Paradosso dei gemelli anche per le lunghezze?
Giuseppe Pipino
a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione dei
tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
sedentario.
Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
Giuseppe Pipino
--
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http://eratourania.supereva.it
________________________
Unforgiven
concetto:
>Ciao,
>a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione dei
>tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
>viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
>dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
>sedentario.
Quella non è una dimostrazione, ma è ancora una teoria: finora nessun
gemello ha viaggiato su una astronave alla velocità della luce
lasciando il fratello a casa.
>Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
>Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
>velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No, però la lunghezza dipende dalla velocità: nel momento in cui il
regolo sta viaggiando a una velocità prossima a quella della luce,
esso dovrebbe essere più corto. Quando poi si fermerà, (per essere
misurato), esso tornerà alla lunghezza originaria.
--
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{http://web.tiscali.it/mbsoftware}
daniele
Pipino" <bla...@tin.it> ha scritto:
> Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze? Ovvero prendendo due
> regoli identici e ponendo in velocità prossime alla velocità della luce
> uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
NO: quando torna in quiete nel sistema di riferimento di partenza avrà la
stessa lunghezza di quando era partito.
gabriele
regoli nn si portano appresso i segni delle lunghezze passate. o meglio,
quando li confronti stanno alla stessa velocità e avranno la stessa
lunghezza. nn è che una volta dilatatosi il regolo rimane tale :)
"Giuseppe Pipino" <bla...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...
Nettuno
"Giuseppe Pipino" <bla...@tin.it> wrote in message
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...
> Ciao,
> a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione
dei
> tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
> viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
> dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
> sedentario.
> Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
> Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
> velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No.
Ma finchè il rettangolo resta a velocità prossime a "c" rispetto a te,
osserverai un accorciamento nella direzione del moto.
Nettuno
dumbo
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...
> Ciao,
> a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione dei
> tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
> viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
> dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
> sedentario.
Sì; però il ritmo di invecchiamento dei due gemelli,
una volta tornati insieme, è lo stesso.
Voglio dire: dopo il drammatico viaggio felicemente concluso,
una volta riuniti nella casa paterna, i loro cuori battono
all'unisono (commovente, vero?) e la frequenza dei loro
orologi è esattamente la stessa.
> Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
Certo! Quando l'astronave del gemello viaggiatore
torna a casa e si mette quieta quieta nel garage di casa,
la sua lunghezza è esattamente la stessa di quella che era
prima della partenza. Lo possono constatare anche i vicini.
> Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
> velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No. Sarà più corto finchè viaggia, ma tornato in quiete
rispetto al primo regolo, sarà uguale a questo.
Accade cioè proprio quello che ti dicevo prima riguardo
agli orologi e al ritmo di invecchiamento dei gemelli tornati
insieme.
In sostanza: in relatività speciale (ma anche in quella
generale) la frequenza degli orologi e la lunghezza dei
regoli NON dipendono dalla loro storia precedente.
Spero di essere stato chiaro.
Saludos
Corrado
--
Posted from [212.171.171.124]
via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Mario Leigheb
> ...Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
> velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
Se il secondo regolo, quando ritorna, si ferma (nel sistema di
riferimento del primo regolo) allora avra' la stessa lunghezza del
primo regolo (come si ricava dalle trasformazioni di Lorentz e come
e' confermato dagli esperimenti).
A proposito invece della "realta'" della contrazione delle
lunghezze, segnalo che alcuni autori contestano proprio questa
parola "realta'", ricavando le trasformazioni di Lorentz-Einstein
attraverso la teoria dei campi ritardati, che assume un ritardo
nella propagazione dei campi elettrici e magnetici e non richiede
alcuna "contrazione".
H.E. Wilhelm, Z. Naturforsch. 45a, 1990 p. 736
O.D. Jefimenko, Am.J.Phys. 63 (3), 1995 p. 267
O.D. Jefimenko, Z. Naturforsch. 53a, 1998 p. 977
Ciao
Mario Leigheb
Iosephus
infatti secondo la relatività
L2 = L1 [1- (v^2 / c^2)]^(1 / 2)
e quindi più ci si approssima a c più la lunghezza si approssima a 0,
acquisendo però tanta più massa quanto si avvicina a C!
