Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
Michael Kallweit
natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen haben diese
Eigenschaft?
--
--
MRK
Herbert Fichtner
wrote:
>Einige natürliche Zahlen lassen sich als Summe von aufeinanderfolgenden
>natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen haben diese
>Eigenschaft?
Soll das ein Witz sein, oder sind mehr als zwei Summanden erlaubt?
12 = 3+4+5, 14 = 2+3+4+5, ...
Gruß
Herbert
--
Was bis jetzt über ShowView-Codes bekannt ist:
http://www.isis.de/members/~fichtner/ShowView/
Eike Michaelis
> Einige natürliche Zahlen lassen sich als Summe von aufeinanderfolgenden
> natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen haben diese
> Eigenschaft?
Hmm, mal sehen:
0+1=1 (bitte jetzt keine Diskussion, ob die 0 eine natürliche Zahl ist!)
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
5+6=11
6+7=13
...
Also offensichtlich kann man alle ungeraden natürlichen Zahlen durch
eine Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen.
Dann gibt es natürlich noch die Summe dreier Zahlen:
0+1+2=3
1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=12
...
Man kann also auch alle durch drei teilbaren Zahlen als so eine Summe
darstellen.
Naja, und so kannst Du jetzt noch weitermachen.
0+1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
2+3+4+5+6=20
Und eben so weiter.
Aber was ist daran jetzt so besonders?
Oder habe ich Deine Frage jetzt irgendwie falsch verstanden?
Gruß,
Eike
--
------------------------------------------------------
Eike Michaelis
e.mic...@gmx.de
Meine Mathematikerwitze-Seite:
http://www.michaelis.home.pages.de/
------------------------------------------------------
Herbert Fichtner
wrote:
>Einige natürliche Zahlen lassen sich als Summe von aufeinanderfolgenden
>natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen haben diese
>Eigenschaft?
Nachdem ich nun weiß, daß beliebig viele Summanden erlaubt sind, bin
ich zu folgendem Ergebnis gekommen:
Alle natürlichen Zahlen (>0) außer den Zweierpotenzen 2^n mit n>0
haben diese Eigenschaft. Alle 2^n mit n>0 haben diese Eigenschaft
nicht.
Beweis:
Ungerade Zahlen n = 2q+1 haben die Eigenschaft wegen
n = 2q+1 = q + (q+1)
Ist eine gerade Zahl n keine Zweierpotenz, so ist sie durch eine
ungerade Primzahl p teilbar: n = p*r und p = 2q+1
Dann ist: n = (r-q) + ... + r + ... + (r+q)
Die Summe von n aufeinanderfolgender nat. Zahlen kann keine
Zweierpotenz sein:
1.Fall: n = 2q+1 ungerade
Dann sieht die Summe wie folgt aus:
(m-q) + ... + m + ... + (m+q)
Fasst man die Summanden, die symmetrisch zum mittleren Summanden m
liegen, zu Paaren zusammen, so sieht man, daß die Summe m mal Anzahl
der Summanden also n*m ist. Da n ungerade ist, kann das keine ZP sein.
2.Fall: n = 2q gerade
Dann sieht die Summe wie folgt aus:
(m-q+1) + ... + m + (m+1) + ... + (m+q)
Fasst man die Summanden, die symmetrisch zur Mitte liegen, zu Paaren
zusammen, so sieht man, daß die Summe q mal die Summe der beiden
mittleren Summanden also q * (m + (m+1)) = q * (2m+1) ist. Da 2m+1
ungerade ist, kann das keine ZP sein.
Ernst Jung
>Michael Kallweit schrieb:
>> Einige natürliche Zahlen lassen sich als Summe von aufeinander-
>> folgenden natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen
>> haben diese Eigenschaft?
>
> Hmm, mal sehen:
> 0+1=1 (bitte jetzt keine Diskussion, ob die 0 eine natürliche Zahl ist!)
> 1+2=3
> 2+3=5
> 3+4=7
> 4+5=9
> 5+6=11
> 6+7=13
> eine Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen.
