagegen
grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
handelt.
Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
Zunaechst eine Vorbemerkung.
Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.
Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben. Zur Kennzeichnung
der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
anderer Stelle setzen.
Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.
Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
abgebildet werden kann. Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?
Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.
Gruss Dieter
Rainer Rosenthal
Dieter Jungmann
> Norbert Michael:
> >
> > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> >
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>
Hallo Dieter,
diese Aussage von Norbert bezweifelst Du zu Recht. Ich möchte da
auch keine Interpretation liefern.
Zu der folgenden Frage von Dir kann ich Dir aber sicher eine Antwort
geben, die Dir einleuchten wird.
> Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied?
Das 0-1-Muster 101010101010101010...
lässt sich NICHT als natürliche Zahl interpretieren.
Einfache Frage dazu: ist diese "Zahl" denn gerade oder ungerade ?
Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Paul Ebermann
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>
> Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
> dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
> dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
> Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
> Schritten erreicht HAT einschliessen.
Wenn es ein 'letztes Element' (und nur einen Weg) gibt, dann sind
die beiden Aussagen in der Tat äquivalent.
Bei der Menge der natürlichen Zahlen gibt es aber kein solches
letztes Element.
> Wird diese Moeglichkeit dagegen
> grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
> ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
> handelt.
Das ist ein Irrtum deinerseits. Du kannst dir keine unendliche geordnete
Menge vorstellen, bei denen jeder Anfang (also jede Teilmenge, die ein
größtes Element hat) endlich ist.
Genau solch eine Menge ist aber unsere Menge der natürlichen Zahlen.
> Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
> Zunaechst eine Vorbemerkung.
>
> Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
> Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
> scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
> dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
> bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
> einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
> also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
> Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.
Das ist das Problem, wenn man sich Mengen 'real existierender Objekte'
als Beispiel nimmt. Die Menge der Äpfel ist eben nicht gleich
der Menge der Raumkoordinaten, an denen sie sich befinden.
> Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
> Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
> und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
> Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben.
Nein - wir erhalten ein Tupel mit k Komponenten. Die Menge aller
k-Tupel über {0,1} ist dann eine Menge der Mächtigkeit (Kardinalität)
2^k - also eine endliche Menge.
> Zur Kennzeichnung
> der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
> eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
> begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
> und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
> deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
> Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
> gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
> Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
> anderer Stelle setzen.
Richtig - man muss sich nur merken, was es bedeuten soll.
Bei anderen Darstellungen kommt man auch ganz ohne Komma aus.
> Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
> mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
> eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
> interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
> tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
> stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
> Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.
Wobei du, um alle Zahlen im Einheitsintervall zu bekommen,
auch *unendliche* 0-1-Muster benötigst (sogar alle möglichen
unendlichen 0-1-Muster ohne 1-Periode), wogegen du dich bei
den natürlichen Zahlen auf *endliche* Muster oder solche,
die ab einem bestimmten Index (der von der einzelnen
Zahl abhängt) nur 0en besitzen, beschränken kannst.
> Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
> axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
> entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
> abgebildet werden kann.
Sie kann nur auf die Menge aller 'endlichen' 0-1-Muster
abgebildet werden.
> Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
> Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
> nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
> statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
> zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
> natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
> Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?
Wie ich oben sagte, benötigst du für die Darstellung der natürlichen
Zahlen keine _unendlichen_ 0-1-Muster, sondern nur solche,
die nach einer bestimmten Zahl k(m) abbrechen (bzw. nur noch 0 enthalten).
Bei der Darstellung der reellen Zahlen im Einheitsintervall
schließen wir diese abbrechenden Zahlen gerade aus (bzw. könnten
es tun, weil sie doppelt vorkommen).
Es ist stellen nämlich
010010101010100000000000000000000....
und
010010101010011111111111111111111....
exakt die gleiche reelle (sogar rationale) Zahl 2389/8192 dar.
> Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
> wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
> ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
> der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
> nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.
Wäre es für dich möglich, eine Liste aller deiner 'Axiome'
zu posten? Es gibt nämlich für die meisten davon verschiedene
Varianten, und es ist immer ungünstig, wenn wir nicht über
das Gleiche reden.
Nebenbei: Die Peano-Axiome sind als solche unabhängig
von den Axiomen der Mengenlehre. Du kannst entweder
nur von den Eigenschaften der Menge N ausgehen, die
von den Peanoaxiomen festgelegt wird, oder mit den
Axiomen der Mengenlehre (insbesondere dem
Unendlichkeitsaxiom) ein *Modell* einer "Menge mit
Nachfolgeoperation" zu konstruieren, die dann
("zufälligerweise") die Peanoaxiome erfüllt.
Wenn du die Axiome der Mengenlehre voraussetzt,
kannst du auf die Peanoaxiome also verzichten bzw.
kannst sie beweisen.
Paul
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal bezweifelte
> > > Andererseits:
> > > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten
erreicht
> > > HAT, ist sie definitv endlich.
> >
und nimmt seine Zweifel mit dem Ausdruck des Bedauerns zurück.
( Hab' da wohl beim Lesen Tomaten auf den Augen gehabt. Sorry.)
Rainer Rosenthal
Norbert Micheel
> Norbert Micheel schrieb am 5. Juli 5:17 h:
> >
> >
> >
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
> Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? [...]
hmmm...
1) \exists q \forall m \in M : 3q=m
2) \forall m \in M \exists q : 3q=m
unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?
> Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
> wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
> ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
> der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
> nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein
Aberglauben.
Gerade wegen deiner Postings verstehe ich nicht, warum man Probleme haben
sollte sich eine Menge Objekte vorzustellen, in der es immer noch eines
gibt, das man noch nicht gesehen hat... Sie sind ein gutes Beispiel finde
ich :-)
Und glaube mir wenigstens: ich waere froh, wenn ich in endlicher Vorarbeit
alle schon mal beantworten koennte, um dann was anderes zu machen.
Aber das kann ich nicht, obwohl ich jedes einzelne in einer endlichen Zeit
seit dem ersten das mich aufregte beantworten kann.
N
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
> axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
> entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
> abgebildet werden kann. Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
> Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
> nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
> statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
> zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
> natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
Nein.
Jede natuerliche Zahl n wird durch ein _endliches_ 0-1-Muster
xxxxxxxxxxxxx (k Stueck)
einer bestimmten Laenge k dargestellt. Ersatzweise durch ein
"linksunendliche" Folge von 0,1
....xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
in der nur endlich viele Einsen vorkommen.
Reelle Zahlen im Intervall [0,1) werden durch "rechtsunendliche"
Folgen von 0,1 darstellt
[0.]xxxxxxxxxxxxxx...
die beliebig viele Nullen und Einsen enthalten duerfen. Um
Eindeutigkeit bezueglich der ueblichen Interpretation zu erhalten,
kann man fordern, dass die Folge unendlich viele Nullen enthalten
muss.
Fazit:
Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
unendlich vielen Nullen.
Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
endlich vielen Einsen.
MfG
Horst
Rainer Rosenthal
Horst Kraemer schrieb:
>
> Fazit:
>
> Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> unendlich vielen Nullen.
> Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> endlich vielen Einsen.
>
Hallo Horst,
hast Du diese Formulierung gerade erst erfunden ?
Sie gefällt mir absolut, denn sie hat so was "Duales".
Erst mal wollte ich ein Gegenbeispiel basteln, aber der Trick
mit den unendlich vielen Nullen ist wasserdicht, wie es
scheint.
Mal so in die Luft gequasselt:
Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als
U0 bzw. E1
bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:
U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen
E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.
Wo in der weiten Welt der Mathematik haben diese Symmetrie-
Gespinste eine Heimat ?
Schnell abschicken, bevor ich genauer nachdenke :-)
Gruss,
Rainer
Paul Ebermann
> > unendlich vielen Nullen.
> > Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> > endlich vielen Einsen.
>
> Sie gefällt mir absolut, denn sie hat so was "Duales".
> Erst mal wollte ich ein Gegenbeispiel basteln, aber der Trick
> mit den unendlich vielen Nullen ist wasserdicht, wie es
> scheint.
>
> Mal so in die Luft gequasselt:
> Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als
>
> U0 bzw. E1
>
> bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
> bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
> den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:
>
> U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen
>
> E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.
>
> Wo in der weiten Welt der Mathematik haben diese Symmetrie-
> Gespinste eine Heimat ?
Diese Mengen sind ja genau isomorph zu den oben genannten -
tausche nur einfach jede Eins durch eine 0 aus und umgekehrt.
Bei den reellen Zahlen im Einheitsintervall macht das sogar
Sinn - hier ist 1 - u1 = u0 (mit u1 in U1, u0 in U0).
Nur ist einmal die Null (= 000000...) ein Element der Menge,
das andere Mal die Eins (= 111111...).
Mit den natürlichen Zahlen ist das etwas unanschaulicher -
E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
zu N endlich ist).
Sowohl End(N) als auch CoEnd(N) sind abzählbar unendlich,
genau wie N und ihre Vereinigung.
Ihre Vereinigung bildet (mit Schnittmenge und symmetrischer
Differenz) einen Booleschen Ring, der abzählbar unendlich ist,
also _nicht isomorph_ zu einem Mengenring (eher selten bei
Booleschen Ringen).
Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.
Paul
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann schrieb
> Ich schrieb
> >
> > Mal so in die Luft gequasselt:
> > Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als
> >
> > U0 bzw. E1
> >
> > bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
> > bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
> > den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:
> >
> > U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen
> >
> > E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.
> >
>
> tausche nur einfach jede Eins durch eine 0 aus und umgekehrt.
>
Hallo Paul,
danke für die freundliche Antwort. Jedenfalls für die folgenden
genaueren Ausführungen.
> Bei den reellen Zahlen im Einheitsintervall macht das sogar
> Sinn - hier ist 1 - u1 = u0 (mit u1 in U1, u0 in U0).
> Nur ist einmal die Null (= 000000...) ein Element der Menge,
> das andere Mal die Eins (= 111111...).
Ja, das sieht gut aus. Zugleich ein schöner Beitrag zu
"Ist 0.111... = 1?" (*g*)
>
> Mit den natürlichen Zahlen ist das etwas unanschaulicher -
> E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
> Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
> Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
> Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
> Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
> zu N endlich ist).
Noch nie von gehört. Na also, man muss also bloss fragen.
Gerade eben hatte ich ein etwas ungehöriges Bild vor Augen:
Meine spontane Frage hat sowas von "von der Brücke in den
Teich spucken - und dann sehen, wie schön sich die Wellen kräuseln."
Sieht wirklich gut aus, was ich da zu sehen bekomme. Nochmals danke.
> Sowohl End(N) als auch CoEnd(N) sind abzählbar unendlich,
> genau wie N und ihre Vereinigung.
> Ihre Vereinigung bildet (mit Schnittmenge und symmetrischer
> Differenz) einen Booleschen Ring, der abzählbar unendlich ist,
> also _nicht isomorph_ zu einem Mengenring (eher selten bei
> Booleschen Ringen).
Hmmm....
>
> Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
> ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
> hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.
Das ist auch wieder richtig schön. Da rattert der Übertrag nach links,
wenn man auf ...11111 eine 1 addiert. Und übrig bleibt 0. Also muss
wohl ...11111 gleich -1 sein. Ja, genau so wie man es von den
popeligen 32-Bit-Worten der Rechner her gewöhnt ist. Nur "länger".
Gruss,
Rainer
-
Richtige Super-Rechner schaffen die Dauerschleife in 2 Minuten.
Paul Ebermann
> > E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
> > Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
> > Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
> > Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
> > Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
> > zu N endlich ist).
>
> Noch nie von gehört.
Die "Anti-natürlichen Zahlen" habe ich auch gerade erfunden.
Die Ko-endlichen Teilmengen stammen aber nicht von mir
(Wir hatten das in Übungsaufgaben in unserer LAAG1-Vorlesung).
[...]
> > Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
> > ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
> > hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.
>
> Das ist auch wieder richtig schön. Da rattert der Übertrag nach links,
> wenn man auf ...11111 eine 1 addiert. Und übrig bleibt 0. Also muss
> wohl ...11111 gleich -1 sein. Ja, genau so wie man es von den
> popeligen 32-Bit-Worten der Rechner her gewöhnt ist. Nur "länger".
Genau mit diesem Bild bin ich ja darauf gekommen -
oder eigentlich über die anti-natürlichen Zahlen,
die man ja statt an das Ende der Zahlenachse auch
an den Anfang - in andere Richtung - eintragen kann.
Paul
Dieter Jungmann
>
> Jede natuerliche Zahl n wird durch ein _endliches_ 0-1-Muster
>
> xxxxxxxxxxxxx (k Stueck)
>
> einer bestimmten Laenge k dargestellt. Ersatzweise durch ein
> "linksunendliche" Folge von 0,1
>
> ....xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
>
> in der nur endlich viele Einsen vorkommen.
>
> Reelle Zahlen im Intervall [0,1) werden durch "rechtsunendliche"
> Folgen von 0,1 darstellt
>
> [0.]xxxxxxxxxxxxxx...
>
> die beliebig viele Nullen und Einsen enthalten duerfen. Um
> Eindeutigkeit bezueglich der ueblichen Interpretation zu erhalten,
> kann man fordern, dass die Folge unendlich viele Nullen enthalten
> muss.
>
> Fazit:
>
> Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> unendlich vielen Nullen.
> Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> endlich vielen Einsen.
Das klingt gut, bringt uns aber keinen Schritt weiter. Es genuegt
naemlich, wenn die 0-1-Muster zur Darstellung der natuerlichen Zahlen
eine einzige 1 und unendlich viele 0 haben, um auch Zahlen mit unend-
lich vielen Stellen zu erhalten.
Ich bilde die Teilmenge T, die alle natuerlichen Zahlen enthaelt, die
in binaerer Darstellung nur _eine_ 1 in ihrem 0-1-Muster haben. Werden
k-1 Nullen rechts von der 1 zugelassen, hat T genau k Elemente. Jede
zusaetzliche Stelle rechts von der 1 ergibt ein zusaetzliches Element.
Da T eine unendliche Teilmenge von N ist, muessen auch unendlich viele
Nullen rechts von der 1 zulaessig sein. Es waere pure Willkuer, die
Anzahl der Elemente von T als unendlich zu bezeichnen die genau gleich
grosse Anzahl der zur Darstellung aller Elemente benoetigten Stellen
aber endlich. Wenn aber unendlich viele Stellen zur Darstellung aller
Zahlen benoetigt werden, sind auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen
darunter.
Beruecksichtigt man auch die Nullen links von der 1, dann haben alle
natuerlichen Zahlen unendlich viele Stellen. Die eine 1, die zur
Auswahl der Elemente von T dient, muss sich an jeder dieser unendlich
vielen Stellen befinden koennen. Es war der Sinn der urspruenglichen
Frage, zu klaeren, ob es eine Grenzposition gibt, die nicht ueber-
schritten werden darf. Es geht in diesem ersten Schritt nicht darum,
wie die unendlich vielen 0-1-Muster zu interpretieren sind. Ob man
0-1-Muster mit unendlich vielen Stellen rechts von der ersten 1 sinnvoll
als natuerliche Zahlen interpretieren kann, ist eine andere Frage.
Es waere ja moeglich, dass es doch nur endlich viele sinnvoll
definierbare natuerliche Zahlen gibt.
Gruss Dieter
Horst Kraemer
Also mit anderen Worten:
Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
darstelle:
0: <leer>
1: |
2: ||
3: |||
...
also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren
?
MfG
Horst
Holger Gollan
>
Hallo Dieter,
Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
Punkt!
Nein!
Genau das ist der springende Punkt, und so lange Du an der Vorstellung
fest haeltst, dass auch unendlich viele Nullen (unendlich viele Stellen)
fuer die Darstellung natuerlicher Zahlen noetig sind, wird hier wohl
keine Einigkeit erzielt werden koennen.
Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
viele Stellen!
Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
> Anzahl der Elemente von T als unendlich zu bezeichnen die genau gleich
> grosse Anzahl der zur Darstellung aller Elemente benoetigten Stellen
> aber endlich. Wenn aber unendlich viele Stellen zur Darstellung aller
> Zahlen benoetigt werden, sind auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen
> darunter.
>
> Beruecksichtigt man auch die Nullen links von der 1, dann haben alle
> natuerlichen Zahlen unendlich viele Stellen. Die eine 1, die zur
> Auswahl der Elemente von T dient, muss sich an jeder dieser unendlich
> vielen Stellen befinden koennen. Es war der Sinn der urspruenglichen
> Frage, zu klaeren, ob es eine Grenzposition gibt, die nicht ueber-
> schritten werden darf. Es geht in diesem ersten Schritt nicht darum,
> wie die unendlich vielen 0-1-Muster zu interpretieren sind. Ob man
> 0-1-Muster mit unendlich vielen Stellen rechts von der ersten 1 sinnvoll
> als natuerliche Zahlen interpretieren kann, ist eine andere Frage.
> Es waere ja moeglich, dass es doch nur endlich viele sinnvoll
> definierbare natuerliche Zahlen gibt.
>
> Gruss Dieter
--
Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099
Dieter Jungmann
>
> Hallo Dieter,
> Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
> Punkt!
Hallo Holger,
In der Tat! Aber das scheint mir das zentrale Problem der Theorie zu
sein, so dass es darauf ankommt, hier Klarheit zu schaffen.
> Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
> endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
> Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
> benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
> alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
> Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
> viele Stellen!
Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Wenn s Stellen
zur Verfuegung stehen (s sei endlich), kann ich damit z = 2^s Zahlen
darstellen. Genau die Haelfte davon hat s Stellen, z/4 Zahlen haben
s-1 Stellen, z/8 Zahlen haben s-2 Stellen usw. Wenn ich nun unendlich
viele Stellen brauche, um alle Zahlen darstellen zu koennen, sind
darunter auch solche mit unendlich vielen Stellen. Wozu sollten die
unendlich vielen Stellen sonst noetig sein? Es sind jetzt sogar
wesentlich mehr als nur die Haelfte aller Zahlen, die unendlich viele
Stellen haben, denn oo-a (a endlich) ist ebenfalls noch oo. Die Zahlen
mit endlich vielen Stellen sind also eine vernachlaessigbare Minderheit.
Es muss moeglich sein, alle Zahlen gleichzeitig aufzuschreiben, sonst
hat u. a. der Begriff der Potenzmenge einer unendlichen Menge keinen
Sinn. Wenn du also zugestehst, dass man zum Aufschreiben aller natuer-
lichen Zahlen unendlich viele Stellen braucht, hast du auch zugestanden,
dass es unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen geben muss.
> Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
Mengenlehre nicht geloest.
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> Also mit anderen Worten:
>
> Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> darstelle:
>
> 0: <leer>
> 1: |
> 2: ||
> 3: |||
> ...
>
> also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
Zahlen, naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
Striche und natuerliche Zahlen.
Man kann den Zusammenhang zwischen der Anzahl s der Stellen und der
Anzahl z der damit darstellbaren Zahlen mit einer Gleichung angeben.
Im vorliegenden Fall gilt z = s + 1, wenn die 0 mitgezaehlt wird.
Bei binaerer Schreibweise ist z = 2^s. In beiden Faellen erhaelt man
nur endlich viele Zahlen, wenn es nur solche mit endlich vielen Stellen
gibt. Wenn man sich auf keinen Wert fuer s festlegt, kann man auch
keinen fuer z angeben. Aber daraus kann man nicht schliessen, dass
mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellbar sind,
nur weil z beliebig vergroessert werden kann. Denn das setzt voraus,
dass auch s beliebig vergroessert wird.
Eine Zahl mit endlich vielen Stellen laesst sich bei Anwendung der
Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen. Es
muesste also eine leere Menge zurueckbleiben.
Andererseits hat N die Kardinalitaet w (klein omega). Die Kardinalitaet w
einer Menge aendert sich aber nicht, wenn man nur endlich viele Elemente
entfernt. Es muessen also Elemente in N uebrig bleiben. Das koennen nur
Zahlen mit unendlich vielen Stellen sein, denn alle Zahlen mit endlich
vielen Stellen lassen sich in endlich vielen Schritten (entspricht
endlich vielen Elementen) entfernen.
Das gleiche Problem taucht auch in folgender Variante auf.
Gegeben die Mengenfolge
{1}
{2,3}
{3,4,5}
{4,5,6,7}
...
Die Kardinalitaet dieser Mengen nimmt bei jedem Schritt um 1 zu.
Nach abzaehlbar unendlich vielen Schritten erreichen sie die
Kardinalitaet w. Dieser Tatbestand ist unbestreitbar. Diese Mengen
mit der Kardinalitaet w koennen nicht leer sein. Die Frage, was sie
fuer Elemente enthalten ist daher berechtigt. Sie laesst sich aber
nicht beantworten, weil alle Zahlen mit endlich vielen Stellen
entfernt wurden. Die Mengenlehre behilft sich mit einem Trick, indem
sie eine neue Menge, den Mengenlimes, definiert, der in diesem Fall
gleich der leeren Menge ist, und diesen als Grenzmenge der Mengenfolge
bezeichnet. Es wird also eine Frage beantwortet, die gar nicht gestellt
wurde, waehrend die urspruengliche Frage unbeantwortet bleibt. In jeder
anderen wissenschaftlichen Disziplin wuerde dieses Vorgehen als unserioes
abgelehnt. Die Mengenlehre nimmt diese Methode in Kauf, um den Widerspruch
in ihrem Axiomensystem nicht eingestehen zu muessen.
Man koennte einwenden, dass sich die Kardinalitaet w nicht durch
schrittweises Vorgehen erreichen laesst sondern ein unerreichbarer
Grenzwert ist, der eine besondere Definition notwendig macht. Das
gilt dann konsequenterweise fuer alle Mengen mit der Maechtigkeit w,
also auch fuer N. Ausser den in endlich vielen Schritten erreichbaren
natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen muesste N dann auch
nicht erreichbare Zahlen enthalten, denn in endlich vielen Schritten
erreicht man nicht alle Elemente einer Menge mit der Kardinalitaet w.
Gruss Dieter
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> > Also mit anderen Worten:
> >
> > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > darstelle:
> >
> > 0: <leer>
> > 1: |
> > 2: ||
> > 3: |||
> > ...
> >
> > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
>
> Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> Zahlen,
Bitte wieviele ? Schreib sie bitte auf, wenn es nur endlich viele
gibt.
> naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> Striche und natuerliche Zahlen.
Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
verwendet werden sollen.
Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
Striche.
Es gibt unendlich viele Folgen, von denen jede einzelne isoliert
gesehen endlich viele Striche enthaelt.
Was ist daran "intuitiv" widerspruechlich? Die Menschheit akzeptiert
dies seit Tausenden von Jahren.
Du siehst hier ein Problem, was niemand ausser Dir zu sehen scheint,
und formulierst es staendig als Tatsachenfeststellung. Anscheinend
bedeutet fuer Dich "endlich" etwas anders als fuer den Rest der Welt.
MfG
Horst
Detlef Mueller
>
...
> Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise.
>
Spart einen Umweg in der Argumentation.
> Wenn s Stellen
> zur Verfuegung stehen (s sei endlich), ...
Wenn meine Oma Raeder haette, waer sie
ein Omnibus ...
Wir haben aber nicht endlich viele Stellen zur
Verfuegung, sondern beliebig viele, von denen
wir aber fuer eine spezielle Zahl immer nur
endlich viele nehmen duerfen.
Deshalb gibt es nicht endlich viele spezielle
Zahlen, obwohl jede nur endlich viele der
unendlich vielen moeglichen Stellen hat.
Gruss,
Detlef
Norbert Micheel
> Holger Gollan schrieb am 12. Juli 11:17 h:
> >
> > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
>
> Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
IN ist wohlgeordnet, bzgl der Relation <, aber die Teilmengen-Relation
erzeugt nur eine Halbordnung - dass sind zwei Paar Schuhe !
Das ist jetzt wieder typisch:
Du hast Holgers Argument damit nicht widerlegt ! Das sollte dir mal endlich
klar werden. Deinem Argument kann man ganz klar entgegen halten: "es muss
keine kleinste Teilmenge geben", was deine Schlussfolgerung logisch falsch
macht.
Wieso ist Holgers Argument deiner Meinung nach logisch falsch? Wobei nicht
nach deiner Meinung ueber die Konsequenz der Aussage gefragt ist, sondern an
welcher Stelle sich eine falsche Schlussfolgerung befindet !
>
> Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.
koenntest du bitte mal endlich aufhoeren _deine_Probleme zu denen der
Mengenlehre zu erklaeren ?
N
Norbert Micheel
> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
> Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
> man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
> Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
> mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
> Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
> die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
> kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen.
Nein, kann man nicht !
Wie kommst du darauf, dass es dann insgesamt endlich viele Schritte sind ?
Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass ich
dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich definitv
nicht kann)
Anscheinend sind dir Zahlen schon zu anschaulich :-), deshalb mal ein
sprachliches Beispiel:
Du erzaehlst mir von der Sprache "Dieterisch", die man im "Jungmannland"
spricht.
Ich kenne kein eines Wort dieser Sprache.
Aber du erklaerst mir: "Im dieterischen bildet man die Mehrzahl eines
Substantivs, in dem man ein "x" voranstellt"
Ich denke ich kann jetzt zu JEDEM dieterischen Hauptwort (das du mir nennst)
die Mehrzahl nennen, aber ich kann nicht ALLE dieterischen Substantive in
der Mehrzahl aufsagen.
Und dabei spielt es noch nicht mal eine Rolle, ob es unennlich viele
dieterische Substantive gibt !
N
Holger Gollan
>
> Holger Gollan schrieb am 12. Juli 11:17 h:
> >
> > Hallo Dieter,
> > Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
> > Punkt!
>
> Hallo Holger,
>
> In der Tat! Aber das scheint mir das zentrale Problem der Theorie zu
> sein, so dass es darauf ankommt, hier Klarheit zu schaffen.
>
Hallo Dieter,
in diesem Punkt stimmen wir ausnahmsweise 100-prozentig ueberein!
> > Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
> > endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
> > Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
> > benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
> > alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
> > Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
> > viele Stellen!
>
> Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Wenn s Stellen
> zur Verfuegung stehen (s sei endlich), kann ich damit z = 2^s Zahlen
> darstellen. Genau die Haelfte davon hat s Stellen, z/4 Zahlen haben
> s-1 Stellen, z/8 Zahlen haben s-2 Stellen usw. Wenn ich nun unendlich
> viele Stellen brauche, um alle Zahlen darstellen zu koennen, sind
> darunter auch solche mit unendlich vielen Stellen. Wozu sollten die
Nein! Um beliebig grosse, endliche Zahlen darstellen zu koennen, brauche
ich beliebig viele Stellen. Es gibt also keine maximale, endliche Anzahl
von Stellen fuer die Beschreibung aller natuerlichen Zahlen, da es keine
groesste natuerliche Zahl gibt. Jede einzelne natuerliche Zahl wird
aber, wie gross sie auch immer sein mag, durch eine endliche Stellenzahl
beschrieben. Du musst zwischen der Anzahl der Stellen zur Beschreibung
einer einzelnen natuerlich Zahl (immer endlich) und der insgesamt
benoetigten Anzahl der Stellen (unendlich) unterscheiden.
> unendlich vielen Stellen sonst noetig sein? Es sind jetzt sogar
> wesentlich mehr als nur die Haelfte aller Zahlen, die unendlich viele
> Stellen haben, denn oo-a (a endlich) ist ebenfalls noch oo. Die Zahlen
> mit endlich vielen Stellen sind also eine vernachlaessigbare Minderheit.
>
> Es muss moeglich sein, alle Zahlen gleichzeitig aufzuschreiben, sonst
> hat u. a. der Begriff der Potenzmenge einer unendlichen Menge keinen
> Sinn. Wenn du also zugestehst, dass man zum Aufschreiben aller natuer-
> lichen Zahlen unendlich viele Stellen braucht, hast du auch zugestanden,
> dass es unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen geben muss.
>
Ich habe aber nicht zugestanden, dass es eine einzelne natuerliche Zahl
gibt, fuer die ich unendlich viele Stellen brauche.
> > Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
>
> Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
>
Zwei Anmerkungen:
1) Sage mir doch bitte erst einmal, wo in der obigen Argumentation ein
Fehler ist, bevor Du mit der naechsten Argumentation beginnst. Es ist
lange praktizierter Stil von Dir, Dinge nicht auszudiskutieren, sondern
neue Felder aufzumachen.
2) Nun ist es aber so, dass man in einer Menge von natuerlichen Zahlen
immer eine kleinste natuerliche Zahl findet. Ich sehe kein Argument,
warum es in einer unendlichen Menge immer eine kleinste unendliche
Teilmenge geben soll.
> Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.
>
Welches Problem? Dass es keinen kontinuierlichen Uebergang gibt? Dass es
also keine groesste endliche und keine kleinste unendliche Menge gibt?
Ob die Kluft selbst ein Problem darstellt, weiss ich nicht, und ob der
Sprung unkontrollierbar ist, mag davon abhaengen, ob man die Mathematik
dahinter nachvollziehen kann oder nicht.
Holger Gollan
>
> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> > Also mit anderen Worten:
> >
> > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > darstelle:
> >
> > 0: <leer>
> > 1: |
> > 2: ||
> > 3: |||
> > ...
> >
> > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
>
> Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> Zahlen, naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
Warum? Mit einem Strich wird die Zahl 1 dargestellt, mit zwei Strichen
die Zahl 2 usw. Wenn es nur endlich viele natuerliche Zahlen gaebe, dann
gaebe es eine groesste, und die haette die maximale Anzahl von Strichen.
Wer oder was verbietet mir, noch einen Strich mehr zu machen, und eine
groessere natuerliche Zahl darzustellen?
> diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> Striche und natuerliche Zahlen.
>
> Man kann den Zusammenhang zwischen der Anzahl s der Stellen und der
> Anzahl z der damit darstellbaren Zahlen mit einer Gleichung angeben.
> Im vorliegenden Fall gilt z = s + 1, wenn die 0 mitgezaehlt wird.
> Bei binaerer Schreibweise ist z = 2^s. In beiden Faellen erhaelt man
> nur endlich viele Zahlen, wenn es nur solche mit endlich vielen Stellen
> gibt. Wenn man sich auf keinen Wert fuer s festlegt, kann man auch
> keinen fuer z angeben. Aber daraus kann man nicht schliessen, dass
> mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellbar sind,
> nur weil z beliebig vergroessert werden kann. Denn das setzt voraus,
> dass auch s beliebig vergroessert wird.
>
Wenn Du die Anzahl der Stellen vorgibst, dann kann man auch nur endlich
viele Zahlen mit dieser Anzahl von Stellen darstellen. Wenn Du die
Anzahl der Stellen aber um 1 erhoehst, dann kannst Du weitere
natuerliche Zahlen darstellen, jede von ihnen wiederum mit endlich
vielen Stellen.
Die Tatsache, dass jede natuerliche Zahl mit endlich vielen Stellen
darstellbar ist, heisst nicht, dass es eine maximale endliche
Stellenanzahl gibt. Es wird nur behauptet, dass jede einzelne
natuerliche Zahl endlich viele Stellen besitzt, nicht aber, dass die
maximale Stellenzahl aller natuerlichen Zahlen endlich ist.
Du fuehrst hier eine unendliche Folge von Mengen ein, verlierst kein
Wort ueber den Sinn von grenzwerten in diesem Zusammenhang und wunderst
Dich dann, dass andere einen Mengenlimes ins Spiel bringen?
> Man koennte einwenden, dass sich die Kardinalitaet w nicht durch
> schrittweises Vorgehen erreichen laesst sondern ein unerreichbarer
> Grenzwert ist, der eine besondere Definition notwendig macht. Das
> gilt dann konsequenterweise fuer alle Mengen mit der Maechtigkeit w,
> also auch fuer N. Ausser den in endlich vielen Schritten erreichbaren
> natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen muesste N dann auch
> nicht erreichbare Zahlen enthalten, denn in endlich vielen Schritten
> erreicht man nicht alle Elemente einer Menge mit der Kardinalitaet w.
>
Und noch einmal: Jede einzelne natuerliche Zahl kannst Du in endlich
vielen Schritten erreichen, aber Du kannst nicht die Menge aller
natuerlicher Zahlen in endlich vielen Schritten erreichen.
Und: Die Menge N wird ueblicherweise etwas anders gebildet als Deine
Beispielmengen weiter oben. Du kannst also nicht unbedingt erwarten,
dass sich Aussagen einfach zwischen den beiden Situationen uebersetzen
lassen.
Paul Ebermann
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.
Gut erkannt.
Dies ist eine der zentralen Eigenschaften unendlicher Mengen -
diese Kluft zwischen endlichen und unendlichen Mengen.
Warum siehst du dort ein Problem?
Paul
Dieter Jungmann
>
> On Fri, 13 Jul 2001 05:42:21 +0200, Dieter Jungmann
> <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>
> > Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> > >
> > > Also mit anderen Worten:
> > >
> > > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > > darstelle:
> > >
> > > 0: <leer>
> > > 1: |
> > > 2: ||
> > > 3: |||
> > > ...
> > >
> > > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
> >
> > Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> > Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> > vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> > Zahlen,
>
> Bitte wieviele ? Schreib sie bitte auf, wenn es nur endlich viele
> gibt.
Du vertauschst Ursache und Konsequenz. Die Aussage, dass es nur endlich
viele natuerliche Zahlen gibt, ist eine Folge der Aussage, dass es nur
Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt. Warum stellst du die gleiche
Frage nicht mit gleichem Nachdruck, wenn jemand behauptet, dass es nur
Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt?
>
> > naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> > diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> > und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> > Striche und natuerliche Zahlen.
>
> Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
> verwendet werden sollen.
>
> Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
> Striche.
Diese Aussage impliziert, dass es _keine_ Folge gibt, die unendlich
viele Striche enthaelt. Warum brauchst du also unendlich viele Striche,
um _alle_ Zahlen darzustellen? Meinst du damit vielleicht die Summe
aller Striche, die gebraucht werden, wenn alle Zahlen gleichzeitig
dargestellt werden? Das waere ein Missverstaendnis, denn die Argumente
bleiben auch gueltig, wenn man die Striche durch die Anzahl der Stellen
ersetzt, die in einer beliebigen g-adischen Darstellung der Zahlen
benoetigt werden. Zur Darstellung von zwei Zahlen mit verschieden
vielen Stellen benoetigt man nicht mehr Stellen als zur Darstellung
der groesseren Zahl.
Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
endlich vielen Strichen endlich ist.
Verzichte doch einmal auf die Interpretation der Strich-Folgen als
Zahlen und betrachte sie einfach als bedeutungslose Muster. Zwei
Strichmuster gelten als identisch, wenn sie die gleiche Anzahl von
Strichen haben. Wenn jetzt die Vorgabe gemacht wird, dass kein Strich-
muster unendlich viele Striche hat, und die Frage gestellt wird, ob die
Anzahl der verschiedenen Muster unendlich sein kann, lautet die Antwort
doch auch Nein.
Wenn man die Zahlen mit Strichen darstellt, ist z. B. die Zahl 3 eine
Menge von 3 Strichen: 3 = { ||| }. Damit das Extensionalitaetsaxiom
keine Schwierigkeiten macht, muss man sich vorstellen, dass die Striche
verschieden lang sind, was sich hier nur umstaendlich darstellen liesse,
weshalb ich darauf verzichte. Diese Darstellung entspricht bereits
weitgehend der mengentheoretischen Darstellung der Z-Mengen. Auch
diese haben unterschiedlich viele und unterschiedlich lange Elemente.
Hinzu kommen noch unterschiedlich tiefe Verschachtelungen von
geschweiften Klammern. Dieser Unterschied ist hier ohne Bedeutung.
Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
{ | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
gibt. Laesst man diese nicht zu, erhaelt man auch nur endlich
viele Zahlen. Ausserdem erhaelt man dann entweder eine endliche
Menge von Zahlen mit einer groessten Zahl oder eine unbegrenzte
Folge von Mengen (gleichbedeutend mit einer offenen Menge, der
Begriff wird aber in der Mengenlehre nicht verwendet), aber keine
Menge, die _alle_ Zahlen enthaelt. Daran aendert sich auch nichts,
wenn man diese Menge per Axiom postuliert. Axiome sind keine
Zauberformeln, mit denen man sich jeden Wunsch erfuellen kann,
sondern es muss geprueft werden, ob durch das Axiom nicht ein
Phantom oder gar ein Widerspruch in die Theorie eingebracht wird.
Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
die Anzahl der Zahlen.
Dieser Zusammenhang laesst sich nicht aufloesen, solange man nur
Zahlen mit endlich vielen Strichen hat. Ob er sich widerspruchsfrei
aufloesen laesst, wenn man auch Zahlen mit unendlich vielen Strichen
(oder Elementen bei den Z-Mengen) einbezieht, brauche ich hier nicht
zu untersuchen, weil es nur darum geht, zu begruenden, warum eine
Menge mit unendlich vielen natuerlichen Zahlen nicht ausschliesslich
Zahlen mit endlich vielen Strichen enthalten kann.
Der Zusammenhang bleibt auch erhalten, wenn man die Zahlen g-adisch
darstellt. Das wird besonders deutlich sichtbar, wenn man unendliche
Teilmengen von N betrachtet. Fuer die Menge D der Zweierpotenzen
habe ich das bereits beschrieben. In binaerer Darstellung ist
D = {1, 10, 100, 1000, ...}. Auch hier ist sofort zu sehen, dass man
unendlich viele Zweierpotenzen nur erhaelt, wenn es auch einzelne
Zweierpotenzen mit unendlich vielen Stellen gibt.
Man kann das Spiel weiter treiben, indem man die unendliche Teilmenge
D_1 von N betrachtet:
D_1 = {10, 100, 10000, 10000 0000, ...} (binaere Schreibweise).
D_1 ist die Menge der Zweierpotenzen, deren Exponent ebenfalls eine
Zweierpotenz ist. Die Anzahl der Nullen verdoppelt sich in
binaerer Schreibweise bei jedem Schritt. Um die k-te Zahl von D_1
darzustellen, benoetigt man 1 + 2^(k-1) Stellen. Die Zahl der
benoetigten Stellen waechst also exponentiell mit der Zahl der
darzustellenden Zahlen. Durch Auswahl anderer Teilmengen von N
laesst sich die Zahl der benoetigten Stellen beliebig steigern.
Ich hoffe, dass ich mit diesen Beispielen verstaendlich machen
kann, warum ich davon uberzeugt bin, dass sich mit endlich vielen
Stellen nicht unendlich viele Zahlen darstellen lassen.
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3B4E6E1D...@t-online.de...
> > Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
> > Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
> > man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
> > Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
> > mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
> > Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
> > die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
> > kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen.