M2 = M1 / [1-(v^2 / c^2)]^(1/2)]
raggiungendo in questo modo massa praticamente infinta all'avvicinarsi ai
300.000.000 m/s!
spero di essere stato soddisfacente!
ciao, iosephus
"Giuseppe Pipino" <bla...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...
M B
Giuseppe Pipino wrote:
> Ciao,
> a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione dei
> tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
> viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
> dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
> sedentario.
> Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
> Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
> velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No, la contrazione di Lorentz non dipende dalla storia passata del regolo, per
cui
quando i due regoli sono relativamente fermi non ci puo' essere differenza di
lunghezza.
Mi pare pero' che questa possibilita' fosse stata ipotizzata da Weyl nel
tentativo
di costruire una teoria geometrica dell'elettromagnetismo nel contesto della
relativita' generale.
Riguardo invece la realta' della contrazione di Lorentz un esperimento
(purtoppo soltanto mentale) dovrebbe fugare ogni dubbio:
Considera due astronavi identiche, ferme ad una certa distanza d lungo
l'asse x di un riferimento inerziale S.
All'istante t = 0 entrambe le astronavi partono accelerando nella direzione
delle x positive ed eseguono lo stesso tipo di moto (visto da S) fino a
raggiungere una certa velocita' v .
Poiche' il loro moto e' identico la distanza misurata da S resta sempre
invariata.
Ora supponiamo che un cavo non estensibile fosse stato inizialmente teso tra le
due astronavi. La lunghezza di questo cavo, a causa della contrazione
relativistica
si deve ridurre del solito fattore (1-vv/cc)^1/2.
Ne segue che il cavo si deve spezzare, e questo e' sicuramente un fatto
oggettivo
che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
Ciao,
Massimo Brighi
Elio Fabri
> Considera due astronavi identiche, ferme ad una certa distanza d
> lungo l'asse x di un riferimento inerziale S.
> All'istante t = 0 entrambe le astronavi partono accelerando nella
> direzione delle x positive ed eseguono lo stesso tipo di moto (visto
> da S) fino a raggiungere una certa velocita' v .
> Poiche' il loro moto e' identico la distanza misurata da S resta
> sempre invariata.
> Ora supponiamo che un cavo non estensibile fosse stato inizialmente
> teso tra le due astronavi. La lunghezza di questo cavo, a causa della
> contrazione relativistica si deve ridurre del solito fattore
> (1-vv/cc)^1/2.
> Ne segue che il cavo si deve spezzare, e questo e' sicuramente un
> fatto oggettivo che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
sia persuasivo, e soprattutto che si possa considerare una
"dimostrazione".
Prima di tutto, manca un pezzo del discorso: come si vedono le cose nel
riferimento delle astronavi?
Il punto e' che se io sto su un'astronave, non vedo l'altra restare a
distanza costante, ma la vedo allontanarsi. Quindi e' giusto che il cavo
si spezzi. E siccome questo e' un fatto oggettivo, come dici tu, lo si
vede anche dal rif. S, dove le astronavi mantengono distanza costante.
Che il rif. dell'astronave non sia inerziale, non e' un problema: posso
sempre pensare al rif. inerziale "tangente", in cui a un certo istante
l'astronave A e' ferma. Il fatto e' che in questo stesso rif. l'altra
astronave non puo' essere ferma.
Ma l'obiezione che ti faccio e' soprattutto di natura logica: come fai a
sviluppare tutto questo ragionamento se non conosci gia' la contrazione
di Lorentz? Quindi che cosa dimostri in realta'?
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------
Giuseppe Pipino
--
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http://eratourania.supereva.it
________________________
M B <meb...@iperbole.bologna.it> wrote in message
news:3C14061B...@iperbole.bologna.it...
