discesa concava
Enrico Baronti
Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un
percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
Quale dei due arriva prima?
Come varia l'accelerazione lungo il percorso nel primo caso?
Grazie
Enrico
Giorgio Bibbiani
> Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un
> percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
E' un pendolo piano.
> Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
> rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
>
> Quale dei due arriva prima?
Pendolo piano:
il periodo del pendolo piano, in funzione dell'angolo massimo
di oscillazione phi, vale:
T = 4 * Sqrt[R / g] * EllipticK[Sin[phi/2]^2],
ove EllipticK[] e' l'integrale ellittico completo di prima specie,
in questo caso il tempo di caduta e', dato che phi = Pi/2:
T/4 = Sqrt[R / g] * EllipticK[Sin[Pi/4]^2] = 1.85 * Sqrt[R / g]
Piano inclinato:
l'accelerazione costante vale:
a = g * Sin[2 / Pi],
il tempo di caduta vale:
Sqrt[Pi * R / a] = Sqrt[R / g] * Sqrt[Pi / Sin[2 / Pi]] =
2.3 * Sqrt[R / g],
maggiore quindi del precedente.
> Come varia l'accelerazione lungo il percorso nel primo caso?
Fissato un sistema di coordinate circolari con origine
nel centro della circonferenza, se teta e' l'angolo tra
la verticale e il raggio vettore istantaneo
del p.m. (cioe' teta varia dal valore iniziale Pi/2 al
valore finale 0), allora la componente tangenziale
dell'accelerazione in funzione di teta vale
a = g * Sin[teta].
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
gicidi
> Salve a tutti, ho un quesito che vorrei sottoporre
>
> Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un
> percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
>
> Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
> rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
>
> Quale dei due arriva prima?
>
Puoi partire da dt = ds/v dove v e' il modulo della velocita'. Usando
la conservazione dell'energia trovi che v e' legata allo spazio percorso da
v1 = (2 g R sin(s/R))^(1/2) per la circonferenza e
v2 = (2 g R (2 s)/(Pi R))^(1/2) per il piano inclinato.
Ma sen(s/R) <= (2 s)/(Pi R) per 0<s<R Pi/2 e quindi ds/v1 < ds/v2.
Dato che per ottenere il tempo devi integrare entrambe le espressioni
sulla lunghezza percorsa, che e' la stessa, trovi t1<t2.
> Come varia l'accelerazione lungo il percorso nel primo caso?
>
Ti hanno gia risposto, aggiungo solo che esiste anche una componente
radiale dell'accelerazione, v^2/R
cometa luminosa
> Salve a tutti, ho un quesito che vorrei sottoporre
>
> Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un
> percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
> Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
> rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
> Quale dei due arriva prima?
Se non si vuole risolvere il problema in maniera numerica, come ha
fatto Giorgio Bibbiani, si può fare così:
Detti
m = massa punto materiale
s = coordinata curvilinea calcolata dal punto di partenza
v = velocità = ds/dt
R = raggio circonferenza = altezza massima del punto materiale
h(s) = altezza del punto materiale rispetto al punto più basso della
curva
E = energia totale = mgR
V = energia potenziale = mgh(s)
si ha:
(1/2)mv^2 = E - V --> v = ds/dt = Rad[2(E - V)/m]
--> dt = ds*Rad[m/2(E - V)] = ds*Rad[1/2g(R - h(s))]
= ds/Rad[2g(R - h(s))]
Adesso confrontiamo h(s) nei due casi:
Pendolo: h(s) = R[1 - sin(s/R)] (questo calcolo si fa facilmente
scrivendo s = R*alfa dove alfa è l'angolo tra il raggio vettore
istantaneo e l'orizzontale)
Piano inclinato: h(s) = R - (2/pi)s (similitudine fra triangoli; pi pigreco)
Risulta che h(s) del pendolo è sempre più piccolo di h(s) del piano
inclinato:
R[1 - sin(s/R)] < R - (2/pi)s --> sin(s/R) > (2/pi)s/R
cioè sinx > (2/pi)x 0<x<pi/2
Ma quest'ultima disequazione è proprio vera; basta fare un semplice
grafico delle funzioni sinx e (2/pi)x per vederlo.