>
koeffizienten schreibst, also die ungeraden Zahlen in PD-Form, so sind
1^3 01 1^2
2^3 03 05 3^2
3^3 07 09 11 6^2
4^3 13 15 17 19 10^2
5^3 21 23 25 27 29 15^2
6^3 31 33 35 37 39 41 21^2
die Zeilensummen die Kuben der nat. Zahlen - vergl. auch (*) im PS -
und die aufgelaufenen Zeilensummen die Zahlen [(x^2)(x+1)^2 ] / 4,
d.h. die Quadrate der Glieder der Summenfolge y=x(x+1)/2 der natuer-
lichen Zahlen. Es stehen die Zahlen
y = x^2 + x - 1 am linken Rand und die Zahlen
y = x^2 - x +1 am rechten Rand. Vergleiche auch 1/ x = x / (1-x) bei x=?
Vermutlich gibt es in der rechten Haelfte dieser Anordnung nur 5 aus-
schliesslich mit Primzahlen besetzte Schraegzeilen, naemlich die mit
den Anfangszahlen 5, 11, 41, 89, 461am rechten Rand, also 5 und
dann 11, 17 und dann 41, 53, 67, 83, 101 und dann 89 usf., 461usf.
Frage: Hat das vielleicht etwas mit den vermutlich nur 5 Fermatschen
Primzahlen 1 + 2^(2^n) , d.h. 2^1+1, 2^2+1, 2^4+1, 2^8+1, 2^16+1
zu tun? Pierre de Fermat hatte vermutet, dass alle Zahlen der Form
2^(2^n)+1Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde von Euler mit Hin-
weis auf 1+2^(2^5) = (2^4+5^4)(409^2+2556^2) = 641* 6700417 wider-
legt und die Euler'sche Vermutung EV, nach der eine n.te Potenz nicht
Summe von weniger als n n.ten Potenzen sein sollte, wurde mit Hin-
weis auf 27^5+84^5+110^5+133^5 = 144^5 = (4!+5!)^5 = ((3*4)^5)^2
widerlegt.
> Naja, und so kannst Du jetzt noch weitermachen.
> 0+1+2+3+4=10
> 1+2+3+4+5=15
> 2+3+4+5+6=20
> Und eben so weiter. Aber was ist daran jetzt so besonders?
Auch wenn Deiner Ansicht nach - so ich ich die Frage so auffassen
darf - daran nichts so besonders ist, ist m.E. zu bedenken, dass noch
so triviale - bzw. banale - zahlentheoretische Feststellungen nicht be-
deutungslos sind. Die sicherlich triviale Feststellung, dass die Summe
einer ungeraden Anzahl ungerader Zahlen eine ungerade Zahl ist, ist
m.E. ebensowenig bedeutungslos wie die ebenso triviale Feststellung
Wenn x + y = z fuer nat. Zahlen x,y,z gilt, dann ist x^n + y^n = z^n
in denselben natuerlichen Zahlen x,y,z fuer n > 1 evident unloesbar
Diesbezueglich sei an die Fermatsche Vermutung FV erinnert, zumal
der so lange gesuchte Beweis der FV letztlich m.E. nichts anderes ist
als der Beweis, dass im Falle von x+y=/=z fuer nat. Zahlen x,y,z die Gl.
x^n+y^n=z^n in unendlich vielen - also nicht in all denselben - Zahlen-
tripeln x,y,z nur bei n=2 loesbar ist. Beispielsweise ist 1+2=/=5=/=4+3
und 1^2 + 2^2 =/= 5^2, aber 3^2 + 4^2 = 5^2, womit ich bei dem von
Michael vielleicht nicht zufaellig gewaehlten Beispiel 3+4=7 bin. (**)
Deine o.a. Darstellung der Zahlen, die Summe von 2 benachbarten
nat. Zahlen sind, erinnert mich an das Pascal-Dreieck der Binomial-
x + y = z 01, 01, 01, 01, 01, 01, 01, 01, 01,
1 + 1 = 2 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08 09
1 + 2 = 3 01, 03, 06, 10, 15, 21, 28, 36
1 + 3 = 4 01, 04, 10, 20, 35, 56, 84
1 + 4 = 5 01, 05, 15, 35, 70, ---,
1 + 5 = 6 01, 06, 21, 56, ---,
1 + 6 = 7 01, 07, 28, 84,
1 + 7 = 8 01, 08, 36
1 + 8 = 9 01, 09
koeffizienten als System von aufeinander aufbauenden Summen-
menfolgen und an das unbestritten sinnvolle Zaehlen 1,2,3 usf und
Zusammenzaehlen 1,3,6 usf. als elementare math. Operation sowie
an die Fermatsche Vermutung FV. Als Laie behaupte ich, dass die
Moeglichkeit des - der Gleichung x^n + y^n = z^n bei n=1 so nahen -
sinnvollen Zaehlens 1,2,3,4 usf. und Zusammenzaehlens 1,3,6,10,..
