Distribuzione continua di carica
Andrea R.
Problema:
Una certa carica Q viene depositata su di una sbarretta conduttrice. La
sbarretta e' rettilinea, ha lunghezza L e spessore trascurabile. Come si
distribuira' la carica lungo la sbarretta?
Ho tentato di risolvere il problema imponendo che il campo elettrico E(x)
fosse nullo per ogni punto all'interno del conduttore. Questa e' la
condizione di equilibrio (non si ha cioe' un movimento di cariche),
supponendo che la funzione della densita' di carica ( lambda(x) ) non sia
nulla per nessun punto all'interno della sbarretta.
Ho quindi ottenuto un'equazione differenziale che *non* sono riuscito a
risolvere. E' del tipo:
integrale.definito, intervallo (a...p) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 )
- (meno)
integrale.definito, intervallo (p...b) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 )
=0
l'equazione deve essere verificata per ogni punto p appartenente
all'intervallo (a...b). Determinare lambda(x).
Ringrazio tutti coloro che mi indicheranno la strada per risolvere il
problema (in particolare per quanto riguarda la matematica da usare).
Andrea "Spock"
p.s. spero che non venga considerato OT!!
Giorgio Bibbiani
> Una certa carica Q viene depositata su di una sbarretta conduttrice. La
> sbarretta e' rettilinea, ha lunghezza L e spessore trascurabile. Come si
> distribuira' la carica lungo la sbarretta?
> Ho tentato di risolvere il problema imponendo che il campo elettrico E(x)
> fosse nullo per ogni punto all'interno del conduttore. Questa e' la
> condizione di equilibrio (non si ha cioe' un movimento di cariche),
> supponendo che la funzione della densita' di carica ( lambda(x) ) non sia
> nulla per nessun punto all'interno della sbarretta.
> Ho quindi ottenuto un'equazione differenziale che *non* sono riuscito a
> risolvere. E' del tipo:
> integrale.definito, intervallo (a...p) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 )
> - (meno)
> integrale.definito, intervallo (p...b) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 )
> =0
> l'equazione deve essere verificata per ogni punto p appartenente
> all'intervallo (a...b). Determinare lambda(x).
A prima vista quella equazione integrale sembrerebbe a posto, pero' puoi
notare che se lambda e' diversa da zero allora entrambi gli integrali
nell'equazione divergono.
Mi sembra del resto che da un punto di vista fisico abbia poco senso parlare
di un conduttore in una sola dimensione, probabilmente un problema piu'
sensato sarebbe quello di calcolare la distribuzione di carica per una
barretta ad es. cilindrica, e vedere cosa diventa nel caso in cui lo
spessore della barretta e' piccolo rispetto alla sua lunghezza, certo che
anche questo nuovo problema non e' proprio banale...
Andrea R.
del tipo infinito-infinto, che potrebbe eliminata introducendo un limite
(dovrebbe aver qualcosa a che fare con "il valore principale secondo
Cauchy", ma non conosco bene l'argomento):
Limite per k->0 di
(
integrale.definito, intervallo (a...(p-k)) di ( lambda(x)dx /
x-p)^2 )
- (meno)
integrale.definito, intervallo ((p+k)...b) di ( lambda(x)dx /
x-p)^2 )
=0
)
(* è interessante notare che per una sbarretta sottile carica uniformemente,
il campo al centro, calcolato come campo dato separatemente dalla metà
destra e da quella sinistra, è di fatto anch'esso infinito-infinito. *)
Non mi sembra che il considerare un conduttore monodimensionale abbia poco
senso fisico.
Avevo pensato infatti a una simulazione al computer del comportamento della
carica lungo un conduttore (che può essere pensato come una porzione
limitata di spazio ad una dimensione). Nella simulazione la carica potrebbe
essere suddivisa in quantità discrete, concentrate in punti (come elettroni,
per avere un idea). Peccato però che con la simulazione non si possa
determinare con esattezza la funzione di densità di carica lambda(x).(!)
