Tanım aralığının uç noktalarında süreklilik

[simonsen-55]

Aydın yayınlarında gördüm.

f:Kapalı aralık 4,sonsuz) kümesinden reel sayılara tanımlı 

f(x)=Karekök içinde x-4 fonksiyonu x=4 noktasında soldan limiti olmadığından süreksizdir demiş.

x=4 Uç noktasındaki limit sağdan limit değeri olacağını bakanlık kabul ettiğinden bu noktada limiti 0 olmalı ve sürekli olması gerekir diye düşünüyorum.

Düşüncelerinizi bekliyorum.Teşekkürler,

[Muharrem Şahin]

Doğru söylüyorsunuz hocam.

Daha fazlası aşağıda:

Yalnız kaba grafiğe bakarak

fonksiyonun

türevli olup olmadığından söz edilemez.

Fonksiyonun kuralı da bilinmelidir.

Grafiği verilen f fonksiyonu

[a,b) aralığını kapsayan 

daha geniş bir aralıkta sürekli ve türevli ise

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = a da 

tanımlı,

sağdan limitli,

sağdan sürekli,

sağdan türevlidir.

Bu ifade,

"f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = a da 

tanımlı,

limitli,

sürekli,

türevlidir."

ifadesi ile aynı anlamdadır.

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = b de 

tanımsız,

soldan limitli,

süreksizi,

türevsizdir.

...

Grafiği verilen f fonksiyonu

[a,b) aralığını kapsayan 

daha geniş bir aralıkta sürekli ve türevli ise

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

[a,b) aralığının her noktasında 

tanımlı,

limitli,

sürekli,

türevlidir."

...

Geçmişteki bir tartışmada yazdıklarımı kopyaladım:

Tanım kümesinin uçlarındaki durum

şöyle açıklanabilir:

Örneğin; f : (-2,4] ---> R,  f(x) = 2x 

fonksiyonunun, 

tanım kümesinin her noktasında limiti vardır.

f fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında süreklidir.

Bu açıklamaya göre;

lim     (2x) = -4  tür.

x-->-2

Apaçıktır ki; bu noktada soldan limit yoktur.

Ama; -2'ye soldan yaklaşmak da söz konusu değildir.

Soldan yaklaşmak söz konusu olmadığında

sağdan limit "o noktaya yaklaşırkenki limit" sayılır.

Fonksiyon x = -2 apsisli noktada sürekli değildir.

Çünkü; o noktada tanımlı değildir.

lim     (2x) = 8  dir.

x-->4

f(4) = 8 olduğundan

x = 4 apsisli noktada f süreklidir.

x = 4 teki limit ve süreklilik de

soldan limit ve soldan sürekliliktir.

Ama; bunun sağı olmadığından,

x = 8 apsisli noktada f süreklidir, denir.

Böyle bir açıklama,

bir anadolu lisesi öğrencisine yapılabilir.

Yapılmalıdır da.

Böyle bir bilgi, öğrenciyi 

üniversiteye gittiğinde 

zor durumda bırakmaz.

Bu sorular soruluyor.

Herkes öğrencisinin durumuna göre sorar ya da sormaz.

Bizim yaptığımız,

sorulmuş bir soruya doğru cevap vermeye çalışmaktır.

...

Geçmişteki bir yazışmamızdan:

Tartıştığımız şu:

f: [a,b] ---> R

f fonksiyonunun 

a'da sağdan türevli,

b'de soldan türevli olduğu 

durumları biliyoruz.

f, aralığın diğer noktalarında da türevli olsun.

Bu durumda, f aralığın iç noktalarında sürekli,

uç noktalarında sağdan ya da soldan süreklidir. 

Bunlarda herkes hemfikir.

...

Şimdi bazı kaynaklar diyor ki:

"f: [a,b] ---> R

f fonksiyonu 

a'da sağdan türevli,

b'de soldan türevli,

ara noktalarda da türevli ise,

artık lafı uzatmayalım.

f fonksiyonu

[a,b] aralığında türevlidir diyelim.

f fonksiyonu

[a,b] aralığında süreklidir diyelim.

f fonksiyonunun

[a,b] aralığında her noktada limiti vardır diyelim."