ihren "Preis" bzw die Unloesbarkeit der Glg vom Typ x^n + y^n = z^n
in nat. Zahlen fuer nat. Hochzahlen n > 2 zur logisch unabdingbaren
Voraussetzung hat (***)
In der 2. Spalte befindet sich das "Zaehlen" und in der 3. Spalte das
"Zusammenzaehlen" und in der 4. Spalte befinden sich abwechselnd
die Glieder der Summenfolge
y = x (4x^2 - 1) / 3 wie z.B. nach 1 also 1^2+3^2=10, 1^2+3^2+5^2=35
y = x (4x^2+6x+2) / 3 wie z.B. " 4 also 2^2+4^2=20, 2^2+4^2+6^2=56
Die Binomialkoeffizienten haben doch sicherlich mit der Gleichung
vom Typ x^n + y^n = z^n zu tun und bemerkt sei, dass sich die na-
tuerlichen Zahlen zu unendlich vielen geraden und ungeraden Qua-
dratzahlen > 1 aufsummieren, bewiesenermassen aber nicht zu na-
tuerlichen Kubikzahlen > 1 und vermutlich auch nicht zu natuerlichen
Biquadratzahlen > 1 usf. - und warum wohl nicht, wenn man bedenkt,
dass alle Loesungstripel der Gleichung B. (y-1)^n + y^n = z^n bei n=2
mit allen ungeraden Quadratzahlen > 1 bzw. (x^2+y^2)(x+y)^2 = C^2
in der Summenfolge der nat. Zahlen wie z.B.: (3^2+4^2)(3+4)^2=35^2
unmittelbar zusammenhaengen - und beide mit den Zahlen wie z.B.
6 = 2*3 = 1*6 oder 210 = 10*21= 6*35 usf., die Glieder der Summen-
folge sowohl der natuerlichen als auch der geraden Zahlen sind und
deren Doppelt - wie 12=3*4, 420=20*21 usf. - also wiederum Glieder
der Summenfolge der geraden Zahlen sind?
Sollten die vorstehenden Ausfuehrungen langweilen,
so bitte ich um Nachsicht fuer die Laenge meiner Re.
Mit freundlichen Gruessen
Ernst
------
(*) Euler hat auf der Suche nach einer Loesung des grossen Fermat-
schen Problems, das es m.E. nicht ist, die Unloesbarkeit der Gleichung
x^3 + y^3 = z^3 in natuerlichen Zahlen > 0 bewiesen, d.h. also: Die Sum-
me der ungeraden Zahlen in zwei beliebigen Zeilen mit der Nr. x < y ist
von der Summe der ungeraden Zahlen in einer beliebigen Zeile mit der
Nr. z > y > x verschieden. Das gilt auch fuer die gesonderten Anordnun-
gen der Zeilen mit einer Quadratzahl / Kubikzahl etc. als Nr. wie z.B.
1^3 = 1^6 , 4^3=2^6, 9^3=3^6 usf., d.h. x^6+y^6=z^6 ist unloesbar
1^3 = 1^9, 8^3=2^9, 27^3=3^9 usf., d.h. x^9+y^9=z^9 ist unloesbar
Die Mittelgleichung A. (y-u)^n + y^n = (y+u)^n kann fuer nat. Exp. n>2
in nat. Zahlen y > u > 0 bzw. in natuerlichen Zahlen x = y - u, u + y = z,
y=(x+z)/2=arithmetisches Mittel A auf ganz einfache Weise als unloes-
bar bewiesen werden. Bei Unloesbarkeit von x^3+y^3=z^3 ist evident
auch (y-u)^(3n) + y^(3n) = (y+u)^(3n) fuer n=1,2,3,4,5 usf. unloesbar
und der Beweis der Fermatschen Vermutung FV ist der Beweis, dass
von der Unloesbarkeit von x^(3n) + y^(3n) = z^(3n) fuer n=1,2,3,4,5 usf.
auf die Unloesbarkeit von x^n+y^n=z^n fuer n > 2 more logico, arithme-
tico et geometrico ebenso geschlossen werden darf / kann /muss wie
von der Unloesbarkeit von (y-u)^(3n) + y^(3n) = (y+u)^(3n) auf die - also
unabhaengig hiervon auf andere / ganz einfache Weise beweisbare -
Unloesbarkeit der Mittelgleichung A. (y-u)^n + y^n = (y+u)^n fuer n > 2.