Grazie,
Andrea "Spock"
> > Ho quindi ottenuto un'equazione differenziale che *non* sono riuscito a
> > risolvere. E' del tipo:
> > integrale.definito, intervallo (a...p) di ( lambda(x)dx /
x-p)^2 )
> > - (meno)
> > integrale.definito, intervallo (p...b) di ( lambda(x)dx /
Giorgio Bibbiani
forma
> del tipo infinito-infinto, che potrebbe eliminata introducendo un limite
> (dovrebbe aver qualcosa a che fare con "il valore principale secondo
> Cauchy", ma non conosco bene l'argomento):
> Limite per k->0 di
> (
> integrale.definito, intervallo (a...(p-k)) di ( lambda(x)dx /
> - (meno)
> integrale.definito, intervallo ((p+k)...b) di ( lambda(x)dx /
> =0
> )
> (* è interessante notare che per una sbarretta sottile carica
uniformemente,
> il campo al centro, calcolato come campo dato separatemente dalla metà
> destra e da quella sinistra, è di fatto anch'esso infinito-infinito. *)
> Non mi sembra che il considerare un conduttore monodimensionale abbia poco
> senso fisico.
> Avevo pensato infatti a una simulazione al computer del comportamento
della
> carica lungo un conduttore (che può essere pensato come una porzione
> limitata di spazio ad una dimensione). Nella simulazione la carica
potrebbe
> essere suddivisa in quantità discrete, concentrate in punti (come
elettroni,
> per avere un idea). Peccato però che con la simulazione non si possa
> determinare con esattezza la funzione di densità di carica lambda(x).(!)
Ci sono altre ragioni per cui questo problema mi lascia dubbioso.
Nel caso di una barretta unidimensionale carica uniformemente possiamo
immaginare che le cariche siano tenute in posizione "magicamente" da forze
esterne e non ci dobbiamo preoccupare degli infiniti che insorgono nel campo
e nel potenziale, invece le cariche in una barretta unidimensionale
conduttrice si devono distribuire in modo da minimizzare l'energia
potenziale elettrostatica, ora si vede facilmente che il potenziale e
l'energia potenziale elettrostatica della barretta sono entrambi infiniti e
non c'e niente da minimizzare, insomma le cariche "non sanno" come
distribuirsi per minimizzare l'energia.
Anche se volessimo calcolare il potenziale in tutto lo spazio come soluzione
di un problema con valori al contorno ci troveremmo in difficolta' perche'
potremmo porre le condizioni normali all'infinito ma avremmo un valore
infinito del potenziale sul conduttore, nel caso della barretta carica
uniformemente il problema non si pone perche' la densita' di carica e' data
e da questa possiamo ricavare il potenziale in tutto lo spazio.
Insomma, proprio non mi riesce di "vedere" questo sistema, ad ogni modo se
trovi una soluzione, faccela conoscere:-)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.
Elio Fabri
> Buongiorno, Andrea R. ha scritto:
>> Una certa carica Q viene depositata su di una sbarretta conduttrice. La
>> sbarretta e' rettilinea, ha lunghezza L e spessore trascurabile. Come si
>> distribuira' la carica lungo la sbarretta?
>> Ho quindi ottenuto un'equazione differenziale che *non* sono riuscito a
>> risolvere. E' del tipo:
>> integrale.definito, intervallo (a...p) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 ) - (meno)
>> integrale.definito, intervallo (p...b) di ( lambda(x)dx / (x-p)^2 ) =0
>> l'equazione deve essere verificata per ogni punto p appartenente
>> all'intervallo (a...b). Determinare lambda(x).
>
> A prima vista quella equazione integrale sembrerebbe a posto, pero' puoi
> notare che se lambda e' diversa da zero allora entrambi gli integrali
> nell'equazione divergono.
> Mi sembra del resto che da un punto di vista fisico abbia poco senso parlare
> di un conduttore in una sola dimensione, probabilmente un problema piu'
> sensato sarebbe quello di calcolare la distribuzione di carica per una
> barretta ad es. cilindrica, e vedere cosa diventa nel caso in cui lo
> spessore della barretta e' piccolo rispetto alla sua lunghezza, certo che
> anche questo nuovo problema non e' proprio banale...
Lo confesso: mi ero messo a pensarci, avevo visto la divergenza, avevo
sostituito la barretta cilindrica, ottenendo un'eq. integrale poco
diversa: basta sostituire a denominatore (x-p)^2 con (x-p)^2 + r^2.
Quella che si ottiene e' un tipo di equazione ben nota, il che non vuol
dire che ne sia nota la soluzione. Almeno, io non la conosco.
L'eq. si puo' scrivere:
\int_a^b K(p-x) lambda(x) dx = 0, dove K(u) = sgn(u)/(u^2 + r^2).
(1)
E' un'eq. di Fredholm di prima specie.
Suggerisco ad Andrea un tecnica possibile: serie di Fourier..
Intendo questo: poni intanto a = -b, col che la densita' sara' una
funzione pari.
Scrivi quindi
lambda(x) = \sum_0^\infty a_n cos(n\pi x/a).