Olay bu kadar basit.

Bu son yaklaşım da,

bana son derece mantıklı geliyor.

...

Bizdeki uygulamaya gelince;

MEB'in bu ikinci yaklaşımı benimsediğini

ben yine burada duymuştum.

Burada kulağıma gelen yanlış olabilir.

Bunu araştıralım.

Ama; iki farklı yaklaşımın olduğu

ve ikincisinin son derece sağlıklı olduğu açık.

Önceki yaklaşımla

şimdiki yaklaşım arasında

özde bir fark yok.

Sadece adlandırmaya takılıp kalınıyor. 

(Önceki tanıma uyanlar adlandırmaya takılıyor.)

"[a,b] aralığında türevli" diyen biri

a'daki türevin sağdan türev,

b'deki türevin soldan türev olduğunu biliyor.

...

Uç noktadaki teğete gelince;

Uç noktadan geçen her doğru

eğriye teğet değildir.

Bu uç sağ uç ise

bu uçtan geçen bir doğru

sol yandaki eğriye teğet ise

ona teğet denir.

...

Bu açıklamaya göre

[-5,7) aralığında tanımlı fonksiyonun

-5'te sağdan türevi var olduğundan,

bu fonksiyon x = -5 noktasında türevlidir. 

...

Bu konuda,

geçmişteki bir tartışmada yazdıklarımı kopyalıyorum.

Aynı düşüncedeyim.

...

Bu süreklilik kavramı ile ilgili aynı soruları

her birimiz, çok farklı yorumlayabiliyoruz.

"f:[0,1] U{3}---->R   

f(x)=x^2 fonksiyonu x=3 te sürekli midir?"

f(a) tanımlı ise,

limf(x) var ise  ve

x-->a

lim f(x) = f(a)

x-->a

ise, f fonksiyonu x = a değeri için süreklidir.

Bu tanıma göre;

verilen f fonksiyonu (0,1) aralığında süreklidir.

Aralığın uç noktalarındaki "sağdan sürekli olma",

"soldan sürekli olma" durumları da süreklilik aralığına katılır.

Buna göre; f fonksiyonu [0,1] aralığında süreklidir. 

x = 3 değerine sağdan ve soldan yaklaşma

söz konusu olmadığından, bu değer için süreksizdir. 

Siz soruyu çok doğru sormuşsunuz.

Sorularda genellikle şu hatalar yapılıyor:

y = f(x) kuralı verilip  (Tanım kümesi verilmeden)

"bu fonksiyonun süreksiz olduğu x değerlerini bulunuz" deniyor.

Böyle sorulmamalı.

"Kuralı y = f(x) olan f fonksiyonunun

(Örneğin) A kümesinde süreksiz olduğu

x değerlerini bulunuz"

Süreksizlik, belirli bir kümede sorulmalıdır.

Bu küme, tanım kümesini kapsayan bir küme de olabilir.

Sorduğunuz soru üzerinden devam edelim:

f fonksiyonu [0,3] aralığının (1,3) alt kümesinde 

tanımsızdır. Dolayısıyla; (1,3) aralığında süreksizdir.

Bu şöyle yorumlanabilir:

(1,3) aralığında var olan, süren bir fonksiyon yoktur.

Verilen f fonksiyonu [0,1]  aralığında sürekli

R-[0,1] kümesinin her noktasında süreksizdir.

  

Şunları da ekleyeyim:

Kuralı, f(x) = kökx olan f fonksiyonu 

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, (-sonsuz,0) aralığında süreksizdir.

(Yok olduğu için süreksizdir.)

Kuralı, g(x) = kök(x^2 -4) olan g fonksiyonu

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, (-2,2) aralığında süreksizdir.

Kuralı, h(x) = 1/x olan h fonksiyonu 

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, x = 0 için süreksizdir.

...

23 Kasım 2015 12:06 tarihinde simonsen-55 <simonse...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/73803be0-3d18-435b-aafc-f6ec87f519ae%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.