(**) Vergl. diesbezueglich alle Loesungstripel der speziellen Gleichg
(y-1)^n + y^n = (y+u)^n bzw. (y-1)^n + y^n = z^n bei n=2, die da sind:
3, 4, 5 bei y=4, u=1 und 3+4=7, (3+4)^2 = 7^2 = 2 * 5^2 - 1
und 1+2+3+4+5+6+7+...+49 = 35^2 = (3^2+4^2)(3+4)^2
20,21,29 bei y=21, u=8 und 20+21=41, (20+21)^2 = 41^2= 2 * 29^2 - 1
1+2+3+4+5+6+.....+1681=1189^2 = (20^2+21^2)(20+21)^2
119, 120, 169 bei y=120, u= 49 und (119+120)^2 = 239^2 usf.
119 = 7*17, 120=5!, (169*239)^2=1+2+..+57121=40391^2
696, 697, 985 bei y=697, u=288 und (696+697)^2 = 1393^2 usf.
und 985=5*197, 199*7=1393 und ((5*7)(197*199))^2 usf.
(***) Die m.E. doch so einfache Logik hinter Fermat's Grand Problème,
von dessen "solution merveilleuse" durch Pierre de Fermat ich als Laie
erkenntnismaessig einfach ueberzeugt bin, wenngleich ich es nicht im
Sinne der auch m.E. zurecht sehr strengen formalen Anforderungen
an einen math. Beweis beweisen kann:
-- Es gilt immer x+y=z in dem Sinne, dass die Summe von 2 nat. Zah-
len x,y eine nat. Zahl z ist. Alle nat. Zahlen > 0, und nur um die geht
es bei der FV, sind unendlich oft Differenz zwischen nat. Zahlen
und alle nat Zahlen N > 1 sind eindeutig entsprechend der Groesse
von N Summe von 2 natuerlichen Zahlen
-- Es gilt nicht immer x^2+y^2=z^2, wobei selbstverstaendlich wie ja
auch bei x+y=z nicht an beliebige nat. Zahlen x,y,z gedacht ist, son-
dern beispielsweise an die Unloesbarkeit in ungeraden Zahlen x,y
und geraden Zahlen z oder in nat. Zahlen x,y,z bei z=p=Primzahl
der Form 4*k-1. Was diesbezueglich bereits bei n=2 unmoeglich ist,
bleibt bei n > 2 unmoeglich. Alle Zahlen z^2 = y^2 + x^2 sind minde-
stens einmal Zahlen z^2 = a^2 - b^2, d.h. das Differenzsein von z^2
ist eine notwendige, wenn auch nicht in allen Faellen hinreichende
Bedingung fuer das Summesein. 3^2+4^2=5^2 setzt 5^2=13^2-12^2
und 5^2+12^2=13^2 setzt 13^2=85^2-84^2 voraus usf.
-- Es gilt immer nicht = nie x^n+y^n=z^n fuer n > 2 bzw. ab n=3 stell-
vertretend fuer n > 3 in dem Sinne, dass das, was diesbezueglich
bereits bei n=3 unmoeglich ist, d.h. x^3 + y^3 = z^3 ist unmoeglich
bzw. in nat. Zahlen x,y,z unloesbar, bleibt auch bei n > 3 unmoeglich.
Die logisch evident wechselseitig bedingte Loesbarkeit von x+y=z und
x^2+y^2=z^2 schliesst die Loesbarkeit von x^n+y^n=z^n fuer n > 2 more
logico, arithmetico et geometrico aus. Die Unmoeglichkeit von rechtwink-
ligen Dreiecken mit 3 ganzzahligen Seiten Sx=x^n, Sy=y^n, Sz=z^n bei
derselben nat. Hochzahl n beruht nicht auf geometrischen Besonderhei-
ten wie Ecken und Kanten - wie z.B. die bei 1^2+2^2+..+23^2+24^2=70^2
bewiesenermassen unmoegliche restlose / vollstaendige Abdeckbarkeit
mit den 4!=24 Quadratflaechen (1*1), (2*2),..,(7*7),.., (23*23),(24*24) - ,
sondern das geometrisch wie arithmetisch Moegliche ist vielmehr das
Besondere / Einmalige, d.h. Loesbarkeit von x^(n*s)+y^(n*s)=z^(n*s) nur
bei n*s=1*2. So gesehen ist m.E. die FV die einfachste bzw. selbstver-
staendlichste Sache der Welt. Die Loesung des Erkenntnisproblems FV
ist m.E. so einfach wie die Erkennbarkeit der Richtigkeit der Behauptung,
dass jede gerade nat. Zahl > 38 die Summe von 2 zusammengesetzten
ungeraden Zahlen ist, in nachfolgenden wenigen Zahlen
25, 15, 35, 25, 15 = restlos durch 5 teilbare Zahlen
15, 27, 09, 21, 33 = restlos durch 3 teilbare Zahlen
40, 42, 44, 46, 48 = Summe der vorstehenden Zahlen,
und ueber die mit der Loesung des formalen Beweisproblems verbun-
denen Schwierigkeiten kann ich als Laie=Nichtmathematiker verstaend-
licherweise nicht befinden.
Christian Schneider
>
> Michael Kallweit schrieb:
>
> > natürlichen Zahlen darstellen (7 = 3+4). Welche Zahlen haben diese
> > Eigenschaft?
>
> Hmm, mal sehen:
> 0+1=1 (bitte jetzt keine Diskussion, ob die 0 eine natürliche Zahl ist!)
> 1+2=3
> 2+3=5
> 3+4=7
> 4+5=9
> 5+6=11
> 6+7=13
> Also offensichtlich kann man alle ungeraden natürlichen Zahlen durch
> eine Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen.
Jau, (2k + 1) = k + (k+1). Schon erstaunlich ;-)
>
Christian Schneider
>
> Eike Michaelis schrieb
> > Also offensichtlich kann man alle ungeraden natürlichen Zahlen durch
> > eine Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen.
> >
> Wenn Du die Ergebnisse in Form eines Pascal-Dreiecks PD der Binomial-
> koeffizienten schreibst, also die ungeraden Zahlen in PD-Form, so sind
>
> 1^3 01 1^2
> 2^3 03 05 3^2
> 3^3 07 09 11 6^2
> 4^3 13 15 17 19 10^2
> 5^3 21 23 25 27 29 15^2
> 6^3 31 33 35 37 39 41 21^2
>
> die Zeilensummen die Kuben der nat. Zahlen - vergl. auch (*) im PS -
> und die aufgelaufenen Zeilensummen die Zahlen [(x^2)(x+1)^2 ] / 4,
> d.h. die Quadrate der Glieder der Summenfolge y=x(x+1)/2 der natuer-
> lichen Zahlen.
> Es stehen die Zahlen
> y = x^2 + x - 1 am linken Rand und die Zahlen
> y = x^2 - x +1 am rechten Rand.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt y=1.
Das sehe ich aber weder am linken noch am rechten Rand
> Vermutlich gibt es in der rechten Haelfte dieser Anordnung nur 5 aus-
> schliesslich mit Primzahlen besetzte Schraegzeilen, naemlich die mit
> den Anfangszahlen 5, 11, 41, 89, 461am rechten Rand, also 5 und
> dann 11, 17 und dann 41, 53, 67, 83, 101 und dann 89 usf., 461usf.
Es gibt keine einzige ausschließlich mit Primzahlen besetzte
Schrägzeile.
> Frage: Hat das vielleicht etwas mit den vermutlich nur 5 Fermatschen
> Primzahlen 1 + 2^(2^n) , d.h. 2^1+1, 2^2+1, 2^4+1, 2^8+1, 2^16+1
> zu tun?
Wohl kaum. Siehe oben.
> Pierre de Fermat hatte vermutet, dass alle Zahlen der Form
> 2^(2^n)+1Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde von Euler mit Hin-
> weis auf 1+2^(2^5) = (2^4+5^4)(409^2+2556^2) = 641* 6700417 wider-
> legt.
Na siehste mal. Der war nicht unfehlbar. Aber das seine Beweisidee zur
FV nichts taugt hat er immerhin noch rechtzeitig gemerkt. Da war er dir
weit voraus.