>
> Nein, kann man nicht !
> Wie kommst du darauf, dass es dann insgesamt endlich viele Schritte sind ?
Lies z. B. nach bei Paul Ebermann im posting vom 1. Juli 12:30 h:
Zitat:
> > Nach
> > Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> > viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> > endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
>
> Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
> unserer Menge M nicht erfüllt.
> Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
> Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
> zurückkommen können?
Ende des Zitats.
Einer motzt also immer. Vielleicht sollten sich die Mengentheoretiker
erst einmal untereinander einigen, was richtig ist.
>
> Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
> nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
> Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass ich
> dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich definitv
> nicht kann)
Mit dieser Aussage duerftest du ziemlich alleine dastehen. Die
Nachfolgerelation gilt fuer alle Elemente, folglich muessen sich
auch alle aufzaehlen lassen.
>
> Anscheinend sind dir Zahlen schon zu anschaulich :-), deshalb mal ein
> sprachliches Beispiel:
>
> Du erzaehlst mir von der Sprache "Dieterisch", die man im "Jungmannland"
> spricht.
> Ich kenne kein eines Wort dieser Sprache.
> Aber du erklaerst mir: "Im dieterischen bildet man die Mehrzahl eines
> Substantivs, in dem man ein "x" voranstellt"
> Ich denke ich kann jetzt zu JEDEM dieterischen Hauptwort (das du mir nennst)
> die Mehrzahl nennen, aber ich kann nicht ALLE dieterischen Substantive in
> der Mehrzahl aufsagen.
>
> Und dabei spielt es noch nicht mal eine Rolle, ob es unennlich viele
> dieterische Substantive gibt !
Wenn die Substantive durch eine Nachfolgerelation geordnet sind und
jedes Substantiv sich aus dem vorhergehenden ableiten laesst wie bei
den natuerlichen Zahlen und ich dir das erste Substantiv und die
Nachfolgerelation bekannt gebe, kannst du alle in der Einzahl und
Mehrzal aufsagen.
Du bist ein Spezialist dafuer, Dinge, die nichts miteinander zu tun
haben, durcheinander zu bringen, obwohl du gerade dies mir immer wieder
vorwirfst. Noch ein Beispiel aus deinem posting vom 9. Juli 04:29 h:
Norbert Micheel schrieb:
>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3B48BF5B...@t-online.de...
> > Norbert Micheel schrieb am 5. Juli 5:17 h:
> > >
> > >
> > > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> > >
> > > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
> daraus
> > > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> > >
> > > Andererseits:
> > > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > > HAT, ist sie definitv endlich.
>
> > Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? [...]
>
> hmmm...
>
> 1) \exists q \forall m \in M : 3q=m
>
> 2) \forall m \in M \exists q : 3q=m
>
> unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?
Es geht hier um den (vermeintlichen) Unterschied in den Aussagen
"fuer jedes" und "fuer alle". In deinen Aussagen 1) und 2) kommt
aber nur "fuer alle" vor, sie sind schon aus diesem Grunde als
Gegenbeispiel ungeeignet. So viel ich weiss, kennt die Mengenlehre
gar keinen Quantor "fuer jedes" sondern nur "fuer alle", womit aber
dasselbe wie "fuer jedes" gemeint ist. Unabhaengig davon fehlt jeder
Zusammenhang mit unserem Problem.
Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
erreichen.
Aber nimm's nicht allzu tragisch, ich bin Kummer gewohnt :-)
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
die wesentliche Aussage des ersten Teils deines postings vom
13. Juli 16:15 h wird durch folgenden Satz wiedergegeben:
> Du musst zwischen der Anzahl der Stellen zur Beschreibung
> einer einzelnen natuerlich Zahl (immer endlich) und der insgesamt
> benoetigten Anzahl der Stellen (unendlich) unterscheiden.
Um mich nicht zu wiederholen, verweise ich dazu auf meine Antwort
auf das posting von Horst Kraemer vom 13. Juli 06:53 GMT. Hier nur
ganz kurz: Wenn es keine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen
gibt, wozu brauchst du dann insgesamt doch unendlich viele Stellen?
Was willst du mit ihnen darstellen?
Zum zweiten Teil:
>
> > > Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> > > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
> >
> > Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> > unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> > Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> > Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> > enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> > weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
> >
>
> Zwei Anmerkungen:
> 1) Sage mir doch bitte erst einmal, wo in der obigen Argumentation ein
> Fehler ist, bevor Du mit der naechsten Argumentation beginnst. Es ist
> lange praktizierter Stil von Dir, Dinge nicht auszudiskutieren, sondern
> neue Felder aufzumachen.
Dein Argument steckt in der Frage
> > > Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
Der Gedanke dahinter ist: N enthaelt Zahlen mit endlich vielen Stellen.
Jede Zahl in N muss mit der Nachfolgerelation erreichbar sein. Gaebe es
auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen, waere dies nicht moeglich, die
Menge haette einen Sprung, an dem die Nachfolgerelation versagt. Also
kann es nur Zahlen mit endlich vielen Stellen geben.
Bis hierher sind wir einig. Ich folgere daraus, dass es nur endlich
viele natuerliche Zahlen gibt und dass N keine Menge sondern eine
Mengenfolge (oder eine offene Menge, wie ich es nenne) ist. Das habe
ich in dem erwaehnten posting noch einmal begruendet. Du postulierst
dagegen (ohne Begruendung) durch ein Axiom, dass N doch eine Menge mit
unendlich vielen Elementen ist. Der Nachweis, dass dies moeglich ist,
ohne dass Widersprueche auftreten, fehlt aus meiner Sicht.
> 2) Nun ist es aber so, dass man in einer Menge von natuerlichen Zahlen
> immer eine kleinste natuerliche Zahl findet. Ich sehe kein Argument,
> warum es in einer unendlichen Menge immer eine kleinste unendliche
> Teilmenge geben soll.
Zunaechst einmal dachte ich, dass in diesem Kontext klar ist, dass
durch eine Nachfolgerelation geordnete Mengen mit einem Anfangselement
gemeint sind. Ausserdem will ich ja gerade darauf hinaus, dass es
keine kleinste unendliche Teilmenge gibt und deshalb auch keine
unendliche Menge mit einer durchgaengig gueltigen Nachfolgerelation.
Ich versuche das nachfolgend an einem Beispiel zu erklaeren.
Durch Vorgabe einer natuerlichen Zahl k kann man N in 2 Teilmengen
teilen, naemlich die Teilmenge N_k, die alle Zahlen von 0 bis
einschliesslich k enthaelt, und die dazu komplementaere Teilmenge
C_k, die alle Zahlen groesser k enthaelt. Mit verschiedenen Werten
fuer k lassen sich beliebig viele Mengenpaare N_k, C_k bilden. Es gilt
aber immer, dass N_k eine endliche und C_k eine unendliche Teilmenge
von N ist. C_k hat also immer die Maechtigkeit w (klein omega).
N_k dagegen kann nie die Maechtigkeit w erlangen, denn wegen der
schrittweisen Vergoesserung von k mit der Nachfolgerelation muesste
es eine Stelle geben, an der N_k noch eine endliche Maechtigkeit hat
und N_(k+1) die Maechtigkeit w. Das ist aber nicht moeglich.
Daraus folgt, dass man grundsaetzlich _nicht_ alle Zahlen in N mit
der Nachfolgerelation erreichen kann. Denn _jede_ so erreichbare
Zahl zerlegt N in die Teilmengen N_k und C_k, man kann also jede
dieser Zahlen nach N_k bringen. Da alle C_k die
Maechtigkeit w und alle N_k eine endliche Maechtigkeit haben,
kann man sogar behaupten, dass es unendlich mal mehr mit der
Nachfolgerelation nicht erreibare als erreichbare Zahlen gibt.
Andererseits lassen sich alle Zahlen mit endlich vielen Stellen
sicher mit der Nachfolgerelation erreichen. Folglich muss N
unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthalten,
falls N eine unendliche Menge ist.
Wir geben jetzt einen festen Wert fuer k vor, bilden die
Mengenfolgen K_i = {k+1, k+2, k+3, ..., k+i} und L_i = N\K_i
und lassen i gegen oo gehen. Die Grenzmenge von L_i ist N_k,
die Grenzmenge von K_i ist C_k. Da k+i schrittweise vergroessert
wird und nach Voraussetzung alle Zahlen von N mit der Nachfolge-
relation erreichbar sind, muessen die Mengen der Folgen K_i und L_i
schrittweise groesser bzw. kleiner werden bis sie ihre Grenzwerte
erreichen. K_i beginnt mit einer endlichen Menge und endet
mit einer Menge der Maechtigkeit w, bei L_i ist es umgekehrt.
In beiden Mengenfolgen muss es also einen Schritt von i nach i+1
geben, bei dem die Maechtigkeit von endlich nach w bzw. umgekehrt
umschlaegt. Da dies nicht moeglich ist, folgt, dass es keine geordneten
unendlichen Mengen gibt. Dieser Schluss setzt geordnete Mengen
im Sinne des Unendlichkeitsaxioms voraus und gilt nicht fuer
offene Mengen oder Mengenfolgen.
Gruss Dieter
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
Aufgrund welcher logischen Schlussfolgerungen "folgt", dass es nur
endlich viele verschiedene endliche Strichfolgen gibt ?
> Warum stellst du die gleiche
> Frage nicht mit gleichem Nachdruck, wenn jemand behauptet, dass es nur
> Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt?
Warum sollte ich ?
>
> >
> > > naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> > > diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> > > und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> > > Striche und natuerliche Zahlen.
> >
> > Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
> > verwendet werden sollen.
> >
> > Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
> > Striche.
> Diese Aussage impliziert, dass es _keine_ Folge gibt, die unendlich
> viele Striche enthaelt.
Aufgrung welcher Schlussfolgerung _impliziert_ dies diese Aussage ?
> Warum brauchst du also unendlich viele Striche,
> um _alle_ Zahlen darzustellen? Meinst du damit vielleicht die Summe
> aller Striche, die gebraucht werden, wenn alle Zahlen gleichzeitig
> dargestellt werden?
> Das waere ein Missverstaendnis, denn die Argumente
> bleiben auch gueltig, wenn man die Striche durch die Anzahl der Stellen
> ersetzt, die in einer beliebigen g-adischen Darstellung der Zahlen
> benoetigt werden. Zur Darstellung von zwei Zahlen mit verschieden
> vielen Stellen benoetigt man nicht mehr Stellen als zur Darstellung
> der groesseren Zahl.
>
> Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> endlich vielen Strichen endlich ist.
Warum ?
> Verzichte doch einmal auf die Interpretation der Strich-Folgen als
> Zahlen und betrachte sie einfach als bedeutungslose Muster. Zwei
> Strichmuster gelten als identisch, wenn sie die gleiche Anzahl von
> Strichen haben. Wenn jetzt die Vorgabe gemacht wird, dass kein Strich-
> muster unendlich viele Striche hat, und die Frage gestellt wird, ob die
> Anzahl der verschiedenen Muster unendlich sein kann, lautet die Antwort
> doch auch Nein.
Warum ?
> Wenn man die Zahlen mit Strichen darstellt, ist z. B. die Zahl 3 eine
> Menge von 3 Strichen: 3 = { ||| }. Damit das Extensionalitaetsaxiom
> keine Schwierigkeiten macht, muss man sich vorstellen, dass die Striche
> verschieden lang sind, was sich hier nur umstaendlich darstellen liesse,
> weshalb ich darauf verzichte. Diese Darstellung entspricht bereits
> weitgehend der mengentheoretischen Darstellung der Z-Mengen. Auch
> diese haben unterschiedlich viele und unterschiedlich lange Elemente.
> Hinzu kommen noch unterschiedlich tiefe Verschachtelungen von
> geschweiften Klammern. Dieser Unterschied ist hier ohne Bedeutung.
>
> Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
> { | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
> Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
> sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> gibt.
Woran erkennt man dies "unmittelbar" ?
> Laesst man diese nicht zu, erhaelt man auch nur endlich
> viele Zahlen. Ausserdem erhaelt man dann entweder eine endliche
> Menge von Zahlen mit einer groessten Zahl oder eine unbegrenzte
> Folge von Mengen (gleichbedeutend mit einer offenen Menge, der
> Begriff wird aber in der Mengenlehre nicht verwendet), aber keine
> Menge, die _alle_ Zahlen enthaelt. Daran aendert sich auch nichts,
> wenn man diese Menge per Axiom postuliert. Axiome sind keine
> Zauberformeln, mit denen man sich jeden Wunsch erfuellen kann,
> sondern es muss geprueft werden, ob durch das Axiom nicht ein
> Phantom oder gar ein Widerspruch in die Theorie eingebracht wird.
>
> Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
> deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
> uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
> dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
> Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
> groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
> die Anzahl der Zahlen.
Du vergisst immer wieder, dass die Menge der natuerlichen Zahlen
_nicht_ durch eine Art Grenzprozess definiert ist, bei der die jeweils
groesste Zahl der Folgen
0
0,1,2
0,1,2,3
...
"gegen unendlich geht". Diese Sprechweise fuehrt zu Deinem nicht
mathematisch begruendbaren "intuiven" Fehlschluss, dass auch die Menge
_aller_ natuerlichen Zahlen ein groesste Zahl enthalten muss.
Die Menge der ("aller") natuerlichen Zahlen ist _nicht_ durch einen
"Grenzprozess" definiert. Der Begriff "Grenzprozess" ist in diesem
Stadium ueberhaupt noch nicht definiert.
Die Menge N der natuerlichen Zahlen _ist_ per Definition die kleinste
Menge (lies: der Durchnitt aller Mengen), die die 0 enthaelt, und zu
jedem x, das sie enthaelt, auch die naechstgroessere enthaelt. Punkt.
Jede der endlichen Mengen
{0}
{0,1}
{0,1,2}
...
ist Teilmenge von N, aber N selbst hat per Definition _nicht_ mehr die
Eigenschaft, ein groesstes Element zu besitzen, denn sie soll ja zu
jedem Element auch das naechstgroessere enthalten.
> Dieser Zusammenhang laesst sich nicht aufloesen, solange man nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen hat. Ob er sich widerspruchsfrei
> aufloesen laesst, wenn man auch Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> (oder Elementen bei den Z-Mengen) einbezieht, brauche ich hier nicht
> zu untersuchen, weil es nur darum geht, zu begruenden, warum eine
> Menge mit unendlich vielen natuerlichen Zahlen nicht ausschliesslich
> Zahlen mit endlich vielen Strichen enthalten kann.
>
> Der Zusammenhang bleibt auch erhalten, wenn man die Zahlen g-adisch
> darstellt. Das wird besonders deutlich sichtbar, wenn man unendliche
> Teilmengen von N betrachtet. Fuer die Menge D der Zweierpotenzen
> habe ich das bereits beschrieben. In binaerer Darstellung ist
> D = {1, 10, 100, 1000, ...}. Auch hier ist sofort zu sehen, dass man
> unendlich viele Zweierpotenzen nur erhaelt, wenn es auch einzelne
> Zweierpotenzen mit unendlich vielen Stellen gibt.
Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
die unendliche Folge
{1,10,100,1000,....}
_nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
Anscheinend bedeutet "ist sofort zu sehen" fuer Dich etwas anderes als
fuer fast alle anderen... Trotzdem wuerde es mich natuerlich
interessieren, wie es Dir gelingt, in dieser Liste Zahlen mit
unendlich vielen Stellen zu "sehen", wenn die Definition dieser Liste
wie folgt lautet.
Diese Liste ist die kleinste Liste mit den folgenden Eigenschaften:
1 ist Element der Liste.
Wenn ein Ding zur Liste gehoert, gehoert auch das um eine 0
verlaengerte Ding zur Liste.
Ich kann nicht erkennen, woraus man hier folgern kann, dass die Liste
auch Elemente mit unendlich vielen Nullen enthaelt.
MfG
Horst
Holger Gollan
Immer schoen der Reihe nach:
Deine Argumentation lautete wie folgt: Wir definieren, dass nur endliche
Strich-Folgen natuerliche Zahlen repraesentieren. Du folgerst daraus,
dass es dann nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt, also nur endlich
viele endliche Strich-Folgen. Darauf hin kam die Frage von Horst, wie
viele endliche Strich-Folgen es denn nun sind. (Oder anders gefragt:
Welches ist denn dann die laengste, groesste endliche Strich-Folge?)
Erst war Deine Argumentation, dann Horsts Frage! Bitte nicht die Rollen
vertauschen. (Etwas, was Du uebrigens gerne machst, wenn Du konkret auf
konkrete Fragen antworten sollst.)
> >
> > > naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> > > diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> > > und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> > > Striche und natuerliche Zahlen.
> >
> > Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
> > verwendet werden sollen.
> >
> > Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
> > Striche.
>
> Diese Aussage impliziert, dass es _keine_ Folge gibt, die unendlich
> viele Striche enthaelt. Warum brauchst du also unendlich viele Striche,
> um _alle_ Zahlen darzustellen? Meinst du damit vielleicht die Summe
Weil es darum geht, unendlich viele Zahlen darzustellen. Und dieses ist
mit endlich vielen Strichen nicht moeglich.
> aller Striche, die gebraucht werden, wenn alle Zahlen gleichzeitig
> dargestellt werden? Das waere ein Missverstaendnis, denn die Argumente
> bleiben auch gueltig, wenn man die Striche durch die Anzahl der Stellen
> ersetzt, die in einer beliebigen g-adischen Darstellung der Zahlen
> benoetigt werden. Zur Darstellung von zwei Zahlen mit verschieden
> vielen Stellen benoetigt man nicht mehr Stellen als zur Darstellung
> der groesseren Zahl.
>
> Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> endlich vielen Strichen endlich ist.
>
> Verzichte doch einmal auf die Interpretation der Strich-Folgen als
> Zahlen und betrachte sie einfach als bedeutungslose Muster. Zwei
> Strichmuster gelten als identisch, wenn sie die gleiche Anzahl von
> Strichen haben. Wenn jetzt die Vorgabe gemacht wird, dass kein Strich-
> muster unendlich viele Striche hat, und die Frage gestellt wird, ob die
> Anzahl der verschiedenen Muster unendlich sein kann, lautet die Antwort
> doch auch Nein.
>
Nein, die Antwort lautet Ja!
Angenommen, die Antwort waere Nein! Dann gaebe es nur endlich viele
verschiedene Strichmuster. Da jedes Strichmuster eine verschiedene
Anzahl von Strichen besitzt, repraesentieren diese endlich vielen
Strichmuster endlich viele verschiedene natuerliche Zahlen. Unter dieses
endlich vielen natuerlichen Zahlen gibt es eine groesste, genannt X. Sie
gehoert folglich zu einem Strichmuster mit X Strichen. Wer oder was
verbietet nun die Existenz eines Strichmusters mit X+1 Strichen?
> Wenn man die Zahlen mit Strichen darstellt, ist z. B. die Zahl 3 eine
> Menge von 3 Strichen: 3 = { ||| }. Damit das Extensionalitaetsaxiom
> keine Schwierigkeiten macht, muss man sich vorstellen, dass die Striche
> verschieden lang sind, was sich hier nur umstaendlich darstellen liesse,
> weshalb ich darauf verzichte. Diese Darstellung entspricht bereits
> weitgehend der mengentheoretischen Darstellung der Z-Mengen. Auch
> diese haben unterschiedlich viele und unterschiedlich lange Elemente.
> Hinzu kommen noch unterschiedlich tiefe Verschachtelungen von
> geschweiften Klammern. Dieser Unterschied ist hier ohne Bedeutung.
>
> Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
> { | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
> Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
> sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> gibt. Laesst man diese nicht zu, erhaelt man auch nur endlich
Nein, siehe oben!
Und mit der Frage der Erkenntnis mathematischer Theoreme haben sich
schon andere in dieser Newsgroup beschaeftigt. Wie waere es mit
Beweisen?
> viele Zahlen. Ausserdem erhaelt man dann entweder eine endliche
> Menge von Zahlen mit einer groessten Zahl oder eine unbegrenzte
> Folge von Mengen (gleichbedeutend mit einer offenen Menge, der
> Begriff wird aber in der Mengenlehre nicht verwendet), aber keine
> Menge, die _alle_ Zahlen enthaelt. Daran aendert sich auch nichts,
> wenn man diese Menge per Axiom postuliert. Axiome sind keine
> Zauberformeln, mit denen man sich jeden Wunsch erfuellen kann,
> sondern es muss geprueft werden, ob durch das Axiom nicht ein
> Phantom oder gar ein Widerspruch in die Theorie eingebracht wird.
>
Du hast schon Recht, dass man Axiome nicht nach Belieben zu Theorien
hinzufuegen kann. Aber wo ist der von Dir immer wieder beschworene
Widerspruch?
> Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
> deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
> uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
> dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
> Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
> groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
> die Anzahl der Zahlen.
>
Die Anzahl der Striche der groessten Zahl geht gegen unendlich, ist aber
fuer jede einzelne Zahl immer noch ein endlicher Wert. Wo ist das
Problem?
Gerade wegen dieser Argumentation verstehe ich einfach nicht, warum Du
eben nicht einsehen kannst, dass es kein Problem ist, unendlich viele
Zahlen mit jeweils endlich vielen Stellen darzustellen.
Deine obige Menge D_1 z.B., oder aber die Menge N_1 = { 1, 10, 100,
1000, ...}.
Offensichtlich sind beide Mengen unendlich (zumindest soll dies durch
... dargestellt werden). Jede einzelne Zahl in diesen Menge besitzt aber
nur endlich viele Stellen, deren Anzahl man zumindest bei N_1 auch
sofort angeben kann. Wo versteckt sich denn in D_1 bzw. N_1 eine Zahl
mit unendlich vielen Stellen? Und bitte nicht mit Hilfe von
Grenzwertbetrachtungen! Uns interessieren die einzelnen Elemente der
Mengen, nicht irgendwelche eventuell existierenden Grenzwerte.
Holger Gollan
Vielleicht solltest Du einmal versuchen, den kleinen aber feinen
Unterschied in den beiden Aussagen zu verstehen. Jedes einzelne Element
fuer sich kann in endlich vielen Schritten erreicht werden, Du kannst
aber keine Anzahl von Schritten vorgeben, so dass Du alle Elemente in
dieser festen, endlichen Anzahl erreichst.
Wir haben die folgende Aussage:
Fuer jedes k gilt, dass es in endlich vielen Schritten erreicht werden
kann. Etwas formaler:
\forall k \exists q : In q Schritten erreichen wir k.
Das heisst insbesondere, dass es kein k gibt, dass man nicht in endlich
vielen Schritten erreichen kann.
Aber: Folgt daraus die folgende Aussage?
\exists q \forall k : In q Schritten erreichen wir k.
> Aber nimm's nicht allzu tragisch, ich bin Kummer gewohnt :-)
>
> Gruss Dieter
--
Holger Gollan
>
> Hallo Holger,
>
> die wesentliche Aussage des ersten Teils deines postings vom
> 13. Juli 16:15 h wird durch folgenden Satz wiedergegeben:
>
> > Du musst zwischen der Anzahl der Stellen zur Beschreibung
> > einer einzelnen natuerlich Zahl (immer endlich) und der insgesamt
> > benoetigten Anzahl der Stellen (unendlich) unterscheiden.
>
> Um mich nicht zu wiederholen, verweise ich dazu auf meine Antwort
> auf das posting von Horst Kraemer vom 13. Juli 06:53 GMT. Hier nur
> ganz kurz: Wenn es keine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen
> gibt, wozu brauchst du dann insgesamt doch unendlich viele Stellen?
> Was willst du mit ihnen darstellen?
>
Die insgesamt unendlich vielen natuerlichen Zahlen!
Sind wir uns also einig, dass natuerliche Zahlen nur jeweils endlich
viele Stellen besitzen?
> Bis hierher sind wir einig. Ich folgere daraus, dass es nur endlich
> viele natuerliche Zahlen gibt und dass N keine Menge sondern eine
> Mengenfolge (oder eine offene Menge, wie ich es nenne) ist. Das habe
> ich in dem erwaehnten posting noch einmal begruendet. Du postulierst
> dagegen (ohne Begruendung) durch ein Axiom, dass N doch eine Menge mit
> unendlich vielen Elementen ist. Der Nachweis, dass dies moeglich ist,
> ohne dass Widersprueche auftreten, fehlt aus meiner Sicht.
>
Bitte keine Mengenfolgen, offenen Mengen, weitere Axiome.
Es kann nicht nur endlich viele natuerliche Zahlen geben, denn dann
gaebe es eine groesste, und das kann wegen der Nachfolgefunktion nicht
funktionieren.
> > 2) Nun ist es aber so, dass man in einer Menge von natuerlichen Zahlen
> > immer eine kleinste natuerliche Zahl findet. Ich sehe kein Argument,
> > warum es in einer unendlichen Menge immer eine kleinste unendliche
> > Teilmenge geben soll.
>
> Zunaechst einmal dachte ich, dass in diesem Kontext klar ist, dass
> durch eine Nachfolgerelation geordnete Mengen mit einem Anfangselement
> gemeint sind. Ausserdem will ich ja gerade darauf hinaus, dass es
> keine kleinste unendliche Teilmenge gibt und deshalb auch keine
> unendliche Menge mit einer durchgaengig gueltigen Nachfolgerelation.
Die nicht existierende kleinste unendlich Teilmenge hat aber nichts mit
dem immer existierenden kleinsten Element in einer Menge von
natuerlichen Zahlen zu tun.
> Ich versuche das nachfolgend an einem Beispiel zu erklaeren.
>
> Durch Vorgabe einer natuerlichen Zahl k kann man N in 2 Teilmengen
> teilen, naemlich die Teilmenge N_k, die alle Zahlen von 0 bis
> einschliesslich k enthaelt, und die dazu komplementaere Teilmenge
> C_k, die alle Zahlen groesser k enthaelt. Mit verschiedenen Werten
> fuer k lassen sich beliebig viele Mengenpaare N_k, C_k bilden. Es gilt
> aber immer, dass N_k eine endliche und C_k eine unendliche Teilmenge
> von N ist. C_k hat also immer die Maechtigkeit w (klein omega).
> N_k dagegen kann nie die Maechtigkeit w erlangen, denn wegen der
> schrittweisen Vergoesserung von k mit der Nachfolgerelation muesste
> es eine Stelle geben, an der N_k noch eine endliche Maechtigkeit hat
> und N_(k+1) die Maechtigkeit w. Das ist aber nicht moeglich.
>
Warum soll denn N_k jemals die Maechtigkeit w erlangen? Dein Problem an
dieser Stelle ist, dass Du wieder einmal versuchst, eine
Grenzwertdiskussion im Bereich von Mengen zu beginnen. Hier erwartest Du
z.B., dass Du aus der Tatsache, dass N der Grenzwert der N_k ist,
irgendetwas ueber die Maechtigkeit von N im Verhaeltnis zu den
Maechtigkeiten der N_k sagen kannst. (Alle N_k sind endlich, also kann
der Grenzwert nicht unendliche Maechtigkeit haben.) Ohne den vorherigen
Beweis eines entsprechenden Satzes kann man eine solche Folgerung aber
nicht ziehen.
> Daraus folgt, dass man grundsaetzlich _nicht_ alle Zahlen in N mit
> der Nachfolgerelation erreichen kann. Denn _jede_ so erreichbare
> Zahl zerlegt N in die Teilmengen N_k und C_k, man kann also jede
> dieser Zahlen nach N_k bringen. Da alle C_k die
> Maechtigkeit w und alle N_k eine endliche Maechtigkeit haben,
> kann man sogar behaupten, dass es unendlich mal mehr mit der
> Nachfolgerelation nicht erreibare als erreichbare Zahlen gibt.
> Andererseits lassen sich alle Zahlen mit endlich vielen Stellen
> sicher mit der Nachfolgerelation erreichen. Folglich muss N
> unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthalten,
> falls N eine unendliche Menge ist.
>
Und wieder ein Problem mit den Grenzwerten: Weil jedes einzelne C_k
unendlich ist, kann der Grenzwert nicht endlich sein? (In diesem Fall
sogar die leere Menge)
> Wir geben jetzt einen festen Wert fuer k vor, bilden die
> Mengenfolgen K_i = {k+1, k+2, k+3, ..., k+i} und L_i = N\K_i
> und lassen i gegen oo gehen. Die Grenzmenge von L_i ist N_k,
> die Grenzmenge von K_i ist C_k. Da k+i schrittweise vergroessert
> wird und nach Voraussetzung alle Zahlen von N mit der Nachfolge-
> relation erreichbar sind, muessen die Mengen der Folgen K_i und L_i
> schrittweise groesser bzw. kleiner werden bis sie ihre Grenzwerte
> erreichen. K_i beginnt mit einer endlichen Menge und endet
> mit einer Menge der Maechtigkeit w, bei L_i ist es umgekehrt.
> In beiden Mengenfolgen muss es also einen Schritt von i nach i+1
> geben, bei dem die Maechtigkeit von endlich nach w bzw. umgekehrt
> umschlaegt. Da dies nicht moeglich ist, folgt, dass es keine geordneten
> unendlichen Mengen gibt. Dieser Schluss setzt geordnete Mengen
> im Sinne des Unendlichkeitsaxioms voraus und gilt nicht fuer
> offene Mengen oder Mengenfolgen.
>
Und wieder die Grenzwerte: Warum muss es irgendwann einmal einen Schritt
geben, an dem der Sprung von endlich zu unendlich passiert?
Die Folge 1/n hat den Grenzwert Null; trotzdem gibt es nirgends in
dieser Folge einen Schritt, an dem der Sprung von >0 zu =0 gemacht wird.
Es ist halt nur ein Grenzwertprozess. Trotzdem wirst Du wegen dieses
Sprungs ja wohl kaum von einem grossen Problem der Analysis reden, oder?
Sönke Müller-Lund
deine Thesen verfolge ich mit wachsendem Interesse:
> Die Aussage, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt,
> ist eine Folge der Aussage, dass es nur Zahlen mit endlich vielen
> Stellen gibt.
> Warum brauchst du also unendlich viele Striche, um _alle_ Zahlen
> darzustellen?
(Eigenschaft der Unbeschränktheit von IN? Aber weiter.)
> Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> endlich vielen Strichen endlich ist.
D.h. die Summe über alle Zahlen aus IN ist in IN enthalten?
Sei n nun diese Zahl, warum ist n < m:=n+1?
> Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
> { | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
> Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
> sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> gibt.
Also, dass das falsch ist, müsstest Du wissen, denn sonst würdest Du
diese Diskussion nicht führen.
Niemand ausser Du selbst erkennt unmittelbar, dass unendlich viele
Zahlen nur moeglich
sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen gibt.
> Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
> deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
> uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
> dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
> Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
> groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
> die Anzahl der Zahlen.
>
> Dieser Zusammenhang laesst sich nicht aufloesen, solange man nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen hat. Ob er sich widerspruchsfrei
> aufloesen laesst, wenn man auch Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> (oder Elementen bei den Z-Mengen) einbezieht, brauche ich hier nicht
> zu untersuchen, weil es nur darum geht, zu begruenden, warum eine
> Menge mit unendlich vielen natuerlichen Zahlen nicht ausschliesslich
> Zahlen mit endlich vielen Strichen enthalten kann.
> Ich hoffe, dass ich mit diesen Beispielen verstaendlich machen
> kann, warum ich davon uberzeugt bin, dass sich mit endlich vielen
> Stellen nicht unendlich viele Zahlen darstellen lassen.
Tja, das ist ja äußerst unerfreulich. Denn Du müsstest jetzt entweder
eine natürliche Zahl mit unendlich vielen Strichen/Stellen angeben oder
eine größte natürliche Zahl, die es zweifellsfrei geben muss, wenn die
Anzahl aller verfügbaren Striche/Stellen endlich ist (obere Schranke
reicht).
Sönke
--
Sönke Müller-Lund Alter Markt 1-2 Flughafenstr. 52a
Baltic Online Computer GmbH 24103 Kiel 22335 Hamburg
http://www.baltic-online.de +49-(0)431-54003-0 +49-(0)40-5329939
Moritz Molle
Die Begriffe "endlich", "unendlich" und "beliebig".
Du definierst Deine Strichmenge S wie folgt:
| element S
wenn x element S dann ist auch x| element S.
Du kannst zu jedem Element Deiner Menge genau eine natuerliche Zahl angeben,
die die Anzahl der Striche angibt. Diese Anzahl ist _beliebig gross_, aber
nicht unendlich!
Versuch es Dir folgendermassen vorzustellen:
Alle Mengen, die innerhalb dieser Diskussion bisher gegeben wurden waren
isomorph zu N. D.h eine Betrachtung von N reicht aus.
Du baust eine Strasse. Diese Strasse ist zum Zeitpunkt 0 genau 0m lang. Zum
Zeitpunkt 1 einen Meter usw.
Wenn Du jetzt bis in alle Ewigkeit baust, dann wirst Du unendlich lange an
Deiner Strasse bauen, aber sie wird _immer_! (D.h. zu jedem _beliebigen_
Zeitpunkt einen Anfang haben (Da, wo Du angefangen hast zu bauen) und sie
wird _immer_ ein Ende haben (Da, wo Du gerade mit Deiner Strassenbaumaschine
bist). D.h. sie ist zu jedem _beliebigen_ Zeitpunkt endlich! Wenn Du
unendlich lange an ihr baust, heisst das nicht, dass Du fertig bist, wenn
die Strasse unendlich lang ist, es heisst, dass Du niemals fertig wirst!
Moritz Molle
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B5256E0...@t-online.de...
Paul Ebermann
Ich bin zwar kein Mengentheoretiker, aber du darft trotzdem
nicht meine Aussagen Sinn-entfremden.
Ich sagte: Von jeder beliebig gewählten Zahl kannst du in
endlich vielen Schritten zum Anfang zurückkehren.
Du kannst also auch zu jeder beliebigen Zahl alle
*vorhergehenden* Zahlen mit endlich vielen Schritten
entfernen.
Du folgerst daraus:
"Ich kann mit endlich vielen Schritten alle Zahlen entfernen".
Diese Aussage ist allerdings keine Folgerung aus der oben
gemachten Aussage, sie würde nur gelten, wenn es eine größte
natürliche Zahl gäbe, für die wir dann alle kleineren Zahlen
entfernen.
Eine solche größte natürliche Zahl gibt es nicht, deswegen
ist eben auch die Menge der natürlichen Zahlen nicht endlich.
> > Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
> > nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
> > Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass ich
> > dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich definitv
> > nicht kann)
>
> Mit dieser Aussage duerftest du ziemlich alleine dastehen. Die
> Nachfolgerelation gilt fuer alle Elemente, folglich muessen sich
> auch alle aufzaehlen lassen.
Nun gibt es allerdings unendlich viele natürliche Zahlen.
Und die alle Aufzuzählen hat kein heute lebendender Mensch geschafft.
> > 1) \exists q \forall m \in M : 3q=m
> >
> > 2) \forall m \in M \exists q : 3q=m
> >
> > unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?
>
> Es geht hier um den (vermeintlichen) Unterschied in den Aussagen
> "fuer jedes" und "fuer alle". In deinen Aussagen 1) und 2) kommt
> aber nur "fuer alle" vor, sie sind schon aus diesem Grunde als
> Gegenbeispiel ungeeignet. So viel ich weiss, kennt die Mengenlehre
> gar keinen Quantor "fuer jedes" sondern nur "fuer alle", womit aber
> dasselbe wie "fuer jedes" gemeint ist. Unabhaengig davon fehlt jeder
> Zusammenhang mit unserem Problem.
Sieh dir trotzdem einmal die beiden Aussagen an.
Darauf läuft am Ende doch unser Problem hinaus.
Wenn die Menge M aus endlichen Mengen besteht dann:
\forall m \in M : \exists n \in N : card(m) < n.
Wenn es eine obere _endliche_ Schranke für die Mächtigkeit
der einzelnen Mengen gibt:
\exists n \in N : \forall m \in M : card(m) < n
Du setzt beide Aussagen gleich und versuchst damit einen
Widerspruch herzuleiten. Diese Aussagen sind aber nicht
ohne weiteren Beweis gleich, wie du an dem oben genannten
Beispiel sehen kannst.
Wir (die Standardmathematik) sehen die obere Aussage als
richtig an, die untere dagegen nicht.
> Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
> das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
> erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
> erreichen.
Das ist genau so eine Verwechselung.
\forall k \in N : \exists n \in N : k < n
\exists n \in N : \forall k \in N : k < n
Auch wenn du dies bisher hartnäckig ignorierst:
Nenne uns doch mal bitte deine Axiome (bzw. die Axiome,
aus denen du Widersprüche herleiten willst).
Paul
Rainer Rosenthal
bei eingehender Betrachtung Deiner Argumente
ist mir folgendes aufgefallen: Auch die Buchstaben
des Alphabets zusammen mit den Interpunktions-
Zeichen sowie Leerzeichen bilden ja ein endliches
Zeichensystem und jedes Posting bietet auch nur
Platz für endlich viele dieser Zeichen.
So sehr ich davon überzeugt bin, dass es zu jeder
Zahl von Postings noch ein weiteres noch nicht ge-
schriebenes gibt, so tröstlich finde ich es anderer-
seits, dass es doch nur endlich viele geben kann,
wenn Du recht hast.
Denn dann sind alle Threads und damit auch dieser
in endlicher Zeit beendet - höhö.
Gruss,
Rainer
Norbert Micheel
>Norbert Micheel schrieb:
> >
> > Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
> > nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
> > Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass
ich
> > dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich
definitv
> > nicht kann)
> Mit dieser Aussage duerftest du ziemlich alleine dastehen. Die
> Nachfolgerelation gilt fuer alle Elemente, folglich muessen sich
> auch alle aufzaehlen lassen.
okay, ich geb zu, ich hatte dir eine Moeglichkeit gelassen es falsch zu
verstehen.
> > Anscheinend sind dir Zahlen schon zu anschaulich :-), deshalb mal ein
> > sprachliches Beispiel:
> >
> > Du erzaehlst mir von der Sprache "Dieterisch", die man im "Jungmannland"
> > spricht.
> > Ich kenne kein eines Wort dieser Sprache.
> > Aber du erklaerst mir: "Im dieterischen bildet man die Mehrzahl eines
> > Substantivs, in dem man ein "x" voranstellt"
> > Ich denke ich kann jetzt zu JEDEM dieterischen Hauptwort (das du mir
nennst)
> > die Mehrzahl nennen, aber ich kann nicht ALLE dieterischen Substantive
in
> > der Mehrzahl aufsagen.