Quindi h(s) è minore, nel caso del pendolo, perciò R - h(s) è maggiore
e quindi dt = ds/Rad[2g(R - h(s))] è minore.
In conclusione, il tempo totale impiegato dal punto materiale a
percorrere la traiettoria nel caso del pendolo è minore di quello nel
caso del piano inclinato.
luciano buggio
(cut)
> E' un pendolo piano.
> > Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
> > rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
(cut)
Non conosco le ragioni che hanno indotto a porre il problema in questi
termini: personalmente trovo più interessante il confronto con il piano
rettilineo di lunghezza R*sqrt2, inclinato di 45°, in modo che anche i
punti di arrivo, e non solo quelli di partenza e le quote, coincidano nei
due casi confrontati.
Quale è in tal caso il tempo impiegato?
Ciao e grazie
--
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Giorgio Bibbiani
...
> personalmente trovo più interessante il confronto con il piano
> rettilineo di lunghezza R*sqrt2, inclinato di 45°, in modo che anche i
> punti di arrivo, e non solo quelli di partenza e le quote, coincidano nei
> due casi confrontati.
> Quale è in tal caso il tempo impiegato?
L'accelerazione costante e' a = g * sin(45°) = g / sqrt(2),
poiche' il p.m. parte da fermo vale l'equazione oraria
s = 1/2 * a * t^2, posto s = R * sqrt(2), sostituendo
si ottiene t = 2 * sqrt(R / g), quindi anche in questo caso
arriva prima il pendolo.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
luciano buggio
Ti ringrazio.
Ora però, visto che si parla in qualche modo di competizione:-), sarei
curioso di sapere quale è il tempo (che sappiamo essere il minimo)
impiegato dalla pallina nel caso in cui il percorso concavo, fermi
restando il punto di partenza ed il punto di arrivo finora fissati, sia il
tratto di cicloide (rovesciata) intercettato dalla retta inclinata di 45°
passante per la cuspide.
Ciao
Luciano
Giorgio Bibbiani
> Ora però, visto che si parla in qualche modo di competizione:-), sarei
> curioso di sapere quale è il tempo (che sappiamo essere il minimo)
> impiegato dalla pallina nel caso in cui il percorso concavo, fermi
> restando il punto di partenza ed il punto di arrivo finora fissati, sia il
> tratto di cicloide (rovesciata) intercettato dalla retta inclinata di 45°
> passante per la cuspide.
Scelgo un sistema di coordinate cartesiane con origine nel punto
di partenza, asse x diretto orizzontalmente verso destra e asse y
diretto verticalmente verso il basso, e uso unita' con R = g = 1,
quindi il punto di arrivo ha coordinate (1,1).
Dalla conservazione dell'energia si ricava v = ds/dt = Sqrt(2*y),
l'elemento infinitesimo di percorso e' ds = Sqrt(dx^2 + dy^2) =
Sqrt(x'^2 + 1) * dy, considerando x come funzione di y e avendo
posto dx/dy = x', quindi il tempo di percorrenza e':
(1) t = Integrale[ds/v] = Integrale[Sqrt[(x'^2 + 1) / (2*y)] dy, da 0 a 1],
con le condizioni al contorno x(0) = 0, x(1) = 1.
Posto L = Sqrt[(x'^2 + 1) / y], l'equazione di Eulero Lagrange
permette di trovare l'estremale del funzionale t:
d(@L/@x') / dy - @L/@x = 0 =>
d{x'/Sqrt[(x'^2 + 1) * y]} / dy = 0 =>
x' / Sqrt[(x'^2 + 1) * y] = k = cost.
da cui, risolvendo in x':
(2) x' = Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)]
e, separando le variabili e integrando tra 0 e 1:
1 = Integrale[Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)] dy, da 0 a 1],
sostituendo k^2 * y = Sin[z]^2, si ottiene:
1 = 2 / k^2 * Integrale[Sin[z]^2 dz, da 0 a ArcSin[k]] =>
1 = (ArcSin[k] - k * Sqrt(1 - k^2)) / k^2,
risolvendo numericamente si trova:
k = 0.934198, e sostituendo la (2) nella (1) si ha:
t = Integrale[[(1 - k^2 * y) * 2 * y)]^(-1/2) dy, da 0 a 1],
e integrando si ha:
t = 1.82568,
poco minore che nel caso della traiettoria circolare.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
luciano buggio
(cut)
> t = 1.82568,
> poco minore che nel caso della traiettoria circolare.