Macina un po', e ti troverai per gli a_n un insieme di (infinite)
equazioni lineari omogenee.
Non e' scontato che esista una soluzione, ma sappiamo che c'e' "per
ragioni fisiche"; certamente si potrebbe anche dimostrare che esiste.
(Nota che la (1) e' un'eq. agli autovalori per l'operatore integrale K,
con autovalore 0: quindi si dovrebbe dimostrare che K ha un nucleo non
banale.)
Il vantaggio delle eq. algebriche per gli a_n e' che suggeriscono subito
un modo per trovare una soluzione approssimata: metti nulli gli a_n
oltre un certo n, e risolvi le prime n-1 equazioni per i rimanenti.
Otterrai per lambda un'approssimazione con un polinomio trigonometrico.
I conti non li ho fatti, quindi non so che cosa succede se ci si prova
;-)
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
rez
>Nota: Il problema e' gia stato postato su it.scienza.fisica.
>Problema:
>Una certa carica Q viene depositata su di una sbarretta conduttrice. La
>sbarretta e' rettilinea, ha lunghezza L e spessore trascurabile. Come si
>distribuira' la carica lungo la sbarretta?
Mah..
A=O-------P-----B---->r
- la densita` lambda e` costante
- il potenziale e` costante
- E(r)=0 ovunque
- estremi esclusi.
--
Ci sentiamo, | Remigio Zedda || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio | ||==> E-mail: remi...@tiscalinet.it
-------------| ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */
Elio Fabri
ora vorrei segnalarvi un problema diverso.
Prima di tutto: quello che avevo scritto nel mio post precedente e'
tutto sbagliato!
Se ricordate, assumevo che si potesse annullare il campo sull'asse
usando solo una distribuzione di carica sulla superficie laterale della
barretta cilindrica. (Avevo scritto: "la soluzione esiste per ragioni
fisiche"!)
Bene (anzi male): mai ragioni fisiche furono invocate piu' a sproposito
:-(
Ragiono cosi': se fosse vero quanto detto, vorrebbe dire che invece
della barretta si puo' usare un tubetto, con carica positiva lambda(x)
distribuita sulla superficie.
Consideriamo ora i punti dell'asse: non c'e' dubbio che il campo non si
puo' annullare fuori del tubetto, perche' la carica sta tutta dalla
stessa parte. Invece vorrei che si annullasse in ogni punto del segmento
che ha estremi alle basi del tubetto.
Ma il campo e' sicuramente una funzione continua (lo si vede dalla sua
espressione integrale) quindi se e' diverso da zero fuori di quel
segmento, non puo' essere zero nei punti interni, vicino quanto si vuole
agli estremi.
Conclusione: non si puo' risolvere il problema senza tener conto che la
barretta ha anche due basi, sulle quali sara' presente una carica non
trascurabile.
Per avere un'idea dell'importanza della carica sulle basi, procediamo al
modo seguente.
Supponiamo, per cominciare, che la carica sia distribuita uniformemente
sulla superficie laterale. Per comodita' di scrittura, chiamo m(x) la
densita' lineare.
Calcoliamo il potenziale V(x) sull'asse: non sto a scrivere
l'espressione, che sapete benissimo scrivere da voi; l'importante e' che
sicuramente *non e' costante*. Mi basta l'espressione della derivata
seconda nel centro (la derivata prima e' nulla):
V"(0) = -2am*(a^2 + b^2)^{-3/2} (b raggio della barretta, 2a lunghezza;
unita' elettrostatiche).
Ora aggiungiamo su ogni faccia una carica q, scelta in modo che annulli
V" nel centro. Il calcolo esatto richiederebbe di conoscere come questa
carica e' distribuita, ma se a>>b posso trattare la carica come
puntiforme.
A conti fatti trovo q = am/2, ossia 1/4 della carica totale sulla
superficie laterale.
Cio' significa che *qualunque sia il raggio* (purche' piccolo) la carica
sulle basi e' sempre la stessa, e' non e' affatto piccola.
E' intuitivo che in realta' questa carica non si distribuira' solo sulle
basi, ma in parte si "diffondera'" anche sulla sup. laterale.
Volendo fare il calcolo esatto, avremo duqnue due funzioni incognite:
m(x) e inoltre s(r) (densita' di carica superficiale sulle basi).
Avremo percio' bisogno di due equazioni: una e' quella gia' vista: campo
elettrico nullo sull'asse, che e' piu' semplice scrivere come
"potenziale costante sull'asse". Solo che nell'equazione entrera' anche
il contributo delle cariche sulle basi, e quindi sara' un'eq. integrale
nelle due incognite m e s.
Una seconda equazione si potrebbe ottenere ad es. imponendo che la
derivata seconda di V rispetto alla coordinata radiale r si annulli per
ogni x (la derivata prima e' nulla per simmetria).
Non ho scritto le equazioni, ne' tanto meno ho provato a vedere come si
potrebbe risolverle...
Giorgio Bibbiani
[cut]
Vorrei riprendere il ragionamento del messaggio precedente perche' non mi e'
chiaro come si arrivi alla soluzione, avevamo da risolvere:
(1) \int_a^b K(p-x) lambda(x) dx = 0, dove K(u) = sgn(u)/(u^2 + r^2)
con lambda(x) = \sum_0^\infty a_n cos(n\pi x/a).
Sostituendo lambda(x) nella (1) troviamo:
0 = \int_a^b K(p-x) \sum_0^\infty a_n cos(n\pi x/a) dx =
\sum_0^\infty a_n \int_a^b K(p-x) cos(n\pi x/a) dx =
\sum_0^\infty a_n f_n(p)
dove f_n(p) = \int_a^b K(p-x) cos(n\pi x/a) dx e' una funzione di p.
Abbiamo cosi' ottenuto l'eq.e \sum_0^\infty a_n f_n(p) = 0 che vale vale per
ogni p compreso tra a e b, se poniamo uguali a zero gli a_n con n>=m
otteniamo m eq.i nelle m variabili a_n e
possiamo risolverle sostituendo m valori arbitrari di p, a < p < b, e'
corretto, o come bisogna fare?
E se invece sostituiamo altri m valori otterremo la stessa soluzione o una
diversa, cosa ci garantisce che la soluzione di questo problema sia unica
(ok sull'esistenza per motivi fisici)?
Potrebbe essere meglio, anche per questo nuovo problema in cui la carica
e' distribuita su tutta la superficie del cilindro, calcolare il potenziale
nella regione di spazio esterna al cilindro conduttore equipotenziale,
imponendo condizioni normali all'infinito e utilizzando uno dei metodi
standard (eventualmente numerici) di soluzione?
Dato che in questa regione il potenziale e' una funzione armonica si puo'
applicare il noto teorema di unicita', dopodiche' dal potenziale si ricava
il campo sul conduttore e la distribuzione superficiale di carica, poi si
studia il limite in cui il raggio del cilindro tende a zero.
P.S. aggiungo, anche se e' attualmente ininfluente, che nel problema del
messaggio precedente mi sembra che il kernel corretto sia:
K(u) = u/(u^2 + r^2)^(3/2) e non K(u) = sgn(u)/(u^2 + r^2).
Ciao e grazie.
Giorgio Bibbiani
> (ok sull'esistenza per motivi fisici)
Ehm, dimenticavo che hai dimostrato che quella soluzione non puo'
esistere...
Ciao
Andrea Artesiani
<aa1f18$59a$1...@newsreader.mailgate.org>...
> Nota: Il problema e' gia stato postato su it.scienza.fisica.
>
> Problema:
> Una certa carica Q viene depositata su di una sbarretta conduttrice. La
> sbarretta e' rettilinea, ha lunghezza L e spessore trascurabile. Come si
> distribuira' la carica lungo la sbarretta?
La densità di carica deve essere nulla in (a,b) , visto che altrimenti gli
integrali divergono, e considerando anche l'eq. di Poisson:
d2V/dx^2=-lambda/eps0
dovendo essere V=costante => lambda=0
Mentre negli estremi ci sono un po' di problemi: sembra che la carica debba
depositarsi Q/2 in a e Q/2 in b (visto che la concentrazione di carica
aumenta con la curvatura, e gli estremi possono essere considerati a
curvatura infinita).
Però poi in a e b il potenziale diverge e il campo sembra discontinuo:
probabilmente non è lecito applicare questo modello matematico a una sbarra
monodimensionale, al massimo puoi usare un cilindro di raggio molto minore
dell'altezza, ma mai nullo.
In tal caso però si presentano altre difficoltà, come quelle indicate da
Elio...
Ciao
Andrea
Elio Fabri
> P.S. aggiungo, anche se e' attualmente ininfluente, che nel problema del
> messaggio precedente mi sembra che il kernel corretto sia:
> K(u) = u/(u^2 + r^2)^(3/2) e non K(u) = sgn(u)/(u^2 + r^2).