> >
> > Und dabei spielt es noch nicht mal eine Rolle, ob es unennlich viele
> > dieterische Substantive gibt !
> Wenn die Substantive durch eine Nachfolgerelation geordnet sind und
> jedes Substantiv sich aus dem vorhergehenden ableiten laesst wie bei
> den natuerlichen Zahlen und ich dir das erste Substantiv und die
> Nachfolgerelation bekannt gebe, kannst du alle in der Einzahl und
> Mehrzal aufsagen.
Weswegen waehle ich wohl so ein abgedrehtes Beispiel ?
Damit du eigentlich NICHT mehr vorraussetzen kannst, als im Beispiel gesagt
!
Von "Nachfolgerrelation" war nicht die Rede.
Wenn du unbedingt schon nicht einfach "ja" sagen willst, waere es besser
gewesen du haettest nur behauptet "das hat nichts damit zu tun".
> Du bist ein Spezialist dafuer, Dinge, die nichts miteinander zu tun
> haben, durcheinander zu bringen, obwohl du gerade dies mir immer wieder
> vorwirfst.
Ich versuche durch Abstraktion Unterschiede in den Vorstellungen zu
beseitigen. Um ein gegenseitiges Verstehen zu erleichtern. Das das nicht
immer funktioniert ist mir auch klar.
Waerendessen bekomme ich aber eine immer bessere Ahnung was du meinst:
Die "Strich"-Diskussion war da sehr hilfreich. Ich habe dich jetzt so
verstanden, dass du dir keine unendlich vielen unterscheidbaren Objekte
vorstellen kannst - zumindest nicht wenn ich nur ein Merkmal zur Verfuegung
habe, wie z.B. die Anzahl der Striche. Denn fuer dich ist es zwingend
logisch, wenn ich k Objekte durch die Anzahl Striche unterschieden habe, ein
naechstes mit einem Strich mehr unterscheide, dann habe ich immer und zu
jeder Zeit nur endlich viele Objekte unterschieden. Auch wenn ich diesen
Vorgang niemals beende. Und anders herum gesagt: Ich schaffe es durch das
Striche-Hinzufuegen immer nur endlich viele voneinander zu unterscheiden.
Niemals werde ich unendlich viele Objekte durch Striche unterschieden haben,
also kann es mit endlich vielen Strichen nur Mengen mit endlich vielen
Objekten geben.
Das waere anders, wenn es unendlich viele Merkmale gaebe, oder die Objekte
unendlich viele Stellen haetten mit denen du unendlich viele
"Beschriftungs-Variationen" und damit Unterscheidungen erzeugen koenntest.
> Aber nimm's nicht allzu tragisch, ich bin Kummer gewohnt :-)
und du nimmst es bitte nicht allzu tragisch, dass mir das gar nichts
ausmacht.
N
Dieter Jungmann
>
> Ich bin zwar kein Mengentheoretiker, aber du darft trotzdem
> nicht meine Aussagen Sinn-entfremden.
>
> Ich sagte: Von jeder beliebig gewählten Zahl kannst du in
> endlich vielen Schritten zum Anfang zurückkehren.
> Du kannst also auch zu jeder beliebigen Zahl alle
> *vorhergehenden* Zahlen mit endlich vielen Schritten
> entfernen.
> Du folgerst daraus:
> "Ich kann mit endlich vielen Schritten alle Zahlen entfernen".
>
> Diese Aussage ist allerdings keine Folgerung aus der oben
> gemachten Aussage, sie würde nur gelten, wenn es eine größte
> natürliche Zahl gäbe, für die wir dann alle kleineren Zahlen
> entfernen.
Wenn die Aussage "fuer jedes Element gilt ..."
nicht identisch ist mit der Aussage "fuer alle Elemente gilt ...",
muss es wenigstens ein Element geben, fuer das sie nicht gilt.
Dann ist aber die Aussage "fuer jedes Element gilt ..." falsch.
Wenn deine Aussage, dass man von jeder beliebig gewaehlten Zahl in
endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren kann, nun doch
nicht fuer alle Zahlen gilt, muss es eine erste Zahl geben, fuer
die das nicht gilt. Welche ist das?
Wenn es eine Zahl gibt, von der aus du nicht in endlich vielen
Schritten zum Anfang zurueckkehren kannst, kannst du sie von
0 aus nur in unendlich vielen Schritten erreichen. Wie willst du
dann vermeiden, dass du zur Darstellung _dieser_ Zahl auch unendlich
viele Stellen brauchst, da die Anzahl der Stellen ja bei
unendlich vielen Schritten ebenfalls unbegrenzt waechst?
>
> > > 1) \exists q \forall m \in M : 3q=m
> > >
> > > 2) \forall m \in M \exists q : 3q=m
> > >
> > > unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?
> >
> > Es geht hier um den (vermeintlichen) Unterschied in den Aussagen
> > "fuer jedes" und "fuer alle". In deinen Aussagen 1) und 2) kommt
> > aber nur "fuer alle" vor, sie sind schon aus diesem Grunde als
> > Gegenbeispiel ungeeignet. So viel ich weiss, kennt die Mengenlehre
> > gar keinen Quantor "fuer jedes" sondern nur "fuer alle", womit aber
> > dasselbe wie "fuer jedes" gemeint ist. Unabhaengig davon fehlt jeder
> > Zusammenhang mit unserem Problem.
>
> Sieh dir trotzdem einmal die beiden Aussagen an.
> Darauf läuft am Ende doch unser Problem hinaus.
>
> Wenn die Menge M aus endlichen Mengen besteht dann:
> \forall m \in M : \exists n \in N : card(m) < n.
> Wenn es eine obere _endliche_ Schranke für die Mächtigkeit
> der einzelnen Mengen gibt:
> \exists n \in N : \forall m \in M : card(m) < n
>
> Du setzt beide Aussagen gleich und versuchst damit einen
> Widerspruch herzuleiten. Diese Aussagen sind aber nicht
> ohne weiteren Beweis gleich, wie du an dem oben genannten
> Beispiel sehen kannst.
> Wir (die Standardmathematik) sehen die obere Aussage als
> richtig an, die untere dagegen nicht.
Wenn M eine unendliche Menge ist (die m duerfen endlich sein),
sehe ich das genauso. Was folgt aber aus der ersten Aussage fuer
unser Problem? (s. anschliessend)
>
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
> > das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
> > erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
> > erreichen.
>
> Das ist genau so eine Verwechselung.
>
> \forall k \in N : \exists n \in N : k < n
> \exists n \in N : \forall k \in N : k < n
Die zweite Aussage ist falsch.
Was folgt aus der ersten Aussage in unserem Fall?
Es gibt beliebig viele k, die man in endlich vielen Schritten
erreichen kann. Zu jedem k kann man ein n > k angeben. n ist
von k aus in endlich vielen Schritten erreichbar und folglich
auch von 0 aus. Du kannst kein n angeben, fuer das das nicht gilt.
Also gilt die Aussage fuer alle Elemente der Menge.
Zumindest gilt sie fuer alle Elemente, die man nennen kann und die
man mit der Nachfolgerelation erreichen kann. Man kann nicht
ausschliessen, dass es auch Elemente gibt, die grundsaetzlich nicht
erreichbar sind. Dass eine mit dem Unendlichkeitsaxiom definierte
unendliche Menge solche Elemente tatsaechlich enthaelt, habe ich
bereits mehrmals erwaehnt. Ich gehe auch im Parallelposting zu
diesem (Antwort an Horst Kraemer) noch einmal kurz darauf ein.
Was folgt aus der zweiten Aussage?
Wenn k die Anzahl der natuerlichen Zahlen bedeutet, kann man kein
n angeben, das die Bedingung erfuellt. Also gibt es unendlich viele
natuerliche Zahlen. Unendlich viele Zahlen kann man aber nicht in
endlich vielen Schritten erreichen. Also haben wir bereits einen
ersten Widerspruch zu der Aussage, dass man JEDES k in endlich
vielen Schritten erreichen kann.
Wenn k die Anzahl der zur Darstellung der nat. Zahlen benoetigten
Stellen bedeutet, kann man ebenfalls kein n angeben, das die
Bedingung erfuellt. Also ist auch sie unendlich gross.
Das haben einige Diskussionsteilnehmer bestaetigt und ich nehme an,
dass du dem ebenfalls zustimmst.
Wenn nun die Aussage, dass man unendlich viele Stellen zur Darstellung
aller natuerlichen Zahlen braucht einen Sinn haben soll, muss es auch
einzelne Zahlen geben, zu deren Darstellung man unendlich viele Stellen
braucht. Denn es ist doch nicht so, dass man zur Darstellung einiger
Zahlen nur die ersten xxx Stellen braucht, fuer andere Zahlen _nur_ die
naechsten yyy ohne die ersten xxx Stellen und fuer wieder andere _nur_
die naechsten zzz Stellen. Sondern wenn die ersten k-1 Stellen verbraucht
sind, so dass man zur Darstellung der naechst groesseren Zahl auch die
Stelle k braucht, hat diese Zahl k Stellen (und nicht nur die eine k-te
Stelle). Das gilt fuer alle k. Da es keine obere Schranke fuer k gibt,
muss es auch natuerliche Zahlen mit unbegrenzt vielen Stellen geben.
Du kannst kein n angeben, so dass gilt: es gibt keine Zahl k, die
_nicht_ mehr als n Stellen hat.
Das gleiche Resultat liefern auch die Gleichungen, die ich angegeben
habe. In binaerer Schreibweise kann man mit s Stellen genau z = 2^s
Zahlen darstellen. Solange s endlich ist, erhaelt man auch nur
endlich viele Zahlen. Will man unendlich viele Zahlen haben, benotigt
man auch unendlich viele Stellen, und zwar zur Darstellung _einzelner_
Zahlen, nicht fuer alle Zahlen, denn einige kommen auch mit weniger aus.
Hier sehe ich den Widerspruch und der hat nichts mit einer Verwechslung
deiner beiden Aussagen zu tun.
>
> Auch wenn du dies bisher hartnäckig ignorierst:
> Nenne uns doch mal bitte deine Axiome (bzw. die Axiome,
> aus denen du Widersprüche herleiten willst).
Ich sehe nicht, dass man zur Herleitung dieses Widerspruchs spezielle
Axiome braucht, es reicht elementare Mathematik.
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> Dieter, Du scheinst drei Dinge zu verwechseln:
> Die Begriffe "endlich", "unendlich" und "beliebig".
>
> Du definierst Deine Strichmenge S wie folgt:
> | element S
> wenn x element S dann ist auch x| element S.
>
> Du kannst zu jedem Element Deiner Menge genau eine natuerliche Zahl angeben,
> die die Anzahl der Striche angibt. Diese Anzahl ist _beliebig gross_, aber
> nicht unendlich!
Ich sage nicht, die Anzahl der natuerlichen Zahlen ist endlich oder
unendlich, sondern es besteht die Alternative: Entweder unendlich
viele natuerliche Zahlen und dann auch Zahlen mit unendlich vielen
Strichen, oder nur Zahlen mit endlich vielen Strichen und dann auch
nur endlich viele Zahlen. Diese Alternative stellt sich so nur, wenn
die unendliche Menge wie in der Mengenlehre als Menge und nicht als
Mengenfogle definiert ist.
Den Ausdruck "beliebig gross" darf man nach meiner Meinung in diesem
Zusammenhang nicht verwenden, weil dadurch die Vorstellung von einer
offenen Menge, also einer Menge, die keine feste Anzahl von Elementen
hat, ins Spiel gebracht wird. Die Mengenlehre kennt aber keine offenen
Mengen sondern nur Mengen mit konstanter Anzahl von Elementen. Wenn man
einer Menge noch ein Element hinzufuegt, erhaelt man eine neue Menge.
Wenn man dies beliebig oft tun kann, erhaelt man eine unbegrenzte
Mengenfolge aber keine Menge, die alle Mengen enthaelt. Das
Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz all dieser Mengen voraus.
Das fuehrt zu Widerspruechen, so auch zu dieser Alternative.
Die Struktur der Mengenfolge, jetzt also Menge, aendert sich durch
das Unendlichkeitsaxiom ja nicht. Man kann sie daher jederzeit
schrittweise erneut nachvollziehen, da nach Voraussetzung alle
Elemente mit der Nachfolgerelation erreichbar sind. Wenn M mit
dem Unendlichkeitsaxiom definiert ist, kann man den Elementen m_k
von M schrittweise folgen und bei jedem Schritt eine neue Menge
definieren. Unsere Strichmengen kann man sich so entstanden denken.
Das gleiche geschieht bei jeder Bijektion. Ob man sich vorstellt,
dass die Elemente der beiden Mengen, die aufeinander abgebildet
werden, alle gleichzeitig abgebildet werden oder mit einer
Geschwindigkeit, die gegen unendlich geht, schrittweise nacheinander,
sollte doch kein Unterschied sein. Bzw. wenn es doch Unterschiede
gibt, zeigen sie, was durch das Unendlichkeitsaxiom beim Uebergang
von einer Mengenfolge zu einer Menge neu hinzugekommen ist.
>
> Versuch es Dir folgendermassen vorzustellen:
> Alle Mengen, die innerhalb dieser Diskussion bisher gegeben wurden waren
> isomorph zu N. D.h eine Betrachtung von N reicht aus.
>
> Du baust eine Strasse. Diese Strasse ist zum Zeitpunkt 0 genau 0m lang. Zum
> Zeitpunkt 1 einen Meter usw.
> Wenn Du jetzt bis in alle Ewigkeit baust, dann wirst Du unendlich lange an
> Deiner Strasse bauen, aber sie wird _immer_! (D.h. zu jedem _beliebigen_
> Zeitpunkt einen Anfang haben (Da, wo Du angefangen hast zu bauen) und sie
> wird _immer_ ein Ende haben (Da, wo Du gerade mit Deiner Strassenbaumaschine
> bist). D.h. sie ist zu jedem _beliebigen_ Zeitpunkt endlich! Wenn Du
> unendlich lange an ihr baust, heisst das nicht, dass Du fertig bist, wenn
> die Strasse unendlich lang ist, es heisst, dass Du niemals fertig wirst!
Das entspricht meiner Vorstellung von einer durch eine Nachfolgerelation
geordneten unendlichen Menge. Ich habe sie deshalb in einem frueheren
Thread als unfertige oder offene Menge bezeichnet. Da die Mengenlehre
diesen Ausdruck nicht verwendet, muesste man von einer Mengenfolge
sprechen. N ist aber als _Menge_ definiert. Sie muss also fertig sein,
so dass man nichts mehr hinzufuegen kann. Daraus ergeben sich die
Probleme, ueber die wir schon so lange diskutieren.
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> > Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> > Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> > endlich vielen Strichen endlich ist.
>
> D.h. die Summe über alle Zahlen aus IN ist in IN enthalten?
> Sei n nun diese Zahl, warum ist n < m:=n+1?
Wie das funktionieren soll wuesste ich auch gerne. Deshalb nehme
ich ja an, dass N keine Menge sondern eine unbegrenzte, beliebig
erweiterbare Mengenfolge ist. Dann stellt sich die Frage nach
_allen_ Zahlen nicht. Wenn aber N als Menge definiert ist, der
nichts mehr hinzuzufuegen ist, muessen auch Operationen mit
_allen_ Zahlen moeglich sein, was ja z. B. bei der Definition der
Potenzmenge von N auch geschieht. Konsequenterweise sollte auch
die Summe _aller_ Zahlen in N moeglich sein. Diese kann aber nicht
in N enthalten sein. Also muesste es eine obere Grenze fuer die
Anzahl der Summanden geben. Kannst du sie nennen?
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
> Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
> die unendliche Folge
>
> {1,10,100,1000,....}
>
> _nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
Ich sehe weder unendlich _viele_ Zweierpotenzen noch solche mit
unendlich vielen Stellen. Ich sehe nur, dass die Anzahl der
Zweierpotenzen zwischen den Klammern nicht groesser ist als
die Stellenzahl einer dieser Zweierpotenzen. Daraus kann ich
"sofort sehen", dass die Stellenzahl wenigstens einer Zweierpotenz
unendlich sein muss, wenn die Anzahl der Zweierpotenzen unendlich
sein sollte. Oder gibt es in der Folge der Zweierpotenzen eine
Stelle, an der sich dieser Zusammenhang aufloest? Das waere eine
neue Situation.
>
> Anscheinend bedeutet "ist sofort zu sehen" fuer Dich etwas anderes als
> fuer fast alle anderen... Trotzdem wuerde es mich natuerlich
> interessieren, wie es Dir gelingt, in dieser Liste Zahlen mit
> unendlich vielen Stellen zu "sehen", wenn die Definition dieser Liste
> wie folgt lautet.
>
> Diese Liste ist die kleinste Liste mit den folgenden Eigenschaften:
>
> 1 ist Element der Liste.
> Wenn ein Ding zur Liste gehoert, gehoert auch das um eine 0
> verlaengerte Ding zur Liste.
>
> Ich kann nicht erkennen, woraus man hier folgern kann, dass die Liste
> auch Elemente mit unendlich vielen Nullen enthaelt.
Ich nehme an, dass die Liste in Zeilen angeordnet ist und in jeder
Zeile ein Ding steht. Die Zeile 0 enthaelt die 1.
Man kann zwei Aussagen machen:
1. Wenn man vom Anfang der Liste bis zur Zeile z geht und die Dinge
zaehlt, die die Liste bis einschliesslich der Zeile z enthaelt, erhaelt
man z Dinge, wenn man das Ding in Zeile 0 nicht mitzaehlt. Das gilt
fuer alle z, weil jede Zeile genau ein Ding enthaelt.
Wenn man vergessen hat mitzuzaehlen und nicht zum Anfang der Liste
zurueckkehren will, kann man auch die Anzahl s der Nullen des Dings
in Zeile z zaehlen. Es ist naemlich z = s. Es spielt also keine Rolle,
ob man die Zeilen oder die Nullen in Zeile z zaehlt. Man kann die
Anzahl der Nullen als Zeilennummern verwenden.
2. Die Liste hat kein Ende. Man kann daher die Zahl der Zeilen (= Dinge)
und der Nullen des laengsten Dings, das es in dieser Liste nicht gibt,
weil es keine letzte Zeile gibt, nicht angeben.
Hier kommt der Begriff Unendlich ins Spiel. Mathematisch geht man so vor:
Um festzustellen, ob die Anzahl der Zeilen endlich oder unendlich ist,
versucht man eine Zahl n zu finden, so dass fuer alle z gilt z < n
oder z = n. Wenn das gelingt, ist die Anzahl der Zeilen endlich sonst
unendlich. Genauso pruefe ich, ob die Liste Dinge mit unendlich
vielen Nullen enthaelt. Wuerde sie nur Dinge enthalten, so dass fuer
alle s gilt s < n oder s = n, waere die Liste endlich, sie wuerde dann
maximal n Dinge enthalten. Folglich muss sie mindestens ein Ding
enthalten, fuer dessen s sich die Bedingung nicht erfuellen laesst.
Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
_______
Anmerkung: Oft werden die Liste (= Menge der Zeilen) und die Menge
der Dinge (= Anzahl der Zweierpotenzen) einerseits und andererseits
die Anzahl der Nullen, die zur Darsellung der Dinge (= Zweierpotenzen)
benoetigt werden unterschiedlich interpretiert.
Der Ausdruck "Menge der Dinge" lenkt die Aufmerksamkeit weniger
auf die einzelnen Dinge als auf den Oberbegriff "Menge", der
immer derselbe bleibt und sich bei jedem Schritt nur vergroessert.
Bei der Menge der Nullen, die zur Darstellung der Dinge dienen,
kommt bei jedem Schritt ein neues Ding hinzu, dessen Nullenzahl
sich dann nicht mehr veraendert. Das einzelne Ding nimmt also
nicht am Grenzprozess teil und bleibt endlich. Dadurch entsteht
der Eindruck, dass zwar die Anzahl der Dinge unendlich werden
kann, dass aber trotzdem jedes Ding nur endlich viele Nullen hat.
Dieser Unterschied ist jedoch nur eine Frage der Darstellung.
Mengentheoretisch ist die "Menge der Dinge"
D = {1,10,100,1000,...}
waehrend des Grenzprozesses ohnehin keine Menge sondern eine Folge
von Mengen D_0 = {1}, D_1 = {1,10}, D_2 = {1,10,100}, ...
Keine dieser Mengen nimmt am Grenzprozess teil, sie bleiben alle
endlich. Trotzdem zweifelt (fast) niemand an der Existenz der
Menge D und daran, dass sie unendlich viele Elemente enthaelt.
Das Ding d = {10000000....} entsteht auf die gleiche Weise
aus der Folge d_0 = {1}, d_1 = {10}, d_2 = {100}, ..., seine
Entstehung ist sogar in jedem Schritt an die Entstehung von D
gekoppelt. Warum sollte also d nicht unendlich viele Elemente
enthalten?
Statt von links nach rechts kann man die Nullen von d auch von
oben nach unten schreiben. Dann kann man d in eine Spalte der
obigen Liste neben den Dingen aufschreiben. Die Zahl der Elemente
von d geht im Gleichschritt mit der Anzahl der Dinge unserer
Liste gegen unendlich. Parallel zur Folge D_k erhaelt man die Folge d_k.
Dabei ist d_k stets auch ein Element von D_k. Der Grenzwert D der
Folge D_k wird nur erreicht, wenn auch der Grenzwert d der Folge d_k
erreicht wird und selbst Element von D ist.
_______
Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff gilt: Unendlich ist
eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
anstellen kann. Unendlich bedeutet hier beliebig gross, so dass
man keinen endlichen Grenzwert angeben kann. Man kann nicht
sagen _wie_ gross die Anzahl der Elemente wird, so dass man keine
Zahl und folglich auch keine Stellenzahl fuer diese Zahl angeben
kann. Eine unendliche Folge ist hier keine Menge sondern eine
unbegrenzte, beliebig vergroesserbare Folge von Mengen.
Statt zu sagen, die Liste und die Anzahl der in ihr enthaltenen
Dinge _sind_ unendlich, waere es korrekter zu sagen, sie streben
gegen unendlich ohne dieses Unendlich je zu erreichen. Wenn man
akzeptiert, dass die unendliche Folge unserer oben definierten Dinge
ein unfertiges Gebilde ist, ist man nicht genoetigt, anzunehmen,
das sie Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthaelt. Allerdings
ist dann auch die Anzahl der Dinge nicht unendlich sondern beliebig
gross wie es auch einzelne Zahlen mit beliebig vielen Stellen gibt.
Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
werden muss. Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
Ob eine unendliche Menge von Mengen auch unendliche Mengen enthaelt,
laesst sich nicht durch Herausgreifen einzelner Mengen feststellen,
denn aus der Tatsache, dass einige Mengen endlich sind folgt nicht,
dass das fuer alle gilt. Die Frage laesst sich daher nur durch eine
logische Ueberlegung indirekt endscheiden. In unserem Beispiel
zeigt sich, dass die Menge der Dinge nur unendlich sein kann,
wenn sie wenigstens eine unendliche Menge (ein Ding mit einer
unendlichen Menge Nullen) enthaelt. Wenn sie nur Dinge mit endlich
vielen Nullen enthaelt, ist die Liste nur eine unbegrenzte Mengen-
folge aber keine unendliche Menge.
______
*) Koennen Mengenfolgen bei dieser Definition ueberhaupt unendlich
sein oder sind sie dann nicht bereits wieder unendliche Mengen
oder zumindest Klassen? Wenn man trotzdem von unendlichen
Mengenfolgen spricht, macht man doch stillschweigend vom
mathematischen Unendlichkeitsbegriff Gebrauch, oder?)
______
Soweit meine Sicht des Problems. Ich fuege noch eine Ueberlegung an.
Durch Vorgabe einer beliebigen Zahl k aus N wird N in zwei disjunkte
Teilmengen N_k und C_k geteilt. N_k enthaelt alle Zahlen von 0 bis k,
C_k alle Zahlen groesser k.
Mich interessiert jetzt nicht die Menge _aller_ N_k oder C_k, auch
nicht eine eventuelle Grenzmenge, sondern nur die Teilmenge der N_k,
die man durch Herausgreifen von beliebigen k erhaelt. Es faellt auf,
dass diese N_k immer endlich und die zugehoerigen C_k immer unendlich
sind. Man kann keine einzige Zahl k nennen, fuer die das nicht gilt.
Man hat also nur Zugriff auf eine endliche Teilmenge aller Zahlen.
Diese Teilmenge kann zwar beliebig gross sein, da sie aber immer endlich
ist, kann man grundsaetzlich nicht auf alle Zahlen zugreifen.
Diese beliebig herausgegriffenen Zahlen sind daher nicht repraesentativ
fuer alle Zahlen, man kann von ihren Eigenschaften nicht auf die
Eigenschaften aller Zahlen schliessen. Aus der Tatsache, dass man
bei diesem beliebigen Herausgreifen nur Zahlen mit endlich vielen
Stellen erwischt, kann man also nicht schliessen, dass es nur solche
gibt.
Gruss Dieter
Holger Gollan
>
> Horst Kraemer schrieb am 16. Juli 07:39 GMT:
>
> >
> > Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
> > Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
> > die unendliche Folge
> >
> > {1,10,100,1000,....}
> >
> > _nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
>
> Ich sehe weder unendlich _viele_ Zweierpotenzen noch solche mit
> unendlich vielen Stellen. Ich sehe nur, dass die Anzahl der
Siehst Du etwa nur endlich viele Zweierpotenzen?
> Zweierpotenzen zwischen den Klammern nicht groesser ist als
> die Stellenzahl einer dieser Zweierpotenzen. Daraus kann ich
Das kannst Du aber doch nur fuer endliche Teilmengen dieser Mengen
sehen, oder?
> "sofort sehen", dass die Stellenzahl wenigstens einer Zweierpotenz
> unendlich sein muss, wenn die Anzahl der Zweierpotenzen unendlich
Das mit dem "sofort sehen" ist so eine Sache. Das klingt mir doch stark
nach dem "Erkenntnisproblem" an anderer Stelle in dieser newsgroup. Da
es hier aber eigentlich um Wissenschaft und Mathematik geht, waeren
Beweise vielleicht doch sinnvoller.
> sein sollte. Oder gibt es in der Folge der Zweierpotenzen eine
> Stelle, an der sich dieser Zusammenhang aufloest? Das waere eine
> neue Situation.
Vielleicht loest sich dieser Zusammenhang ja gerade beim Uebergang vom
Endlichen zum Unendlichen auf. Du musst zwei Dinge auseinander halten:
Auf der einen Seite die Stellenzahl einer einzelnen Zahl, auf der
anderen Seite Aussagen ueber die Menge _aller_ Zahlen.
Nur um das festzuhalten: Du stimmst also darin ueberein, dass die Liste
kein Ende hat, also unendlich ist, es also unendlich viele natuerliche
Zahlen gibt.
> Hier kommt der Begriff Unendlich ins Spiel. Mathematisch geht man so vor:
> Um festzustellen, ob die Anzahl der Zeilen endlich oder unendlich ist,
> versucht man eine Zahl n zu finden, so dass fuer alle z gilt z < n
> oder z = n. Wenn das gelingt, ist die Anzahl der Zeilen endlich sonst
> unendlich. Genauso pruefe ich, ob die Liste Dinge mit unendlich
> vielen Nullen enthaelt. Wuerde sie nur Dinge enthalten, so dass fuer
> alle s gilt s < n oder s = n, waere die Liste endlich, sie wuerde dann
> maximal n Dinge enthalten. Folglich muss sie mindestens ein Ding
> enthalten, fuer dessen s sich die Bedingung nicht erfuellen laesst.
> Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
> in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
>
Ich gehe mal davon aus, dass Du mit s die Anzahl der Nullen meinst.
Zunaechst einmal sei gesagt, dass die beiden Betrachtungen eben nicht
identisch sind. Bei der Frage nach der Laenge der Liste geht es um die
Anzahl der Elemente (Zeilen) insgesamt, bei der Frage nach der Anzahl
der Stellen geht es jeweils um die Anzahl der Stellen (Nullen) innerhalb
einer Zeile. (Wir sind uns ja schon einig, dass man insgesamt unendlich
viele Stellen (Nullen) benoetigt, und das genau deshalb, weil man
unendlich viele Zeilen hat.)
Uebrigens kann man die Unendlichkeit der Anzahl der Zeilen auch anders
beweisen, naemlich per Widerspruch. Die Annahme, dass es nur endlich
viele Zeilen gaebe, fuehrt dazu, dass es eine letzte geben muss, was
wegen der Konstruktionsvorschrift nicht sein kann.
Nun aber zu Deinem "Beweis": Du hast Recht mit der Aussage, dass es kein
n gibt, so dass fuer alle Zeilen die Anzahl s der Nullen kleiner oder
gleich n ist. Formal: Es gibt kein n, so dass fuer alle Zeilen. Daraus
folgt, dass es zu jedem n eine Zeilen mit mehr als n Nullen geben muss.
(Und wie gesagt, dies ist nur eine Aussage ueber einzelne Zeilen, nicht
ueber die Gesamtheit aller Zeilen.) Daraus folgt aber nicht, dass es
eine Zeile mit unendlich vielen Nullen geben muss. Zumindest "sehe" ich
das nicht.
> _______
> Anmerkung: Oft werden die Liste (= Menge der Zeilen) und die Menge
> der Dinge (= Anzahl der Zweierpotenzen) einerseits und andererseits
> die Anzahl der Nullen, die zur Darsellung der Dinge (= Zweierpotenzen)
> benoetigt werden unterschiedlich interpretiert.
> Der Ausdruck "Menge der Dinge" lenkt die Aufmerksamkeit weniger
> auf die einzelnen Dinge als auf den Oberbegriff "Menge", der
> immer derselbe bleibt und sich bei jedem Schritt nur vergroessert.
> Bei der Menge der Nullen, die zur Darstellung der Dinge dienen,
> kommt bei jedem Schritt ein neues Ding hinzu, dessen Nullenzahl
> sich dann nicht mehr veraendert. Das einzelne Ding nimmt also
> nicht am Grenzprozess teil und bleibt endlich. Dadurch entsteht
> der Eindruck, dass zwar die Anzahl der Dinge unendlich werden
> kann, dass aber trotzdem jedes Ding nur endlich viele Nullen hat.
>
Und was ist so falsch an diesem Eindruck?
> Dieser Unterschied ist jedoch nur eine Frage der Darstellung.
> Mengentheoretisch ist die "Menge der Dinge"
> D = {1,10,100,1000,...}
> waehrend des Grenzprozesses ohnehin keine Menge sondern eine Folge
> von Mengen D_0 = {1}, D_1 = {1,10}, D_2 = {1,10,100}, ...
> Keine dieser Mengen nimmt am Grenzprozess teil, sie bleiben alle
> endlich. Trotzdem zweifelt (fast) niemand an der Existenz der
> Menge D und daran, dass sie unendlich viele Elemente enthaelt.
> Das Ding d = {10000000....} entsteht auf die gleiche Weise
> aus der Folge d_0 = {1}, d_1 = {10}, d_2 = {100}, ..., seine
> Entstehung ist sogar in jedem Schritt an die Entstehung von D
> gekoppelt. Warum sollte also d nicht unendlich viele Elemente
> enthalten?
>
Weil das Ding d jeweils nach endlich vielen Schritten endgueltig
erreicht wurde. Wenn ueberhaupt, dann muesstest Du nach dem Grenzwert
der immer neu konstruierten Dinge (Zahlen) fragen, sozusagen nach lim n
fuer n -> oo
Vielleicht noch einmal ein paar Fragen in diesem Zusammenhang, deren
Antworten uns vielleicht einen Schritt weiter bringen:
1) Jedes D_i ist eine endliche Menge, oder?
2) Es gibt unendlich viele D_i, da es sich um eine unendliche Folge
handelt, und per Konstruktion die einzelnen D_i voneinander verschieden
sind.
3) Es ist D gleich der Vereinigung der D_i.
4) Damit ist D eine unendliche Menge.
5) Jedes Element von D muss in einem der D_i enthalten sein, ist also
endlich.
6) Es gibt unendlich viele endliche Dinge.
> Statt von links nach rechts kann man die Nullen von d auch von
> oben nach unten schreiben. Dann kann man d in eine Spalte der
> obigen Liste neben den Dingen aufschreiben. Die Zahl der Elemente
> von d geht im Gleichschritt mit der Anzahl der Dinge unserer
> Liste gegen unendlich. Parallel zur Folge D_k erhaelt man die Folge d_k.
> Dabei ist d_k stets auch ein Element von D_k. Der Grenzwert D der
> Folge D_k wird nur erreicht, wenn auch der Grenzwert d der Folge d_k
> erreicht wird und selbst Element von D ist.
>
Und hier haben wir ja schon den passenden Grenzwert! Vielleicht sollte
man erst einmal ueber eine Theorie der Grenzwerte bei Mengen allgemein
nachdenken, bevor man hier solche Betrachtungen macht.
_______
>
> Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff gilt: Unendlich ist
> eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
> einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
Wie waere es mit: Unendlich ist alles, was nicht endlich ist? Wieso
benoetigt man zur Definition von Unendlichkeit Grenzwertbetrachtungen?
Gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen?
> anstellen kann. Unendlich bedeutet hier beliebig gross, so dass
> man keinen endlichen Grenzwert angeben kann. Man kann nicht
> sagen _wie_ gross die Anzahl der Elemente wird, so dass man keine
> Zahl und folglich auch keine Stellenzahl fuer diese Zahl angeben
> kann. Eine unendliche Folge ist hier keine Menge sondern eine
> unbegrenzte, beliebig vergroesserbare Folge von Mengen.
> Statt zu sagen, die Liste und die Anzahl der in ihr enthaltenen
> Dinge _sind_ unendlich, waere es korrekter zu sagen, sie streben
> gegen unendlich ohne dieses Unendlich je zu erreichen. Wenn man
> akzeptiert, dass die unendliche Folge unserer oben definierten Dinge
> ein unfertiges Gebilde ist, ist man nicht genoetigt, anzunehmen,
> das sie Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthaelt. Allerdings
> ist dann auch die Anzahl der Dinge nicht unendlich sondern beliebig
> gross wie es auch einzelne Zahlen mit beliebig vielen Stellen gibt.
>
Im Allgemeinen meint man mit "beliebig gross" bzw. "beliebig viel" immer
endliche Dinge. Die Frage bzgl. Deines obigen Beispiels ist doch, wie
gross die Anzahl der Stellen in einem D_k sein kann. Und da lautet die
Antwort: Beliebig gross, aber auf jeden Fall endlich. Und die zweite
Frage ist, wie viele solcher D_k es gibt. Und da lautet die Antwort:
Unendlich viele, im Sinne von nicht nur endlich viele. Deine beiden
"Beliebigkeiten" meinen also unterschiedliche Dinge.
Ausserdem verstehe ich nicht, wieso Deine oben angrebrachte
Argumentation, dass es Dinge mit unendlich vielen Stellen geben muss, in
dieser Betrachtungsweise nicht auch angewendet werden kann.
> Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
> Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
> voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
> werden muss. Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
Natuerlich kann jede beliebige Menge eventuell auch unendlich sein, wenn
man denn die Existenz unendlicher Mengen zulaesst. Aber die natuerlichen
Zahlen sind per Konstruktion auf jeden Fall endlich, und da kann auch
die pure Existenz unendlicher Mengen nichts dran aendern.
> Ob eine unendliche Menge von Mengen auch unendliche Mengen enthaelt,
> laesst sich nicht durch Herausgreifen einzelner Mengen feststellen,
> denn aus der Tatsache, dass einige Mengen endlich sind folgt nicht,
> dass das fuer alle gilt. Die Frage laesst sich daher nur durch eine
> logische Ueberlegung indirekt endscheiden. In unserem Beispiel
> zeigt sich, dass die Menge der Dinge nur unendlich sein kann,
> wenn sie wenigstens eine unendliche Menge (ein Ding mit einer
> unendlichen Menge Nullen) enthaelt. Wenn sie nur Dinge mit endlich
> vielen Nullen enthaelt, ist die Liste nur eine unbegrenzte Mengen-
> folge aber keine unendliche Menge.
Noch einmal als Vorschlag: Betrachte doch einmal die Vereinigungsmenge
aller Mengen in Deiner Mengenfolge!
Das ist schon richtig. Man kann aber trotzdem Aussagen ueber alle
natuerlichen Zahlen machen, und diese auch beweisen.
Ausserdem hast Du nur eine Moeglichkeit angegeben, Teilmengen von N zu
beschreiben. Wer sagt denn, dass es nicht andere Moeglichkeiten gibt,
mit denen man auch unendliche Teilmengen beschreiben kann? Wie waere es
mit der Menge aller geraden Zahlen, der Menge aller Zahlen > 10?
Nur weil eine bestimmte Konstruktion nur endliche Teilmengen liefert,
folgt daraus noch lange nicht, dass man nicht auch unendliche Teilmengen
konstruieren kann.
Holger Gollan
Ich denke, hier handelt es sich vor allem um ein Problem der deutschen
Sprache und ihrer Interpretation. Man kann obigen Satz halt lesen als
"Ich kann mit endlich vielen Schritten alle Zahlen entfernen".
und das interpretieren viele Leute hier als: Nach endlich vielen
Schritten habe ich alle Zahlen erreicht. Was bedeuten soll, dass es eine
gleichzeitige Schranke fuer alle Zahlen gibt. Oder man kann ihn lesen
als
"Ich kann alle Zahlen mit endlich vielen Schritten entfernen".
was nur fuer jede einzelne Zahl die Existenz einer endlichen Schranke
verlangt. Weiter unten scheinst auch Du zuzustimmen, dass die erste
Interpretation falsch ist und auch aus den anderen Aussagen nicht folgt.
Endlich mal Einigkeit, ist das nicht schoen?
> >
> > > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
> > > das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
> > > erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
> > > erreichen.
> >
> > Das ist genau so eine Verwechselung.
> >
> > \forall k \in N : \exists n \in N : k < n
> > \exists n \in N : \forall k \in N : k < n
>
> Die zweite Aussage ist falsch.
> Was folgt aus der ersten Aussage in unserem Fall?
> Es gibt beliebig viele k, die man in endlich vielen Schritten
> erreichen kann. Zu jedem k kann man ein n > k angeben. n ist
> von k aus in endlich vielen Schritten erreichbar und folglich
> auch von 0 aus. Du kannst kein n angeben, fuer das das nicht gilt.
> Also gilt die Aussage fuer alle Elemente der Menge.