Ti ringrazio per la gentilezza e la fatica.
Mi sono posto tempo fa il problema del campo di validità della
brachistocronia del percorso concavo cicloidale: mi spiego.
Col metodo dell'intercetta sulla cicloide da parte della retta che
congiunge i due punti, di partenza ed arrivo, collocati a quote diverse,
facendo coincidere la cuspide della cicloide rovesciata con quello di
partenza, si può arrivare al massimo (partendo dall'assetto verticale -
inclinazione "infinita") a coprire il caso dell'inclinazione |2/pi| della
detta retta: è il caso limite, quello della pendenza minore, in cui la
discesa concava è metà dell'intero arco cicloidale.
Ma per pendenze < |2/pi|?
Ho pensato che per pendenze minori si fissa il punto medio dell''intero
arco cicloidale, sempre rovesciato, nel punto di arrivo, quello più basso,
e si intercetta il tratto di un'opportuna cicloide a partire da questo,
con la retta di minore inclinazione passante anche per il punto di
partenza della discesa.
E' corretto?
E se è così, non si crea discontinuità (a livello almeno della derivata)
tra le due classi di soluzioni, nel punto in cui sta il limite destro
della prima ed il sinistro della seconda?
Esiste una letteratura, che tu sappia, a proposito di questi problemi?
Ciao.
Luciano
> Ciao
Giorgio Bibbiani
> Mi sono posto tempo fa il problema del campo di validità della
> brachistocronia del percorso concavo cicloidale: mi spiego.
> Col metodo dell'intercetta sulla cicloide da parte della retta che
> congiunge i due punti, di partenza ed arrivo, collocati a quote diverse,
> facendo coincidere la cuspide della cicloide rovesciata con quello di
> partenza, si può arrivare al massimo (partendo dall'assetto verticale -
> inclinazione "infinita") a coprire il caso dell'inclinazione |2/pi| della
> detta retta: è il caso limite, quello della pendenza minore, in cui la
> discesa concava è metà dell'intero arco cicloidale.
> Ma per pendenze < |2/pi|?
> Ho pensato che per pendenze minori si fissa il punto medio dell''intero
> arco cicloidale, sempre rovesciato, nel punto di arrivo, quello più basso,
> e si intercetta il tratto di un'opportuna cicloide a partire da questo,
> con la retta di minore inclinazione passante anche per il punto di
> partenza della discesa.
> E' corretto?
Non garantisco l'esattezza della soluzione :-)
_A sentimento_direi che il tempo sia minimo nel caso in cui
alla meta' dell'intero arco cicloidale corrispondente alla
pendenza della retta |2/pi|, segua un tratto orizzontale
(in questo modo, nel limite in cui lo spostamento
orizzontale e' molto maggiore di quello verticale, la
maggior parte del percorso viene compiuta alla
velocita' massima).
> E se è così, non si crea discontinuità (a livello almeno della derivata)
> tra le due classi di soluzioni, nel punto in cui sta il limite destro
> della prima ed il sinistro della seconda?
Con il procedimento sopra, non c'e' alcuna
discontinuita'.
...
> Esiste una letteratura, che tu sappia, a proposito di questi problemi?
Che esista un'ampia letteratura e' certo, ma io non la conosco :-)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
luciano buggio
(cut)
> _A sentimento_direi che il tempo sia minimo nel caso in cui
> alla meta' dell'intero arco cicloidale corrispondente alla
> pendenza della retta |2/pi|, segua un tratto orizzontale
> (in questo modo, nel limite in cui lo spostamento
> orizzontale e' molto maggiore di quello verticale, la
> maggior parte del percorso viene compiuta alla
> velocita' massima).