>
>
> Giuseppe Pipino wrote:
>
> > Ciao,
> > a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione
dei
> > tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
> > viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà
rientrato
> > dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
> > sedentario.
> > Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
> > Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
> > velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto
dell'altro?
>
> No, la contrazione di Lorentz non dipende dalla storia passata del regolo,
per
> cui
> quando i due regoli sono relativamente fermi non ci puo' essere differenza
di
> lunghezza.
> Mi pare pero' che questa possibilita' fosse stata ipotizzata da Weyl nel
> tentativo
> di costruire una teoria geometrica dell'elettromagnetismo nel contesto
della
> relativita' generale.
Questo tentativo di Weyl mi interessa.
Mi puoi dare qualche altra notizia (bibliografia, articoli, siti internet
....) ?
Grazie
Giuseppe
Pipino
M B
Elio Fabri wrote:
> Quello che dici e' giusto: il cavo si deve spezzare. Pero' dubito che
> sia persuasivo, e soprattutto che si possa considerare una
> "dimostrazione".
> Prima di tutto, manca un pezzo del discorso: come si vedono le cose nel
> riferimento delle astronavi?
>
> Il punto e' che se io sto su un'astronave, non vedo l'altra restare a
> distanza costante, ma la vedo allontanarsi. Quindi e' giusto che il cavo
> si spezzi. E siccome questo e' un fatto oggettivo, come dici tu, lo si
> vede anche dal rif. S, dove le astronavi mantengono distanza costante.
> Che il rif. dell'astronave non sia inerziale, non e' un problema: posso
> sempre pensare al rif. inerziale "tangente", in cui a un certo istante
> l'astronave A e' ferma. Il fatto e' che in questo stesso rif. l'altra
> astronave non puo' essere ferma.
Sono perfettamente d'accordo. Aggiungo soltanto che il fatto che
ciascun astronauta osserva l'altro allontanarsi puo' essere visto come
conseguenza della contrazione nella direzione del moto dei regoli che
gli astronauti hanno con se' e adoperano per misurare la loro distanza.
>
>
> Ma l'obiezione che ti faccio e' soprattutto di natura logica: come fai a
> sviluppare tutto questo ragionamento se non conosci gia' la contrazione
> di Lorentz? Quindi che cosa dimostri in realta'?
Probabilmente non mi sono spiegato bene.
Questo esperimento (mentale) non dimostra ovviamente l'esistenza della
contrazione di Lorentz, per lo meno finche' resta un esperimento mentale.
Quello che dimostra e' che se si assumono le trasformazioni di Lorentz,
e di conseguenza l'effetto di contrazione delle lunghezze nella direzione
del moto, allora questa contrazione deve essere assolutamente reale.
Con "reale" intendo oggettivo, assoluto e sperimentabile, sullo stesso
piano della dilatazione temporale dell'effetto gemelli.
Insisto su questo perche' spesso si legge e si sente dire, anche da fonti
autorevoli, che la contrazione delle lunghezze e' una conseguenza della
relativita' della simultaneita' in quanto, quando si misura la lunghezza
di un oggetto in moto la posizione degli estremi va presa
contemporaneamente, ma, come si sa, la contemporaneita' e' relativa
all'osservatore, da cui consegue la diversa misura per l'oggetto in
moto o in quiete.
Quello che non va bene in questo discorso e' che la relativita'
della contemporaneita' e' una conseguenza del criterio di sincronizzazione
degli orologi il quale criterio pero', e', come e' noto, convenzionale.
Mentre la contrazione di Lorentz e' un effetto del tutto reale (come
l'esperimento mentale delle due astronavi dimostra) e non puo'
certamente dipendere da come vengono sincronizzati gli orologi, .
Ciao.
Massimo Brighi
M B
Giuseppe Pipino wrote:
> Questo tentativo di Weyl mi interessa.
> Mi puoi dare qualche altra notizia (bibliografia, articoli, siti internet
> ....) ?