> Zumindest gilt sie fuer alle Elemente, die man nennen kann und die
> man mit der Nachfolgerelation erreichen kann. Man kann nicht
> ausschliessen, dass es auch Elemente gibt, die grundsaetzlich nicht
> erreichbar sind. Dass eine mit dem Unendlichkeitsaxiom definierte
> unendliche Menge solche Elemente tatsaechlich enthaelt, habe ich
> bereits mehrmals erwaehnt. Ich gehe auch im Parallelposting zu
> diesem (Antwort an Horst Kraemer) noch einmal kurz darauf ein.
>
Und was ist mit der Menge aller Zahlen, die man per Nachfolgerelation
erreichen kann? Dann hat man doch explizit festgelegt, dass es keine
anderen Elemente mehr geben kann, oder?
> Was folgt aus der zweiten Aussage?
> Wenn k die Anzahl der natuerlichen Zahlen bedeutet, kann man kein
k ist eine natuerliche Zahl, also kann k nicht die Anzahl der
natuerlichen Zahlen sein.
> n angeben, das die Bedingung erfuellt. Also gibt es unendlich viele
> natuerliche Zahlen. Unendlich viele Zahlen kann man aber nicht in
Ich dachte, darin waeren wir uns so langsam einig.
> endlich vielen Schritten erreichen. Also haben wir bereits einen
> ersten Widerspruch zu der Aussage, dass man JEDES k in endlich
> vielen Schritten erreichen kann.
>
Man kann unendlich viele Zahlen nicht gleichzeitig in endlich vielen
Schritten erreichen. Das heisst aber nicht, dass man nicht jedes
einzelne k fuer sich in endlich vielen Schritten erreichen kann. Das
genau ist der springende Punkt!
Und noch einmal:
Jedes einzelne k ist in endlich vielen Schritten erreichbar, d.h. fuer
jedes k gibt es eine endliche Anzahl von Schritten, die von dem
gewaehlten k abhaengt und fuer verschiedene k verschieden gross sein
kann.
Das ist gleichbedeutend damit, dass es kein k gibt, dass man nicht in
endlich vielen Schritten erreichen kann.
Das heisst aber nicht, dass es eine feste endliche Anzahl von Schritten
gibt, in der man alle k erreicht. Denn die fuer ein festes k benoetigte
Anzahl der Schritte haaengt von dem k ab und kann mit wachsendem k
ebenfalls wachsen.
Vielleicht noch einmal ein Beispiel: Betrachte die Menge aller
10er-Potenzen, also M = { 10^0 , 10^1 , 10^2 , 10^3 , ... }
Dann hat die Zahl 10^k k+1 Stellen. Also besitzt jede Zahl in M endlich
viele Stellen. Das heisst, dass es keine Zahl in M gibt, die nicht
endlich viele, als unendlich viele Stellen besitzt. Das heisst aber
nicht, dass es eine Stellenzahl gibt, so dass die Stellenzahl eines
jeden Elements von M unterhalb dieser Schranke ist.
Ich sehe einfach keinen logischen Grund fuer Deine Schlussfolgerung.
> Wenn k die Anzahl der zur Darstellung der nat. Zahlen benoetigten
> Stellen bedeutet, kann man ebenfalls kein n angeben, das die
> Bedingung erfuellt. Also ist auch sie unendlich gross.
> Das haben einige Diskussionsteilnehmer bestaetigt und ich nehme an,
> dass du dem ebenfalls zustimmst.
>
> Wenn nun die Aussage, dass man unendlich viele Stellen zur Darstellung
> aller natuerlichen Zahlen braucht einen Sinn haben soll, muss es auch
> einzelne Zahlen geben, zu deren Darstellung man unendlich viele Stellen
> braucht. Denn es ist doch nicht so, dass man zur Darstellung einiger
> Zahlen nur die ersten xxx Stellen braucht, fuer andere Zahlen _nur_ die
> naechsten yyy ohne die ersten xxx Stellen und fuer wieder andere _nur_
> die naechsten zzz Stellen. Sondern wenn die ersten k-1 Stellen verbraucht
Jede einzelne Stellenzahl ist endlich, nur die Menge aller Stellenzahlen
besitzt keine obere Schranke. Daher macht Deine obige Argumentation
wenig Sinn, da niemand behauptet hat, dass er fuer die Darstellung einer
einzelnen Zahl unendlich viele Stellen benoetigt.
> sind, so dass man zur Darstellung der naechst groesseren Zahl auch die
> Stelle k braucht, hat diese Zahl k Stellen (und nicht nur die eine k-te
> Stelle). Das gilt fuer alle k. Da es keine obere Schranke fuer k gibt,
> muss es auch natuerliche Zahlen mit unbegrenzt vielen Stellen geben.
> Du kannst kein n angeben, so dass gilt: es gibt keine Zahl k, die
> _nicht_ mehr als n Stellen hat.
>
Ich verstehe es einfach nicht, und ich suche verzweifelt nach dem
Beispiel, der Erlaeuterung, die Dir die Augen oeffnet. Wenn wir die Null
mal aus dem Spiel lassen, dann kannst Du mit 1 Stelle 9 natuerlichen
Zahlen beschreiben (im Dezimalsystem). Mit 2 Stellen kannst Du 90
weitere Zahlen beschreiben, mit 3 Stellen 900 weitere, usw. Natuerlich
gibt es natuerlich Zahlen mit beliebig vielen Stellen (im Sinne von
beliebig gross aber endlich), aber wo ist das Argument, mit dem die
Existenz einer natuerlichen Zahl mit unendlich vielen Stellen folgt.
> Das gleiche Resultat liefern auch die Gleichungen, die ich angegeben
> habe. In binaerer Schreibweise kann man mit s Stellen genau z = 2^s
> Zahlen darstellen. Solange s endlich ist, erhaelt man auch nur
> endlich viele Zahlen. Will man unendlich viele Zahlen haben, benotigt
> man auch unendlich viele Stellen, und zwar zur Darstellung _einzelner_
> Zahlen, nicht fuer alle Zahlen, denn einige kommen auch mit weniger aus.
> Hier sehe ich den Widerspruch und der hat nichts mit einer Verwechslung
> deiner beiden Aussagen zu tun.
>
Das ist immer wieder der gleiche Argumentationsfehler: Mit jeder
endlichen Stellenzahl erhaelt man jeweils endlich viele natuerliche
Zahlen. (Natuerlich, und die Wahl des Stellensystems spielt dabei nun
ueberhaupt keine Rolle.) Aber wenn es unendlich viele endliche
Stellenzahlen gibt, kann man damit auch unendlich viele natuerliche
Zahlen darstellen, ihne dass eine einzige von ihnen unendlich viele
Stellen hat.
Kommen wir doch noch einmal zu einer alten Argumentationskette zurueck:
Angenommen, es gibt natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen.
Betrachte dann die Menge aller natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen
Stellen. Nach Annahme ist diese Teilmenge der natuerlichen Zahlen nicht
leer, besitzt also ein kleinstes Element. Dieses kleinste Element,
nennen wir es X, besitzt also unendlich viele Stellen. Was ist nun mit
X-1? Die Stellenanzahl muss endlich sein, da X-1 micht in der oben
ausgewaehlten Teilmenge liegen kann. Dann kann aber auch die
Stellenanzahl von X = (X-1) + 1 nur endlich sein, da die Stellenanzahl
bei Summation mit 1 nur maximal um 1 wachsen kann. Dieser Widerspruch
zeigt, dass es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen
geben kann.
Wo ist der Fehler in dieser Argumentationskette? Du hast zwar schon mal
geantwortet, aber dabei mit Deiner ueblichen Art und Weise versucht,
einen Nebenschauplatz aufzumachen, in dem Du versucht hast, mit einer
aehnlichen Argumentationskette etwas Sinnloses zu beweisen. Anscheinend
mit der Intention, damit die Argumentationskette als unsinnig
darzustellen. Nur hatte Dein "Beweis" einen leichten Fehler, so dass
meiner Meinung nach obige Argumentation immer noch Bestand hat. Es muss
doch eigentlich ein Leichtes sein, das Problem zu identifizieren, wenn
denn der Beweis wirklich falsch ist.
> >
> > Auch wenn du dies bisher hartnäckig ignorierst:
> > Nenne uns doch mal bitte deine Axiome (bzw. die Axiome,
> > aus denen du Widersprüche herleiten willst).
>
> Ich sehe nicht, dass man zur Herleitung dieses Widerspruchs spezielle
> Axiome braucht, es reicht elementare Mathematik.
>
Dann versuche doch bitte einmal einen logisch einwandfreien Beweis mit
elementaren Mitteln, den man problemlos nachvollziehen kann. Und nicht
philosophische Gedanken mit immer neuen Beispielen, die das eigentliche
Thema nur verschleiern.
Holger Gollan
>
> Sönke Müller-Lund schrieb am 16. Juli 10:39 h:
> >
> > > Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> > > Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> > > endlich vielen Strichen endlich ist.
> >
> > D.h. die Summe über alle Zahlen aus IN ist in IN enthalten?
> > Sei n nun diese Zahl, warum ist n < m:=n+1?
>
> Wie das funktionieren soll wuesste ich auch gerne. Deshalb nehme
Dann erklaere es ihm doch! Du sagst, dass die Menge aller Zahlen mit
endlich vielen Strichen endlich ist. Weiter sagst Du, dass damit auch
die Summe der Striche endlich ist. Daraufhin kommt die Frage, wie denn
diese Summe aussehen soll und wo sie in der Srichliste auftaucht. Statt
auf diese Frage, die sich aus Deiner Argumentation ergibt, zu antworten,
beginnst Du wieder mal ein neues Feld und tust so, als waere genau diese
Frage das Problem der Mengenlehre. abei handelt es sich aber gar nicht
um eine Frage zur allgemeinen Theorie der Mengenlehre, sondern um eine
Frage zu Deiner konkreten Argumentation. Und die kann niemand ausser Dir
beantworten.
> ich ja an, dass N keine Menge sondern eine unbegrenzte, beliebig
> erweiterbare Mengenfolge ist. Dann stellt sich die Frage nach
> _allen_ Zahlen nicht. Wenn aber N als Menge definiert ist, der
Heisst das eigentlich, dass ich nichts ueber _alle_ natuerlichen Zahlen
aussagen kann?
> nichts mehr hinzuzufuegen ist, muessen auch Operationen mit
> _allen_ Zahlen moeglich sein, was ja z. B. bei der Definition der
> Potenzmenge von N auch geschieht. Konsequenterweise sollte auch
> die Summe _aller_ Zahlen in N moeglich sein. Diese kann aber nicht
> in N enthalten sein. Also muesste es eine obere Grenze fuer die
> Anzahl der Summanden geben. Kannst du sie nennen?
>
Wenn man gewisse Dinge mit der Menge aller Zahlen machen kann, heisst
das noch lange nicht, dass man alles machen kann, was man sich nur
vorstellen kann. Die Summe von unendlich vielen Summanden ist nun mal
normalerweise nicht definiert, was uebrigens kein Problem der
Mengenlehre ist und auch nichts damit zu tun hat, ob man nun etwas ueber
alle Zahlen aussagen kann oder nicht.
Norbert Micheel
> Horst Kraemer schrieb am 16. Juli 07:39 GMT:
>
richtig.(der letzte Satz)
Nur lautet das dann nicht :
> Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
> in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
sondern:
"Es muss also ein Ding in der Liste geben, dessen Stellenzahl groesser n
ist."
und den Gedanken weiter gedacht:
Zu jedem n muss es so ein Ding geben, aber die Logik verlangt nicht, dass es
immer dasselbe Ding ist.
Deshalb kann die Liste sehr wohl unendlich viele Dinge enthalten, obwohl
jedes nur eine endliche Stellenzahl hat.
N
Paul Ebermann
> > Die Begriffe "endlich", "unendlich" und "beliebig".
> >
> > Du definierst Deine Strichmenge S wie folgt:
> > | element S
> > wenn x element S dann ist auch x| element S.
> >
> > Du kannst zu jedem Element Deiner Menge genau eine natuerliche Zahl angeben,
> > die die Anzahl der Striche angibt. Diese Anzahl ist _beliebig gross_, aber
> > nicht unendlich!
>
> Ich sage nicht, die Anzahl der natuerlichen Zahlen ist endlich oder
> unendlich, sondern es besteht die Alternative: Entweder unendlich
> viele natuerliche Zahlen und dann auch Zahlen mit unendlich vielen
> Strichen, oder nur Zahlen mit endlich vielen Strichen und dann auch
> nur endlich viele Zahlen. Diese Alternative stellt sich so nur, wenn
> die unendliche Menge wie in der Mengenlehre als Menge und nicht als
> Mengenfogle definiert ist.
Wir betrachten keine Mengen-Folgen, sondern nur Mengen.
Jede "endliche Liste von Strichen" repräsentiert ein Element
deiner Strichmenge.
> Den Ausdruck "beliebig gross" darf man nach meiner Meinung in diesem
> Zusammenhang nicht verwenden,
Dies soll hier bedeuten: bei beliebiger Wahl eines n aus N
kann man immer ein Element der Strichmenge finden, welches
noch mehr Striche hat. Diese neue Strichanzahl ist allerdings
immer noch endlich.
> weil dadurch die Vorstellung von einer
> offenen Menge, also einer Menge, die keine feste Anzahl von Elementen
> hat, ins Spiel gebracht wird. Die Mengenlehre kennt aber keine offenen
> Mengen sondern nur Mengen mit konstanter Anzahl von Elementen.
Wobei man "Anzahl" bitte nicht verstehen muss, als dürften
Mengen nur endlich sein. Es muss aber durch die Konstruktion
der Menge klar sein, welche Elemente dirn sind, und welche nicht.
Das kann man sich so vorstellen:
Ich habe eine Menge. Jeder darf kommen, mir ein beliebiges
(mathematisches) Objekt zeigen, und fragen: Ist das ein Element
deiner Menge? Und ich darf dann nur antworten: Ja oder Nein.
Dies muss ich anhand einer Konstruktionsvorschrift entscheiden
können. Wenn diese also aussagt:
"Meine Menge enthält die 0 enthält, und zu jedem Element
den Nachfolger, und sonst keine Elemente",
dann kann ich bei jeder natürlichen Zahl sagen: Ja.
Bei anderen Objekten (etwa bei der reellen Zahl pi, oder
bei 5/6) sage ich: Nein.
> Wenn man
> einer Menge noch ein Element hinzufuegt, erhaelt man eine neue Menge.
> Wenn man dies beliebig oft tun kann, erhaelt man eine unbegrenzte
> Mengenfolge aber keine Menge, die alle Mengen enthaelt.
Ich muss dazu keine Menge nehmen, und Elemente hinzufügen.
Ich sehe mir einfach meine Menge an, und entscheide,
ob das nachgefragte Objekt drin ist.
> Das
> Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz all dieser Mengen voraus.
> Das fuehrt zu Widerspruechen, so auch zu dieser Alternative.
Das Unendlichkeitsaxiom sagt nichts über die einzelnen
Mengen deiner Mengenfolge. Es sagt nur:
------
Es existiert eine _Menge_ M, so dass:
- die Menge {} (leere Menge) ein Element von M ist,
- zu jeder Menge k als Element von M auch k vereinigt
mit {k} ein Element von M ist.
------
Wo du hier einen Widersprich findest, ist mir immer
noch schleierhaft.
Dass diese Menge unendlich ist, muss natürlich
noch nachgewisen werden, dazu bedarf es aber einer
Definition für "unendliche Menge". Ich hatte dir
einmal einige solcher (äquivalenter) Definitionen
genannt, such dir eine aus.
> Die Struktur der Mengenfolge, jetzt also Menge, aendert sich durch
> das Unendlichkeitsaxiom ja nicht. Man kann sie daher jederzeit
> schrittweise erneut nachvollziehen, da nach Voraussetzung alle
> Elemente mit der Nachfolgerelation erreichbar sind. Wenn M mit
> dem Unendlichkeitsaxiom definiert ist, kann man den Elementen m_k
> von M schrittweise folgen und bei jedem Schritt eine neue Menge
> definieren.
Du betrachtest also die Mengen
{0}, {0,1}, {0,1,2}, {0,1,2,3}, ...
Diese Mengen sind _alle_ endlich, da wird dir niemand
wiedersprechen.
Du kannst aber nicht einfach eine Mengenfolge zu einer
Menge verarbeiten. Du musst für eine Menge sagen,
welche Elemente drin sind. Dies ist bei unserer Menge
N gegeben.
> Unsere Strichmengen kann man sich so entstanden denken.
> Das gleiche geschieht bei jeder Bijektion. Ob man sich vorstellt,
> dass die Elemente der beiden Mengen, die aufeinander abgebildet
> werden, alle gleichzeitig abgebildet werden oder mit einer
> Geschwindigkeit, die gegen unendlich geht, schrittweise nacheinander,
> sollte doch kein Unterschied sein.
Bei einer Abbildung muss nur klar sein, welches Element
der ersten Menge auf welches Element der anderen Menge
abgebildet wird. In welcher Geschwindigkeit du dies machst,
ist unerheblich.
> Bzw. wenn es doch Unterschiede
> gibt, zeigen sie, was durch das Unendlichkeitsaxiom beim Uebergang
> von einer Mengenfolge zu einer Menge neu hinzugekommen ist.
Warum willst du von deiner Mengenfolge zur Menge aller Strichreihen
übergehen?
Du hängst immer noch zu sehr in der Analysis, wo wirklich
Grenzwert-Prozesse notwendig sind. In der Mengenlehre werden
sie nicht benötigt - jedenfalls nicht für dein Problem.
> > Versuch es Dir folgendermassen vorzustellen:
> > Alle Mengen, die innerhalb dieser Diskussion bisher gegeben wurden waren
> > isomorph zu N. D.h eine Betrachtung von N reicht aus.
> >
> > Du baust eine Strasse. Diese Strasse ist zum Zeitpunkt 0 genau 0m lang. Zum
> > Zeitpunkt 1 einen Meter usw.
> > Wenn Du jetzt bis in alle Ewigkeit baust, dann wirst Du unendlich lange an
> > Deiner Strasse bauen, aber sie wird _immer_! (D.h. zu jedem _beliebigen_
> > Zeitpunkt einen Anfang haben (Da, wo Du angefangen hast zu bauen) und sie
> > wird _immer_ ein Ende haben (Da, wo Du gerade mit Deiner Strassenbaumaschine
> > bist). D.h. sie ist zu jedem _beliebigen_ Zeitpunkt endlich! Wenn Du
> > unendlich lange an ihr baust, heisst das nicht, dass Du fertig bist, wenn
> > die Strasse unendlich lang ist, es heisst, dass Du niemals fertig wirst!
>
> Das entspricht meiner Vorstellung von einer durch eine Nachfolgerelation
> geordneten unendlichen Menge. Ich habe sie deshalb in einem frueheren
> Thread als unfertige oder offene Menge bezeichnet. Da die Mengenlehre
> diesen Ausdruck nicht verwendet, muesste man von einer Mengenfolge
> sprechen. N ist aber als _Menge_ definiert. Sie muss also fertig sein,
> so dass man nichts mehr hinzufuegen kann. Daraus ergeben sich die
> Probleme, ueber die wir schon so lange diskutieren.
Der Unterschied ist ja gerade: An der Menge der natürlichen Zahlen
muss man nicht bauen. Die Menge ist schon vorhanden.
Wenn du allerdings versuchst, die Konstruktion zu widerholen,
also die natürlichen Zahlen alle aufzuschreiben, wirst du
zwangsläufig scheitern - die Menge ist eben nicht *endlich*.
Paul
Paul Ebermann
> > endlich vielen Schritten zum Anfang zurückkehren.
> > Du kannst also auch zu jeder beliebigen Zahl alle
> > *vorhergehenden* Zahlen mit endlich vielen Schritten
> > entfernen.
> > Du folgerst daraus:
> > "Ich kann mit endlich vielen Schritten alle Zahlen entfernen".
> >
> > Diese Aussage ist allerdings keine Folgerung aus der oben
> > gemachten Aussage, sie würde nur gelten, wenn es eine größte
> > natürliche Zahl gäbe, für die wir dann alle kleineren Zahlen
> > entfernen.
> Wenn die Aussage "fuer jedes Element gilt ..."
> nicht identisch ist mit der Aussage "fuer alle Elemente gilt ...",
> muss es wenigstens ein Element geben, fuer das sie nicht gilt.
> Dann ist aber die Aussage "fuer jedes Element gilt ..." falsch.
Du darfst nicht Aussagen über einzelne Elemente mit Aussagen
über die ganze Menge vertauschen. Die "..." in deinen beiden
zitierten Sätzen sind nämlich nicht identisch.
> Wenn deine Aussage, dass man von jeder beliebig gewaehlten Zahl in
> endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren kann, nun doch
> nicht fuer alle Zahlen gilt, muss es eine erste Zahl geben, fuer
> die das nicht gilt. Welche ist das?
Die Aussage, dass man von _jeder beliebig gewählten Zahl_ in
endlich vielen Schritten zum Anfang zurückkehren kann, bleibt
gültig.
Wenn du allerdings eine solche Zahl beliebig wählst, alle Zahlen
davor wegstreichst, dann sind _dahinter_ immer noch genug Zahlen
übrig. Du kannst also nicht mit endlich vielen Schritten alle
natürlichen Zahlen herausstreichen.
> Wenn es eine Zahl gibt, von der aus du nicht in endlich vielen
> Schritten zum Anfang zurueckkehren kannst, kannst du sie von
> 0 aus nur in unendlich vielen Schritten erreichen. Wie willst du
> dann vermeiden, dass du zur Darstellung _dieser_ Zahl auch unendlich
> viele Stellen brauchst, da die Anzahl der Stellen ja bei
> unendlich vielen Schritten ebenfalls unbegrenzt waechst?
Dieses Problem stellt sich damit nicht.
> > Sieh dir trotzdem einmal die beiden Aussagen an.
> > Darauf läuft am Ende doch unser Problem hinaus.
> >
> > Wenn die Menge M aus endlichen Mengen besteht dann:
> > \forall m \in M : \exists n \in N : card(m) < n.
> > Wenn es eine obere _endliche_ Schranke für die Mächtigkeit
> > der einzelnen Mengen gibt:
> > \exists n \in N : \forall m \in M : card(m) < n
> >
> > Du setzt beide Aussagen gleich und versuchst damit einen
> > Widerspruch herzuleiten. Diese Aussagen sind aber nicht
> > ohne weiteren Beweis gleich, wie du an dem oben genannten
> > Beispiel sehen kannst.
> > Wir (die Standardmathematik) sehen die obere Aussage als
> > richtig an, die untere dagegen nicht.
>
> Wenn M eine unendliche Menge ist (die m duerfen endlich sein),
> sehe ich das genauso.
Wo ist dann das Problem?
Wir müssen nur noch zeigen, dass die Menge der natürlichen
Zahlen unendlich ist.
> Was folgt aber aus der ersten Aussage fuer
> unser Problem? (s. anschliessend)
> > > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
> > > das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
> > > erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
> > > erreichen.
> >
> > Das ist genau so eine Verwechselung.
> >
> > \forall k \in N : \exists n \in N : k < n
> > \exists n \in N : \forall k \in N : k < n
>
> Die zweite Aussage ist falsch.
Das sehe ich auch so.
> Was folgt aus der ersten Aussage in unserem Fall?
> Es gibt beliebig viele k, die man in endlich vielen Schritten
> erreichen kann.
Jedes natürliche k kann man in endlich vielen Schritten
erreichen.
> Zu jedem k kann man ein n > k angeben. n ist
> von k aus in endlich vielen Schritten erreichbar und folglich
> auch von 0 aus. Du kannst kein n angeben, fuer das das nicht gilt.
> Also gilt die Aussage fuer alle Elemente der Menge.
Richtig. Ich wollte aber eigentlich damit ausdrücken, dass
es für jedes k ein n gibt, so dass k in höchstens n Schritten
erreicht werden kann.
> Zumindest gilt sie fuer alle Elemente, die man nennen kann und die
> man mit der Nachfolgerelation erreichen kann. Man kann nicht
> ausschliessen, dass es auch Elemente gibt, die grundsaetzlich nicht
> erreichbar sind.
Wenn du nur _irgendeine_ unendliche Menge hast, kannst du das
nicht ausschließen.
> Dass eine mit dem Unendlichkeitsaxiom definierte
> unendliche Menge solche Elemente tatsaechlich enthaelt, habe ich
> bereits mehrmals erwaehnt. Ich gehe auch im Parallelposting zu
> diesem (Antwort an Horst Kraemer) noch einmal kurz darauf ein.
Dort werde ich auch noch einmal antworten.
Allerdings ist unsere Menge auch unendlich, wenn wir nur das
erste Element, und alle von dort durch die Nachfolgerelation
erreichbaren Elemente zulassen.
> Was folgt aus der zweiten Aussage?
> Wenn k die Anzahl der natuerlichen Zahlen bedeutet, kann man kein
> n angeben, das die Bedingung erfuellt. Also gibt es unendlich viele
> natuerliche Zahlen. Unendlich viele Zahlen kann man aber nicht in
> endlich vielen Schritten erreichen. Also haben wir bereits einen
> ersten Widerspruch zu der Aussage, dass man JEDES k in endlich
> vielen Schritten erreichen kann.
Nein - wir haben nur die Aussage, dass die Anzahl der natürlichen
Zahlen selbst keine natürliche Zahl ist.
> Wenn k die Anzahl der zur Darstellung der nat. Zahlen benoetigten
> Stellen bedeutet, kann man ebenfalls kein n angeben, das die
> Bedingung erfuellt. Also ist auch sie unendlich gross.
> Das haben einige Diskussionsteilnehmer bestaetigt und ich nehme an,
> dass du dem ebenfalls zustimmst.
Genauer: Es gibt kein k, so dass man jede natürliche Zahl mit k
Stellen schreiben kann.
> Wenn nun die Aussage, dass man unendlich viele Stellen zur Darstellung
> aller natuerlichen Zahlen braucht einen Sinn haben soll, muss es auch
> einzelne Zahlen geben, zu deren Darstellung man unendlich viele Stellen
> braucht.
Nein.
> Denn es ist doch nicht so, dass man zur Darstellung einiger
> Zahlen nur die ersten xxx Stellen braucht, fuer andere Zahlen _nur_ die
> naechsten yyy ohne die ersten xxx Stellen und fuer wieder andere _nur_
> die naechsten zzz Stellen.
Richtig - wir verwenden für jede natürliche Zahl die Stellen
von Anfang an.
> Sondern wenn die ersten k-1 Stellen verbraucht
> sind, so dass man zur Darstellung der naechst groesseren Zahl auch die
> Stelle k braucht, hat diese Zahl k Stellen (und nicht nur die eine k-te
> Stelle). Das gilt fuer alle k. Da es keine obere Schranke fuer k gibt,
> muss es auch natuerliche Zahlen mit unbegrenzt vielen Stellen geben.
Stop. Du hast hier gezeigt: Es gibt kein natürliches k, so dass
man jede natürliche Zahl mit höchstens k Stellen darstellen kann.
Daraus folgt nicht, dass es Zahlen n gibt, für die es keine
Schranke k(n) der Anzahl der Ziffern gibt.
> Du kannst kein n angeben, so dass gilt: es gibt keine Zahl k, die
> _nicht_ mehr als n Stellen hat.
>
> Das gleiche Resultat liefern auch die Gleichungen, die ich angegeben
> habe. In binaerer Schreibweise kann man mit s Stellen genau z = 2^s
> Zahlen darstellen. Solange s endlich ist, erhaelt man auch nur
> endlich viele Zahlen.
Genau 2^s Zahlen, wie du schon schriebst.
> Will man unendlich viele Zahlen haben, benotigt
> man auch unendlich viele Stellen, und zwar zur Darstellung _einzelner_
> Zahlen, nicht fuer alle Zahlen, denn einige kommen auch mit weniger aus.
Nein: Jede einzelne Zahl kommt mit endlich vielen Stellen aus.
Für jede Zahl ist die Zahl selbst eine obere Schranke der
Stellenanzahl (in jedem System - selbst bei unseren Strichen).
Allerdings gibt es keine Schranke, so dass alle Zahlen darunter
bleiben.
> Hier sehe ich den Widerspruch und der hat nichts mit einer Verwechslung
> deiner beiden Aussagen zu tun.
Doch: Du schließt immer von einer Aussage über einzelne
Elemente auf eine Aussage über alle Elemente - du vertauschst
also die Zeichenfolgen "für alle" und "es existiert":
(1) "_Für jede_ natürliche Zahl x gilt:
_Es existiert_ eine natürliche Zahl n, so dass gilt:
x ist in höchstens n Stellen darstellbar."
(Jedes x ist mit endlich vielen Stellen darstellbar.)
(2) "_Es existiert_ eine natürliche Zahl n, so dass gilt:
_für jede_ natürliche Zahl x gilt:
x ist in höchstens n Stellen darstellbar."
Die zweite Aussage gilt unserer (und wohl auch deiner)
Meinung nach nicht, daraus willst du das Nicht-Gelten
der ersten Aussage ableiten.
Die erste Aussage ist allerdings unserer Meinung
nach wahr.
> > Auch wenn du dies bisher hartnäckig ignorierst:
> > Nenne uns doch mal bitte deine Axiome (bzw. die Axiome,
> > aus denen du Widersprüche herleiten willst).
>
> Ich sehe nicht, dass man zur Herleitung dieses Widerspruchs spezielle
> Axiome braucht, es reicht elementare Mathematik.
Das Problem ist, dass wir wohl besser folgen können,
wenn du uns formal aus den Axiomen der Mengenlehre
den Widerspruch herleitest.
Ich meinte auch keine speziellen Axiome, sondern nur
die üblichen Axiome der Mengenlehre, nur gibt es bei
unterschiedlichen Dozenten/Büchern immer leicht
unterschiedliche Versionen davon.
Und für die Führung von Beweisen ist es hilfreich,
wenn man einheitliche Versionen verwendet.
Elementare Mathematik ist übrigens immer problematisch,
wenn sie nur auf der Anschauung basiert, und nicht auf
festgelegten Axiomen und Definitionen.
Paul
Paul Ebermann
> > Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
> > Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
> > die unendliche Folge
> >
> > {1,10,100,1000,....}
> >
> > _nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
>
> Ich sehe weder unendlich _viele_ Zweierpotenzen noch solche mit
> unendlich vielen Stellen. Ich sehe nur, dass die Anzahl der
> Zweierpotenzen zwischen den Klammern nicht groesser ist als
> die Stellenzahl einer dieser Zweierpotenzen.
Dies gilt nur, wenn du eine größte Zweierpotenz hast.
Die obige Schreibweise soll jedoch andeuten, dass es eine
solche nicht geben soll (denn zu jeder Zweierpotenz gibt
es ja das Doppelte, welches eine Stelle mehr hat.)
> > Anscheinend bedeutet "ist sofort zu sehen" fuer Dich etwas anderes als
> > fuer fast alle anderen... Trotzdem wuerde es mich natuerlich
> > interessieren, wie es Dir gelingt, in dieser Liste Zahlen mit
> > unendlich vielen Stellen zu "sehen", wenn die Definition dieser Liste
> > wie folgt lautet.
> >
> > Diese Liste ist die kleinste Liste mit den folgenden Eigenschaften:
> >
> > 1 ist Element der Liste.
> > Wenn ein Ding zur Liste gehoert, gehoert auch das um eine 0
> > verlaengerte Ding zur Liste.
> >
> > Ich kann nicht erkennen, woraus man hier folgern kann, dass die Liste
> > auch Elemente mit unendlich vielen Nullen enthaelt.
>
> Ich nehme an, dass die Liste in Zeilen angeordnet ist und in jeder
> Zeile ein Ding steht. Die Zeile 0 enthaelt die 1.
> Man kann zwei Aussagen machen:
>
> 1. Wenn man vom Anfang der Liste bis zur Zeile z geht und die Dinge
> zaehlt, die die Liste bis einschliesslich der Zeile z enthaelt, erhaelt
> man z Dinge, wenn man das Ding in Zeile 0 nicht mitzaehlt. Das gilt
> fuer alle z, weil jede Zeile genau ein Ding enthaelt.
Gut.
> Wenn man vergessen hat mitzuzaehlen und nicht zum Anfang der Liste
> zurueckkehren will, kann man auch die Anzahl s der Nullen des Dings
> in Zeile z zaehlen. Es ist naemlich z = s. Es spielt also keine Rolle,
> ob man die Zeilen oder die Nullen in Zeile z zaehlt. Man kann die
> Anzahl der Nullen als Zeilennummern verwenden.
Das sehe ich auch so.
> 2. Die Liste hat kein Ende. Man kann daher die Zahl der Zeilen (= Dinge)
> und der Nullen des laengsten Dings, das es in dieser Liste nicht gibt,
> weil es keine letzte Zeile gibt, nicht angeben.
Ja.
> Hier kommt der Begriff Unendlich ins Spiel. Mathematisch geht man so vor:
> Um festzustellen, ob die Anzahl der Zeilen endlich oder unendlich ist,
> versucht man eine Zahl n zu finden, so dass fuer alle z gilt z < n
> oder z = n. Wenn das gelingt, ist die Anzahl der Zeilen endlich sonst
> unendlich.
Das ist eigentlich nur ein Beweis, dass die Menge der Listenelemente
nicht endlich ist. Aber mit der Definition "unendlich := nicht endlich"
ist das ein Beweis der Unendlichkeit.
> Genauso pruefe ich, ob die Liste Dinge mit unendlich
> vielen Nullen enthaelt. Wuerde sie nur Dinge enthalten, so dass fuer
> alle s gilt s < n oder s = n, waere die Liste endlich, sie wuerde dann
> maximal n Dinge enthalten.
Du musst hier für jede Zeile einzeln untersuchen, ob sich ein
solches n finden lässt.
Und siehe da: Bei Zeile s wählen wir n := s+1, und erhalten
s < n. Die Zeile mit der Nummer s ist also endlich.
Und Zeilen ohne Nummern gibt es nicht.
> Folglich muss sie mindestens ein Ding
> enthalten, fuer dessen s sich die Bedingung nicht erfuellen laesst.
> Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
> in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
Dieser Folgerung ist damit die Grundlage entzogen.
> _______
> Anmerkung: Oft werden die Liste (= Menge der Zeilen) und die Menge
> der Dinge (= Anzahl der Zweierpotenzen) einerseits und andererseits
> die Anzahl der Nullen, die zur Darsellung der Dinge (= Zweierpotenzen)
> benoetigt werden unterschiedlich interpretiert.
> Der Ausdruck "Menge der Dinge" lenkt die Aufmerksamkeit weniger
> auf die einzelnen Dinge als auf den Oberbegriff "Menge", der
> immer derselbe bleibt und sich bei jedem Schritt nur vergroessert.
> Bei der Menge der Nullen, die zur Darstellung der Dinge dienen,
> kommt bei jedem Schritt ein neues Ding hinzu, dessen Nullenzahl
> sich dann nicht mehr veraendert. Das einzelne Ding nimmt also
> nicht am Grenzprozess teil und bleibt endlich. Dadurch entsteht
> der Eindruck, dass zwar die Anzahl der Dinge unendlich werden
> kann, dass aber trotzdem jedes Ding nur endlich viele Nullen hat.
Das ist kein Eindruck, das ist wirklich so.
Wir haben hier keinen Grenzprozess, das Wort solltest du aus
deinem Wortschatz streichen oder sonst sauber definieren.
> Dieser Unterschied ist jedoch nur eine Frage der Darstellung.
> Mengentheoretisch ist die "Menge der Dinge"
> D = {1,10,100,1000,...}
> waehrend des Grenzprozesses ohnehin keine Menge sondern eine Folge
> von Mengen D_0 = {1}, D_1 = {1,10}, D_2 = {1,10,100}, ...
Es gibt zwar eine solche Folge von Mengen, diese darfst du aber
nicht mit der Menge D identifizieren.
Deine Verwendung des Wortes "Mengentheoretisch" deutet an,
in der Mengentheorie sei jede unendliche Menge eigentlich
nur eine Folge endlicher Mengen.
In Wahrheit ist dies aber andersherum: Eine Folge ist selbst
nur eine Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in
die Menge der einzelnen Folgenglieder, wobei jeder natürlichen
Zahl (der Index) das entsprechend indizierte Folgenglied
zugeordnet wird.
Solche Abbildungen kann man wiederum als Teilmenge des
kartesischen Produktes von N und {D_0, D_1, D_2, ...}
auffassen.
> Keine dieser Mengen nimmt am Grenzprozess teil, sie bleiben alle
> endlich. Trotzdem zweifelt (fast) niemand an der Existenz der
> Menge D und daran, dass sie unendlich viele Elemente enthaelt.
> Das Ding d = {10000000....} entsteht auf die gleiche Weise
> aus der Folge d_0 = {1}, d_1 = {10}, d_2 = {100}, ..., seine
> Entstehung ist sogar in jedem Schritt an die Entstehung von D
> gekoppelt. Warum sollte also d nicht unendlich viele Elemente
> enthalten?
Gegenfrage: Warum sollte d = {10000...} in der Menge D
enthalten sein?
> Statt von links nach rechts kann man die Nullen von d auch von
> oben nach unten schreiben. Dann kann man d in eine Spalte der
> obigen Liste neben den Dingen aufschreiben. Die Zahl der Elemente
> von d geht im Gleichschritt mit der Anzahl der Dinge unserer
> Liste gegen unendlich. Parallel zur Folge D_k erhaelt man die Folge d_k.
> Dabei ist d_k stets auch ein Element von D_k. Der Grenzwert D der
> Folge D_k wird nur erreicht, wenn auch der Grenzwert d der Folge d_k
> erreicht wird und selbst Element von D ist.
Auch wenn ich mich wiederhole:
Verabschiede dich bitte von den Grenzwerten - sie haben mit
der Mengenlehre an sich nichts zu tun, und Grenzwerte von
Mengenfolgen müssen erst sauber definiert werden.
<off topic>
Grenzwerte von Folgen werden übrigens oft _nicht_
erreicht - trotzdem spricht man von Grenzwerten.
Um eine Analogie aufzumachen:
Betrachte die folgende Folge reeller Zahlen:
x_n := 1/(n+1)
Der Grenzwert dieser Folge ist 0, dabei gibt es
aber kein Folgeglied, welches diesen Grenzwert annimmt.
</off topic>
> _______
>
> Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff
Genauer:
Für den Unendlichkeitsbegriff der reellen Analysis ...
> gilt: Unendlich ist
> eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
> einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
> anstellen kann. [...]
Wie du gesagt hast, gibt es einen solchen Begriff
nur für Folgen - genauer nur für Folgen von reellen
Zahlen (oder Teilmengen davon).