Probabilmente hai ragione: anch'io avevo preso in considerazione questa
soluzione, ma pensavo che non andasse bene proprio perchè dal compimento
del mezzo arco cicloidale in poi la velocità si mantiene costante, per
quanto massima, mentre con la caduta rettilinea fin dall'inizio, per
quanto poco inclinata sia, aumenta sempre, e quindi si potessero mettere
le cose in modo nella seconda ipotesi il tempo diventase minore.
Se hai ancora voglia e pazienza, vorrei sottoporti un teorema (da
dimostrare, che propongo quindi in forma ipotetetica), che trovo alquanto
interessante.
Dati i due punti A e B in gravità costante congiunti dallo scivolo concavo
a forma di mezza cicloide rovesciata, si determini, data la forza G con
accelerazione g, il tempo T di percorrenza, che sappiamo essere il minimo.
Si elimini ora lo scivolo, e si ipotizzi che il vettore G, che prima
puntava in ogni punto sempre verso il basso, compia mezza rotazione, a
velocità angolare costante nel piano, nel corso del tempo T.
Ebbene l'enunciato è che la traiettoria nel vuoto che ne scaturisce è
esattamente quella disegnata dallo scivolo a forma di cicloide, cioè
quella di prima.
Ti risulta?
Caio
Luciano Buggio
Giorgio Bibbiani
...
> a forma di mezza cicloide rovesciata, si determini, data la forza G con
> accelerazione g, il tempo T di percorrenza, che sappiamo essere il minimo.
Intendo che G e' la forza peso e che l'accelerazione g e' quella che
corrisponderebbe alla caduta libera del corpo, mentre sul corpo che
percorre la traiettoria cicloidale agisce anche una opportuna forza
vincolare.
> Si elimini ora lo scivolo, e si ipotizzi che il vettore G, che prima
> puntava in ogni punto sempre verso il basso, compia mezza rotazione, a
> velocitą angolare costante nel piano, nel corso del tempo T.
> Ebbene l'enunciato č che la traiettoria nel vuoto che ne scaturisce č
> esattamente quella disegnata dallo scivolo a forma di cicloide, cioč
> quella di prima.
>
> Ti risulta?
Si'.
Uso le notazioni gia' viste in precedenza, con lo stesso sistema
di assi cartesiani x-y, e pongo g = 1.
Le componenti dell'accelerazione sono, posto omega = Pi / T:
a_x = sin(omega * t)
a_y = cos(omega * t)
con le condizioni iniziali:
x(0) = y(0) = 0
(dx/dt)(0) = (dy/dt)(0) = 0.
Integrando si ottiene:
x(t) = [omega * t - sin(omega * t)] / omega^2
y(t) = [1 - cos(omega * t)] / omega^2,
che e' proprio l'equazione in forma parametrica
della nostra mezza cicloide rovesciata.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
luciano buggio
> > Si elimini ora lo scivolo, e si ipotizzi che il vettore G, che prima
> > puntava in ogni punto sempre verso il basso, compia mezza rotazione, a
> > Ebbene l'enunciato è che la traiettoria nel vuoto che ne scaturisce è
> > esattamente quella disegnata dallo scivolo a forma di cicloide, cioè
> > quella di prima.
> >
> > Ti risulta?
> Si'.(cut)
> Integrando si ottiene:
> x(t) = [omega * t - sin(omega * t)] / omega^2
> y(t) = [1 - cos(omega * t)] / omega^2,
> che e' proprio l'equazione in forma parametrica
> della nostra mezza cicloide rovesciata.
Perfetto.
Continuando a far ruotare il vettore G fino al compimento di una rotazione
completa avremo percorso l'altra metà della traiettoria cicloidale, fino
al raggiungimento della successiva cuspide, con la velocità che lì si sarà
di nuovo azzerata, e continuando a far ruotare la forza otterremo in
successione altri "salti cicloidali" rovesciati (uno ad ogni rotazione
della forza), allineati lungo la direzione retta che contiene i punti
cuspidali.
Naturalmente avremo generalizzato: G sarà un generico vettore F della
Dinamica elementare, applicato, nel vuoto, al punto materiale P di massa m.
Vorrei che tu mi confermassi un'altra ipotesi che mi viene a braccio, e
che rappresenta la massima generalizzazione.
