integrãl-3

[Erdem Tuna]

[Cem Ozgur Sentin]

Int[Kök(tanx)*dx] integralinde Kök(tanx)=u dönüşümünü yapalım. Buna göre u^2=tanx ve 2u*du=[1+(tanx)^2]*dx veya dx=2u*du/(u^4+1) olacağından integral,

Int[Kök(u^2)*2u*du/(u^4+1)]=2*Int[u^2*du/(u^4+1)] olur. Şimdi u^4+1=u^4+2u^2+1-2u^2=(u^2+1)^2-(Kök2*u)^2=(u^2+Kök2*u+1)*(u^2-Kök2*u+1) olarak yazılabileceğinden integraldeki kesri basit kesirlere ayırabiliriz:

2u^2/(u^4+1)=(Au+B)/(u^2+Kök2*u+1)+(Cu+D)/(u^2-Kök2*u+1) olsun. Bu eşitliği açarsak,

2u^2=(Au+B)*(u^2-Kök2*u+1)+(Cu+D)*(u^2+Kök2*u+1) veya
2u^2=(A+C)*u^3+(-Kök2*A+B+Kök2*C+D)*u^2+(A-Kök2*B+C +Kök2*D)*u+(B+D) olur. Burada benzer terimler eşitlenirse,

A+C=0, -Kök2*A+B+Kök2*C+D=2, A-Kök2*B+C+Kök2*D=0 ve B+D=0 olur. 4. eşitlikten D=-B ve ilk eşitlikten C=-A olur. Bunu 2. denklemde yazarsak,

-Kök2*A+B+Kök2*(-A)-B=2'den -2Kök2*A=2 olacağından A=-Kök2/2 çıkar. Haliyle C=Kök2/2 bulunur.

Ayrıca 3. eşitliğe dönersek -Kök2/2-Kök2*B+Kök2/2+Kök2*(-B)=0'dan -2Kök2*B=0 olacağından B=0 çıkar. Haliyle D=0 bulunur. Buna göre

2u^2/(u^4+1)=Kök2/2*u/(u^2-Kök2*u+1)-Kök2/2*u/(u^2+Kök2*u+1) olur. Şimdi asıl integrale dönersek

Int[2u^2*du/(u^4+1)]=Kök2/2*Int[u*du/(u^2-Kök2*u+1)] -Kök2/2*Int[u*du/(u^2+Kök2*u+1)]+C olur. Burada 2 alt integral vardır. İlkine E, ikincisine F dersek,

E=Int[[u*du/(u^2-Kök2*u+1)]
=1/2*Int[2u*du/(u^2-Kök2*u+1)]
=1/2*Int[(2u+Kök2-Kök2)*du/(u^2-Kök2*u+1)]
=1/2*Int[(2u-Kök2)*du/(u^2+Kök2*u+1)]+1/2*Int[Kök2*du/(u^2-Kök2*u+1)]
=1/2*Ln[(u^2-Kök2*u+1)]+Kök2/2*Int[du/(u^2-Kök2*u+1)] olur. Şimdi buradaki 2. integrale dönelim:

Int[du/(u^2-Kök2*u+1)]
=Int[du/(u^2-Kök2*u+1/2+1/2)]
=Int[du/[u-Kök2/2)^2+(Kök2/2)^2] olur. Burada u-Kök2/2=Kök2/2*tank dönüşümünü yaparsak, du=(Kök2/2)*(seck)^2*dk olacağından integral,

Int[Kök2/2*(seck)^2*dk/(Kök2/2*seck)^2]=1/(Kök2/2)*Int[dk]=Kök2*k olur. Burada u-Kök2/2=Kök2/2*tank iken tank=Kök2*u-1 veya k=Arctan(Kök2*u-1) olacağından

Int[du/(u^2-Kök2*u+1)]=Kök2*Arctan(Kök2*u-1) çıkar. Buna göre

E=1/2*Ln[(u^2-Kök2*u+1)]+Arctan(Kök2*u-1) olur. Aynı mantıkla,

F=Int[u*du/(u^2+Kök2*u+1)]
=1/2*Int[2u*du/(u^2+Kök2*u+1)]
=1/2*Int[(2u+Kök2-Kök2)*du/(u^2+Kök2*u+1)]
=1/2*Int[(2u+Kök2)*du/(u^2+Kök2*u+1)]-Kök2/2*Int[du/(u^2+Kök2*u+1)]
=1/2*Ln(u^2+Kök2*u+1)-Arctan(Kök2*u+1) olur. Bu sonucun nedeni 2. integralde u+Kök2/2=Kök2/2*tanm ve du=Kök2/2*(secm)^2*dm dönüşümünün yapılmasıdır. Buna göre E ve F integralleri asıl integralde yerine yazılırsa,

Int[2u^2*du/(u^4+1)]=Kök2/4*Ln(u^2-Kök2*u+1)+Kök2/2*Arctan(Kök2*u-1)-Kök2/4*Ln(u^2+Kök2*u+1)+Kök2/2*Arctan(Kök2*u+1)+C=Kök2/4*Ln[(u^2-Kök2*u+1)/(u^2+Kök2*u+1)]+Kök2/2*Arctan(Kök2*u-1)+Kök2/2*Arctan(Kök2*u+1)+C olur. Buna göre u=Kök(tanx) ters dönüşümünü yaparsak,

Int[Kök(tanx)*dx]=Kök2/4*Kök2/4*Ln([tanx-Kök(2tanx)+1]/[tanx+Kök(2tanx)+1])+Kök2/2*Arctan[Kök(2tanx)-1]+Kök2/2*Arctan[Kök(2tanx)+1]+C çıkar.

11 Haziran 2015 Perşembe 22:21:55 UTC+3 tarihinde Erdem Tuna yazdı:

[Ali Ergin]

Sayın hocam elinize kolunuza sağlık .

Şahsen ben bu kadar sabırlı değilimdir  2-3  satır yazdıktan sonra yorulurum :((

Azminiz ve sabrınız için Maşallah  diyeyim..

Meraklısına  aşağıda başka bir çözüm..

--

Sanma Şahım / Herkesi Sen / Sadıkhane / Yar OLur
Herkesi Sen / Dost mu Sandın / BeLki oL / Ağyar OLur
Sadıkhane / BeLki oL / aLemde / Serdar OLur
Yar OLur / Ağyar OLur / Serdar OLur / DiLdar OLur

Yavuz Sultan Selim Han

ANKARA

[ayhan yanağlıbaş]

Cem Hocanın emeğine sağlık

Ali Hocam saygılar

Şu da bulunsun

12 Haziran 2015 Cuma tarihinde, Ali Ergin <matg...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CA%2BuuN52PqoL9b6ZbW5_yPcVkYtCzYb6Ygj1qARv9B5HjPeWJ3A%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

paylaş

[Ali Ergin]

Ayhan hocam sanada Maşallah

Rabbim ilminizi artırsın..

[Erdem Tuna]

ali hocam- ayhan hocam- cem hocam teşekkürler.