Eine solche Folge (a_n) heißt konvergent gegen +oo,
wenn für jede beliebige reelle Zahl s gilt:
Es existiert eine natürliche Zahl m(s), so dass gilt:
Für alle n > m(s) gilt: a_n > s
Ebenso gibt es eine Konvergenz gegen -oo:
Dann muss gelten:
Für jede reelle Zahl s:
Es existiert eine natürliche Zahl m(s), so dass:
Für alle n > m(s) gilt: a_n < s
Die Zahlen +oo und -oo sind nicht in der Menge der
reellen Zahlen enthalten, jedoch gibt es Erweiterungen,
die diese Elemente enthalten.
Dies soll uns jedoch nicht interessieren, denn:
> Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
Hier heißt eine Menge A nämlich unendlich, wenn:
(a) Es keine natürliche Zahl n gibt, so dass A genau n
Elemente hat.
(b) Es keine natürliche Zahl n gibt, so dass A mengen-isomorph
zur Menge N_n der ersten n natürlichen Zahlen ist.
(c) Es eine echte Teilmenge B von A gibt, so dass A
mengen-isomorph zu b ist.
(d) Es eine Injektion von der Menge N der natürlichen Zahlen
in A gibt.
(e) Es eine Surjektion von A auf die Menge N der natürlichen
Zahlen gibt.
Diese 5 Charakterisierungen sind äquivalent, dir würde
ich jedoch (c) als Definition empfehlen, denn über die
Eigenschaften der natürlichen Zahlen streiten wir ja noch.
> Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
> voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
> werden muss.
Das Unendlichkeitsaxiom stellt die Existenz einer Menge
mit bestimmten Eigenschaften sicher.
Mit obiger Definition (c) können wir dann überprüfen,
dass diese Menge unendlich ist.
> Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
Stop. Wir haben
a) Es gibt unendliche Mengen.
b) Alle natürlichen Zahlen sind Mengen.
Wie folgerst du aus diesen beiden Aussagen, dass
es auch Zahlen gibt, die unendliche Mengen sind?
> Ob eine unendliche Menge von Mengen auch unendliche Mengen enthaelt,
> laesst sich nicht durch Herausgreifen einzelner Mengen feststellen,
> denn aus der Tatsache, dass einige Mengen endlich sind folgt nicht,
> dass das fuer alle gilt.
Wenn wir aber eine beliebige Menge herausgreifen, und diese immer
endlich ist, muss auch jede Element-Menge endlich sein.
> Die Frage laesst sich daher nur durch eine
> logische Ueberlegung indirekt endscheiden. In unserem Beispiel
> zeigt sich, dass die Menge der Dinge nur unendlich sein kann,
> wenn sie wenigstens eine unendliche Menge (ein Ding mit einer
> unendlichen Menge Nullen) enthaelt. Wenn sie nur Dinge mit endlich
> vielen Nullen enthaelt, ist die Liste nur eine unbegrenzte Mengen-
> folge aber keine unendliche Menge.
Ich erspare mir, noch einmal darauf hinzuweisen, dass
diese Aussage auf falschen Schlusfolgerungen beruht.
> ______
> *) Koennen Mengenfolgen bei dieser Definition ueberhaupt unendlich
> sein oder sind sie dann nicht bereits wieder unendliche Mengen
> oder zumindest Klassen? Wenn man trotzdem von unendlichen
> Mengenfolgen spricht, macht man doch stillschweigend vom
> mathematischen Unendlichkeitsbegriff Gebrauch, oder?)
Für Mengenfolgen (sofern es nicht gerade Folgen von Zahlen sind)
greift weder der analytische Unendlichkeitsbegriff noch der für
Mengen, es sei denn, wir greifen auf die Definition von Folgen
als Abbildungen und solcher als Mengen von Paaren zurück - dann
ist jede Folge eine unendliche Menge.
> ______
> Soweit meine Sicht des Problems. Ich fuege noch eine Ueberlegung an.
> Durch Vorgabe einer beliebigen Zahl k aus N wird N in zwei disjunkte
> Teilmengen N_k und C_k geteilt. N_k enthaelt alle Zahlen von 0 bis k,
> C_k alle Zahlen groesser k.
> Mich interessiert jetzt nicht die Menge _aller_ N_k oder C_k, auch
> nicht eine eventuelle Grenzmenge, sondern nur die Teilmenge der N_k,
> die man durch Herausgreifen von beliebigen k erhaelt. Es faellt auf,
> dass diese N_k immer endlich und die zugehoerigen C_k immer unendlich
> sind. Man kann keine einzige Zahl k nennen, fuer die das nicht gilt.
Gut beobachtet.
> Man hat also nur Zugriff auf eine endliche Teilmenge aller Zahlen.
> Diese Teilmenge kann zwar beliebig gross sein, da sie aber immer endlich
> ist, kann man grundsaetzlich nicht auf alle Zahlen zugreifen.
Was verstehst du unter Zugriff?
> Diese beliebig herausgegriffenen Zahlen sind daher nicht repraesentativ
> fuer alle Zahlen, man kann von ihren Eigenschaften nicht auf die
> Eigenschaften aller Zahlen schliessen. Aus der Tatsache, dass man
> bei diesem beliebigen Herausgreifen nur Zahlen mit endlich vielen
> Stellen erwischt, kann man also nicht schliessen, dass es nur solche
> gibt.
Ich kann doch wirklich jede natürliche Zahl k so erwischen:
ich nehme einfach das größte Element von N_k.
Wir haben doch für die natürlichen Zahlen die
Induktionseigenschaft:
Wenn eine Aussage P(n)
(1) für die erste natürliche Zahl 0 gilt,
und
(2) sie mit jeder Zahl auch für die nächste
Zahl (den Nachfolger) gilt,
dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen.
Betrachten wir die Aussage
"n lässt sich im Binärsystem mit endlich vielen Ziffern schreiben".
Diese Aussage gilt trivialerweise für 0 (eine Ziffer).
Betrachten wir jetzt ein beliebiges n, für dass die Aussage gilt.
Dann hat also n endlich viele Stellen, sagen wir k Ziffern.
Die Zahl n+1, also der Nachfolger von n, hat dann höchstens
k+1 Ziffern. k+1 ist immer noch eine endliche Anzahl, also
ist auch n+1 mit endlich vielen Ziffern schreibbar.
Nach obigen Satz gilt dann die Aussage für alle natürlichen
Zahlen.
Reicht dir dieser Beweis der Endlichkeit jeder einzelnen
natürlichen Zahl nicht?
Paul
Holger Gollan
>
> > Statt von links nach rechts kann man die Nullen von d auch von
> > oben nach unten schreiben. Dann kann man d in eine Spalte der
> > obigen Liste neben den Dingen aufschreiben. Die Zahl der Elemente
> > von d geht im Gleichschritt mit der Anzahl der Dinge unserer
> > Liste gegen unendlich. Parallel zur Folge D_k erhaelt man die Folge d_k.
> > Dabei ist d_k stets auch ein Element von D_k. Der Grenzwert D der
> > Folge D_k wird nur erreicht, wenn auch der Grenzwert d der Folge d_k
> > erreicht wird und selbst Element von D ist.
>
> Auch wenn ich mich wiederhole:
> Verabschiede dich bitte von den Grenzwerten - sie haben mit
> der Mengenlehre an sich nichts zu tun, und Grenzwerte von
> Mengenfolgen müssen erst sauber definiert werden.
>
Genau das ist eines der Probleme von Dieter. Er hat eine gewisse
Anschauung von Grenzprozessen, moechte diese auch auf die Mengenlehre
uebertragen, und wundert sich dann, dass nicht alles so laeuft wie er
sich das vorstellt. Daraus schliesst er aber leider nicht, dass
vielleicht die Anschauung der Grenzwerte bei Menge falsch sein koennte,
sondern er wittert sofort Probleme bei der Mengenlehre, die solche
Grenzwerte, zumindest in diesem Fall, gar nicht braucht.
> <off topic>
> Grenzwerte von Folgen werden übrigens oft _nicht_
> erreicht - trotzdem spricht man von Grenzwerten.
> Um eine Analogie aufzumachen:
> Betrachte die folgende Folge reeller Zahlen:
> x_n := 1/(n+1)
> Der Grenzwert dieser Folge ist 0, dabei gibt es
> aber kein Folgeglied, welches diesen Grenzwert annimmt.
> </off topic>
>
Das Beispiel hatte ich auch schon einmal praesentiert; es wurde von
Dieter bisher allerdings still und leise uebersehen.
>
> Hier heißt eine Menge A nämlich unendlich, wenn:
>
> (a) Es keine natürliche Zahl n gibt, so dass A genau n
> Elemente hat.
>
> (b) Es keine natürliche Zahl n gibt, so dass A mengen-isomorph
> zur Menge N_n der ersten n natürlichen Zahlen ist.
>
> (c) Es eine echte Teilmenge B von A gibt, so dass A
> mengen-isomorph zu b ist.
>
> (d) Es eine Injektion von der Menge N der natürlichen Zahlen
> in A gibt.
>
> (e) Es eine Surjektion von A auf die Menge N der natürlichen
> Zahlen gibt.
>
> Diese 5 Charakterisierungen sind äquivalent, dir würde
> ich jedoch (c) als Definition empfehlen, denn über die
> Eigenschaften der natürlichen Zahlen streiten wir ja noch.
>
Hier wirst Du vielleicht die Antwort bekommen, dass (c) ja ueberhaupt
keinen Sinn ergibt, bzw. den Unsinn der allgemein anerkannten
Mengenlehre wiederspiegelt, da offensichtlich eine echte Teilmengen
nicht isomorph zum groesseren Ganzen sein kann.
>
> > Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> > Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> > Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
>
> Stop. Wir haben
> a) Es gibt unendliche Mengen.
> b) Alle natürlichen Zahlen sind Mengen.
>
> Wie folgerst du aus diesen beiden Aussagen, dass
> es auch Zahlen gibt, die unendliche Mengen sind?
>
Das ist eine der typischen Argumentationsweisen von Dieter. Sein obiger
Satz ist ja nicht falsch. Wenn Zahlen Mengen sind und Mengen unendlich
sein koennen, dann koennen auch Zahlen unendlich sein. An dieser Stelle
hat er noch nicht behauptet, dass es unendliche Zahlen gibt, hier kann
man ihm also nicht wirklich widersprechen.
Problematisch wird die Sache erst, wenn er weiter unten in der
Argumentation das "kann" in dem Satz vergisst und so tut, als haette er
vorher man gezeigt, dass es natuerlich unendliche Zahlen gibt. Er
vermeidet halt, zwischendurch aus dem "kann" eine explizite Aussage zu
machen, nimmt diese explizite Aussage irgendwann spaeter einmal in der
Argumentation sozusagen stillschweigend an.
Das macht es halt jedes Mal schwer, die konkreten Fehler in seinen
Argumentationen herauszuarbeiten.
>
> > Die Frage laesst sich daher nur durch eine
> > logische Ueberlegung indirekt endscheiden. In unserem Beispiel
> > zeigt sich, dass die Menge der Dinge nur unendlich sein kann,
> > wenn sie wenigstens eine unendliche Menge (ein Ding mit einer
> > unendlichen Menge Nullen) enthaelt. Wenn sie nur Dinge mit endlich
> > vielen Nullen enthaelt, ist die Liste nur eine unbegrenzte Mengen-
> > folge aber keine unendliche Menge.
>
> Ich erspare mir, noch einmal darauf hinzuweisen, dass
> diese Aussage auf falschen Schlusfolgerungen beruht.
>
Den Satz finde ich wirklich sehr gelungen!
>
> > ______
> > Soweit meine Sicht des Problems. Ich fuege noch eine Ueberlegung an.
> > Durch Vorgabe einer beliebigen Zahl k aus N wird N in zwei disjunkte
> > Teilmengen N_k und C_k geteilt. N_k enthaelt alle Zahlen von 0 bis k,
> > C_k alle Zahlen groesser k.
> > Mich interessiert jetzt nicht die Menge _aller_ N_k oder C_k, auch
> > nicht eine eventuelle Grenzmenge, sondern nur die Teilmenge der N_k,
> > die man durch Herausgreifen von beliebigen k erhaelt. Es faellt auf,
> > dass diese N_k immer endlich und die zugehoerigen C_k immer unendlich
> > sind. Man kann keine einzige Zahl k nennen, fuer die das nicht gilt.
>
> Gut beobachtet.
>
> > Man hat also nur Zugriff auf eine endliche Teilmenge aller Zahlen.
> > Diese Teilmenge kann zwar beliebig gross sein, da sie aber immer endlich
> > ist, kann man grundsaetzlich nicht auf alle Zahlen zugreifen.
>
> Was verstehst du unter Zugriff?
>
Viel interessanter an dieser Stelle finde ich, dass seine Aussage mit
dem Zugriff auf nur endliche Mengen natuerlich voellig falsch ist.
Schliesslich konstruiert er selbst mit C_k in jedem Beispiel auch eine
unendliche Menge, auf die er natuerlich genau so Zugriff hat wie auf die
endlichen N_k.
>
> Wir haben doch für die natürlichen Zahlen die
> Induktionseigenschaft:
> Wenn eine Aussage P(n)
> (1) für die erste natürliche Zahl 0 gilt,
> und
> (2) sie mit jeder Zahl auch für die nächste
> Zahl (den Nachfolger) gilt,
> dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen.
>
> Betrachten wir die Aussage
> "n lässt sich im Binärsystem mit endlich vielen Ziffern schreiben".
> Diese Aussage gilt trivialerweise für 0 (eine Ziffer).
> Betrachten wir jetzt ein beliebiges n, für dass die Aussage gilt.
> Dann hat also n endlich viele Stellen, sagen wir k Ziffern.
> Die Zahl n+1, also der Nachfolger von n, hat dann höchstens
> k+1 Ziffern. k+1 ist immer noch eine endliche Anzahl, also
> ist auch n+1 mit endlich vielen Ziffern schreibbar.
> Nach obigen Satz gilt dann die Aussage für alle natürlichen
> Zahlen.
>
> Reicht dir dieser Beweis der Endlichkeit jeder einzelnen
> natürlichen Zahl nicht?
>
Dieser Beweis ist ja noch schoener als mein indirekter Beweis, dass es
keine unendlichen natuerlichen Zahlen geben kann. Erwarte aber nicht,
dass Du von Dieter eine konkrete Antwort auf Deine Frage nach der
Gueltigkeit dieses Beweises bekommst.
> Paul
Dieter Jungmann
>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Horst Kraemer schrieb am 16. Juli 07:39 GMT:
> >
> > >
Von unendlich ist in den beiden Aussagen noch keine Rede. Ich habe aber
anschliessend deutlich gesagt, dass zwei Definitionen zu unterscheiden
sind. Als unendlich bezeichne ich Mengen, die mit dem Unendlichkeitsaxiom
der Mengenlehre definiert sind. Die mathematische Definition, oder die
Definition der reellen Analysis wie Paul Ebermann praezisiert hat,
hingegen gilt fuer Folgen. Diese bezeichne ich als unbegrenzte Folgen
nicht als unendliche Folgen. Was vorstehend gesagt wurde, rechtfertigt
noch nicht, von unendlich zu sprechen, weil noch keine unendliche Menge
eingefuehrt wurde. Bisher haben wir nur eine unbegrenzte Folge.
>
> > Hier kommt der Begriff Unendlich ins Spiel. Mathematisch geht man so vor:
> > Um festzustellen, ob die Anzahl der Zeilen endlich oder unendlich ist,
> > versucht man eine Zahl n zu finden, so dass fuer alle z gilt z < n
> > oder z = n. Wenn das gelingt, ist die Anzahl der Zeilen endlich sonst
> > unendlich. Genauso pruefe ich, ob die Liste Dinge mit unendlich
> > vielen Nullen enthaelt. Wuerde sie nur Dinge enthalten, so dass fuer
> > alle s gilt s < n oder s = n, waere die Liste endlich, sie wuerde dann
> > maximal n Dinge enthalten. Folglich muss sie mindestens ein Ding
> > enthalten, fuer dessen s sich die Bedingung nicht erfuellen laesst.
> > Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
> > in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
> >
>
> Ich gehe mal davon aus, dass Du mit s die Anzahl der Nullen meinst.
Ja, das ist oben definiert.
> Zunaechst einmal sei gesagt, dass die beiden Betrachtungen eben nicht
> identisch sind. Bei der Frage nach der Laenge der Liste geht es um die
> Anzahl der Elemente (Zeilen) insgesamt, bei der Frage nach der Anzahl
> der Stellen geht es jeweils um die Anzahl der Stellen (Nullen) innerhalb
> einer Zeile. (Wir sind uns ja schon einig, dass man insgesamt unendlich
> viele Stellen (Nullen) benoetigt, und das genau deshalb, weil man
> unendlich viele Zeilen hat.)
Wozu brauchst du denn die unendlich vielen Nullen, wenn nicht zur
Darstellung einer Zahl? Du benutzt den Begriff unendlich staendig
in zwei verschiedenen Bedeutungen. Wenn du von der Anzahl der Stellen
sprichst, benutzt du die Definition der reellen Analysis im Sinne von
beliebig viele oder unbegrenzt viele. Dann gibt es in der Tat nur
Zahlen mit endlich vielen Stellen.
Wenn du von der Anzahl der Zeilen oder der Zahlen sprichst,
benutzt du den Unendlichkeitsbegriff der Mengenlehre, indem
du von allen und nicht nur von beliebig vielen Zeilen sprichst.
Wir haben bisher noch keine unendliche Menge eingefuehrt.
Unsere Liste ist eine unbegrenzte Folge von Zeilen aber
keine Menge. Durch Vorgabe einer Zahl k wird die Menge D_k
definiert, die alle Zahlen (bzw. Dinge, wie es Horst genannt hat)
von Zeile 0 bis einschliesslich Zeile k enthaelt. Gleichzeitig
wird auch die Menge d_k definiert, die ausser einer 1 die Anzahl
der Nullen enthaelt, die zur Darstellung der Zahlen von D_k
benoetigt werden.
Durch Vorgabe von beliebig grossen Zahlen k kann man beide Mengen,
D_k und d_k, beliebig gross machen. Aber _beide_ Mengen enthalten
nur endlich viele Elemente. Wenn du aber von allen Zahlen sprichst,
greifst du gedanklich vor und beruecksichtigst auch die Zahlen, die
in der Komplementaermenge D\D_k enthalten sind, waehrend du die
Nullen in der Komplementaermenge d\d_k nicht beruechsichtigt.
Wir haben unsere Liste bisher noch nicht als unendliche Menge
definiert und koennen folglich _beide_ Komplementaermengen gar
nicht bilden, weil wir es noch mit unbegrenzten Folgen zu tun haben.
Wenn wir die Liste als unendliche Menge auffassen, muessen entweder
_beide_ Kompementaermengen oder keine von beiden beruecksichtigt
werden. Die Vermischung von zwei Unendlichkeitsdefinitionen ist
die Ursache fuer alle unsere Missverstaendnisse. Wenn wir nicht
von unendlichen Mengen sondern von unbegrenzten Folgen sprechen
wuerden, koennte ich alle Argumente einschliesslich der Unterscheidung
zwischen "jedes Element" und "alle Elemente" unterschreiben.
> Uebrigens kann man die Unendlichkeit der Anzahl der Zeilen auch anders
> beweisen, naemlich per Widerspruch. Die Annahme, dass es nur endlich
> viele Zeilen gaebe, fuehrt dazu, dass es eine letzte geben muss, was
> wegen der Konstruktionsvorschrift nicht sein kann.
Daraus folgt nur, dass man keine obere Grenze fuer die Anzahl der
Elemente nennen kann, dass sie also beliebig gross werden kann.
Die Existenz einer unendlichen Menge ist damit nicht bewiesen,
sonst waere das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig (Axiome kann
man nicht beweisen).
Eine beliebig ausgewaehlte Zahl k hat endlich viele Stellen. Aber sie
definiert auch nur eine endliche Teilmenge N_k, die alle Zahlen von
0 bis k enthaelt. Die Zahlen der Komplementaermenge C_k = N\N_k
duerfen nur mitgezaehlt werden, wenn auch die Stellen zu ihrer
Darstellung beruecksichtigt werden.
Die Frage, ob es tatsaechlich unendlich viele Zahlen und daher
auch solche mit unendlich vielen Stellen gibt, haengt vom Unendlich-
keitsbegriff ab. Mit der Unendlichkeitsdefinition der Mengenlehre
muessen die C_k bei der Frage nach _allen_ Zahlen beruecksichtigt
werden, dann gibt es auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen.
Bei der Definition der reellen Analysis existieren die C_k nicht,
weil N dann keine Menge ist. Dann erhaelt man nur Zahlen mit
endlich vielen Stellen.
>
...
> Vielleicht noch einmal ein paar Fragen in diesem Zusammenhang, deren
> Antworten uns vielleicht einen Schritt weiter bringen:
> 1) Jedes D_i ist eine endliche Menge, oder?
Ja.
> 2) Es gibt unendlich viele D_i, da es sich um eine unendliche Folge
> handelt, und per Konstruktion die einzelnen D_i voneinander verschieden
> sind.
Nein. Es gibt beliebig viele D_i und es handelt sich um eine
unbegrenzte Folge. Um Verwechslungen zu vermeiden, muss der
Begriff unendlich in der Mengenlehre fuer unendliche Mengen
reserviert werden. In unendlichen Mengen existieren die
Komplemantaermengen, in unbegrenzten Folgen nicht.
> 3) Es ist D gleich der Vereinigung der D_i.
Nein. D = {1,10,100,1000,...} ist die Vereinigung der d_i. Die
Vereinigung der D_i waere {{1}, {1,10}, {1,10,100}, ...}.
> 4) Damit ist D eine unendliche Menge.
Nein. D wird weder durch Vereinigung der D_i noch der d_i zur Menge.
Beide Vereinigungen ergeben nur wieder unbegrenzte Folgen. Zur
unendlichen Menge wird D durch das Unendlichkeitsaxiom. Man erkennt
den Unterschied an den Komplementaermengen D\D_i, die nicht existieren,
wenn unsere Liste nur eine unbegrenzte Folge ist. Wenn man D als
unendliche Menge auffasst und dann von _allen_ Zeilen spricht, muss
man auch die Zeilen in den Komplementaermengen und die in diesen
stehenden Dinge (= Zahlen) d_k mit k > i, also auch die
Komplementaermengen d\d_i, beruecksichtigen.
> 5) Jedes Element von D muss in einem der D_i enthalten sein, ist also
> endlich.
Auch hier gilt wieder: Diese Aussage ist nur richtig, wenn man D als
unbegrenzte Folge auffasst. Wenn D eine unendliche Menge ist, gilt
fuer jedes i, dass endlich viele Elemente d_k von D (naemlich alle bis
einschliesslich d_i) in D_i und unendlich viele Elemente (naemlich alle
d_k mit k > i) in der Komplemantaermenge D\D_i enthalten sind.
In endlich vielen Schritten erreicht man kein i, fuer das das nicht
gilt. Es befinden sich also immer unendlich viele Dinge d_k mit k > i
in einer Komplementaermenge. Um eine fuer alle Elemente gueltige
Aussage zu treffen, muessen daher die Elemente in den Komplementaer-
mengen ebenfalls beruecksichtigt werden, sonst fallen unendlich
viele Elemente unter den Tisch, naemlich alle diejenigen, die in
endlich vielen Schritten nicht erreicht werden.
> 6) Es gibt unendlich viele endliche Dinge.
Nein. Es gibt (in unserem Beispiel) beliebig viele endliche Dinge
und unendlich viele unendliche Dinge. Um den Sinn dieser Aussage
zu verstehen, musst du auf die urspruengliche Definition unseres
Beispiels zurueckkommen. Horst Kraemer hatte die 1-0-0-0...-Folgen
nicht als Zahlen sondern als Dinge bezeichnet, um sie von jeder
Interpretation frei zu halten (ich hatte sie vorher als binaere
Darstellung der Zweierpotenzen bezeichnet).
Zur Erlaeuterung der vorstehenden Aussage ist es zweckmaessig, die
Begrenzung auf 1-0-Folgen mit einer 1 am Anfang und dann nur noch
Nullen aufzugeben, und beliebige 0-1-Folgen zu betrachten. Wir koennen
sie systematisch anordnen, z. B. in der Folge
1, 01, 11, 001, 010, 011, ... .
Wenn man sie als binaere Darstellung der natuerlichen Zahlen
interpretieren und die natuerliche Reihenfolge einhalten will,
kann man sie von rechts nach links statt wie ueblich von links
nach rechts interpretieren.
Wir betrachten unsere Liste jetzt nicht als unbegrenzte Folge sondern
als unendliche Menge von Zeilen (= 0-1-Folgen) im Sinne der Mengenlehre.
Die Anzahl der 0-1-Folgen und die Anzahl der Stellen einzelner Folgen
haengen sicher nicht davon ab, wie wir sie interpretieren. Niemand
zwingt uns, sie als natuerliche Zahlen zu verstehen. Wir koennen sie
auch als reelle Zahlen des Einheitsintervalls in binaerer Darstellung
interpretieren. In diesem Fall zweifelst du doch auch nicht daran,
dass die unendliche Menge der 0-1-Folgen auch solche mit unendlich
vielen Stellen enthaelt. Wenn wir nur die Folge der D_i betrachten,
die nur Dinge d_i mit endlich vielen Stellen enthalten,
erhalten wir nur die (in binaerer Darstellung) nichtperiodischen
rationalen Zahlen. Es fehlen also ausser den irrationalen auch alle
periodischen rationalen Zahlen.
Auf deiner Seite ist natuerlich jetzt die Versuchung gross, zu
behaupten, die Menge der 0-1-Folgen sei ueberabzaehlbar, wenn man
_alle_ 0-1-Kombinationen zulaesst. Wir koennen aber eine abzaehlbare
Auswahl treffen, indem wir die Menge aller periodischen und nicht
periodischen rationalen und der algebraisch irrationalen Zahlen in
binaerer Schreibweise betrachten. Jetzt haben wir eine abzaehlbar
unendliche Menge von 0-1-Folgen, die auch unendlich viele 0-1-Folgen
mit unendlich vielen Stellen enrhaelt. Wo ist die letzte 0-1-Folge
mit endlich vielen und die erste mit unendlich vielen Stellen?
Oder kannst du einen Grund nennen, warum es nicht moeglich sein
sollte, die 0-1-Folgen nach der Anzahl ihrer Stellen zu ordnen?
Andererseits kann uns niemand verbieten, die 0-1-Folgen als nat.
Zahlen zu interpretieren. Enthaelt diese abzaehlbare Menge ausser
den nat. Zahlen noch etwas anderes? Wie willst du diese anderen
Elemente abzaehlen?
Die nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen stehen dafuer nicht zur
Verfuegung, da sie in dieser Menge mit den endlichen 0-1-Folgen
identisch sind, so dass Cantors Methode des Umsortierens hier
nicht anwendbar ist.
Diese Methode ist ohnehin nur auf unbegrenzte Folgen aber nicht
auf unendliche Mengen anwendbar.
Auf unbegrenzte Folgen ist sie wegen der Beliebigkeit der Anzahl
der Elemente anwendbar. Es ist hier nicht noetig, _alle_ Elemente
aufeinander abzubilden, es genuegt zu zeigen, dass dies fuer beliebige
endliche Teilmengen moeglich ist. Bei unendlichen Mengen entfaellt
diese Beliebigkeit, weil bei ihnen eine unveraenderliche, wenn auch
unendliche, Anzahl von Elementen vorausgesetzt wird, die _alle_
abgebildet werden muessen. Die Argumentation verlaeuft aber immer so,
als haette man es doch mit unbegrenzten Folgen zu tun.
>
> > Statt von links nach rechts kann man die Nullen von d auch von
> > oben nach unten schreiben. Dann kann man d in eine Spalte der
> > obigen Liste neben den Dingen aufschreiben. Die Zahl der Elemente
> > von d geht im Gleichschritt mit der Anzahl der Dinge unserer
> > Liste gegen unendlich. Parallel zur Folge D_k erhaelt man die Folge d_k.
> > Dabei ist d_k stets auch ein Element von D_k. Der Grenzwert D der
> > Folge D_k wird nur erreicht, wenn auch der Grenzwert d der Folge d_k
> > erreicht wird und selbst Element von D ist.
> >
>
> Und hier haben wir ja schon den passenden Grenzwert! Vielleicht sollte
> man erst einmal ueber eine Theorie der Grenzwerte bei Mengen allgemein
> nachdenken, bevor man hier solche Betrachtungen macht.
> _______
> >
> > Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff gilt: Unendlich ist
> > eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
> > einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
>
> Wie waere es mit: Unendlich ist alles, was nicht endlich ist? Wieso
> benoetigt man zur Definition von Unendlichkeit Grenzwertbetrachtungen?
> Gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen?
Alles als unendlich zu bezeichnen, was nicht endlich ist, halte ich
fuer zu ungenau. Dass z. B. eine Unterscheidung zwischen beliebig
gross und unendlich noetig ist, habe ich schon begruendet. Dass die
Existenz oder Nicht-Existenz der Komplementaermengen ein nicht zu
vernachlaessigender Unterschied ist, laesst sich doch wohl kaum
bestreiten.
Und die Grenzwertbetrachtungen? Stell dir vor, es gaebe sie nicht,
wie kommst du dann ueberhaupt auf den Begriff unendlich?
>
> > anstellen kann. Unendlich bedeutet hier beliebig gross, so dass
> > man keinen endlichen Grenzwert angeben kann. Man kann nicht
> > sagen _wie_ gross die Anzahl der Elemente wird, so dass man keine
> > Zahl und folglich auch keine Stellenzahl fuer diese Zahl angeben
> > kann. Eine unendliche Folge ist hier keine Menge sondern eine
> > unbegrenzte, beliebig vergroesserbare Folge von Mengen.
> > Statt zu sagen, die Liste und die Anzahl der in ihr enthaltenen
> > Dinge _sind_ unendlich, waere es korrekter zu sagen, sie streben
> > gegen unendlich ohne dieses Unendlich je zu erreichen. Wenn man
> > akzeptiert, dass die unendliche Folge unserer oben definierten Dinge
> > ein unfertiges Gebilde ist, ist man nicht genoetigt, anzunehmen,
> > das sie Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthaelt. Allerdings
> > ist dann auch die Anzahl der Dinge nicht unendlich sondern beliebig
> > gross wie es auch einzelne Zahlen mit beliebig vielen Stellen gibt.
> >
>
> Im Allgemeinen meint man mit "beliebig gross" bzw. "beliebig viel" immer
> endliche Dinge. Die Frage bzgl. Deines obigen Beispiels ist doch, wie
> gross die Anzahl der Stellen in einem D_k sein kann. Und da lautet die
> Antwort: Beliebig gross, aber auf jeden Fall endlich. Und die zweite
> Frage ist, wie viele solcher D_k es gibt. Und da lautet die Antwort:
> Unendlich viele, im Sinne von nicht nur endlich viele. Deine beiden
> "Beliebigkeiten" meinen also unterschiedliche Dinge.
Du _machst_ zwei verschiedene Dinge daraus, indem du zwei
verschiedene Unendlichkeitsdefinitionen anwendest.
> Ausserdem verstehe ich nicht, wieso Deine oben angrebrachte
> Argumentation, dass es Dinge mit unendlich vielen Stellen geben muss, in
> dieser Betrachtungsweise nicht auch angewendet werden kann.
Den Satz habe ich leider nicht verstanden.
>
> > Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
> > Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
> > voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
> > werden muss. Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> > Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> > Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
>
> Natuerlich kann jede beliebige Menge eventuell auch unendlich sein, wenn
> man denn die Existenz unendlicher Mengen zulaesst. Aber die natuerlichen
> Zahlen sind per Konstruktion auf jeden Fall endlich, und da kann auch
> die pure Existenz unendlicher Mengen nichts dran aendern.
Nehmen wir an, es ist so. Alle natuerlichen Zahlen sind in der
Folge der N_k enthalten. Es gibt keine nat. Zahl, die nicht in
einem N_k vorkommt.
Alle N_k haben endliche Maechtigkeit. Es gibt kein N_k mit der
Maechtigkeit w, sonst muesste es ein erstes solches N_k geben.
Zu jedem N_k gibt es eine Komplementaermenge C_k mit der Maechtigkeit
w. Ein beliebiges C_n enthaelt mehr Elemente als jedes N_k, das du dir
beliebig aussuchen kannst.
Wenn du n fest vorgibst und k > n waehlst, ist die
Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer, sie enthaelt aber fuer
_kein_ k unendlich viele Elemente. C_n enthaelt also unendlich viele
Elemente, die in keinem N_k vorkommen, sonst muesste es wie gesagt
ein erstes N_k mit der Maechtigkeit w geben.
Das Unendlichkeitsaxiom fuehrt also zusaetzliche Elemente in
die Menge N ein, die keine nat. Zahlen sind. Diese werden dann
mit der Folge der N_k, die im uebrigen identisch mit der in der
reellen Analysis definierten unbegrenzten Folge ist, wieder
herausgefiltert. Trotzdem wird behauptet, N sei die Menge der
nat. Zahlen. Das ist der Widerspruch, den ich in der Theorie sehe.
>
> >
...
> > Diese beliebig herausgegriffenen Zahlen sind daher nicht repraesentativ
> > fuer alle Zahlen, man kann von ihren Eigenschaften nicht auf die
> > Eigenschaften aller Zahlen schliessen. Aus der Tatsache, dass man
> > bei diesem beliebigen Herausgreifen nur Zahlen mit endlich vielen
> > Stellen erwischt, kann man also nicht schliessen, dass es nur solche
> > gibt.
>
> Das ist schon richtig. Man kann aber trotzdem Aussagen ueber alle
> natuerlichen Zahlen machen, und diese auch beweisen.
> Ausserdem hast Du nur eine Moeglichkeit angegeben, Teilmengen von N zu
> beschreiben. Wer sagt denn, dass es nicht andere Moeglichkeiten gibt,
> mit denen man auch unendliche Teilmengen beschreiben kann? Wie waere es
> mit der Menge aller geraden Zahlen, der Menge aller Zahlen > 10?
> Nur weil eine bestimmte Konstruktion nur endliche Teilmengen liefert,
> folgt daraus noch lange nicht, dass man nicht auch unendliche Teilmengen
> konstruieren kann.
Damit wird das Problem nur verschoben aber nicht geloest. Solange
nicht geklaert ist, ob die Zusammenfassung der nat. Zahlen eine
unendliche Menge oder eine unbegrenzte Folge ist, kannst du auch
nicht entscheiden, ob die Zusammenfassung der geraden Zahlen eine
Menge oder eine Folge ist. Diese Zusammenfassung enthaelt dann wieder
nur am Anfang einige Zahlen gefolgt von Puenktchen. Wir landen also
wieder am Anfang unserer Diskussion und muessten sie wiederholen bis
wir wieder hier ankommen. Wir befinden uns also in einem logischen
Zirkel. Solange die Eigenschaften von N nicht geklaert sind,
koennen wir nicht Eigenschaften von Mengen, die aus N abgeleitet sind,
als Argumente heranziehen.
Gruss Dieter
Holger Gollan
>
Hallo Dieter,
ich glaub enicht, dass ich mit Dir ueber eine 3er-Logik endlich,
unendlich, und noch irgend etwas anderes, diskutieren moechte. Zum Einen
werden die einzelnen Postings schon wieder bedrohlich lang, zum Anderen
wirfst Du unserer Mengenlehre ja Widersprueche vor, so dass wir uns auch
in unserer Mengenlehre bewegen sollten. Ob Deine besser ist, mag ja
Thema eines anderen Threads sein, aber in diesem sollte es um die
gewoehnliche Mengenlehre gehen.
> Holger Gollan schrieb am 19. Juli 11:45 h:
> >
> > Dieter Jungmann wrote:
> > >
> > > Horst Kraemer schrieb am 16. Juli 07:39 GMT:
> > >
>
> Von unendlich ist in den beiden Aussagen noch keine Rede. Ich habe aber
> anschliessend deutlich gesagt, dass zwei Definitionen zu unterscheiden
> sind. Als unendlich bezeichne ich Mengen, die mit dem Unendlichkeitsaxiom
> der Mengenlehre definiert sind. Die mathematische Definition, oder die
Wie sieht denn das Unendlichkeitsaxiom Deiner Meinung nach aus? Es waere
schoen, hier von Dir mal eine mathematische Formulierung zu bekommen.
> Definition der reellen Analysis wie Paul Ebermann praezisiert hat,
> hingegen gilt fuer Folgen. Diese bezeichne ich als unbegrenzte Folgen
Paul hat Dir aber auch eine (oder gar mehrere) Definition fuer die
Unendlichkeit von Mengen gegeben.
> nicht als unendliche Folgen. Was vorstehend gesagt wurde, rechtfertigt
> noch nicht, von unendlich zu sprechen, weil noch keine unendliche Menge
> eingefuehrt wurde. Bisher haben wir nur eine unbegrenzte Folge.
>
> > Zunaechst einmal sei gesagt, dass die beiden Betrachtungen eben nicht
> > identisch sind. Bei der Frage nach der Laenge der Liste geht es um die
> > Anzahl der Elemente (Zeilen) insgesamt, bei der Frage nach der Anzahl
> > der Stellen geht es jeweils um die Anzahl der Stellen (Nullen) innerhalb
> > einer Zeile. (Wir sind uns ja schon einig, dass man insgesamt unendlich
> > viele Stellen (Nullen) benoetigt, und das genau deshalb, weil man
> > unendlich viele Zeilen hat.)
>
> Wozu brauchst du denn die unendlich vielen Nullen, wenn nicht zur
> Darstellung einer Zahl? Du benutzt den Begriff unendlich staendig
Zur Darstellung aller Zahlen!
> in zwei verschiedenen Bedeutungen. Wenn du von der Anzahl der Stellen
> sprichst, benutzt du die Definition der reellen Analysis im Sinne von
> beliebig viele oder unbegrenzt viele. Dann gibt es in der Tat nur
> Zahlen mit endlich vielen Stellen.
Beliebig, aber endlich viele. Das ist eben keine Definition von
Unendlichkeit, sondern es meint, dass die Anzahl der Stellen auf jeden
Fall endlich ist. Es gibt zwar keine obere Schranke fuer diese Anzahl,
aber jede einzelne Anzahl ist endlich.
>
> Wenn du von der Anzahl der Zeilen oder der Zahlen sprichst,
> benutzt du den Unendlichkeitsbegriff der Mengenlehre, indem
> du von allen und nicht nur von beliebig vielen Zeilen sprichst.
