Parçalı Tanımlı Fonksiyonların İntegralleri

[Muharrem Şahin]

İntegral işlemlerinde
mutlak değerli ifadeler geldiğinde
fonksiyonu
mutlak değerin yönlendirdiği
parçalı biçimde ifade etmeliyiz.
Mutlak değeri dikkate almadan yapılan çözüm
sadece
dallardan birinin çözümü olur.

Dosyada
fonksiyonları
en geniş tanım kümelerinde ele almış olmam
dikkati dağıtmış olabilir.
Aşağıdaki örnek problemi 
amacımı anlatmama uygun buldum.


Örnek Problem

f : [0, 2pi] ---> R; f(x) = kök(2-2cos2x)
fonksiyonu veriliyor.

f fonksiyonunun ters türevini bulunuz.

[Barış DEMİR]

Muharrem Hocam,

öncelikle paylaşımınız için teşekkür ediyorum. Birkaç değerlendirmede bulunmak istedim.

• f nin sürekli fonksiyon olması belirsiz integralinin bulunması için yeterlidir. Tersten düşünürsek, F veriliyken aynı tanım kümesine sahip türevini (f yi) yazabilmemiz F nin tanım kümesinde türevlenebilir olması gerekir. Bunun doğal sonucu olarak F nin türevinin (f nin) en azından aynı kümede sürekli olması gerekir.

Sürekli f fonksiyonu parçalı ya da mutlak değer içeren bir yapıdaysa belirsiz integrali de türevlenebilir parçalı ya da mutlak değer içeren bir yapıda olacaktır.

 

Örnek 1 de verdiğiniz f fonksiyonu x = 0 da sürekli olmadığından belirsiz integrali alınırken x = 0 sorun oluşturmaktadır. Çünkü eğer ki f fonksiyonu bir F fonksiyonunun türevine eşitse, F'(0) tanımlı olmalıdır, yani x = 0 da f sürekli olmalıdır (türev özel bir limit olduğundan kritik noktalarda doğrudan kritik nokta değerine değil, sağlı sollu bakmak gerektiği unutulmamalıdır).

Aslında her şey Teorem 1 de yazılmış (x elemanıdır [a, b] eklenirse daha iyi olur). Ancak sonrasında yapılan açıklamada G'(x) = f(x) olmasıyla F'(x) = f(x) olması farklı anlamlardadır ifadesi doğru olmamış. Çünkü biz zaten belirsiz integrali = G(x) + C diye yazabilmişsek buradaki G = F dir. Yazılamamışsa, zaten Teorem 1 in şartları gerçekleşmemiş ve F de yazılamamıştır, örneğin f sürekli değildir.

• Çalışmanızın Belirli İntegral başlığında alana negatif değer atamanız alan kavramıyla uyumlu gözükmüyor. Burada negatif değerler almayan f için belirli integralin alana eşit olacağı, pozitif değerler almayan f için ise belirli integral değerinin mutlak değerinin alana eşit olacağı vurgulanmalıdır.

Saygılarımla...

23 Nisan 2017 Pazar 13:51:37 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:

[Muharrem Şahin]

Değerli emeğin için

çok teşekkürler Barışcığım.

Çok makbule geçti.

Aslında her şey Teorem 1 de yazılmış (x elemanıdır [a, b] eklenirse daha iyi olur). Ancak sonrasında yapılan açıklamada G'(x) = f(x) olmasıyla F'(x) = f(x) olması farklı anlamlardadır ifadesi doğru olmamış. Çünkü biz zaten belirsiz integrali = G(x) + C diye yazabilmişsek buradaki G = F dir. Yazılamamışsa, zaten Teorem 1 in şartları gerçekleşmemiş ve F de yazılamamıştır, örneğin f sürekli değildir.

Bu yazdıklarına aynen katılıyorum.

[a,b] yerine (a,b) almam

uçlarda türev kavramına

ilk yaklaşımımızın ürünü.

Artık;

uçlarda türev kavramında 

birleşebiliyoruz.

Değiştirdim.

Ben ilk örneğimdeki fonksiyonun

ters türevinin olmamasına takılı kalarak

sürekli olmadığını gözden kaçırmışım.

Sayende,

o paragrafı sildim.

Belirli integrali alan kavramıyla açıklamamda

bir sorun göremedim.

"Negatif alan" terimini 

hangi anlamda kullandığımı açıkladım.

Milattan önce 146 yılının

-146 yılı olması gibi.

...

Dosyayı hazırladığım dönemde de

hem Saygın Dinçer Hocamın

hem senin 

değerli yardımlarınız olmuştu.

İkinize de

candan teşekkürler.

Sevgiler, selamlar.

 

23 Nisan 2017 14:53 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/4d89a74d-4bac-4e49-ad51-30e5b1ccc562%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Barış DEMİR]

Rica ederim Muharrem Hocam,

Birinci teoremde integral üst sınırına yazılan x in [a, b] aralığının bir elemanı olduğu da teoreme bir açıklayıcı bilgi olarak eklenmeli demek istemiştim. Uç noktalarda türevlenebilme kısmı için, uç noktalarda sağdan ve soldan türevleri doğrudan türev kabul eden bir açıklama altında, kapalı ya da açık yazılmasında bir sakınca görmüyorum. Bir de teorem 1 de F nin türevlenebilir olduğunu söylemek yeterli olsa gerek, çünkü bu sürekliliği gerektirecektir.

Tekrar bu paylaşımınız için teşekkür ediyorum.

Saygılarımla...

23 Nisan 2017 Pazar 17:59:10 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/4d89a74d-4bac-4e49-ad51-30e5b1ccc562%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Evet Barışcığım.

(a,b) sembolünü değiştirince

cümle uzun olmuş.

23 Nisan 2017 19:25 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/2e9f3175-bb3a-4ae1-b4f5-d790f601239c%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Umut GÜNDÜZ]

teşekkürler Muharrem hocam.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

23 Nisan 2017 13:51 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcOzpKO8QJqTDOWoJzqNNiJKtJyvK4ZeRKfdFJV9mhYHEQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.