Aggiungiamo un terzo asse z, e diamo libertà alle condizioni iniziali
della velocità del punto, il quale, nel momento in cui si attiva la forza
che lo spinge ruotando, si sta muovendo di suo in una direzione qualsiasi
a velocità v (se v=0 siamo nel caso già contemplato).
_L'ipotesi è che la traiettoria risultante sarà la generica trocoide_.
E' corretto?
Ciao
Luciano
> Ciao
Giorgio Bibbiani
...
> al raggiungimento della successiva cuspide, con la velocitą che lģ si sarą
> di nuovo azzerata, e continuando a far ruotare la forza otterremo in
> successione altri "salti cicloidali" rovesciati (uno ad ogni rotazione
> della forza), allineati lungo la direzione retta che contiene i punti
> cuspidali.
> Dinamica elementare, applicato, nel vuoto, al punto materiale P di massa
> m.
>
> Vorrei che tu mi confermassi un'altra ipotesi che mi viene a braccio, e
> che rappresenta la massima generalizzazione.
> della velocitą del punto, il quale, nel momento in cui si attiva la forza
> che lo spinge ruotando, si sta muovendo di suo in una direzione qualsiasi
> _L'ipotesi č che la traiettoria risultante sarą la generica trocoide_.
>
> E' corretto?
No, in generale la traiettoria del moto sara' una curva
nelle tre dimensioni, mentre la trocoide e' una curva piana.
Ti ricordi che in passato avevamo discusso un problema simile?
In quel caso avevamo visto che con una scelta opportuna delle
condizioni iniziali la traiettoria sarebbe stata una circonferenza,
ebbene basta ad es. aggiungere un componente della velocita'
iniziale ortogonale al piano in cui agisce la forza per ottenere
una traiettoria a spirale cilindrica, che quindi non e'
una trocoide.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
luciano buggio
(cut)
> "luciano buggio" ha scritto:
> > Vorrei che tu mi confermassi un'altra ipotesi che mi viene a braccio, e
> > che rappresenta la massima generalizzazione.
> > Aggiungiamo un terzo asse z, e diamo libertà alle condizioni iniziali
> > della velocità del punto, il quale, nel momento in cui si attiva la forza
> > che lo spinge ruotando, si sta muovendo di suo in una direzione qualsiasi
> > a velocità v (se v=0 siamo nel caso già contemplato).
> > _L'ipotesi è che la traiettoria risultante sarà la generica trocoide_.
> >
> > E' corretto?
> No, in generale la traiettoria del moto sara' una curva
> nelle tre dimensioni, mentre la trocoide e' una curva piana.
> Ti ricordi che in passato avevamo discusso un problema simile?
> In quel caso avevamo visto che con una scelta opportuna delle
> condizioni iniziali la traiettoria sarebbe stata una circonferenza,
> ebbene basta ad es. aggiungere un componente della velocita'
> iniziale ortogonale al piano in cui agisce la forza per ottenere
> una traiettoria a spirale cilindrica, che quindi non e'
> una trocoide.
Ho controllato ed ho scoperto (e te ne ringrazio), che la trocoide è nel
piano, mentre ero convinto che fosse la traiettoria del punto che si muove
a velocità costante sulla circonferenza mentre questa trasla in un data
direzione in generale non contenuta nel piano in cui avviene la rotazione
del punto, cioè in cui la circonferenza stessa giace.
Ciò significa che, per proporre quella mia ipotesi, di cui ti chiedo
verifica, ho bisogno di formulare un nuovo concetto (se già non è stato
formulato), di definire cioè una nuova e più generale classe di curve
stereogeometriche (alla quale eventualemente va trovato un nome - quello
che pensavo fosse trocoide), che nascono da quanto sopra supposto, e
rispetto alla quale le cicloidi del piano (ordinaria, accorciata ed
allungata), sono un caso particolare, appunto quello in cui la direzione
della traslazione della circonferena avviene nel piano in cui la
circonferenza giace.
Ricominicamo quindi da qui.
Ma ti risulta che questa classe sia stata definita e studiata?
Ciao.
Giorgio Bibbiani
...
Non so, ma suppongo di si', visto che si tratta di geometria
elementare.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani