belirsizlik(yazılan ifade doğru mudur?)

[Dilara (öğrenci)]

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

ama tanjantın pi/2de, kotanjantın 0da limiti yok ki? 0.∞ denmesi için limitler soruda sağdan ya da soldan olmalı diye düşünüyorum, yanılıyor muyum hocalarım?

çünkü tek yönlü limitleri -∞ veya ∞ geliyor ama sağ-sol eşit olmadığından çift yönlü limit yok..

[DNZKRDG]

Dilara burada x in 0 a soldan ve sağdan yaklaşmasında iki limitte aynı şeyi ifade ediyor aslında... yani limit içine f dersek f(-x)=f(x) olduğundan senin bahsettğin eksi artı sonsuz durumları sıkıntı yaratmıyor. Evet cot fonksiyonu 0 da limiti ancak ilgili çarpımın orada limiti var.

[DNZKRDG]

Evet cot fonksiyonu 0 da limiti yok ancak ilgili çarpımın orada limiti var.

[Dilara (öğrenci)]

Deniz hocam öncelikle teşekkürler :)

işlemde sıkıntım yok. tanjant olarak aşağı attım hemen 0/0 belirsizliği oldu. ve l'hospital uyguladım. ve evet sonuç olarak bu çarpımın limiti varmış :)

benim anlamadığım şu:

belirsizliğin adını koyarken o x değerini ifadede yerine yazıyoruz. örn; 5x/tan7x yaptım ve x yerine sıfır yazarak(aslında sıfırdaki limitlerini pay ve paydadakini AYRI AYRI bularak?) 0/0 a ulaşıyoruz, öyle değil mi?

ama 5x. cot7x ifadesine aynı şeyi yapmaya kalktığımda sıkıntı çıkıyor, çünkü sağdaki ifadenin 0da limiti yok. sanki varmış ve sonsuzmuş gibi nasıl 0.∞ belirsizliği deniyor, anlayamadığım bu. 

tanjantta 0/0 belirsizliği derken nasıl pay ve paydayı bir bütün olarak almadıysak, burda da çarpımla değil çarpanlarla ayrı ayrı ilgilenmemiz gerekmiyor mu?

yani, bu ifade acayip bi ifade değil. limiti de var tamam. ama bence 0.∞ belirsizliği değil..

soruyu çözmüşsün işte ne kurcalıyorsun diye düşünen hocalarım olabilir :) ama l'hospitali uygulamak kolay. ben matematiği olabildiğince anlamaya çalışıyorum. belki şimdilik gereksiz.. ama sevdiğim ve bildiğim tek yol bu. sıkıyorsam affedin..

iyi geceler

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

[DNZKRDG]

Burada (limit hesabında) 0.sonsuz ifadesinde 0 ile sıfıra yakın sayıları, sonsuz ile çok büyük sayıları ifade ederiz. Bu ifadelerin çarpımını incelediğimizde ; sonsuz çarpımı büyütmeye çalışırken , sıfıra  yakın sayılar da çarpımı küçültmeye çalışırız. Bir çekişme söz konusu yani ; bu sebeble belirsiz diyoruz. Hangisi daha kuvvetli ise onun sözü geçebilir. Hatta beraberlik söz konusu olabilir  yada ilgili çekişme  3 gibi bir değer de çıkabilir bu yüzden belirsizlik diyoruz.

[DNZKRDG]

Şimdi x.cotx ifadsinde x yerine 0 yazamazsınız limitte yaklaşma söz konusudur. İlgili noktada fonksiyon tanımsız iken limiti olabilir olmayabilir de. Ama biz x yerine 0 yazarak ifadeyi yokluyoruz yaptığımız tek şey bu , şayet sorun çıkarmıyorsa limit=görüntü hesabı... Şayet sorun varsa yaklaşımla ifadenin nasıl davrandığını kafamızda canlandırmamız gerekiyor. İşte sorunununuz da burada cotx ifadesi 0 da tanımsız ama yaklaşımlarla nasıl davrandığına limitte bakmamız gerekiyor. Bir öğrenci oalrak en güzel şeyi neden ve niçinleri soruyorsun , bilinçli öğrenci böyle olur/olmalı.

[Dilara (öğrenci)]

Deniz hocam yazdığınız her kelime için çok teşekkür ediyorum. Sorduğum soruya cevap olmasa da (ben anlatamamışım derdimi belli ki:) başka bi yerlerdeki taşları yerine oturtuyor, o yüzden çok kıymetli.

cotxin 0 da tanımsızlığı değil takıldıgım nokta hocam. limitsizliği.

sol tarafında çok küçük değerler(-∞) alırken sağ tarafında çok büyük(+∞) değerler alıyor. x yerine sıfır yazmıyorum ama bi yere yaklaşıyor(limiti var) da diyemem ki o noktada. bu yüzden sanki sonsuzmuş gibi 0.∞ denmesi rahatsız etti

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[DNZKRDG]

• Cotx in 0 da limiti yok. (yaklaştığı bir reel değer yok aynen dediğiniz gibi)
  
• x.cotx in 0 limiti var. 
• f ve g nin ilgili bir noktada limiti yok iken çarpımlarının ilgili noktada limiti olabilir.
  

[Dilara (öğrenci)]

bu 3 ifadeyi gayet de kabul ediyorum. limiti elbette ki var ve zaten buldum da. 

"5x-->0 ve cot7x-->∞ olmadığı halde nasıl 5x.cot7x-->0.∞ deriz?" di benim tek sorum. bu ifadenin limiti olamaz demedim. sadece ifade ediliş şekli 0.∞ belirsizliği denmesi yanlış geldi.

açıklamalarınız için teşekkür ederim hocam

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[DNZKRDG]

Nasıl söylenmeli pekiyi ? Yazılıştaki sıkıntı nedir ? Yazılış yanlış anlamaya mahal verecek bir durum bu barındırıyor ?

Şunu da söyleyelim;

•  x---> 0 a soldan için (-0)•(-Sonsuz)
• x---->0 a sağdan için 0•Sonsuz
  

Bu iki ifade de eşdeğer değil mi ?

[Dilara (öğrenci)]

ben çarpanların limitlerine ayrı ayrı baktığım için oluyor aradaki fark hocam :) 

birinin 0 diğerinin ∞ çıkmasını bekliyorum(+∞ ya da -∞ farketmez)

yani bana kalırsa x sıfıra soldan giderken 5x.cot7x de x sıfıra sağdan giderken 5x.cot7x de 0.∞ belirsizliği ama yukarda yazan ifade değil :)

neyse.. zamanınızı çok fazla aldım. henüz zamanı gelmedi belki de bunu anlamamın.. :)

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[DNZKRDG]

0.Sonsuz belirsizliğinde ifadelerin işareti, ilk yoklamada önemli değildir. Sadece belirsizliğin türüne karar vermek için 0.Sonsuz yazarız. Sağ-sol limit incelemerinde

•  0.Sonsuz
  
•  0.(-Sonsuz)
• -0.(Sonsuz)
• -0.(-Sonsuz)
  

ifaderinin ikisinin birden gelmesi sıkıntı değil. Esas karara belirsizliği giderdikten sonra karar veriyoruz.

[barbaros gur]

''yani bana kalırsa x sıfıra soldan giderken 5x.cot7x de x sıfıra sağdan giderken 5x.cot7x de 0.∞ belirsizliği ama yukarda yazan ifade değil :) ''

aynen katılıyorum.

6 Ağustos 2015 01:54 tarihinde DNZKRDG <karada...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFsz7R1AAxvMxbEMz%3DSYb6wEYiJ%2BuCQDDn2TKvj83ZQM%3DkmqoA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

[Dilara (öğrenci)]

yok yok gelmiş =) şimdi ikna oldum hocam. ama epey uğraştırdım sizi.. hakkınızı helal edin :)

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[Dilara (öğrenci)]

Barbaros hocam, yukardaki ifade için siz ne dersiniz peki? "0.∞ belirsizliği değilse ne yahu?" sorusuna cevap veremediğim için ikna oldum ben..

sağdaki çarpanın limiti yok görünüyor. o yüzden mecburen çarpımın limitine sağdan soldan bakıp deniz hocamın dediği sonuca ulaşıp 0.∞ demeye karar vermiştim. ama bu da yine önceki dediğime çıkıyor.. off.. sorgulamadan L'hospital uygulamaya bakayım en iyisi ben.. :'(

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[barbaros gur]

aynı şekilde, x.lnx için yorumunuzu alırsam daha anlaşılır olabilir..

6 Ağustos 2015 02:07 tarihinde Dilara (öğrenci) <sahind...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/aed6d8b5-327f-48f7-846b-4ef5f946ef0c%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[Dilara (öğrenci)]

lnx in sıfıra soldan giderken limitinden bahsedemem? o yüzden bence x sıfıra sağdan giderken şeklinde sorulmadığı sürece bu sorduğunuzun cevabı yok?

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[barbaros gur]

kesinlikle haklısın.

x sıfıra sağından veya solundan, hatta x doğrudan sıfıra yaklaşırken

x.cotx  her durumda 0.sonsuz üretmiyor mu?

yani neden bu örnekte sıfıra sağından veya solundan yaklaşma ihtiyacı duyuyorsun?

6 Ağustos 2015 02:25 tarihinde Dilara (öğrenci) <sahind...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/86c32771-aea0-432c-bf2a-05d5966b069a%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[barbaros gur]

farklı örnek:

kökx / kök(cot2x) 

 

6 Ağustos 2015 02:28 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[barbaros gur]

pardon, kökx / kök(tan2x) 

6 Ağustos 2015 02:31 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[barbaros gur]

son örnek:

cotx - cosecx

ne diyeceğiz bunlara?

6 Ağustos 2015 02:32 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[Dilara (öğrenci)]

Değerli hocam uzatıp sıkmak istemiyorum ama ne demek istediğinizi anlamadım. hem "sağdan soldan her türlü 0.∞ üretiyor" diyerek bakmış oluyorsunuz sağdan soldan hem de "neden gerek duyuyorsun?" diyorsunuz. hem benim gibi düşünüyordunuz ama şuan aksini düşünüyor gibisiniz, anlayamıyorum.

verdiğiniz örneklerde benim için sıkıntı yok. ilki 0/0 2.si sonsuz-sonsuz belirsizliği değil mi? sağdan soldan bakmaya gerek yok çünkü yerine bile koyunca çıkıyor zaten. ama orda durum farklıydı..

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[Dilara (öğrenci)]

orda sonsuz değil dedim burda direkt sonsuz dedim. ne güzel çelişiyorum kendimle değil mi hocam :)

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

[barbaros gur]

sıfırın hemen sağında veya hemen solunda xcotx için bir sıkıntı yok ki..

neden bunlardan biri tercih edilerek bu soru yazılsın?

ve neden xcotx anlamsız olsun?

sıkılmıyorum, aksine yararlı olduğunu düşünüyorum,

ancak bir an benim de zihnim sürçtü sanırım..

6 Ağustos 2015 02:41 tarihinde Dilara (öğrenci) <sahind...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/900193c0-3986-48f9-9995-d4b6e22300dc%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[barbaros gur]

easen sizin için sorun olan şey pratikte açıklanmış.

ben sorunu farklı anladım sanırım, bundan da en azından öğrencilerim adına yararlanacağım,

teşekkür ederim..

6 Ağustos 2015 02:45 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[barbaros gur]

sorunun yazılışı üzerine tartışıyorsak,

kökx / kök(tanx) örneğinde, doğrusu sıfıra sağından yaklaşarak yazılmasıdır.

arada kaynamasın.:)

6 Ağustos 2015 02:48 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[Dilara (öğrenci)]

hmm.. ama cotxin sıfırda limiti olmadığı konusunda haklıyım değil.mi? cotx-cosecxte biraz önce hemen ∞-∞ yazıverdim sonra kızdım kendime öteki sorunun suçu neydi diye. sonra sağ-sol baktım biri ∞-∞ diğeri -∞+∞ yani aynı şey.. ama hep böyle mi olur ki hocam? cotxin sıfırdaki limiti karşıma çıktıgında sağ-sol bakmadan sonsuz mu yazmalıyım :/

[Dilara (öğrenci)]

est. hocam asıl ben teşekkür ederim..

[barbaros gur]

cotx in sıfırda limiti yok, haklısın.

diğer kısım için hafiften tekrar olacak, kusura bakmayın,

h pozitif ve dilediğimiz kadar küçültebildiğimiz bir sayı olsun,

diyelim ki x sıfıra solundan yaklaşıyor, (0-h).cot(0-h)=-h.-coth=h.coth

yok sağından yaklaşıyorsa, doğrudan yazalım, h.coth

bir fark var mı aralarında?

yani tekrar olan şu -0.-sonsuz, 0.sonsuz pratiği...

6 Ağustos 2015 02:54 tarihinde Dilara (öğrenci) <sahind...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/390ae281-f283-4357-825c-72ac90c964e1%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[barbaros gur]

''cotx in sıfırdaki limiti karşıma çıktıgında sağ-sol bakmadan sonsuz mu yazmalıyım? ''

cotx in  etrafındakilere de yazdığın sürece bir sorun yok:)

bu tartışma yararlı olmadıysa, farklı bir başlıkta lütfen tekrar yazın.

sevgiler, kolaylıklar dilerim.

6 Ağustos 2015 03:01 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[Dilara (öğrenci)]

teşekkür ederim hocam elbette yararlı oldu :)

saygılar

[barbaros gur]

''cotx in sıfırdaki limiti karşıma çıktıgında sağ-sol bakmadan sonsuz mu yazmalıyım? ''

x in yaklaştığı değeri, cotx in  etrafındakilere de yazdığın sürece bir sorun yok:)

bu tartışma yararlı olmadıysa, farklı bir başlıkta lütfen tekrar yazın.

sevgiler, kolaylıklar dilerim.

Bilmukabele..

6 Ağustos 2015 03:06 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[Barış DEMİR]

Tartışmaları ilgiyle takip ettim, güzel açıklanmış, Barbaros ve Deniz hocama teşekkür ediyorum. .
Şu eklemeleri de yapabiliriz:
x--> 0 için cotx in limiti incelenirken sağdan ve soldan bakarız, esasında uç noktalar hariç bir aralığın belli bir noktasında limit için her zaman sağdan soldan bakarız, ama birçok durumda bunu uygulama gereği duymayız.
x. cotx için de 0 da limit için sağ ve sola bakılması, olması gerekenden başka birşey değildir.
Mesela f(x)=x^2-4 ve g(x)=1/(x-2) olsun. Bu durumda x—>2 için f(x).g(x) çarpımının limiti x. cotx de karşılaşılan durumla aynıdır.
Doğrudan limit için yaklaşılan sayıyı yerine yazmamıza izin veren fonksiyonlar olabileceği gibi, sağdan soldan bakma gereğini sunan fonksiyonlar da olacaktır..
Saygılarımla. ..

[öğrenci Dilara]

katkınız için teşekkürler Barış hocam :)

sağ sol limitlere elbette baktım ama çarpanları ayrı ayrı değerlendirdiğim için oldu bu. 5xe sağdan soldan baktım sıfır. cotxe sağdan soldan baktım yok! ifadede 2 çarpan var ve 0.∞ da 2 çarpandan oluşuyor. sağ sol limitler bakıldıktan sonra bulunan kesin limitlerin birinin 0 diğerinin ∞ olması gerektiğini düşünmüştüm 0.∞ belirsizliği diyebilmemiz için. sıkıntı buydu yani. çarpımın tamamına sağdan soldan bakmam gerekiyormuş..

emeği geçen hocalarıma çok teşekkür ediyorum.

[mankan hatice]

sevgili Dilara BARIŞ DEMİR hocamızın sitesi 

http://watewatik.com/

incelemeni tavsiye ederim kolay gelsin

6 Ağustos 2015 12:44 tarihinde Dilara (öğrenci) <sahind...@gmail.com> yazdı:

katkınız için teşekkürler Barış hocam :)

5 Ağustos 2015 Çarşamba 23:37:44 UTC+3 tarihinde Dilara (öğrenci) yazdı:

benzer olarak x-> pi/2  lim(x-pi/2).tanx= 0.∞ da deniliyor çoğu yerde.

ama tanjantın pi/2de, kotanjantın 0da limiti yok ki? 0.∞ denmesi için limitler soruda sağdan ya da soldan olmalı diye düşünüyorum, yanılıyor muyum hocalarım?

çünkü tek yönlü limitleri -∞ veya ∞ geliyor ama sağ-sol eşit olmadığından çift yönlü limit yok..

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/143bc9b0-1f8d-4f29-8597-ca38d2ac06f5%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[Dilara (öğrenci)]

ilginiz için teşekkür ederim hatice hocam :)

[Barış DEMİR]

Rica ederim Dilara.
Hatice Hocam yönlendirme için teşekkürler:)

[barbaros gur]

Tekrar hoş geldin Barış hocam,..Sevgiler, Saygılar

6 Ağu 2015 17:26 tarihinde "Barış DEMİR" <baris...@gmail.com> yazdı:

Rica ederim Dilara.
Hatice Hocam yönlendirme için teşekkürler:)

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/

Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---

Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/44de2842-8ed1-46d5-85cc-58250555a0b7%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.

[Barış DEMİR]

Hoşbulduk Barbaros Hocam, vesile oldun.. Sevgiler ve saygılar. .

Daha önce gelmemi tavsiye eden tüm arkadaşlara teşekkür ediyorum..