> Diesbezueglich sei an die Fermatsche Vermutung FV erinnert, zumal
> der so lange gesuchte Beweis der FV letztlich m.E. nichts anderes ist
> als der Beweis, dass im Falle von x+y=/=z fuer nat. Zahlen x,y,z die Gl.
> x^n+y^n=z^n in unendlich vielen - also nicht in all denselben - Zahlen-
> tripeln x,y,z nur bei n=2 loesbar ist.
Das ist definitiv falsch.
> Als Laie behaupte ich, dass die
> Moeglichkeit des - der Gleichung x^n + y^n = z^n bei n=1 so nahen -
> sinnvollen Zaehlens 1,2,3,4 usf. und Zusammenzaehlens 1,3,6,10,..
> ihren "Preis" bzw die Unloesbarkeit der Glg vom Typ x^n + y^n = z^n
> in nat. Zahlen fuer nat. Hochzahlen n > 2 zur logisch unabdingbaren
> Voraussetzung hat (***)
Wer das glaubt, glaubt auch, das die Sonne aufgeht, weil der Hahn kräht.
Ernst Jung
>> Eike Michaelis schrieb
>> > Also offensichtlich kann man alle ungeraden natürlichen Zahlen durch
>> > eine Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen.
>> >
>> Wenn Du die Ergebnisse in Form eines Pascal-Dreiecks PD der Binomial-
>> koeffizienten schreibst, also die ungeraden Zahlen in PD-Form, so sind
>>
>> 1^3 01 1^2
>> 2^3 03 05 3^2
>> 3^3 07 09 11 6^2
>> 4^3 13 15 17 19 10^2
>> 5^3 21 23 25 27 29 15^2
>> 6^3 31 33 35 37 39 41 21^2
>>
>> die Zeilensummen die Kuben der nat. Zahlen - vergl. auch (*) im PS -
>> und die aufgelaufenen Zeilensummen die Zahlen [(x^2)(x+1)^2 ] / 4,
>> d.h. die Quadrate der Glieder der Summenfolge y=x(x+1)/2 der natuer-
>> lichen Zahlen.
>
>
>> Es stehen die Zahlen
>> y = x^2 + x - 1 am rechten Rand.
>
> Aus diesen beiden Gleichungen folgt y=1.
> Das sehe ich aber weder am linken noch am rechten Rand
>
Die Folge der Zahlen y = x^2 - x + 1 am linken Rand der o.a. Anordnung
aller ungeraden Zahlen in PD-Form enthaelt die Zahlen 1, 3, 7 usf. und
die Folge der Zahlen y = x^2 + x - 1 am rechten Rand dieser Anordnung
die Zahlen 1, 5, 11, 19 usf. mit 5+11=16=2^4=4^2 und 1+5+11+19=6^2.
Wenn Deine Re's in das Diskussionsforum de.sci.math. gehoeren, dann
meine IMHO mit Sicherheit nicht. Darueber sollte man m.E. in einem Dis-
kussionsforum streiten duerfen.
>> Vermutlich gibt es in der rechten Haelfte dieser Anordnung nur 5 aus-
>> schliesslich mit Primzahlen besetzte Schraegzeilen, naemlich die mit
>> den Anfangszahlen 5, 11, 41, 89, 461am rechten Rand, also 5 und
>> dann 11, 17 und dann 41, 53, 67, 83, 101 und dann 89 usf., 461usf.
>
> Es gibt keine einzige ausschließlich mit Primzahlen besetzte
> Schrägzeile.
Da steht in der RECHTEN Haelfte dieser Anordnung, d.h. in den bis zur
Mittelspalte mit den ungeraden Quadratzahlen reichenden Schraegzeilen
wie 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,....,1601 vor 41^2
in der Mittelspalte als vermutlich letzte ausschliesslich mit Primzahlen
besetzte Schraegzeile
>
>> Frage: Hat das vielleicht etwas mit den vermutlich nur 5 Fermatschen
>> Primzahlen 1 + 2^(2^n) , d.h. 2^1+1, 2^2+1, 2^4+1, 2^8+1, 2^16+1
>> zu tun?
>
> Wohl kaum. Siehe oben.
>
Was soll ich oben sehen, vergleichen, beruecksichtigen?
>> Pierre de Fermat hatte vermutet, dass alle Zahlen der Form
>> 2^(2^n)+1Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde von Euler mit Hin-
>> weis auf 1+2^(2^5) = (2^4+5^4)(409^2+2556^2) = 641* 6700417 wider-
>> legt.
>
> Na siehste mal. Der war nicht unfehlbar. Aber dass seine Beweis-
> idee zur FV nichts taugt, hat er immerhin noch rechtzeitig gemerkt.
Bitte belege, dass er dies rechtzeitig gemerkt hat! Du hast wohl als kriti-
scher Mathematiker in der nachfolgenden Bemerkung von H. Kahovec
in dessen Re vom 22. Mai 15:46
: Ich glaube vielmehr, daß er sehr bald feststellen mußte, daß sein erster
: Beweisansatz falsch gewesen war und daß ein korrekter Beweis jenseits
: seiner Möglichkeiten lag. Er hat dann eben nach vielen erfolglosen
: Versuchen vergessen seine Randnotiz auszuradieren.
das "Ich glaube vielmehr, dass......" uebersehen und damit Dein
> Da war er dir weit voraus.
unreflektiert - bzw. eines kritischen Mathematikers m.E. unwuerdig -
zu rechtfertigen gemeint.
>
>> Diesbezueglich sei an die Fermatsche Vermutung FV erinnert, zumal
>> der so lange gesuchte Beweis der FV letztlich m.E. nichts anderes ist
>> als der Beweis, dass im Falle von x+y=/=z fuer nat. Zahlen x,y,z die Gl.
>> x^n+y^n=z^n in unendlich vielen - also nicht in all denselben - Zahlen-
>> tripeln x,y,z nur bei n=2 loesbar ist.
>
> Das ist definitiv falsch.
>
Was ist da definitiv falsch - unter Beruecksichtigung der fuer jedermann
evidenten Tatsache: Wenn x+y=z fuer bestimmte nat. Zahlen x,y,z gilt,
dann ist x^n+y^n=z^n in denselben nat. Zahlen x,y,z fuer nat. Exp. n>1
unloesbar?
>> Als Laie behaupte ich, dass die
>> Moeglichkeit des - der Gleichung x^n + y^n = z^n bei n=1 so nahen -
>> sinnvollen Zaehlens 1,2,3,4 usf. und Zusammenzaehlens 1,3,6,10,..
>> ihren "Preis" bzw die Unloesbarkeit der Glg vom Typ x^n + y^n = z^n
>> in nat. Zahlen fuer nat. Hochzahlen n > 2 zur logisch unabdingbaren
>> Voraussetzung hat (***)
>
> Wer das glaubt, glaubt auch, das die Sonne aufgeht, weil der Hahn kräht.
>
Wer das nicht versteht, kann m.E. nicht verstehen, dass Bilokation im phy-
sikalisch koerperlichen / materiellen Sinne unmoeglich ist. So schoen Dein
Hinweis auf " dass die Sonne aufgeht, weil der Hahn kräht" ist, so falsch
ist er auch und so wenig greift die darin zum Ausdruck gebrachte Ironie,
sondern sie kommt als Bumerang auf Dich ebenso zurueck wie eine Be-
merkung eines angeblichen FV-Experten, fuer den das Vielfache nichts
mit dem Einfachen zu tun hatte:
: Was soll der Quatsch? x+y=17z und x^2+y^2=17z^2 ist loesbar
: und die Loesbarkeit der Gleichung x^4+y^4=17z^4 hat damit
: rein gar nichts zu tun.
Als Laie=Nichtmathematiker bleibt mir da nur ein <Kopfschuetteln>,
- ebenso wie bei Deinen hier wiederholt vorgebrachten IMHO un-
qualifizierten und Dich selbst disqualifizierenden Aeusserungen.
Nichts fuer ungut, was diese Kritik an Deinen Bemerkungen
zu meinen zugegebenermassen laienhaft formulierten Aus-
fuehrungen zur FV betrifft. Eigentlich sollte sie von anderen
Diskussionsteilnehmern kommen, aber von diesen kam sie
auch in o.a. Fall bei x^4 + y^4 = 17z^4 =/= Fermatgleichung
(8^2+15^2)(47^2+52^2)=17^5 = (17^2)*(17^3)=17^5 bzw.
(8^2+15^2)(17^2+68^2)=17^5 = (8^2+15^2)^2+16*(8^2+15^2)^2
seltsamerweise nicht.
MfG
Gruessen