> Wir haben bisher noch keine unendliche Menge eingefuehrt.
> Unsere Liste ist eine unbegrenzte Folge von Zeilen aber
> keine Menge. Durch Vorgabe einer Zahl k wird die Menge D_k
> definiert, die alle Zahlen (bzw. Dinge, wie es Horst genannt hat)
> von Zeile 0 bis einschliesslich Zeile k enthaelt. Gleichzeitig
> wird auch die Menge d_k definiert, die ausser einer 1 die Anzahl
> der Nullen enthaelt, die zur Darstellung der Zahlen von D_k
> benoetigt werden.
>
> Durch Vorgabe von beliebig grossen Zahlen k kann man beide Mengen,
> D_k und d_k, beliebig gross machen. Aber _beide_ Mengen enthalten
> nur endlich viele Elemente. Wenn du aber von allen Zahlen sprichst,
> greifst du gedanklich vor und beruecksichtigst auch die Zahlen, die
> in der Komplementaermenge D\D_k enthalten sind, waehrend du die
> Nullen in der Komplementaermenge d\d_k nicht beruechsichtigt.
Wenn ich alle Nullen in der Menge d beruecksichtigen wuerde, dann wuerde
ich nach der Menge aller Stellen fragen, die ich zur Darstellung aller
natuerlichen Zahlen benoetige. Diese Menge ist natuerlich unendlich, und
das hat auch niemand bestritten. Das ist aber nicht das Thema. Die Frage
ist, ob es zur Darstellung einer einzelnen Zahl jemals noetig sein wird,
unendlich viele Stellen zu benutzen. Und das ist nicht der Fall!
Wie gesagt: Natuerlich kannst Du auch d und d\d_k betrachten, nur
untersuchst Du dann eine voellig andere Fragestellung.
> Wir haben unsere Liste bisher noch nicht als unendliche Menge
> definiert und koennen folglich _beide_ Komplementaermengen gar
> nicht bilden, weil wir es noch mit unbegrenzten Folgen zu tun haben.
>
> Wenn wir die Liste als unendliche Menge auffassen, muessen entweder
> _beide_ Kompementaermengen oder keine von beiden beruecksichtigt
> werden. Die Vermischung von zwei Unendlichkeitsdefinitionen ist
s.o.
> die Ursache fuer alle unsere Missverstaendnisse. Wenn wir nicht
> von unendlichen Mengen sondern von unbegrenzten Folgen sprechen
> wuerden, koennte ich alle Argumente einschliesslich der Unterscheidung
> zwischen "jedes Element" und "alle Elemente" unterschreiben.
>
> > Uebrigens kann man die Unendlichkeit der Anzahl der Zeilen auch anders
> > beweisen, naemlich per Widerspruch. Die Annahme, dass es nur endlich
> > viele Zeilen gaebe, fuehrt dazu, dass es eine letzte geben muss, was
> > wegen der Konstruktionsvorschrift nicht sein kann.
>
> Daraus folgt nur, dass man keine obere Grenze fuer die Anzahl der
> Elemente nennen kann, dass sie also beliebig gross werden kann.
> Die Existenz einer unendlichen Menge ist damit nicht bewiesen,
> sonst waere das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig (Axiome kann
> man nicht beweisen).
>
Obige Argumentation beweist, dass die Anzahl der Zeilen nicht endlich
sein kann. Wenn Du daraus nicht den Schluss ziehen kannst, dass die
Anzahl unendlich ist, dann ist das eine Folge Deiner 3er-Logik.
> Eine beliebig ausgewaehlte Zahl k hat endlich viele Stellen. Aber sie
> definiert auch nur eine endliche Teilmenge N_k, die alle Zahlen von
> 0 bis k enthaelt. Die Zahlen der Komplementaermenge C_k = N\N_k
> duerfen nur mitgezaehlt werden, wenn auch die Stellen zu ihrer
> Darstellung beruecksichtigt werden.
> Die Frage, ob es tatsaechlich unendlich viele Zahlen und daher
> auch solche mit unendlich vielen Stellen gibt, haengt vom Unendlich-
> keitsbegriff ab. Mit der Unendlichkeitsdefinition der Mengenlehre
Wieso "und daher"? Woher weisdt Du, dass es in den C_k Zahlen mit
unendlich vielen Stellen gibt?
> muessen die C_k bei der Frage nach _allen_ Zahlen beruecksichtigt
> werden, dann gibt es auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen.
> Bei der Definition der reellen Analysis existieren die C_k nicht,
> weil N dann keine Menge ist. Dann erhaelt man nur Zahlen mit
> endlich vielen Stellen.
>
Wir betreiben hier aber nicht Analysis, sondern Mengenlehre!
> >
> ...
> > Vielleicht noch einmal ein paar Fragen in diesem Zusammenhang, deren
> > Antworten uns vielleicht einen Schritt weiter bringen:
> > 1) Jedes D_i ist eine endliche Menge, oder?
>
> Ja.
>
> > 2) Es gibt unendlich viele D_i, da es sich um eine unendliche Folge
> > handelt, und per Konstruktion die einzelnen D_i voneinander verschieden
> > sind.
>
> Nein. Es gibt beliebig viele D_i und es handelt sich um eine
> unbegrenzte Folge. Um Verwechslungen zu vermeiden, muss der
> Begriff unendlich in der Mengenlehre fuer unendliche Mengen
> reserviert werden. In unendlichen Mengen existieren die
> Komplemantaermengen, in unbegrenzten Folgen nicht.
>
> > 3) Es ist D gleich der Vereinigung der D_i.
>
> Nein. D = {1,10,100,1000,...} ist die Vereinigung der d_i. Die
> Vereinigung der D_i waere {{1}, {1,10}, {1,10,100}, ...}.
>
D_0 = {1}, D_1 = {1,10}, D_2 = {1,10,100}, ...
Vereinigung der D_i = { x | \exists i mit x \in D_i }
= { 1 , 10 , 100 , ... }
Ich denke schon, dass D die Vereinigung der D_i ist. Und was spricht
dagegen, diese Menge zu bilden?
> > 4) Damit ist D eine unendliche Menge.
>
> Nein. D wird weder durch Vereinigung der D_i noch der d_i zur Menge.
> Beide Vereinigungen ergeben nur wieder unbegrenzte Folgen. Zur
> unendlichen Menge wird D durch das Unendlichkeitsaxiom. Man erkennt
Noch einmal die Bitte, Deine Version des Unendlichkeitsaxioms zu
praesentieren. Denn ansonsten werde wir noch lange aneinander vorbei
reden. Ich bin kein Axiomatiker der Mengenlehre, aber meiner Meinung
nach ist das Problem der obigen Konstruktion nicht die Vereinigungsmenge
sondern die gleichzeitige Existenz aller D_i. (Hier mag ich mich aber
auch taeuschen.)
> den Unterschied an den Komplementaermengen D\D_i, die nicht existieren,
> wenn unsere Liste nur eine unbegrenzte Folge ist. Wenn man D als
> unendliche Menge auffasst und dann von _allen_ Zeilen spricht, muss
> man auch die Zeilen in den Komplementaermengen und die in diesen
> stehenden Dinge (= Zahlen) d_k mit k > i, also auch die
> Komplementaermengen d\d_i, beruecksichtigen.
>
> > 5) Jedes Element von D muss in einem der D_i enthalten sein, ist also
> > endlich.
>
> Auch hier gilt wieder: Diese Aussage ist nur richtig, wenn man D als
> unbegrenzte Folge auffasst. Wenn D eine unendliche Menge ist, gilt
> fuer jedes i, dass endlich viele Elemente d_k von D (naemlich alle bis
> einschliesslich d_i) in D_i und unendlich viele Elemente (naemlich alle
> d_k mit k > i) in der Komplemantaermenge D\D_i enthalten sind.
> In endlich vielen Schritten erreicht man kein i, fuer das das nicht
> gilt. Es befinden sich also immer unendlich viele Dinge d_k mit k > i
> in einer Komplementaermenge. Um eine fuer alle Elemente gueltige
> Aussage zu treffen, muessen daher die Elemente in den Komplementaer-
> mengen ebenfalls beruecksichtigt werden, sonst fallen unendlich
> viele Elemente unter den Tisch, naemlich alle diejenigen, die in
> endlich vielen Schritten nicht erreicht werden.
Vielleicht solltest Du Dir noch einmal die Definition der
Vereinigungsmenge genauer ansehen. Wenn D die Vereinigung aller D_i ist,
was meiner Meinung nach richtig ist, dann ist ein Element genau dann in
D, wenn es in mindestens einem der D_i ist. Ich wuesste nicht, was an
dieser Definition fuer unendliche Mengen nicht gueltig sein sollte. Es
ist schon richtig, dass es immer unendlich viele Elemente (Dinge) in
jeder Komplementaermenge gibt. Das aendert aber nichts daran, dass es
auch fuer jedes Element in einer solchen Komplementaermenge mindestens
ein i (und damit unendlich viele i) geben muss, die dieses Element
enthalten. Nur weil es unendliche Komplementaermengen gibt, heisst das
doch nicht, dass die Definition der Vereinigungsmenge nicht mehr
anwendbar ist.
>
> > 6) Es gibt unendlich viele endliche Dinge.
>
> Nein. Es gibt (in unserem Beispiel) beliebig viele endliche Dinge
Nur noch einmal zur Klaerung: Wir sind uns sicher, dass die Anzahl der
endlichen Dinge nicht endlich ist, oder? Denn sonst muesste die Liste ja
irgend wann einmal zu Ende sein. Fuer mich heisst dass, das die Anzahl
dann unendlich ist. Fuer Dich folgt daraus, dass die Anzahl der Elemente
beliebig gross ist. Wie schon weiter oben geschrieben: Du kannst gerne
eine Mathematik auf Grundlage dieser Begriffe entwickeln. Wenn Du
allerdings der gewoehnlichen Mengenlehre Widerssprueche vorwirfst, dann
musst Du Dich mit Deiner Argumentation schon innerhalb dieser
gewoehnlichen Mengenlehre aufhalten.
(Im Allgemeinen wird unter beliebig viel, beliebig gross, immer noch
eine endliche Zahl verstanden.)
> und unendlich viele unendliche Dinge. Um den Sinn dieser Aussage
> zu verstehen, musst du auf die urspruengliche Definition unseres
> Beispiels zurueckkommen. Horst Kraemer hatte die 1-0-0-0...-Folgen
> nicht als Zahlen sondern als Dinge bezeichnet, um sie von jeder
> Interpretation frei zu halten (ich hatte sie vorher als binaere
> Darstellung der Zweierpotenzen bezeichnet).
>
> Zur Erlaeuterung der vorstehenden Aussage ist es zweckmaessig, die
> Begrenzung auf 1-0-Folgen mit einer 1 am Anfang und dann nur noch
> Nullen aufzugeben, und beliebige 0-1-Folgen zu betrachten. Wir koennen
> sie systematisch anordnen, z. B. in der Folge
> 1, 01, 11, 001, 010, 011, ... .
>
> Wenn man sie als binaere Darstellung der natuerlichen Zahlen
> interpretieren und die natuerliche Reihenfolge einhalten will,
> kann man sie von rechts nach links statt wie ueblich von links
> nach rechts interpretieren.
> Wir betrachten unsere Liste jetzt nicht als unbegrenzte Folge sondern
> als unendliche Menge von Zeilen (= 0-1-Folgen) im Sinne der Mengenlehre.
>
> Die Anzahl der 0-1-Folgen und die Anzahl der Stellen einzelner Folgen
> haengen sicher nicht davon ab, wie wir sie interpretieren. Niemand
> zwingt uns, sie als natuerliche Zahlen zu verstehen. Wir koennen sie
> auch als reelle Zahlen des Einheitsintervalls in binaerer Darstellung
> interpretieren. In diesem Fall zweifelst du doch auch nicht daran,
> dass die unendliche Menge der 0-1-Folgen auch solche mit unendlich
> vielen Stellen enthaelt. Wenn wir nur die Folge der D_i betrachten,
Das haengt davon ab, ob man sich vorher darauf einigt, nur endliche oder
auch unendliche Folgen aufzuschreiben.
> die nur Dinge d_i mit endlich vielen Stellen enthalten,
> erhalten wir nur die (in binaerer Darstellung) nichtperiodischen
> rationalen Zahlen. Es fehlen also ausser den irrationalen auch alle
> periodischen rationalen Zahlen.
>
Also erhalten wir doch insbesondere schon alle natuerlichen Zahlen,
oder?
> Auf deiner Seite ist natuerlich jetzt die Versuchung gross, zu
> behaupten, die Menge der 0-1-Folgen sei ueberabzaehlbar, wenn man
> _alle_ 0-1-Kombinationen zulaesst. Wir koennen aber eine abzaehlbare
> Auswahl treffen, indem wir die Menge aller periodischen und nicht
> periodischen rationalen und der algebraisch irrationalen Zahlen in
> binaerer Schreibweise betrachten. Jetzt haben wir eine abzaehlbar
> unendliche Menge von 0-1-Folgen, die auch unendlich viele 0-1-Folgen
> mit unendlich vielen Stellen enrhaelt. Wo ist die letzte 0-1-Folge
> mit endlich vielen und die erste mit unendlich vielen Stellen?
> Oder kannst du einen Grund nennen, warum es nicht moeglich sein
> sollte, die 0-1-Folgen nach der Anzahl ihrer Stellen zu ordnen?
>
Das sieht mir ganz nach dem Problem mit den Potenzmengen aus, welches
wir vor mehreren Monaten schon einmal diskutiert haben. Wenn Du die
0-1-Folgen nach der Anzahl der Stellen ordnest, wirst Du praktisch
keinen Platz fuer die unendlichen Folgen finden, weil Du sozusagen schon
unendlich viele Positionen fuer die endlichen Folgen benoetigst. Dass
heist aber nicht, dass es nicht eine andere Anordnung gibt, die alle von
Dir ausgewaehlten Folgen ordnet.
> Andererseits kann uns niemand verbieten, die 0-1-Folgen als nat.
> Zahlen zu interpretieren. Enthaelt diese abzaehlbare Menge ausser
> den nat. Zahlen noch etwas anderes? Wie willst du diese anderen
> Elemente abzaehlen?
> Die nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen stehen dafuer nicht zur
> Verfuegung, da sie in dieser Menge mit den endlichen 0-1-Folgen
> identisch sind, so dass Cantors Methode des Umsortierens hier
> nicht anwendbar ist.
Verstehe ich Dich jetzt richtig? Du hast eine abzaehlbare Menge derart,
dass die natuerlichen Zahlen eine Teilmenge sind. Und Du behauptest,
dass daraus Probleme fuer das Abzaehlen entstehen, da die natuerlichen
Zahlen ja sozusagen schon verbraucht sind?
Wer sagt denn, dass die natuerlichen Zahlen fuer das Abzaehlen (also
sozusagen die Positionsangabe) mit den natuerlichen Zahlen als Element
uebereinstimmen muss.
> > _______
> > >
> > > Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff gilt: Unendlich ist
> > > eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
> > > einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
> >
> > Wie waere es mit: Unendlich ist alles, was nicht endlich ist? Wieso
> > benoetigt man zur Definition von Unendlichkeit Grenzwertbetrachtungen?
> > Gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen?
>
> Alles als unendlich zu bezeichnen, was nicht endlich ist, halte ich
> fuer zu ungenau. Dass z. B. eine Unterscheidung zwischen beliebig
> gross und unendlich noetig ist, habe ich schon begruendet. Dass die
> Existenz oder Nicht-Existenz der Komplementaermengen ein nicht zu
> vernachlaessigender Unterschied ist, laesst sich doch wohl kaum
> bestreiten.
Das laesst sich sehr wohl bestreiten. Die Probleme, die Du mit den
Komplementaermengen siehst, sind vielleicht gar nicht vorhanden.
>
> Und die Grenzwertbetrachtungen? Stell dir vor, es gaebe sie nicht,
> wie kommst du dann ueberhaupt auf den Begriff unendlich?
>
Wieso brauche ich Grenzwerte, um auf den Begriff "unendlich" zu kommen.
Betrachte doch einfach die Maechtigkeit von Mengen!
> >
> > Im Allgemeinen meint man mit "beliebig gross" bzw. "beliebig viel" immer
> > endliche Dinge. Die Frage bzgl. Deines obigen Beispiels ist doch, wie
> > gross die Anzahl der Stellen in einem D_k sein kann. Und da lautet die
> > Antwort: Beliebig gross, aber auf jeden Fall endlich. Und die zweite
> > Frage ist, wie viele solcher D_k es gibt. Und da lautet die Antwort:
> > Unendlich viele, im Sinne von nicht nur endlich viele. Deine beiden
> > "Beliebigkeiten" meinen also unterschiedliche Dinge.
>
> Du _machst_ zwei verschiedene Dinge daraus, indem du zwei
> verschiedene Unendlichkeitsdefinitionen anwendest.
>
Dann versuchen wir es doch einmal ohne verschiedene Definitionen und mit
dem kleinsten gemeinsamen Nenner:
Ist die Anzahl der Stellen in einem beliebigen D_k endlich oder nicht?
Wie viele D_k gibt es? Endlich viele oder nicht?
Fuer die erste Frage lautet die Antwort "endlich", fuer die letzte Frage
lautet sie "nicht endlich". Bis hierhin muessten wir eigentlich noch
uebereinstimmen. Du magst jetzt die erste Frage mit beliebig gross und
die letzte Frage mit beliebig viele beantworten, und dann beide
Antworten gleich setzen. Das geht aber nicht, da es eben einen
Unterschied zwischen den beiden Beliebigkeiten gibt.
> > Ausserdem verstehe ich nicht, wieso Deine oben angrebrachte
> > Argumentation, dass es Dinge mit unendlich vielen Stellen geben muss, in
> > dieser Betrachtungsweise nicht auch angewendet werden kann.
>
> Den Satz habe ich leider nicht verstanden.
>
Der Satz bezog sich darauf, dass Du uns ja eigentlich davon ueberzeugen
willst, dass es in unserer Mengenlehre Zahlen mit unendlich vielen
Stellen geben muss. Ich hatte bis dahin nicht verstanden, warum Deine
Argumentation nicht auch auf Deine Mengenlehre anwendbar ist. Und so
ganz habe ich es immer noch nicht verstanden.
> >
> > > Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
> > > Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
> > > voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
> > > werden muss. Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> > > Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> > > Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
> >
> > Natuerlich kann jede beliebige Menge eventuell auch unendlich sein, wenn
> > man denn die Existenz unendlicher Mengen zulaesst. Aber die natuerlichen
> > Zahlen sind per Konstruktion auf jeden Fall endlich, und da kann auch
> > die pure Existenz unendlicher Mengen nichts dran aendern.
>
> Nehmen wir an, es ist so. Alle natuerlichen Zahlen sind in der
> Folge der N_k enthalten. Es gibt keine nat. Zahl, die nicht in
> einem N_k vorkommt.
> Alle N_k haben endliche Maechtigkeit. Es gibt kein N_k mit der
> Maechtigkeit w, sonst muesste es ein erstes solches N_k geben.
> Zu jedem N_k gibt es eine Komplementaermenge C_k mit der Maechtigkeit
> w. Ein beliebiges C_n enthaelt mehr Elemente als jedes N_k, das du dir
> beliebig aussuchen kannst.
> Wenn du n fest vorgibst und k > n waehlst, ist die
> Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer, sie enthaelt aber fuer
> _kein_ k unendlich viele Elemente. C_n enthaelt also unendlich viele
> Elemente, die in keinem N_k vorkommen, sonst muesste es wie gesagt
> ein erstes N_k mit der Maechtigkeit w geben.
>
Moment, immer langsam! Fuer festes n und beliebiges k > n gilt, dass die
Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer ist. Genauer gilt, dass diese
Schnittmenge gleich der Menge { n+1 , n+2 , ... , k } ist. Insbesondere
ist diese Schnittmenge immer endlich, da sie natuerlich eine Teilmenge
der endlichen Menge N_k ist. Sie enthaelt also fuer kein k unendlich
viele Elemente. Wieso enthaelt dann aber C_n unendlich viele Elemente,
die in keinem N_k vorkommen? Hier fehlt mir ein Argumentationschritt!
Ist es denn nicht so, dass diese Schnittmengen die Menge C_n genau so
approximieren, wie die Mengen N_k die Menge N. Von daher sehe ich hier
keine groessere Klarheit gegenueber der bisherigen Diskussion.
> Das Unendlichkeitsaxiom fuehrt also zusaetzliche Elemente in
> die Menge N ein, die keine nat. Zahlen sind. Diese werden dann
> mit der Folge der N_k, die im uebrigen identisch mit der in der
> reellen Analysis definierten unbegrenzten Folge ist, wieder
> herausgefiltert. Trotzdem wird behauptet, N sei die Menge der
> nat. Zahlen. Das ist der Widerspruch, den ich in der Theorie sehe.
>
Wenn Du diesen Widerspruch noch einmal genauer ausformulieren koenntest,
dann waeren wir sicherlich einen grossen Schritt weiter. Obige
Argumentation kann allerdings in ihrer jetzigen Form dazu nicht
verwendet werden.
Fuer die gewoehnliche Mengenlehre ist die Zusammenfassung der
natuerlichen Zahlen nun mal eine Menge und da ist auch nichst mehr zu
klaeren. Und solange Du daraus keinen Widerspruch ableiten kannst, wirst
Du auch niemanden hier von einer anderen Mengenlehre ueberzeugen
koennen.
Paul Ebermann
> D_k und d_k, beliebig gross machen. Aber _beide_ Mengen enthalten
> nur endlich viele Elemente. Wenn du aber von allen Zahlen sprichst,
> greifst du gedanklich vor und beruecksichtigst auch die Zahlen, die
> in der Komplementaermenge D\D_k enthalten sind, waehrend du die
Warum bist du denn der Meinung, es gäbe Elemente in D,
die in keinem D_k enthalten sind?
> [...]
>
> > Uebrigens kann man die Unendlichkeit der Anzahl der Zeilen auch anders
> > beweisen, naemlich per Widerspruch. Die Annahme, dass es nur endlich
> > viele Zeilen gaebe, fuehrt dazu, dass es eine letzte geben muss, was
> > wegen der Konstruktionsvorschrift nicht sein kann.
>
> Daraus folgt nur, dass man keine obere Grenze fuer die Anzahl der
> Elemente nennen kann, dass sie also beliebig gross werden kann.
> Die Existenz einer unendlichen Menge ist damit nicht bewiesen,
> sonst waere das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig (Axiome kann
> man nicht beweisen).
Jede endliche, totalgeordnete Menge (und unsere D_k bzw. d_k
kann man totalordnen, etwa durch ihre Position in der Liste)
hat genau ein größtes Element.
Bei unendlichen Mengen ist dies nicht immer so - es muss
auch nicht immer ein kleinstes Element geben.
> Eine beliebig ausgewaehlte Zahl k hat endlich viele Stellen. Aber sie
> definiert auch nur eine endliche Teilmenge N_k, die alle Zahlen von
> 0 bis k enthaelt.
Eine einzelne Zahl k definiert als einzige Menge {k}, also
die Menge, die nur k enthält.
Man kann aber natürlich mittels k die Menge N_k der ersten k
Zahlen beschreiben.
> Die Zahlen der Komplementaermenge C_k = N\N_k
> duerfen nur mitgezaehlt werden, wenn auch die Stellen zu ihrer
> Darstellung beruecksichtigt werden.
> Die Frage, ob es tatsaechlich unendlich viele Zahlen und daher
> auch solche mit unendlich vielen Stellen gibt, haengt vom Unendlich-
> keitsbegriff ab.
Diese beiden Fragen sind nicht mit der gleichen Antwort
zu versehen.
a) Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
Dies kann man an der Definition der Unendlichkeit von
Mengen überprüfen:
/----
| Es gibt eine echte Teilmenge, nennen wir sie G, für die
| es eine Bijektion f : N --> G gibt.
\----
Als eine solche Teilmenge kommt etwa die Menge
der geraden Zahlen in Betracht, denn diese ist
eine echte Teilmenge (es gibt ungerade natürliche
Zahlen), und es gibt mit f(n) := 2n eine
Bijektion.
Damit ist N unendlich.
b) jede natürliche Zahl hat endlich viele Stellen:
Den Beweis dazu (über vollständige Induktion)
habe ich neulich schon gepostet.
> Mit der Unendlichkeitsdefinition der Mengenlehre
> muessen die C_k bei der Frage nach _allen_ Zahlen beruecksichtigt
> werden, dann gibt es auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen.
> Bei der Definition der reellen Analysis existieren die C_k nicht,
> weil N dann keine Menge ist. Dann erhaelt man nur Zahlen mit
> endlich vielen Stellen.
Woher weißt du denn so genau, was in den C_k für Elemente
drin sind? Es geht mir dabei um solche, die (deiner Meinung
nach) in keiner der N_k sind.
> > Vielleicht noch einmal ein paar Fragen in diesem Zusammenhang, deren
> > Antworten uns vielleicht einen Schritt weiter bringen:
> > 1) Jedes D_i ist eine endliche Menge, oder?
>
> Ja.
>
> > 2) Es gibt unendlich viele D_i, da es sich um eine unendliche Folge
> > handelt, und per Konstruktion die einzelnen D_i voneinander verschieden
> > sind.
>
> Nein. Es gibt beliebig viele D_i und es handelt sich um eine
> unbegrenzte Folge. Um Verwechslungen zu vermeiden, muss der
> Begriff unendlich in der Mengenlehre fuer unendliche Mengen
> reserviert werden. In unendlichen Mengen existieren die
> Komplemantaermengen, in unbegrenzten Folgen nicht.
>
> > 3) Es ist D gleich der Vereinigung der D_i.
>
> Nein. D = {1,10,100,1000,...} ist die Vereinigung der d_i. Die
> Vereinigung der D_i waere {{1}, {1,10}, {1,10,100}, ...}.
Nein.
Mit d_0 = 1, d_1 = 10, d_2 = 100, ...
und D_0 = {1}, D_1= {1, 10}, D_2 = {1, 10, 100}, ...
ist D = {1, 10, 100, 1000, ...} die *Menge* der d_i,
und die Vereinigungsmenge der D_i,
während X = {{1}, {1, 10}, {1, 10, 100}, ...}
die Menge der D_i ist.
Sowohl X als auch D sind allerdings unendlich,
wie man leicht durch herstellen einer Bijektion
auf eine Teilmenge (z.B. ohne das erste Element)
nachweisen kann.
> > 4) Damit ist D eine unendliche Menge.
>
> Nein. D wird weder durch Vereinigung der D_i noch der d_i zur Menge.
> Beide Vereinigungen ergeben nur wieder unbegrenzte Folgen.
Wenn du schon den Begriff "Folge" verwendest, dann hast
du implizit schon unendliche Mengen verwendet. Eine
Folge ist nämlich genau eine Abbildung von der Menge
N der natürlichen Zahlen in irgend eine andere Menge,
hier die Menge der Zeichenfolgen mit 1 zu Beginn und
danach nur 0en.
Wenn dabei alle Folgeglieder paarweise unterschiedlich
sind (also d_i <> d_k für alle i <> k), (also die
Abbildung injektiv ist), dann ist die Menge der
Folgeglieder
D = { d_i | i in N }
natürlich wieder eine unendliche Menge.
> Zur
> unendlichen Menge wird D durch das Unendlichkeitsaxiom.
Nein: Das Unendlichkeitsaxiom macht keine Mengen zu
unendlichen Mengen, es sagt nur etwas über die Existenz
solcher aus.
Auf jeden Fall fügt es keine zusätzlichen Elemente
zu Mengen hinzu.
Zur unendlichen Menge wird D durch die Definition
unendlicher Mengen.
> Man erkennt
> den Unterschied an den Komplementaermengen D\D_i, die nicht existieren,
> wenn unsere Liste nur eine unbegrenzte Folge ist. Wenn man D als
> unendliche Menge auffasst und dann von _allen_ Zeilen spricht, muss
> man auch die Zeilen in den Komplementaermengen und die in diesen
> stehenden Dinge (= Zahlen) d_k mit k > i, also auch die
> Komplementaermengen d\d_i, beruecksichtigen.
Warum werden jetzt deine d_i auf einmal Mengen?
> > 5) Jedes Element von D muss in einem der D_i enthalten sein, ist also
> > endlich.
>
> Auch hier gilt wieder: Diese Aussage ist nur richtig, wenn man D als
> unbegrenzte Folge auffasst. Wenn D eine unendliche Menge ist, gilt
> fuer jedes i, dass endlich viele Elemente d_k von D (naemlich alle bis
> einschliesslich d_i) in D_i und unendlich viele Elemente (naemlich alle
> d_k mit k > i) in der Komplemantaermenge D\D_i enthalten sind.
Das bestreitet ja niemand.
> In endlich vielen Schritten erreicht man kein i, fuer das das nicht
> gilt. Es befinden sich also immer unendlich viele Dinge d_k mit k > i
> in einer Komplementaermenge.
Richtig.
> Um eine fuer alle Elemente gueltige
> Aussage zu treffen, muessen daher die Elemente in den Komplementaer-
> mengen ebenfalls beruecksichtigt werden, sonst fallen unendlich
> viele Elemente unter den Tisch, naemlich alle diejenigen, die in
> endlich vielen Schritten nicht erreicht werden.
Hier ist wieder dein logischer Fehlschluss.
Für jedes Element d_i aus D ist dieses ein Element
der (endlichen) Teilmenge D_i. Auch wenn es
unendlich viele Elemente "hinter" d_i (also
außerhalb von D_i) gibt, ist jedes einzelne d_k
Teil einer endlichen Teilmenge D_k.
> > 6) Es gibt unendlich viele endliche Dinge.
>
> Nein. Es gibt (in unserem Beispiel) beliebig viele endliche Dinge
> und unendlich viele unendliche Dinge. Um den Sinn dieser Aussage
> zu verstehen, musst du auf die urspruengliche Definition unseres
> Beispiels zurueckkommen. Horst Kraemer hatte die 1-0-0-0...-Folgen
> nicht als Zahlen sondern als Dinge bezeichnet, um sie von jeder
> Interpretation frei zu halten (ich hatte sie vorher als binaere
> Darstellung der Zweierpotenzen bezeichnet).
Um ein "Ding" (keine Menge) als endlich/unendlich zu verstehen,
müssen wir hier eine neue Definition aufstellen.
/--------
| Ein Ding, welches von der Form "100...00" ist, heißt endlich,
| falls bei Numerierung der 0'en (mit 0 voon hinten beginnend),
|die Menge dieser Nummern eine endliche Menge ist.
| Ein Ding heißt unendlich, falls die Menge der Nummern eine
| unendliche Menge ist.
\---------
Bei dieser Definition sind alle d_i endlich, während
D = { d_i | i in N }
= { d_0, d_1, d_2, ... }
= { 1, 10, 100, ... }
eine unendliche Menge ist.
> Zur Erlaeuterung der vorstehenden Aussage ist es zweckmaessig, die
> Begrenzung auf 1-0-Folgen mit einer 1 am Anfang und dann nur noch
> Nullen aufzugeben, und beliebige 0-1-Folgen zu betrachten. Wir koennen
> sie systematisch anordnen, z. B. in der Folge
> 1, 01, 11, 001, 010, 011, ... .
>
> Wenn man sie als binaere Darstellung der natuerlichen Zahlen
> interpretieren und die natuerliche Reihenfolge einhalten will,
> kann man sie von rechts nach links statt wie ueblich von links
> nach rechts interpretieren.
Wobei bei dieser Darstellung (mit 0 am Anfang möglich)
jede natürliche Zahl mehrere Darstellungen besitzt, so
sind 01, 010, 0100, 01000, ... sämtlich Darstellungen der
Zahl 4.
> Wir betrachten unsere Liste jetzt nicht als unbegrenzte Folge sondern
> als unendliche Menge von Zeilen (= 0-1-Folgen) im Sinne der Mengenlehre.
Betrachte sie erst einmal nur als Menge - die
Unendlichkeit kann man dann beweisen.
> Die Anzahl der 0-1-Folgen und die Anzahl der Stellen einzelner Folgen
> haengen sicher nicht davon ab, wie wir sie interpretieren. Niemand
> zwingt uns, sie als natuerliche Zahlen zu verstehen. Wir koennen sie
> auch als reelle Zahlen des Einheitsintervalls in binaerer Darstellung
> interpretieren.
> In diesem Fall zweifelst du doch auch nicht daran,
> dass die unendliche Menge der 0-1-Folgen auch solche mit unendlich
> vielen Stellen enthaelt.
Dies ist unabhängig von der Interpretation - wenn du
nur solche Folgen nimmst, die auch natürliche Zahlen
darstellen können, dann sind keine mit unendlich vielen
Stellen dabei.
> Wenn wir nur die Folge der D_i betrachten,
> die nur Dinge d_i mit endlich vielen Stellen enthalten,
> erhalten wir nur die (in binaerer Darstellung) nichtperiodischen
> rationalen Zahlen. Es fehlen also ausser den irrationalen auch alle
> periodischen rationalen Zahlen.
Richtig. Wir haben also nur diejenigen rationalen Zahlen (des
Einheitsintervalls), die in gekürzter Schreibweise eine
2-er-Potenz unter dem Bruchstrich besitzen.
> Auf deiner Seite ist natuerlich jetzt die Versuchung gross, zu
> behaupten, die Menge der 0-1-Folgen sei ueberabzaehlbar, wenn man
> _alle_ 0-1-Kombinationen zulaesst. Wir koennen aber eine abzaehlbare
> Auswahl treffen, indem wir die Menge aller periodischen und nicht
> periodischen rationalen und der algebraisch irrationalen Zahlen in
> binaerer Schreibweise betrachten. Jetzt haben wir eine abzaehlbar
> unendliche Menge von 0-1-Folgen, die auch unendlich viele 0-1-Folgen
> mit unendlich vielen Stellen enrhaelt. Wo ist die letzte 0-1-Folge
> mit endlich vielen und die erste mit unendlich vielen Stellen?
Wenn du auch unendliche Folgen zulässt, und diese lexikographisch
sortierst, ist die erste unendliche Folge
00000000000000000000000000...
Eine letzte endliche Folge gibt es nicht.
> Oder kannst du einen Grund nennen, warum es nicht moeglich sein
> sollte, die 0-1-Folgen nach der Anzahl ihrer Stellen zu ordnen?
Du kannst sie ordnen, allerdings kannst du bei unendlichen
Mengen nicht immer ein größtes Element angeben.
> Andererseits kann uns niemand verbieten, die 0-1-Folgen als nat.
> Zahlen zu interpretieren. Enthaelt diese abzaehlbare Menge ausser
> den nat. Zahlen noch etwas anderes? Wie willst du diese anderen
> Elemente abzaehlen?
Ich weiß nicht, ob schon jemand eine explizite Abzählung
der algebraischen Zahlen (im Einheitsintervall) A gefunden
hat. Dies ist eine Bijektion von N nach A.
> Die nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen stehen dafuer nicht zur
> Verfuegung, da sie in dieser Menge mit den endlichen 0-1-Folgen
> identisch sind, so dass Cantors Methode des Umsortierens hier
> nicht anwendbar ist.
Dabei kannst du natürlich nicht einfach die endlichen
Reihen sich selbst zuordnen, weil sonst kein Platz für
die anderen Zahlen da ist.
Cantors Methode der Aufzählung der rationalen Zahlen
ordente ja auch die natürlichen Zahlen mit ein.
Warum soll das hier nicht gehen?
> Diese Methode ist ohnehin nur auf unbegrenzte Folgen aber nicht
> auf unendliche Mengen anwendbar.
>
> Auf unbegrenzte Folgen ist sie wegen der Beliebigkeit der Anzahl
> der Elemente anwendbar. Es ist hier nicht noetig, _alle_ Elemente
> aufeinander abzubilden, es genuegt zu zeigen, dass dies fuer beliebige
> endliche Teilmengen moeglich ist.
Eine Folge kann keine Teilmengen haben - dieser Begriff ist für
Mengen reserviert.
> Bei unendlichen Mengen entfaellt
> diese Beliebigkeit, weil bei ihnen eine unveraenderliche, wenn auch
> unendliche, Anzahl von Elementen vorausgesetzt wird, die _alle_
> abgebildet werden muessen. Die Argumentation verlaeuft aber immer so,
> als haette man es doch mit unbegrenzten Folgen zu tun.
Welche rationale Zahl wurde denn bei Cantors Methode nicht
auf eine natürliche Zahl abgebildet?
> > > Fuer den mathematischen Unendlichkeitsbegriff gilt: Unendlich ist
> > > eine Eigenschaft von Folgen, nicht von einzelnen Zahlen oder
> > > einzelnen Mengen, weil man fuer diese keine Grenzwertbetrachtung
> >
> > Wie waere es mit: Unendlich ist alles, was nicht endlich ist? Wieso
> > benoetigt man zur Definition von Unendlichkeit Grenzwertbetrachtungen?
> > Gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen?
>
> Alles als unendlich zu bezeichnen, was nicht endlich ist, halte ich
> fuer zu ungenau. Dass z. B. eine Unterscheidung zwischen beliebig
> gross und unendlich noetig ist, habe ich schon begruendet. Dass die
> Existenz oder Nicht-Existenz der Komplementaermengen ein nicht zu
> vernachlaessigender Unterschied ist, laesst sich doch wohl kaum
> bestreiten.
Komplementärmengen gibt es nur bei Teilmengen
einer Obermenge.
Was du bei Mengenfolgen damit willst, ist mir unklar.
> Und die Grenzwertbetrachtungen? Stell dir vor, es gaebe sie nicht,
> wie kommst du dann ueberhaupt auf den Begriff unendlich?
Ganz einfach: Eine Menge M ist unendlich, wenn sie eine
gleichmächtige echte Teilmenge T hat (also eine Teilmenge,
so dass es ein Element in M gibt, was nicht in T ist, und
eine Bijektion f : M --> T).
Es reicht hier auch schon eine Injektion M --> T oder
eine Surjektion T --> M.
> > > Die Mengenlehre verwendet einen anderen Unendlichkeitsbegriff.
> > > Das Unendlichkeitsaxiom setzt die Existenz einer unendlichen _Menge_
> > > voraus, so dass sie nicht konstruiert oder als Grenzwert definiert
> > > werden muss. Deshalb koennen auch einzelne Mengen und nicht nur
> > > Mengenfolgen unendlich sein.*) Da die Zahlen mengentheoretisch als
> > > Mengen definiert sind, kann auch eine einzelne Zahl unendlich sein.
> >
> > Natuerlich kann jede beliebige Menge eventuell auch unendlich sein, wenn
> > man denn die Existenz unendlicher Mengen zulaesst. Aber die natuerlichen
> > Zahlen sind per Konstruktion auf jeden Fall endlich, und da kann auch
> > die pure Existenz unendlicher Mengen nichts dran aendern.
>
> Nehmen wir an, es ist so. Alle natuerlichen Zahlen sind in der
> Folge der N_k enthalten. Es gibt keine nat. Zahl, die nicht in
> einem N_k vorkommt.
> Alle N_k haben endliche Maechtigkeit. Es gibt kein N_k mit der
> Maechtigkeit w, sonst muesste es ein erstes solches N_k geben.
Es gibt kein N_k mit der Mächtigkeit w, die Begründung ist
aber falsch.
> Zu jedem N_k gibt es eine Komplementaermenge C_k mit der Maechtigkeit
> w. Ein beliebiges C_n enthaelt mehr Elemente als jedes N_k, das du dir
> beliebig aussuchen kannst.
Richtig.
> Wenn du n fest vorgibst und k > n waehlst, ist die
> Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer, sie enthaelt aber fuer
> _kein_ k unendlich viele Elemente.
Das ist richtig.
> C_n enthaelt also unendlich viele
> Elemente, die in keinem N_k vorkommen, sonst muesste es wie gesagt
> ein erstes N_k mit der Maechtigkeit w geben.
Das ist ein falscher Schluss.
Für jedes Element k in C_n ist dieses doch zumindest in N_k
enthalten. Außerdem noch in N_(k+1), N_(k+2), ...
> Das Unendlichkeitsaxiom fuehrt also zusaetzliche Elemente in
> die Menge N ein, die keine nat. Zahlen sind.
Das Unendlichkeitsaxiom ist eine Existenzausage, es führt
keine neuen Elemente ein.
> Diese werden dann
> mit der Folge der N_k, die im uebrigen identisch mit der in der
> reellen Analysis definierten unbegrenzten Folge ist, wieder
> herausgefiltert.
Die Folge der N_k ist keine Folge, die in der reellen Analysis
verwendet wird, denn dort benutzt man Folgen von Zahlen,
keine Folgen von Zahlenmengen.
Du kannst höchstens die Folge card(N_k) betrachten,
die dann aus natürlichen Zahlen besteht. Diese Folge
ist nicht nach oben beschränkt, sondern konvergiert
uneigentlich gegen +oo.
Wo hier etwas gefiltert wird, bleibt mir schleierhaft.
> Trotzdem wird behauptet, N sei die Menge der
> nat. Zahlen. Das ist der Widerspruch, den ich in der Theorie sehe.
Noch einmal: jedes k in N ist mindestens in N_k enthalten.
Also ist N die Vereinigungsmenge der N_k.
Paul
Christian Semrau
>
> > Zur
> > unendlichen Menge wird D durch das Unendlichkeitsaxiom.
Zur _Menge_ wird D durch das Unendlichkeitsaxiom.
>
> Nein: Das Unendlichkeitsaxiom macht keine Mengen zu
> unendlichen Mengen, es sagt nur etwas über die Existenz
> solcher aus.
> Auf jeden Fall fügt es keine zusätzlichen Elemente
> zu Mengen hinzu.
Richtig.
> Zur unendlichen Menge wird D durch die Definition
> unendlicher Mengen.
Wenn D eine Menge ist, dann ist D nach Definition
der "unendlichen Menge" unendlich.
Ohne das Unendlichkeitsaxiom kann man zwar auch den Begriff der
uendlichen Menge definieren (z.B. ueber Bijektionen auf Teilmengen),
aber es gelingt dann nicht, die Existenz unendlicher Mengen
nachzuweisen, weil man von den "Kandidaten" nicht nachweisen kann, dass
sie Mengen sind.
Gruss,
Christian
--
Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
Um auf die andere Seite - aehm...
Christian Semrau
(Dieter, ich dachte, du wolltest aus Zeitgruenden die Diskussion
abbrechen?)
> > > 3) Es ist D gleich der Vereinigung der D_i.
> >
> > Nein. D = {1,10,100,1000,...} ist die Vereinigung der d_i. Die
> > Vereinigung der D_i waere {{1}, {1,10}, {1,10,100}, ...}.
> >
Diese Menge waere die Menge, die die D_i als Elemente enthaelt!
Die Vereinigungsmenge der D_i ist die Menge, die die Elemente der D_i
enthaelt!
>
> D_0 = {1}, D_1 = {1,10}, D_2 = {1,10,100}, ...
> Vereinigung der D_i = { x | \exists i mit x \in D_i }
> = { 1 , 10 , 100 , ... }
> Ich denke schon, dass D die Vereinigung der D_i ist. Und was spricht
> dagegen, diese Menge zu bilden?
Nach der Mengenlehre, die z.B. im von Dieter verwendeten Ebbinghaus
dargelegt wird, ist diese Vereinigung nur mit Hilfe des
Unendlichkeitsaxioms moeglich, denn beliebige Vereinigungen fuehren
erstmal zu Klassen, und man muss irgendwie nachweisen, dass man eine
Menge erzeugt hat.
Haette man das Unendlichkeitsaxiom nicht, bzw. haette man ein
"Anti-Unendlichkeitsaxiom", waere D nicht als Menge nachweisbar
bzw. waere gar keine Menge!
> > > 4) Damit ist D eine unendliche Menge.
> >
> > Nein. D wird weder durch Vereinigung der D_i noch der d_i zur Menge.
> > Beide Vereinigungen ergeben nur wieder unbegrenzte Folgen. Zur
> > unendlichen Menge wird D durch das Unendlichkeitsaxiom. Man erkennt
>
> Noch einmal die Bitte, Deine Version des Unendlichkeitsaxioms zu
> praesentieren. Denn ansonsten werde wir noch lange aneinander vorbei
> reden.
Die im Ebbinghaus lautet:
(Inf) Es existiert eine Menge M, die die leere Menge {}
als Element enthaelt und mit jedem Element m
auch die Menge m vereinigt {m}.
Nach Aussonderungsaxiom kann man dann die Existenz einer Menge zeigen,
die nichts anderes als diese Elemente enthaelt, und fortan "Menge w
[omega] der natuerlichen Zahlen" genannt werden wird.
> Ich bin kein Axiomatiker der Mengenlehre, aber meiner Meinung
> nach ist das Problem der obigen Konstruktion nicht die Vereinigungsmenge
> sondern die gleichzeitige Existenz aller D_i. (Hier mag ich mich aber
> auch taeuschen.)
Alle D_i existieren, unabhaengig vom Unendlichkeitsaxiom.
Es ist gerade die Vereinigungsmenge, die dieses Axiom benoetigt.
> Vielleicht solltest Du Dir noch einmal die Definition der
> Vereinigungsmenge genauer ansehen. Wenn D die Vereinigung aller D_i ist,
> was meiner Meinung nach richtig ist,
((Ja, D kann als Vereinigungsmenge aller D_i aufgefasst werden, aber
erst nachdem D als Menge nachgewiesen ist. Und das geht mit dem
Unendlichkeitsaxiom.))
Dieter Jungmann
>
> Hallo Dieter,
> ich glaub enicht, dass ich mit Dir ueber eine 3er-Logik endlich,
> unendlich, und noch irgend etwas anderes, diskutieren moechte. Zum Einen
> werden die einzelnen Postings schon wieder bedrohlich lang, zum Anderen
> wirfst Du unserer Mengenlehre ja Widersprueche vor, so dass wir uns auch
> in unserer Mengenlehre bewegen sollten. Ob Deine besser ist, mag ja
> Thema eines anderen Threads sein, aber in diesem sollte es um die
> gewoehnliche Mengenlehre gehen.
Hallo Holger,
du hast recht, die postings werden immer laenger und es scheint auch
keine Einigung in Sicht zu sein. Ich beschraenke mich daher in einem
letzten Versuch auf ein Beispiel.
>
...
> > Alle natuerlichen Zahlen sind in der
> > Folge der N_k enthalten. Es gibt keine nat. Zahl, die nicht in
> > einem N_k vorkommt.
> > Alle N_k haben endliche Maechtigkeit. Es gibt kein N_k mit der
> > Maechtigkeit w, sonst muesste es ein erstes solches N_k geben.
> > Zu jedem N_k gibt es eine Komplementaermenge C_k mit der Maechtigkeit
> > w. Ein beliebiges C_n enthaelt mehr Elemente als jedes N_k, das du dir
> > beliebig aussuchen kannst.
> > Wenn du n fest vorgibst und k > n waehlst, ist die
> > Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer, sie enthaelt aber fuer
> > _kein_ k unendlich viele Elemente. C_n enthaelt also unendlich viele
> > Elemente, die in keinem N_k vorkommen, sonst muesste es wie gesagt
> > ein erstes N_k mit der Maechtigkeit w geben.
> >
>
> Moment, immer langsam! Fuer festes n und beliebiges k > n gilt, dass die
> Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer ist. Genauer gilt, dass diese
> Schnittmenge gleich der Menge { n+1 , n+2 , ... , k } ist. Insbesondere
> ist diese Schnittmenge immer endlich, da sie natuerlich eine Teilmenge
> der endlichen Menge N_k ist. Sie enthaelt also fuer kein k unendlich
> viele Elemente. Wieso enthaelt dann aber C_n unendlich viele Elemente,
> die in keinem N_k vorkommen? Hier fehlt mir ein Argumentationschritt!
Die Aussage "es gibt keine nat. Zahl, die nicht in einem N_k vorkommt"
wurde als richtig bestaetigt, allerdings unter der Voraussetzung, dass
es nur solche mit endlich vielen Stellen gibt. Da wir hier die Frage
diskutieren, ob es nicht doch nat. Zahlen mit unendlich vielen Stellen
gibt oder auf Grund der Axiome der Theorie geben muesste, duerfen wir
die Antwort nicht vorwegnehmen. Die Aussage ist daher zu verstehen als
"es gibt keine nat. Zahl mit endlich vielen Stellen, die nicht in einem
N_k vorkommt".
Bezeichnen wir die Schnittmenge von N_k und C_n als S_k. Die
Differenzmenge C_n\S_k enthaelt dann die Elemente von N, die
nicht in N_k oder N_n enthalten sind. (N ist die Vereinigungsmenge
von N_k und C_n\S_k, wenn k >=n.)
C_n hat die Maechtigkeit w. Alle S_k haben endliche Maechtigkeiten.
Folglich haben alle Differenzmengen C_n\S_k die Maechtigkeit w.
Es gelingt also nicht C_n zu entleeren. Man kann aber alle
nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen aus C_n entfernen,
denn es gibt keine nat. Zahl, und damit auch keine Menge von
nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen, die nicht in einem N_k
enthalten ist.
Folglich muss C_n unendlich viele Elemente enthalten, die
keine nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen sind. Um alle
unendlich vielen Elemente aus C_n entfernen zu koennen,
muesste es wenigstens ein N_k mit der Maechtigkeit w geben.
(Ich habe den Verdacht, dass du die Elemente aus C_n nacheinander
mit verschiedenen S_k entfernen willst. Das ist nicht moeglich,
weil jedes S_k Teilmenge von S_(k+1) ist. Entweder gelingt es,
mit _einer_ Schnittmenge alle Elemente aus C_n zu enrfernen oder
es gelingt gar nicht. Diese eine Schnittmenge und folglich auch die
entsprechende Menge N_k muesste die Maechtigkeit w haben.)
> Ist es denn nicht so, dass diese Schnittmengen die Menge C_n genau so
> approximieren, wie die Mengen N_k die Menge N. Von daher sehe ich hier
> keine groessere Klarheit gegenueber der bisherigen Diskussion.
Machen wir einen Versuch mit einer Grenzwertbetrachtung.
Der Grenzwert ist, wenn er existiert, _nie_ Element der
Folge, weil sie sonst ein letztes Element haette. Jedes Element
einer Folge ist durch unendlich viele andere Elemente von dem
Grenzwert getrennt, denn waeren es nur endlich viele (trennende
Elemente), koennte man den Grenzwert in endlich vielen Schritten
erreichen.
Jede unendliche Folge enthaelt also unendlich viele Elemente,
die _grundaetzlich_ nicht erreichbar sind, jedenfalls nicht
in endlich vielen Schritten.
C_n ist fest vorgegeben. Die S_k und C_n\S_k folgen aus den N_k.
Daher ist nur fuer N_k eine Grenzwertbetrachtung anzustellen.
Die Folge der N_k (also der Teilmengen der nat. Zahlen, die in
endlich vielen Schritten erreichbar sind und die daher nur endlich
viele Stellen haben), naehert sich der Menge N aller nat. Zahlen.
Man kann daher N als Grenzmenge der N_k bezeichnen. N ist aber
selbst kein Element der Folge der N_k, sonst haette sie ein
letztes Element. N ist daher durch unendlich viele Elemente von
_jedem_ N_k getrennt.
N ist die einzige Menge, die alle nat. Zahlen enthaelt.
Daher wuerde nur die Differenzmenge C_n\S_g, mit S_g = Schnittmenge
von N und C_n, keine natuerlichen Zahlen enthalten. Die
Schnittmengen der N_k mit C_n koennen also nicht alle nat. Zahlen
aus C_n enrfernen, aber sie koennen alle nat. Zahlen mit endlich
vielen Stellen entfernen. Folglich enthalten N und C_n auch
nat. Zalen mit unendlich vielen Stellen, und zwar unendlich viele,
weil _jede_ nat. Zahl mit endlich vielen Stellen durch unendlich
viele Elemente von der Grenzmenge N entfernt ist.
Gruss Dieter
Norbert Micheel
> Nehmen wir an, es ist so. Alle natuerlichen Zahlen sind in der
> Folge der N_k enthalten. Es gibt keine nat. Zahl, die nicht in
> einem N_k vorkommt.
> Alle N_k haben endliche Maechtigkeit. Es gibt kein N_k mit der
> Maechtigkeit w, sonst muesste es ein erstes solches N_k geben.
> Zu jedem N_k gibt es eine Komplementaermenge C_k mit der Maechtigkeit
> w. Ein beliebiges C_n enthaelt mehr Elemente als jedes N_k, das du dir
> beliebig aussuchen kannst.
> Wenn du n fest vorgibst und k > n waehlst, ist die
> Schnittmenge von C_n und N_k nicht leer, sie enthaelt aber fuer
> _kein_ k unendlich viele Elemente.
Warum sollte sie auch ?
> C_n enthaelt also unendlich viele
> Elemente, die in keinem N_k vorkommen, [...]
Diese Folgerung ist mal wieder logisch falsch !
C_n enthaelt zu jedem k unendlich viele Elemente, die nicht in N_k
vorkommen,
aber zu jedem k ist dies eine andere Menge. Also laesst sich nicht folgern,
dass es eine Teilmenge B_n in C_n gibt, die mit jedem N_k, k>n einen leeren
Schnitt hat.
N
Manuel Nickschas
Mal völlig losgelöst von der eigentlichen Diskussion, aber dieser Absatz
hat mich etwas gestört.
> Machen wir einen Versuch mit einer Grenzwertbetrachtung.
> Der Grenzwert ist, wenn er existiert, _nie_ Element der
> Folge, weil sie sonst ein letztes Element haette. Jedes Element
> einer Folge ist durch unendlich viele andere Elemente von dem
> Grenzwert getrennt, denn waeren es nur endlich viele (trennende
> Elemente), koennte man den Grenzwert in endlich vielen Schritten
> erreichen.
> Jede unendliche Folge enthaelt also unendlich viele Elemente,
> die _grundaetzlich_ nicht erreichbar sind, jedenfalls nicht
> in endlich vielen Schritten.
Beziehst du das jetzt auf beliebige Folgen oder nur auf die speziellen
Folgen aus der Diskussion in diesem Thread? Der Grenzwert einer Folge darf
nämlich durchaus auch in der Folge enthalten sein. Betrachte die Folge
(a_n) mit a_n = 1: Der Grenzwert dieser Folge ist 1, und die Folge ist
trotzdem unendlich... Oder auch diese Folge: 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4...
Grenzwert 0, und trotzdem ist auch diese Folge unendlich.
Gruß Manuel
--
Falls auf Ihrer Tastatur noch keine "any key"-Taste vorhanden sein sollte,
können Sie die Funktion erreichen, indem Sie folgende Tasten gleichzeitig
gedrückt halten: <Linke STRG> <ALT> <F1> <ESC> <ALTGR> <P> <I> <PAUSE>
(aus der Spielanleitung für "Das Hexagon-Kartell")
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> 2. Die Liste hat kein Ende. Man kann daher die Zahl der Zeilen (= Dinge)
> und der Nullen des laengsten Dings, das es in dieser Liste nicht gibt,
> weil es keine letzte Zeile gibt, nicht angeben.
Das ist wohl so.
> Hier kommt der Begriff Unendlich ins Spiel. Mathematisch geht man so vor:
> Um festzustellen, ob die Anzahl der Zeilen endlich oder unendlich ist,
> versucht man eine Zahl n zu finden, so dass fuer alle z gilt z < n
> oder z = n. Wenn das gelingt, ist die Anzahl der Zeilen endlich sonst
> unendlich. Genauso pruefe ich, ob die Liste Dinge mit unendlich
> vielen Nullen enthaelt. Wuerde sie nur Dinge enthalten, so dass fuer
> alle s gilt s < n oder s = n, waere die Liste endlich, sie wuerde dann
> maximal n Dinge enthalten. Folglich muss sie mindestens ein Ding
> enthalten, fuer dessen s sich die Bedingung nicht erfuellen laesst.
> Es muss also mindestens ein Ding mit einer unendlichen Menge Nullen
> in der Liste sein, wenn sie unendlich sein soll.
Aufgrund welcher mathematischen Folgerung folgt aus der Tatsache, dass
es zu jedem n ein Ding mit mit mehr Nullen als n gibt, die Tatsache,
dass es ein Ding mit unendlich vielen Nullen gibt ?
"Zu jedem n gibt es ein groesseres Ding"
ist logisch _nicht_ gleichbedeutend mit
"Es gibt ein Ding, das groesser ist als jedes n"
MfG
Horst
Holger Gollan
>
> Holger Gollan schrieb am 23. Juli 11:20 h:
> >
> > Hallo Dieter,
> > ich glaub enicht, dass ich mit Dir ueber eine 3er-Logik endlich,
> > unendlich, und noch irgend etwas anderes, diskutieren moechte. Zum Einen
> > werden die einzelnen Postings schon wieder bedrohlich lang, zum Anderen
> > wirfst Du unserer Mengenlehre ja Widersprueche vor, so dass wir uns auch
> > in unserer Mengenlehre bewegen sollten. Ob Deine besser ist, mag ja
> > Thema eines anderen Threads sein, aber in diesem sollte es um die
> > gewoehnliche Mengenlehre gehen.
>
> Hallo Holger,
>
> du hast recht, die postings werden immer laenger und es scheint auch
> keine Einigung in Sicht zu sein. Ich beschraenke mich daher in einem
> letzten Versuch auf ein Beispiel.
>
Hallo Dieter,
sehr loeblich! Obwohl Du auch jetzt schon wieder mindestens zwei
Argumentationsfaeden begonnen hast, die allerdings meiner Meinung nach
miteinander zusammen haengen.
Nur zur Klarheit:
1) N ist die Menge der natuerlichen Zahlen.
2) Fuer jede natuerliche Zahl definiere N_k als die Menge derjenigen
natuerlichen Zahlen, die kleiner oder gleich k sind.
3) Fuer jede natuerliche Zahl k gilt, dass k Element von N_k ist.
Ich sehe hier nirgends eine Voraussetzung ueber die Anzahl der Stellen
von k.
> Bezeichnen wir die Schnittmenge von N_k und C_n als S_k. Die
> Differenzmenge C_n\S_k enthaelt dann die Elemente von N, die
> nicht in N_k oder N_n enthalten sind. (N ist die Vereinigungsmenge
> von N_k und C_n\S_k, wenn k >=n.)
> C_n hat die Maechtigkeit w. Alle S_k haben endliche Maechtigkeiten.
> Folglich haben alle Differenzmengen C_n\S_k die Maechtigkeit w.
> Es gelingt also nicht C_n zu entleeren. Man kann aber alle
> nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen aus C_n entfernen,
> denn es gibt keine nat. Zahl, und damit auch keine Menge von
> nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen, die nicht in einem N_k
> enthalten ist.
Was meinst Du mit entleeren?
> Folglich muss C_n unendlich viele Elemente enthalten, die
> keine nat. Zahlen mit endlich vielen Stellen sind. Um alle
> unendlich vielen Elemente aus C_n entfernen zu koennen,
> muesste es wenigstens ein N_k mit der Maechtigkeit w geben.
>
Es ist und bleibt ein Problem der Grenzwerte, oder? (Ich sehe uebrigens
immer noch nicht ein, warum wir die Sache hier komplizierter machen, als
sie es ohnehin schon ist. Warum schleppen wir hier noch einen Index n
mit, der an keiner Stelle der Argumentation gebraucht wird? Setzen wir
doch einfach n=0 oder n=1, je nachdem, was wir als kleinste natuerliche
Zahl gerne haetten. Und betrachten wir nicht C_n, sondern N.)
Die Frage ist doch, was mit den Mengen N\N_k geschieht! Jede dieser
Mengen ist unendlich, aber jedes N_k ist nur endlich. Nun behauptest Du,
dass es Elemente in N gibt, die in keinem N_k liegen. Als Begruendung
lieferst Du, dass man schliesslich die unendliche Menge N nicht durch
Wegstreichen von endlich vielen Elementen aus den Mengen N_k entleeren
kann. Das wuerde bedeuten, dass der Grenzwert der Differenzmengen N\N_k
nicht gleich der leeren Menge sein kann. Und dafuer fehlt mir ein
Argument! Warum kann nicht der Grenzwert von jeweils unendlichen Mengen
eine endliche Menge sein?
Ein Beispiel aus der Analysis: Betrachte die Intervalle [0,1/n]. Jedes
einzelne Intervall enthaelt eine unendliche Mengen von Zahlen. Der
Grenzwert ist aber das aus einem einzigen Punkt bestehende Intervall
[0,0]. In jedem Schritt werden hier sogar unendlich viele Elemente aus
dem vorher gehenden Intervall entfernt, es gibt aber keinen Schritt, in
dem alle Elemente entfernt werden. Es ist gerade Sinn und Wesen von
Grenzwertbetrachtungen, dass der Effekt, der im Grenzwert eintritt,
normalerweise nicht schon in einem der endlichen Schritte vorher
explizit eintritt.
Insbesondere muss es kein einzelnes N_k geben, welches alle Elemente aus
C_n entfernt. Es gibt ja auch kein Element in der Folge 1/n, welches
schon die Null erreicht.
> (Ich habe den Verdacht, dass du die Elemente aus C_n nacheinander
> mit verschiedenen S_k entfernen willst. Das ist nicht moeglich,
> weil jedes S_k Teilmenge von S_(k+1) ist. Entweder gelingt es,
> mit _einer_ Schnittmenge alle Elemente aus C_n zu enrfernen oder
> es gelingt gar nicht. Diese eine Schnittmenge und folglich auch die
> entsprechende Menge N_k muesste die Maechtigkeit w haben.)
>
s.o. Natuerlich werden die Elemente von C_n nacheinander entfernt, jedes
einzelne k durch sein zugehoeriges S_k. Es gibt kein S_k, was dieses
fuer alle leistet, schliesslich wuerde davon das k+1 ja nicht eliminiert
werden. Wenn wir uns schon mit Grenzprozessen abgeben, dann sollte Dir
eigentlich klar sein, dass hier gewisse Dinge anders ablaufen als im
Endlichen.
> > Ist es denn nicht so, dass diese Schnittmengen die Menge C_n genau so
> > approximieren, wie die Mengen N_k die Menge N. Von daher sehe ich hier
> > keine groessere Klarheit gegenueber der bisherigen Diskussion.
>
Hier ging es mir eigentlich darum, dass meiner Meinung nach
ueberfluessige n aus den Betrachtungen zu entfernen. Es fuehrt nur zu
einem zusaetzlichen Index, der meiner Meinung nach nicht noetig ist.
> Machen wir einen Versuch mit einer Grenzwertbetrachtung.
> Der Grenzwert ist, wenn er existiert, _nie_ Element der
> Folge, weil sie sonst ein letztes Element haette. Jedes Element
> einer Folge ist durch unendlich viele andere Elemente von dem
> Grenzwert getrennt, denn waeren es nur endlich viele (trennende
> Elemente), koennte man den Grenzwert in endlich vielen Schritten
> erreichen.
> Jede unendliche Folge enthaelt also unendlich viele Elemente,
> die _grundaetzlich_ nicht erreichbar sind, jedenfalls nicht
> in endlich vielen Schritten.
Und immer wieder findet sich, in verschiedenen Auspraegungen, die
gleiche Argumentation, die aber nicht dadurch besser wird, dass sie
immer wieder in einem neuen Gewand erscheint. (Wobei obige
Betrachtungen, wie Manuel schon geschrieben hat, natuerlich nicht fuer
alle Folgen gelten. Ich denke, Du meinst Folgen, bei denen der Grenzwert
selbst halt kein Folgenglied ist.)
Natuerlich wird bei solchen Folgen der Grenzwert nie erreicht, und jedes
einzelne Folgenglied ist sozusagen unendlich viele Schritte vom
Grenzwert entfernt. Das heisst aber _nicht_, dass es auch Folgenglieder
selbst gibt, die nicht in endlich vielen Schritten erreichbar sind. Wie
kommst Du auf diese Folgerung?
>
> C_n ist fest vorgegeben. Die S_k und C_n\S_k folgen aus den N_k.
> Daher ist nur fuer N_k eine Grenzwertbetrachtung anzustellen.
> Die Folge der N_k (also der Teilmengen der nat. Zahlen, die in
> endlich vielen Schritten erreichbar sind und die daher nur endlich
> viele Stellen haben), naehert sich der Menge N aller nat. Zahlen.
> Man kann daher N als Grenzmenge der N_k bezeichnen. N ist aber
> selbst kein Element der Folge der N_k, sonst haette sie ein
> letztes Element. N ist daher durch unendlich viele Elemente von
> _jedem_ N_k getrennt.
>
> N ist die einzige Menge, die alle nat. Zahlen enthaelt.
> Daher wuerde nur die Differenzmenge C_n\S_g, mit S_g = Schnittmenge
> von N und C_n, keine natuerlichen Zahlen enthalten. Die
> Schnittmengen der N_k mit C_n koennen also nicht alle nat. Zahlen
> aus C_n enrfernen, aber sie koennen alle nat. Zahlen mit endlich
> vielen Stellen entfernen. Folglich enthalten N und C_n auch
> nat. Zalen mit unendlich vielen Stellen, und zwar unendlich viele,
> weil _jede_ nat. Zahl mit endlich vielen Stellen durch unendlich
> viele Elemente von der Grenzmenge N entfernt ist.
>
Ich denke, hier wiederholt sich die weiter oben gefuerte Diskussion noch
einmal. Ich sehe zumindest keine neuen Argumente. Um die einzelnen
Postings abzukuerzen, stoppe ich also an dieser Stelle.
> Gruss Dieter
PS: Noch ein neuer Versuch:
1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
endlich oder nicht?
2) Kann ich nicht die Menge all dieser Zahlen bilden?
3) Ist diese Menge eine endliche Menge oder nicht?
4) Wieso sollen bei dieser Mengenbildung auf einmal neue Zahlen
auftauchen?
5) Gibt es mit dieser Menge auch Widersprueche in der traditionellen
Mengenlehre?
Wolfgang G. G.
| 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
| endlich oder nicht?
Wenn man die Bedeutung von "endlich" ernst nimmt, d.h. "endlich" im
Sinne von "begrenzt von einer maximalen Stellenanzahl" interpretiert,
dann muss auch die Anzahl der natürlichen Zahlen begrenzt sein.
Dieter Jungmann hat dies mit vielen z.T. sehr eleganten Beispielen
belegt. Ich war am Anfang auch überrascht, aber es scheint mir
inzwischen ein kaum zu bezweifelndes Faktum zu sein, dass die Anzahl
der natürlichen Zahlen nicht grösser sein kann, als die Anzahl
Striche der grössten Zahl in Strich-Notation.
( | )
( |, || )
( |, ||, ||| )
( |, ||, |||, |||| )
...
Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
"endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
unbegrenzt" interpretiert.
| 2) Kann ich nicht die Menge all dieser Zahlen bilden?
Nein, das ist genauso denkunmöglich wie die Vorstellung einer
Kugel, die eine unendliche (echte) Gerade umschliesst.
Auch hier halte ich Dieters Unterscheidung zwischen ENDLICHEN
MENGEN und UNBEGRENZTEN MENGENFOLGEN für sehr sinnvoll.
Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
unsinnig.
| 3) Ist diese Menge eine endliche Menge oder nicht?
Unbegrenzte Mengenfolgen wie die natürlichen Zahlen können
höchstens als potentiell unendliche aber keinesfalls als aktual
unendliche Mengen bezeichnet werden.
| 4) Wieso sollen bei dieser Mengenbildung auf einmal neue Zahlen
| auftauchen?
Zahlen mit (aktual) unendlich vielen Stellen sind eine logische
Konsequenz der postulierten (aktualen) Unendlichkeit der Anzahl
der natürlichen Zahlen. Ich vermute, dass in deiner Frage mit "neue
Zahlen" genau diese aktual-unendlichen Zahlen gemeint sind.
| 5) Gibt es mit dieser Menge auch Widersprueche in der traditionellen
| Mengenlehre?
Dieters Diskussionbeiträge sind voll davon. Hier einer, der
mir besonders interessant erscheint (ob der allerding zur
"traditionellen Mengenlehre" gehört, weiss ich nicht):
Es gilt/gelten:
- Rationale Zahlen als abzählbar unendlich
- Reelle Zahlen als überabzählbar unendlich
- Überabzählbar unendlich als mehr als abzählbar unendlich
Andererseits gilt auch:
- Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen reellen Zahlen
gibt es abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
- Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen rationalen Zahlen
gibt es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.
Daraus folgt eindeutig, dass weder die Anzahl (Mächtigkeit) der
reellen Zahlen grösser als die Anzahl der rationalen sein kann,
noch die Anzahl der rationalen Zahlen grösser als die der reellen.
Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
Intervalle. Überabzählbar viele sich nicht überschneidende
Intervalle mit je mindestens einer rationalen Zahl ergeben
überabzählbar viele rationale Zahlen.
Meine Sicht:
"Dass jede zufällige reelle Zahl eine endlose Zehnerbruch-
entwicklung aufweist, ist ein synthetisches Urteil apriori.
Und wenn schon einzelne Zahlen nicht bezeichnet werden können,
ist die Frage nach der Aufzählbarkeit aller reellen Zahlen
sinnlos." http://members.lol.li/twostone/a5.html
Gruss,
Wolfgang Gottfried G.
Thomas Haunhorst
Eine Menge heisse /abzaehlbar uendlich/, wenn ihre Kardinalitaet \omega
ist.
Eine Menge heisse /ueberabzaehlbar unendlich/, wenn ihre Kardinalitaet
groesser als \omega ist.
Gruss Thomas
--
Arnold Schiller
>
> Holger Gollan in 3B5D3574...@yahoo.com (de.sci.mathematik):
>
> | 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> | endlich oder nicht?
>
Myriaden Myriaden und zahlen erster, zweiter und dritter Ordnung usw.
Vielleicht ist es nur "ein Sprachkonflikt"?
Was eine Mathematiker als unendlich bezeichnet, ist letztendlich ein
abgeschlossener Denkprozess der endlich ist. In dem Erkennen, dass die
Natürlichen Zahlen endlich auch sind, trotz ihrer Unendlichkeit lässt
einem die Möglichkeit darüber hinauszudenken.
Die Natürlichen Zahlen sind unendlich auf dieselbe Art und Weise wie
jedes andere Denkmodell über Zahlen die auf die Natürlichen Zahlen
aufbauen.
Für Mathematiker macht es Sinn darin zu unterscheiden. Und ich versuche
mir abzugewöhnen diesbezüglich mathematische Beispiele zu verwenden.
Gruss
Arnold
Thomas Haunhorst
Eine Menge heisse /abzaehlbar uendlich/, wenn ihre Kardinalitaet \omega
ist.
Eine Menge heisse /ueberabzaehlbar unendlich/ oder einfach /ueberabzaehlbar/,
Holger Gollan
>
Hallo Wolfgang,
herzlich Willkommen in der Diskussion. Die Philosophie habe ich wieder
entfernt, da wir meiner Meinung nach immer noch ueber Mathematik
diskutieren.
> Holger Gollan in 3B5D3574...@yahoo.com (de.sci.mathematik):
>
> | 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> | endlich oder nicht?
>
> Wenn man die Bedeutung von "endlich" ernst nimmt, d.h. "endlich" im
> Sinne von "begrenzt von einer maximalen Stellenanzahl" interpretiert,
> dann muss auch die Anzahl der natürlichen Zahlen begrenzt sein.
>
Wenn man die Stellenzahl beschraenkt, dann gibt es natuerlich nur
endlich viele natuerliche Zahlen. Das bestreitet auch niemand. Wir
sollten uns vielleicht erst einmal darauf einigen, was der Begriff
"endlich" bedeutet.
> Dieter Jungmann hat dies mit vielen z.T. sehr eleganten Beispielen
> belegt. Ich war am Anfang auch überrascht, aber es scheint mir
> inzwischen ein kaum zu bezweifelndes Faktum zu sein, dass die Anzahl
> der natürlichen Zahlen nicht grösser sein kann, als die Anzahl
> Striche der grössten Zahl in Strich-Notation.
>
Ich koennte Dir sofort zustimmen, wenn Du mir die groesste Zahl nennen
koenntest. Es gibt aber keine solche Zahl. Folglich ist die Anzahl der
Strichfolgen mit einer endlichen Anzahl von Strichen nicht endlich.
> ( | )
> ( |, || )
> ( |, ||, ||| )
> ( |, ||, |||, |||| )
> ...
>
> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
> unbegrenzt" interpretiert.
>
Genau so war sie gemeint. Alles andere wurde hinein interpretiert. Warum
soll ich mir ueber diesen Zusatz Gedanken machen?
Ich frage, wie viele Zahlen mit endlich vielen Stellen es gibt. Fuer
jede einzelne Zahl soll die Anzahl der Stellen endlich sein. Nicht
beschraenkt durch eine obere Schranke, warum auch? Und die Anzahl
solcher Zahlen ist nicht endlich, da sind wir uns doch einig, oder?
> | 2) Kann ich nicht die Menge all dieser Zahlen bilden?
>
> Nein, das ist genauso denkunmöglich wie die Vorstellung einer
> Kugel, die eine unendliche (echte) Gerade umschliesst.
>
Hier sehe ich nun ueberhaupt keinen Zusammenhang!
> Auch hier halte ich Dieters Unterscheidung zwischen ENDLICHEN
> MENGEN und UNBEGRENZTEN MENGENFOLGEN für sehr sinnvoll.
>
Obige Menge aller natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen kann
man natuerlich (!) bilden, zumindest in der traditionellen Mengenlehre.
Und wenn ihr nach Widerspruechen in dieser traditionellen Mengenlehre
sucht, dann muesst ihr diese Bildung schon akzeptieren. Denn sonst reden
wir ueber verschiedene Dinge und ihr erreicht euer Ziel nicht.
> Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
> Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
> natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
> unsinnig.
>
Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
hinschreiben kann.
> | 3) Ist diese Menge eine endliche Menge oder nicht?
>
> Unbegrenzte Mengenfolgen wie die natürlichen Zahlen können
> höchstens als potentiell unendliche aber keinesfalls als aktual
> unendliche Mengen bezeichnet werden.
>
Hat denn eine Mengenfolge endlich viele Glieder oder nicht? Das Problem
mit den Mengenfolgen ist, dass ihr eure eigene Mengenlehre aufbaut und
dann erwartet, damit Widersprueche in der traditionellen Mengenlehre zu
finden.
> | 4) Wieso sollen bei dieser Mengenbildung auf einmal neue Zahlen
> | auftauchen?
>
> Zahlen mit (aktual) unendlich vielen Stellen sind eine logische
> Konsequenz der postulierten (aktualen) Unendlichkeit der Anzahl
> der natürlichen Zahlen. Ich vermute, dass in deiner Frage mit "neue
> Zahlen" genau diese aktual-unendlichen Zahlen gemeint sind.
>
Gemeint sind die Zahlen mit mehr als endlich vielen Stellen. Und ich
bestreite weiterhin, dass ihre Existenz eine logische Konsequenz der
Tatsache ist, dass die Anzahl natuerlicher Zahlen mit endlich vielen
Stellen nicht endlich ist. Allen Argumentationen mit Komplementaermengen
fehlt der letzte logische Schluss.
> | 5) Gibt es mit dieser Menge auch Widersprueche in der traditionellen
> | Mengenlehre?
>
> Dieters Diskussionbeiträge sind voll davon. Hier einer, der
> mir besonders interessant erscheint (ob der allerding zur
> "traditionellen Mengenlehre" gehört, weiss ich nicht):
>
Das Problem ist, dass noch keiner dieser vermeintlichen Widersprueche
bis zum Ende ausdiskutiert wurde.
> Es gilt/gelten:
>
> - Rationale Zahlen als abzählbar unendlich
> - Reelle Zahlen als überabzählbar unendlich
> - Überabzählbar unendlich als mehr als abzählbar unendlich
>
> Andererseits gilt auch:
>
> - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen reellen Zahlen
> gibt es abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
> - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen rationalen Zahlen
> gibt es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.
>
> Daraus folgt eindeutig, dass weder die Anzahl (Mächtigkeit) der
> reellen Zahlen grösser als die Anzahl der rationalen sein kann,
> noch die Anzahl der rationalen Zahlen grösser als die der reellen.
>
> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> Intervalle. Überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> Intervalle mit je mindestens einer rationalen Zahl ergeben
> überabzählbar viele rationale Zahlen.
>
Ich denke mal, die Argumentation soll wie folgt verlaufen:
Zu jeder reellen Zahl r gibt es ein Intervall, das mindestens eine
rationale Zahl q enthaelt. Nun kann ich also jeder reellen Zahl r diese
rationale Zahl q zuordnen. Wenn ich jetzt, sozusagen von der anderen
Seite, die rationalen Zahlen anordne, da sie ja abzaehlbar sind, dann
habe ich zwangslaeufig auch eine Anordnung der entsprechenden reellen
Zahlen. Also sind auch die reellen Zahlen abzaehlbar.
Ist die Argumentationskette soweit einigermassen korrekt wiedergegeben?
Nun haengt natuerlich die rationale Zahl q von der reellen Zahl r ab,
und nman muesste eigentlich von einem q(r) sprechen. Obige Umkehrung der
Argumentation funktioniert natuerlich nur, wenn ich zu verschiedenen r
auch verschiedene q zuordne, so dass die Abbildung injektiv wird. Die
Frage ist also, ob q(r1) ungleich q(r2) ist, wenn r1 ungleich r2 ist.
Dazu schreibst Du oben, dass es zu ueberabzaehlbar vielen reellen Zahlen
auch ueberabzaehlbar viele sich nicht ueberschneidende Intervalle gibt.
Wenn dem so ist, dann ist es natuerlich kein Problem, die Injektivitaet
sicherzustellen. Hier habe ich aber meine Zweifel.
Betrachte ein beliebiges dieser Intervalle, etwa [r1,r2]. Was ist denn
mit den reellen Zahlen, die innerhalb dieses Intervalls liegen, also r1
< r3 < r2? Wie sieht denn das zu r3 gehoerige Intervall aus? Und warum
sollte es sich nicht mit dem Intervall [r1,r2] ueberschneiden?
Du siehts also, nicht jede Argumentationskette ist richtig, nur weil sie
sich gut anhoert. So einfach ist es also nicht, einen Widerspruch
zwischen der Abzaehlbarkeit der rationalen Zahlen und der
Ueberabzaehlbarkeit der reellen Zahlen herzustellen.
> Meine Sicht:
>
> "Dass jede zufällige reelle Zahl eine endlose Zehnerbruch-
> entwicklung aufweist, ist ein synthetisches Urteil apriori.
> Und wenn schon einzelne Zahlen nicht bezeichnet werden können,
> ist die Frage nach der Aufzählbarkeit aller reellen Zahlen
> sinnlos." http://members.lol.li/twostone/a5.html
>
> Gruss,
> Wolfgang Gottfried G.
--
Martin Spoden
Holger Gollan wrote:
> "Wolfgang G. G." wrote:
> entfernt, da wir meiner Meinung nach immer noch ueber Mathematik
> diskutieren.
>
> Wenn man die Stellenzahl beschraenkt, dann gibt es natuerlich nur
> endlich viele natuerliche Zahlen. Das bestreitet auch niemand. Wir
> sollten uns vielleicht erst einmal darauf einigen, was der Begriff
> "endlich" bedeutet.
Die Idee dahinter ist doch der Zählprozeß. Man fängt an (z.B. bei der
Null
oder auch der Eins) und findet immer wieder einen Nachfolger. Und die
einen
sagen, man kann sich vorstellen, immer noch eins weiterzuzählen, einen
neuen
Nachfolger zu finden - und die anderen meinen, es müsse irgendwo Schluß
sein.
Also formal:
(i) 0 \in |N,
(ii) Ist x \in |N, so auch sein Nachfolger x'.
(iii) x' > x führt zu einer totalen Ordnung,
y < x => y != x (also insbesondere keine Ringschlüsse und damit
immer neue Zahlen)
"endlich" ließe sich dann so charkterisieren:
(i') 0 \in |N, e \in |N
(ii') Ist x \in |N und ist x nicht e, so auch sein Nachfolger x'.
e hat keinen Nachfolger
(iii) x' > x führt zu einer totalen Ordnung,
y < x => y != x (also insbesondere keine Ringschlüsse und damit
immer neue Zahlen)
> > Dieter Jungmann hat dies mit vielen z.T. sehr eleganten Beispielen
> > belegt. Ich war am Anfang auch überrascht, aber es scheint mir
> > inzwischen ein kaum zu bezweifelndes Faktum zu sein, dass die Anzahl
> > der natürlichen Zahlen nicht grösser sein kann, als die Anzahl
> > Striche der grössten Zahl in Strich-Notation.
>
> Ich koennte Dir sofort zustimmen, wenn Du mir die groesste Zahl nennen
> koenntest. Es gibt aber keine solche Zahl. Folglich ist die Anzahl der
> Strichfolgen mit einer endlichen Anzahl von Strichen nicht endlich.
Wer meint, daß man nicht unendlich viele Symbole generieren kann, der
hat ein Weltbild, das begrenzt ist. Das Bemühen der Mathematik ist es
jedoch, weltbildunabhängige Wahrheiten zu schaffen. Hier kollidiert das
also. Und in der Tat muß man sich dann überlegen, was die Definition
eigentlich bedeutet. Es heißt ja nur, daß man Nachfolger konstruieren
kann. Diese Konstruktion - im Weltbild betrachtet - braucht natürlich
Zeit. Wir Menschen haben nur beschränkte Zeit zu leben. Folglich werden
wir immer nur beschränkt viele Zahlen generieren können.
Wem das nicht gefällt, der könnte ja argumentieren, daß man als Mensch
eben nicht die ganze Welt wahrnimmt - und so auch nicht beliebig große
Zahlen wahrnehmen kann:
> > ( | )
> > ( |, || )
> > ( |, ||, ||| )
> > ( |, ||, |||, |||| )
Mir langt eine Reihe:
OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige. Ich kann deswegen
aber noch lange nicht alles physikalisch unterscheiden. Und deswegen
kann ich auch nicht unterscheiden, ob es nun endlich viele oder
unendlich
viele vorneweg sind.
Diese Basteleien sind aber unerheblich. Wichtig ist doch nur, daß wer
die Voraussetzungen teilt, auch die Folgerungen akzeptiert, weil sie
logisch erschlossen worden sind. Diese Logik gehört dann natürlich
auch zu den Voraussetzungen...
"Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen zu
können.
Und dazu braucht man noch nicht einmal neue sprachliche Symbole (sondern
nur
"I"). Wer diesen Vorgang nicht beliebig oft durchführbar wähnt, darf
halt
die Mathematik dahinter beanspruchen.
> Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
> Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
> Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
> hinschreiben kann.
Insbesondere, wenn Teilmengen Tests auf ihre Elemente erlauben.
Eine Menge ist dann genau nicht Teilmenge von |N, wenn es ein
Element gibt, was nicht natürlich ist, also nicht durch das
Zählen generiert wird. Das läßt sich formal endlich überprüfen:
Symbole sind endlich! Nach meiner Konstruktion muß das Symbol
mit "O" anfangen, das kann man überprüfen. Und für den ganzen
Rest kann man wahrnehmen, ob etwas von "I" abweicht. Das ist
auch durchführbar - spätestens nach der Endlichkeit der Darstellung.
Umgekehrt ist eine Menge Teilmenge von |N, wenn jedes Element
natürlich ist.
Meine Argumentation macht von den Quantoren "es gibt" und "für alle"
Gebrauch. Und zwar genau in derselben Bedeutung wie die Definition
der nat. Zahlen, die ich oben angeführt habe...
> > - Rationale Zahlen als abzählbar unendlich
> > - Reelle Zahlen als überabzählbar unendlich
> > - Überabzählbar unendlich als mehr als abzählbar unendlich
> >
> > Andererseits gilt auch:
> >
> > - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen reellen Zahlen
> > gibt es abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
> > - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen rationalen Zahlen
> > gibt es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.
> >
> > Daraus folgt eindeutig, dass weder die Anzahl (Mächtigkeit) der
> > reellen Zahlen grösser als die Anzahl der rationalen sein kann,
> > noch die Anzahl der rationalen Zahlen grösser als die der reellen.
Falsch. Mächtigkeiten werden über Bijektionen definiert. "Anzahl" klingt
ja sofort nach "zählen können" - und das ist eben nicht sol. Und dazu:
Man findet, daß die Dimension von |R als |Q-Vektorraum unendlich ist.
(|Q ist genausomächtig wie |N). Was heißt das Ihrer Meinung nach?
Fakt ist doch, daß |R doch so aufgefaßt werden kann, daß der Raum genau
aus der Vervollständigung von |Q entsteht - Vervollständigung gegenüber
Grenzwerten von unendlichen Folgen. Wenn Sie "unendlich" nicht
gebrauchen
wollen, was ist dann bei Ihnen "reell"?
> Ich denke mal, die Argumentation soll wie folgt verlaufen:
> Zu jeder reellen Zahl r gibt es ein Intervall, das mindestens eine
> rationale Zahl q enthaelt. Nun kann ich also jeder reellen Zahl r diese
> rationale Zahl q zuordnen. Wenn ich jetzt, sozusagen von der anderen
> Seite, die rationalen Zahlen anordne, da sie ja abzaehlbar sind, dann
> habe ich zwangslaeufig auch eine Anordnung der entsprechenden reellen
> Zahlen. Also sind auch die reellen Zahlen abzaehlbar.
Die Ordnung läßt sich übertragen. Der Schluß danach ist aber falsch.
Was ist das mit der (totalen) Ordnung:
Man vergleicht zwei reelle Zahlen.
Diese haben z.B. eine Dezimaldarstellung - und wenn sie sich nicht
unterscheiden, dann sind sie gleich.
Wenn sie sich unterscheiden, dann gibt es eine erste solche Stelle.
Die findet man, indem man vom Anfang der Zahl bis zu der bekannten
Unterscheidungsstelle die Ziffern vergleicht.
Wenn man dann die Zahl abbricht, erhält man eine gebrochene Zahl:
Bsp.:
x = 3,1415926.... (Pi)
y = 3,1416326.... (andere Zahl - offensichtlich)
Finde also: z = 3,1416 = 31416/10000 als gebrochene, d.h. rationale
Zahl zwischen je zwei reellen. Dadurch ist eine Ordnung etablierbar,
da man x < z und z <= y findet und von der Ordnung Transitivität
verlangen kann.
Das hat aber nichts mit der Mächtigkeit zu tun. Anordnen hat eben
gar nichts mit Zählen zu tun, außer daß, wenn man wirklich die Ordnung
feststellen will, man algorithmisch vorgeht und so nur sukzessive je
zwei reelle Zahlen vergleicht - durch die Vergleiche entsteht dann
Ihre Zählung. Dafür, daß die Algorithmen aber per se nur abzählbare
Elementaroperationen durchführen können/sollen, kann keiner was, das
liegt an Ihrem Rechnermodell.
Verbindlichst,
Martin
Horst Kraemer
[Verteilung nach de.sci.philosophie entfernt]
On Tue, 24 Jul 2001 22:33:25 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:
> Holger Gollan in 3B5D3574...@yahoo.com (de.sci.mathematik):
>
> | 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> | endlich oder nicht?
>
> Wenn man die Bedeutung von "endlich" ernst nimmt, d.h. "endlich" im
> Sinne von "begrenzt von einer maximalen Stellenanzahl" interpretiert,
> dann muss auch die Anzahl der natürlichen Zahlen begrenzt sein.
Richtig. Daran zweifelt auch niemand.
> Dieter Jungmann hat dies mit vielen z.T. sehr eleganten Beispielen
> belegt. Ich war am Anfang auch überrascht, aber es scheint mir
> inzwischen ein kaum zu bezweifelndes Faktum zu sein, dass die Anzahl
> der natürlichen Zahlen nicht grösser sein kann, als die Anzahl
> Striche der grössten Zahl in Strich-Notation.
>
> ( | )
> ( |, || )
> ( |, ||, ||| )
> ( |, ||, |||, |||| )
> ...
Das waere richtig - wenn es eine "groesste Zahl in Strich-Notation"
gaebe...
> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
> unbegrenzt" interpretiert.
"Mit endlich vielen Stellen" bedeutet im in der Mathematik ueblichen
Sprachgebrauch immer "endlich aber unbegrenzt". Wenn man das meint,
woran Du denkst, wuerde man sagen: "mit beschraenkter Stellenzahl"
> | 2) Kann ich nicht die Menge all dieser Zahlen bilden?
> Nein, das ist genauso denkunmöglich wie die Vorstellung einer
> Kugel, die eine unendliche (echte) Gerade umschliesst.
Fuer 99.999999999999% der Mathematiker dieser Welt scheint es
"denkmoeglich" zu sein.
>........
> | 5) Gibt es mit dieser Menge auch Widersprueche in der traditionellen
> | Mengenlehre?
>
> Dieters Diskussionbeiträge sind voll davon.
Gib bitte einen einzigen mathematisch unter alleiniger Verwendung der
Axiome der klassischen Mengenlehre _nachgewiesenen_ Widerspruch an.
> Hier einer, der
> mir besonders interessant erscheint (ob der allerding zur
> "traditionellen Mengenlehre" gehört, weiss ich nicht):
> Es gilt/gelten:
>
> - Rationale Zahlen als abzählbar unendlich
> - Reelle Zahlen als überabzählbar unendlich
> - Überabzählbar unendlich als mehr als abzählbar unendlich
> Andererseits gilt auch:
>
> - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen reellen Zahlen
> gibt es abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
> - Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen rationalen Zahlen
> gibt es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.
> Daraus folgt eindeutig, dass weder die Anzahl (Mächtigkeit) der
> reellen Zahlen grösser als die Anzahl der rationalen sein kann,
> noch die Anzahl der rationalen Zahlen grösser als die der reellen.
Inwiefern folgt dies "eindeutig" ?
> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> Intervalle.
Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
bestehen.
> Überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> Intervalle mit je mindestens einer rationalen Zahl ergeben
> überabzählbar viele rationale Zahlen.
Richtig, aber die gibt es ja nicht. Also ist an dieser Stelle auch
kein Widerspruch zu suchen.
MfG
Horst
Wolfgang G. G.
für eminent philosophische, und hoffe, dass mir diejenigen, die diese
Diskussion auf de.sci.mathematik beschränkt sehen möchten, mir das
nicht übelnehmen. ]
Martin Spoden in 3B5E90B0...@urz.uni-heidelberg.de :
> Mir langt eine Reihe: OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
>
> Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
> also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige.
Wunderschönes Beispiel: 1 Null, gefolgt von 27 Strichen und danach
von 3 Punkten.
Aber inwiefern du durch "draufzeigen" das Symbol mit 100 Strichen
(d.h. die ganze Zahl 100) generierst, ist mir schleierhaft. Es
ist doch genau umgekehrt: Zuerst musst du diese (wenn interpretiert)
potentiell unendliche Reihe mindestens bis zu 100 Strichen aktual
verlängern, und erst dann kannst du auf das Symbol 100 zeigen.
Und apriori sehe ich keinen Grund, warum man dein Beispiel nur als
(potentiell) unendliche Reihe, nicht aber auch als Darstellung
einer (potentiell) unendlichen Zahl interpretieren darf.
> "Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen
> zu können.
Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
(z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
Holger Gollan in 3B5E812B...@yahoo.com :
>>> 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
>>> endlich oder nicht?
>> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
>> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
>> unbegrenzt" interpretiert.
> Genau so war sie gemeint. Alles andere wurde hinein interpretiert.
Dann haben wir also die Unterscheidung:
- endlich begrenzt (von einer oberen Schranke)
- endlich unbegrenzt
> Warum soll ich mir ueber diesen Zusatz Gedanken machen?
Vielleicht wegen der Zweideutigkeit des Begriffes "endlich". Dass
eine unbegrenzte Endlichkeit potentielle Unendlichkeit impliziert,
scheint mir klar.
>> Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
>> Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
>> natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
>> unsinnig.
>
> Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
> Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
> Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
> hinschreiben kann.
Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen gehört als Element auch die
Menge mit folgender Konstruktionsvorschrift: Man entscheidet per
per Münzwurf, welche Zahlen zur Menge gehören. Man startet diesen
Entscheidungsprozess mit der Zahl 1 und wendet ihn danach immer
auf den Nachfolger der vorigen Zahl an. Da dieser Prozess unmöglich
zu einem Ende kommen kann, ist die so definierte Menge nie fertig
somit auch nicht gegeben.
Dasselbe Problem gibt es auch beim Diagonalprinzip, mit dem Cantor
zeigte, dass es zu jeder abzählbaren Menge M reeller Zahlen eine
weitere reelle Zahl gibt, die nicht in M enthalten ist. Es ist
nämlich unmöglich, auch nur eine einzige irrationale Zahl in
Cantors Liste zu schreiben, da man ohne Ende weitere Ziffern
hinzufügen müsste.
Der wesentliche Unterschied, der der Unterscheidung von "abzählbar
unendlich" und "überabzählbar unendlich" zugrunde liegt, ist die
Benennbarkeit oder Nicht-Benennbarkeit aller Elemente. Ich
kritisiere den Begriff "überabzählbar" nur insofern er "mehr als
unendlich" suggeriert. Obwohl gilt
- eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und allen Punkten auf
der idealisierten Zahlengeraden ist nicht möglich
- eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und einer Teilmenge
der Punkte auf der Zahlengeraden ist möglich
halte ich den Schluss, dass die Unendlichkeit aller Punkte auf der
Zahlengeraden irgendwie grösser als die Unendlichkeit der ganzen
Zahlen sein soll, für verfehlt. Denn dann müsste die Unendlichkeit
der ganzen Zahlen ein Ende haben, hinter dem sich eine grössere
Unendlichkeit befinden könnte.
Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
>> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
>> Intervalle.
>
> Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> bestehen.
Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt. Oder
ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt, dann
folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
(d.h. der rationalen Zahlen).
Es grüsst allseits,
Wolfgang
Horst Kraemer
wrote:
> Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>
> >> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> >> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> >> Intervalle.
> >
> > Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> > ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> > bestehen.
>
> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
Bitte ? Hier tritt nirgends der ein so komplizierter Begriff wie
"Dimension" auf. Ein "Intervall" innerhalb der reellen Zahlen ist per
Definitionem ein Menge von Punkten und dafuer halte ich die
umgangssprachliche Metapher "setzt sich aus Punkten zusammen" durchaus
angemessen.
Eine Punktmenge heisst "abgeschlossenes Intervall", wenn sie aus allen
Zahlen x mit der Eigenschaft a<=x<=b besteht, wobei a und b zwei
beliebige reelle Zahlen sind. Dies schließt ein, dass a=b ist, dann
besteht das Intervall aus genau einer Zahl. Oder es kann sogar leer
sein, wenn a>b ist. Mag sein dass fuer Dich "Intervall" immer
impliziert, dass a<b ist. Da bei obigem Diskussionspunkt nur von
solchen Intervallen die Rede ist, habe ich dies extra gefordert, weil
man dies halt tun muss, wenn die mathematische Definition von
"Intervall" benutzt. Dass Du daran nun eine Belehrung bezueglich
"logischer Unmoeglichkeit" haengst, lenkt unnoetigweise vom
eigentlichen Thema ab. Ich rede ja gar nicht von den "Intervallen",
die Du fuer logisch unmoeglich haeltst ;-)
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
> fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt.
(Ich ersetze mal im Kopf "Punkt" durch Zahl). Dies ist richtig.
> Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
Nein. Dazu ist niemand in der Lage.
> Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt,
Wir sprechen von "ueberabzahlbar unendlich". Dies ist exakt definiert
und daher moechte ich Metaphern wie "unbenennbar" nicht verwenden, da
diese moeglicherweise dazu fuehren, außermathematische "Intuition"
oder "Gefuehle" einzubringen.
> dann
> folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
> vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
> abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
Fuer einen Mathematiker bedeutet "logische Konsequenz" etwas, was er
aus einer gewissen Anzahl von Voraussetzungen (Axiomen) mathematisch
herleiten kann.
Wenn es ueberabzaehlbar viele reelle Zahlen und damit auch natuerlich
ueberabzaehlbar viele moegliche Zahlenintervalle.
Aber es gibt nachweislich _keine_ ueberabzaehlare Menge von reellen
Zahlenpaaren (a,b) fuer die jeweils
a<b
gilt und bei der fuer je zwei Paare (a1,b1) und (a2,b2) stets gilt
Entweder b1<a2 oder b2<a1
Mit anderen Worten: Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen,
die aus mehr als einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar
unendlich.
Das was Dir als "logische Konsequenz" selbstverstaendlich erscheint,
ist leider keine mathematisch-logische Konsequenz sondern nur durch
einer Art "Anschauung" oder "Gefuehl" begruendet, das hier wie so oft
falsch ist.
Ich koennte Dir die obige Behautung steng mathematisch beweisen,
fuerchte aber, dass Du mathematische Beweise nicht akzeptieren wirst,
da Du bereits mathematische Terminologie kritisierst.
> Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
> der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
> Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
> (d.h. der rationalen Zahlen).
Nein. Er entsteht dadurch, dass Du eine mathematisch nachweisbare
Tatsache durch eine unbewiesene und auch unbeweisbare Annahme
aushebeln moechtest.
MfG
Horst
Holger Gollan
>
> [ Ich halte die Fragen zur Begründung der Zahlen und zur Unendlichkeit
> für eminent philosophische, und hoffe, dass mir diejenigen, die diese
> Diskussion auf de.sci.mathematik beschränkt sehen möchten, mir das
> nicht übelnehmen. ]
>
Mathematiker philosophieren nicht, sondern betreiben logische
Schlussfolgerungen auf Grundlage von Axiomen. Aber wenn Du meinst...
> Martin Spoden in 3B5E90B0...@urz.uni-heidelberg.de :
>
> > Mir langt eine Reihe: OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
> >
> > Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
> > also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige.
>
> Wunderschönes Beispiel: 1 Null, gefolgt von 27 Strichen und danach
> von 3 Punkten.
>
> Aber inwiefern du durch "draufzeigen" das Symbol mit 100 Strichen
> (d.h. die ganze Zahl 100) generierst, ist mir schleierhaft. Es
> ist doch genau umgekehrt: Zuerst musst du diese (wenn interpretiert)
> potentiell unendliche Reihe mindestens bis zu 100 Strichen aktual
> verlängern, und erst dann kannst du auf das Symbol 100 zeigen.
>
Ich kann ja auch von 7 Milliarden Menschen sprechen, ohne jeden
einzelnen kennengelernt zu haben (oder vorher alle Zahlen zwischen 1 und
7 Milliaerden aufgeschrieben zu haben).
> Und apriori sehe ich keinen Grund, warum man dein Beispiel nur als
> (potentiell) unendliche Reihe, nicht aber auch als Darstellung
> einer (potentiell) unendlichen Zahl interpretieren darf.
>
Kann man schon. Aber dann bekommt man etwas anderes als das, was
gemeinhin als natuerliche Zahlen betrachtet wird. Und ob man darauf eine
widerspruchsfreie Mathematik aufbauen kann, muss man erst noch
untersuchen. Es hat aber eben nichts mehr mit der traditionellen
Mengenlehre zu tun. Und wir wollten doch dort nach Widerspruechen
suchen, oder?
> > "Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen
> > zu können.
>
> Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
> nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
Warum nicht? Wenn ich doch konkrete Regeln angebe, wie ich mit den
Objekten umgehen muss. Oder ist hier der Punkt, wo die Philosophie ins
Spiel kommt?
> (z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
>
> Holger Gollan in 3B5E812B...@yahoo.com :
>
> >>> 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> >>> endlich oder nicht?
>
> >> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
> >> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
> >> unbegrenzt" interpretiert.
>
> > Genau so war sie gemeint. Alles andere wurde hinein interpretiert.
>
> Dann haben wir also die Unterscheidung:
>
> - endlich begrenzt (von einer oberen Schranke)
> - endlich unbegrenzt
>
Das ist dann aber Deine Unterscheidung.
> > Warum soll ich mir ueber diesen Zusatz Gedanken machen?
>
> Vielleicht wegen der Zweideutigkeit des Begriffes "endlich". Dass
> eine unbegrenzte Endlichkeit potentielle Unendlichkeit impliziert,
> scheint mir klar.
>
Ich sehe da keine Zweideutigkeit. Ich habe nach den natuerlichen Zahlen
mit endlich vielen Stellen gefragt. Das sind solche Zahlen, deren
Stellenzahl endlich ist. Von Begrenzungen ist da einfach keine Rede.
Aber hier hatten wir ja schon Einigkeit erzielt.
> >> Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
> >> Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
> >> natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
> >> unsinnig.
> >
> > Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
> > Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
> > Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
> > hinschreiben kann.
>
> Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen gehört als Element auch die
> Menge mit folgender Konstruktionsvorschrift: Man entscheidet per
> per Münzwurf, welche Zahlen zur Menge gehören. Man startet diesen
> Entscheidungsprozess mit der Zahl 1 und wendet ihn danach immer
> auf den Nachfolger der vorigen Zahl an. Da dieser Prozess unmöglich
> zu einem Ende kommen kann, ist die so definierte Menge nie fertig
> somit auch nicht gegeben.
>
Ist die natuerliche Zahl 5 Element Deiner "Menge" oder nicht?
> Dasselbe Problem gibt es auch beim Diagonalprinzip, mit dem Cantor
> zeigte, dass es zu jeder abzählbaren Menge M reeller Zahlen eine
> weitere reelle Zahl gibt, die nicht in M enthalten ist. Es ist
> nämlich unmöglich, auch nur eine einzige irrationale Zahl in
> Cantors Liste zu schreiben, da man ohne Ende weitere Ziffern
> hinzufügen müsste.
>
Der Trick bei Cantor ist ja gerade, dass man die Zahl nicht explizit
hinschreiben muss. Es reicht aus, die Existenz einer solchen Zahl zu
beweisen.
> Der wesentliche Unterschied, der der Unterscheidung von "abzählbar
> unendlich" und "überabzählbar unendlich" zugrunde liegt, ist die
> Benennbarkeit oder Nicht-Benennbarkeit aller Elemente. Ich
> kritisiere den Begriff "überabzählbar" nur insofern er "mehr als
> unendlich" suggeriert. Obwohl gilt
>
> - eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und allen Punkten auf
> der idealisierten Zahlengeraden ist nicht möglich
> - eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und einer Teilmenge
> der Punkte auf der Zahlengeraden ist möglich
>
> halte ich den Schluss, dass die Unendlichkeit aller Punkte auf der
> Zahlengeraden irgendwie grösser als die Unendlichkeit der ganzen
> Zahlen sein soll, für verfehlt. Denn dann müsste die Unendlichkeit
> der ganzen Zahlen ein Ende haben, hinter dem sich eine grössere
> Unendlichkeit befinden könnte.
Das mag Deine philosophische Betrachtungsweise sein. Mathematisch kann
man aber nun einmal beweisen, dass es eine Bijektion zwischen den
natuerlichen und den rationalen Zahlen gibt, dass es aber keine
Bijektion zwischen den natuerlichen und den reellen Zahlen gibt. Du
magst Dich ja an den verschiedenen Begriffen der Unendlichkeit in diesem
Zusammenhang stoeren, zu obigem mathematischen Fakt gibt es auf jeden
Fall keinen Widerspruch (im Rahmen der traditionellen Mathematik).
>
> Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>
> >> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> >> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> >> Intervalle.
> >
> > Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> > ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> > bestehen.
>
> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
>
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
> fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt. Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
>
Das war ja mal wieder tollste Haarspalterei!
> Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt, dann
> folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
> vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
> abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
>
Das folgt aber nur dann, wenn Deine ueberabzaehlbar vielen echten
Intervalle jeweils verschiedene, und damit ueberabzaehlbar viele,
rationale Zahlen benennen. Und das kannst Du nur folgern, wenn Deine
verschiedenen Intervalle jeweils disjunkt sind. Interessanterweise hast
Du dieses kleine Detail dieses Mal in Deiner Argumentation vergessen.
Deine Intervalle koennen nicht alle disjunkt sein, und ich hatte in
meiner letzten Antwort auch versucht, Dir das klar zu machen. Leider
bist Du darauf nicht eingegangen. (Wie ihr ueberhaupt immer dann Dinge
aus Postings ausklammert, wenn es um konkrete Mathematik geht.)
> Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
> der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
> Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
> (d.h. der rationalen Zahlen).
>
Erst wenn Du beweisen kannst, dass die Maechtigkeit der Intervalle
gleich der Maechtigkeit der dadurch benannten Punkte ist, hast Du einen
Widerspruch. Dieses kleine aber feine Detail hast Du bei Deiner
Argumentation leider ausser Acht gelassen; vielleicht ist es nicht
philosophisch genug?
> Es grüsst allseits,
> Wolfgang
Detlef Mueller
>
...
> Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
> nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
> (z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
>
Scheint mir auch so.
Allerdings ist dies ein willkuerlich auferlegtes
Denkverbot.
Die meisten Mathematiker halten sich nicht daran,
und kommen gut und widerspruchsfrei mit ihrer
Freiheit zurecht.
Die behaupteten Widersprueche fuehrten samt und
sonders auf Widersprueche zu selbstauferlegten
Denkverboten hinaus (wenn sie nicht gar simple
Fehlschluesse waren).
Innerhalb des Systemes argumentierend kam da
nichts.
Uebrigens sollte man sich fuer eine mathematische
Argumentation die Argumentation ueber "allgemeine
Bedeutung" wie oben abschminken.
Da sind klare Definitionen gefragt.
Gruss,
Detlef
Dieter Jungmann
Stimmt, die beiden Aussagen sind nicht gleichbedeutend. Ich habe
aber von der zweiten Aussage auch keinen Gebrauch gemacht. Sie
ist falsch, und zwar auch dann, wenn man "Ding" und "n" vertauscht:
Auch
"Es gibt ein n, das groesser ist als jedes Ding"
ist falsch.
(Um Missverstaendnissen vorzubeugen: mit "grosser als jedes Ding"
ist gemeint "groesser als die Anzahl s der Stellen eines einzelnen
Dings in der Folge der d_k.)
Die erste Aussage dagegen ist immer richtig, auch wenn ich "Ding"
und "n" vertausche. Zu jedem Ding kann man ein groesseres n angeben,
umgekehrt kann man auch zu jedem n ein Ding angeben, dessen Stellen-
zahl s groesser ist als n. Wegen der beliebigen Vertauschbarkeit
von n und s ist eine Aussage, die fuer n gilt, auch fuer s gueltig.
Es ist deshalb unlogisch zu behaupten, n (= Anzahl der nat. Zahlen)
sei unendlich aber fuer s (= Anzahl der Stellen eines einzelnen Dings
in der Folge d_k) gelte dies nicht.
Es gilt allgemein (nicht nur in unserem Beispiel), dass zwischen der
Anzahl z der darstellbaren nat. Zahlen und der Anzahl s der zu ihrer
Darstellung verwendeten Stellen eine exakte mathematische Beziehung
besteht. Aus dieser geht in allen g-adischen Systemen klar hervor,
dass man mit endlich vielen Stellen s nur endlich viele nat. Zahlen
darstellen kann. Fuer unendlich viele nat. Zahlen benoetigt man also
unendlich viele Stellen. Das wurde ja auch bestaetigt. Aber welchen
Sinn hat die Aussage, dass man unendlich viele Stellen braucht, wenn
es nicht wenigstens eine Zahl mit unendlich vielen Stellen gibt?
Meine Argumentation geht auf dein posting zurueck, wo du sagtest
> Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
> Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
> die unendliche Folge
>
> {1,10,100,1000,....}
>
> _nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
Warum sprichst du von "jeder" Zweierpotenz, obwohl die Mengenlehre nur
den Quantor "fuer alle" kennt?
Wie wuerdest du diese Aussage mengentheoretisch korrekt formulieren?
Vielleicht: Es existiert ein n; fuer alle Dinge x gilt: wenn x
Element der Folge ist, dann ist die Anzahl der Stellen von x
kleiner/gleich n (oder auch umgekehrt: wenn die Anzahl der Stellen
von x kleiner/gleich n ist, dann ist x Element der Folge).
Hier wird eine Aussage ueber ein _einzelnes_ Ding gemacht, mit der
geprueft werden kann, ob es Element der Folge ist oder nicht.
Die Aussage ist falsch, denn du kannst kein n angeben, so dass sie
fuer alle Dinge gueltig ist. Daraus folgt, dass es wenigstens ein
Ding geben muss, das mehr Stellen habt als man mit einer nat. Zahl
mit endlich vielen Stellen angeben kann.
Wenn nicht nach der Anzahl der Stellen sondern nach der Anzahl der
Dinge gefragt ist, begruendest du die Unendlichkeit dieser Anzahl
doch auch mit dieser Logik. Warum sollte sie also fuer die Anzahl
der Stellen nicht gelten?
Gruss Dieter
Dieter Jungmann
>
> Dieter Jungmann schreibselte:
>
> Mal völlig losgelöst von der eigentlichen Diskussion, aber dieser Absatz
> hat mich etwas gestört.
>
> > Machen wir einen Versuch mit einer Grenzwertbetrachtung.
> > Der Grenzwert ist, wenn er existiert, _nie_ Element der
> > Folge, weil sie sonst ein letztes Element haette. Jedes Element
> > einer Folge ist durch unendlich viele andere Elemente von dem
> > Grenzwert getrennt, denn waeren es nur endlich viele (trennende
> > Elemente), koennte man den Grenzwert in endlich vielen Schritten
> > erreichen.
> > Jede unendliche Folge enthaelt also unendlich viele Elemente,
> > die _grundaetzlich_ nicht erreichbar sind, jedenfalls nicht
> > in endlich vielen Schritten.
>
> Beziehst du das jetzt auf beliebige Folgen oder nur auf die speziellen
> Folgen aus der Diskussion in diesem Thread? Der Grenzwert einer Folge darf
> nämlich durchaus auch in der Folge enthalten sein. Betrachte die Folge
> (a_n) mit a_n = 1: Der Grenzwert dieser Folge ist 1, und die Folge ist
> trotzdem unendlich... Oder auch diese Folge: 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4...
> Grenzwert 0, und trotzdem ist auch diese Folge unendlich.
Die Aussage, dass der Grenzwert _nie_ Element der Folge ist, gilt fuer
alle Folgen. Du darfst aber das Element nicht mit seinem Zahlenwert
verwechseln. Eine Folge kann viele Elemente mit demselben Zahlenwert
haben, trotzdem handelt es sich um verschiedene Elemente, weil sie an
verschiedenen Stellen der Folge stehen. Das gilt auch fuer den Grenzwert.
Er kann zwar denselben Zahlenwert wie Elemente der Folge haben, er ist
trotzdem kein Element der Folge.
Gruss Dieter
Rainer Rosenthal
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de>
> Das gilt auch fuer den Grenzwert.
> Er kann zwar denselben Zahlenwert wie Elemente der Folge
> haben, er ist trotzdem kein Element der Folge.
Na wenn Du meinst :-)
Gruss,
Rainer
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> > Aufgrund welcher mathematischen Folgerung folgt aus der Tatsache, dass
> > es zu jedem n ein Ding mit mit mehr Nullen als n gibt, die Tatsache,
> > dass es ein Ding mit unendlich vielen Nullen gibt ?
> >
> > "Zu jedem n gibt es ein groesseres Ding"
> >
> > ist logisch _nicht_ gleichbedeutend mit
> >
> > "Es gibt ein Ding, das groesser ist als jedes n"
> Stimmt, die beiden Aussagen sind nicht gleichbedeutend. Ich habe
> aber von der zweiten Aussage auch keinen Gebrauch gemacht. Sie
> ist falsch, und zwar auch dann, wenn man "Ding" und "n" vertauscht:
> Auch
> "Es gibt ein n, das groesser ist als jedes Ding"
> ist falsch.
> (Um Missverstaendnissen vorzubeugen: mit "grosser als jedes Ding"
> ist gemeint "groesser als die Anzahl s der Stellen eines einzelnen
> Dings in der Folge der d_k.)
"Eines Dings" ist missverstaendlich, das "ein" im Deutschen mehrdeutig
ist. Besser sollte es lauten:
Es gibt ein n, so dass fuer alle d_k (alias: fuer jedes d_k) gilt: Die
Anzahl s der Stellen von d_k ist kleiner als n.
> Die erste Aussage dagegen ist immer richtig, auch wenn ich "Ding"
> und "n" vertausche. Zu jedem Ding kann man ein groesseres n angeben,
> umgekehrt kann man auch zu jedem n ein Ding angeben, dessen Stellen-
> zahl s groesser ist als n. Wegen der beliebigen Vertauschbarkeit
> von n und s ist eine Aussage, die fuer n gilt, auch fuer s gueltig.
> Es ist deshalb unlogisch zu behaupten, n (= Anzahl der nat. Zahlen)
> sei unendlich aber fuer s (= Anzahl der Stellen eines einzelnen Dings
> in der Folge d_k) gelte dies nicht.
Du verwechselst zwei Dinge. Die obige Behauptung stellt eine
Beziehungen zwischen der Anzahl der Stellenanzahlen s und der Anzahl
der natuerlichen Zahlen n her. Sie sagt aber nichts ueber die Groesse
der Stellenanzahlen, d.h. ueber die Stellenanzahlen selbst aus.
Aus der Aussage, dass es unendliche _viele_ Stellenanzahlen gibt,
folgt nicht, dass es unendlich _grosse_ Stellenanzahlen gibt.
> Meine Argumentation geht auf dein posting zurueck, wo du sagtest
> > Ich sehe auch dann unendlich viele Zweierpotenzen, wenn jede einzelne
> > Zweierpotenz nur endlich viele Stellen hat, denn fuer mich enthaelt
> > die unendliche Folge
> >
> > {1,10,100,1000,....}
> >
> > _nur_ Zweierpozenzen mit jeweils endlicher Stellenzahl.
> Warum sprichst du von "jeder" Zweierpotenz, obwohl die Mengenlehre nur
> den Quantor "fuer alle" kennt?
> Wie wuerdest du diese Aussage mengentheoretisch korrekt formulieren?
> Vielleicht: Es existiert ein n; fuer alle Dinge x gilt: wenn x
> Element der Folge ist, dann ist die Anzahl der Stellen von x
> kleiner/gleich n (oder auch umgekehrt: wenn die Anzahl der Stellen
> von x kleiner/gleich n ist, dann ist x Element der Folge).
Nein.
Fuer jedes x aus der Folge gibt es ein n, so dass Stellenzahlahl(x)=n
Daher trifft die folgende Argumentation nicht zu.
> Hier wird eine Aussage ueber ein _einzelnes_ Ding gemacht, mit der
> geprueft werden kann, ob es Element der Folge ist oder nicht.
> Die Aussage ist falsch, denn du kannst kein n angeben, so dass sie
> fuer alle Dinge gueltig ist. Daraus folgt, dass es wenigstens ein
> Ding geben muss, das mehr Stellen habt als man mit einer nat. Zahl
> mit endlich vielen Stellen angeben kann.
>
> Wenn nicht nach der Anzahl der Stellen sondern nach der Anzahl der
> Dinge gefragt ist, begruendest du die Unendlichkeit dieser Anzahl
> doch auch mit dieser Logik. Warum sollte sie also fuer die Anzahl
> der Stellen nicht gelten?
MfG
Horst