> Grazie
> Giuseppe
> Pipino
Se ne parla nel libro di Eddington : Spazio tempo e gravitazione.
E' un classico della divulgazione scientifica di ottima qualita'.
Purtroppo è un po' datato ma si dovrebbe trovare ancora in commercio ( Ed.
Boringhieri).
C'e' anche un riferimento al lavoro originale di Weyl:
H. Weyl, S. B. preuss. Akad. Wiss., 30 maggio 1918; Ann. Phys., vol. 59, 101
(1919).
Roba da archeologia!
Ciao.
Massimo Brighi
Unforgiven
>Ora supponiamo che un cavo non estensibile fosse stato inizialmente teso tra le
>due astronavi. La lunghezza di questo cavo, a causa della contrazione
>relativistica
>si deve ridurre del solito fattore (1-vv/cc)^1/2.
>Ne segue che il cavo si deve spezzare, e questo e' sicuramente un fatto
>oggettivo
>che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
Invece non dimostra un bel nulla fino a quando un esperimento del
genere non verrà REALMENTE eseguito e misurato. Finora sono solo
congetture. Le teorie non possono dimostrare se stesse.
Per quanto riguarda questo esperimento mentale, sembra completamente e
logicamente sbagliato: ciò che si contrae non è solo il cavo, ma si
contrae TUTTO il sistema di riferimento distanziometrico.
Cioè non si contraggono solo gli oggetti, ma TUTTO lo spazio-tempo
intorno, perciò si contrarrà anche la distanza tra le astronavi,
pertanto il cavo non si spezzerà, per quanto riguarda un osservatore
esterno.
E per un osservatore posto all'interno di una delle astronavi, la
situazione sarà identica sia nel momento della partenza, sia quando
viaggerà a velocità prossime a quella della luce.
--
(*metallikop*libero*it*)
{http://web.tiscali.it/mbsoftware}
{http://digilander.iol.it/metallikop}
Giuseppe Pipino
--
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http://eratourania.supereva.it
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Elio Fabri <fa...@df.unipi.it> wrote in message
news:3C1728C9...@df.unipi.it...
Ciao,
quanto precede è una prova indiscutibile della ormai famosa "ironia"
cui, sempre più spesso cede E. Fabri.
Egli sa benissimo che il ragionamento di Massimo Brighi è errato.
Infatti nel sistema di riferimento S' solidale con le astronavi queste
ultime sono ferme.
Perciò le distanze relative misurate fra due coppie qualsiasi di punti hanno
gli stessi valori che venivano misurati quando le astronavi erano ferme
[anche i regoli di cui si servono per misurare le distanze gli
sperimentatori sulle astronanvi si sono contratti!!!]
perciò il filo teso fra le astronavi NON si rompe.
Tale filo NON è visto rompersi neanche dagli osservatori che sono rimasti a
terra.
Infatti per tali osservatori l'insieme delle due astronavi equivale a un
corpo rigido.
Perciò la distanza fra due coppie di punti qualsiasi di tale sistema si
contrae sempre dello stesso fattore (g=Sqrt(1-v^2/c^2).
Si contrae perciò la distanza fra i centri delle due astronavi e si contrae
la distanza fra i punti A,B a cui è connesso il filo che lega le due
astronavi, dello stesso fattore: il filo non si rompe.
Tuttavia, come dicevo, l'ironia di Frabri è sottilissima: invece di dirti
che hai compreso poco della relatività ti domanda semplicemente: cosa
dimostri in realtà?
Ciao
Giuseppe Pipino
M B
Unforgiven wrote:
> M B ha scritto 43 righe per esprimere il seguente concetto:
>
> >Ora supponiamo che un cavo non estensibile fosse stato inizialmente teso tra le
> >due astronavi. La lunghezza di questo cavo, a causa della contrazione
> >relativistica
> >si deve ridurre del solito fattore (1-vv/cc)^1/2.
> >Ne segue che il cavo si deve spezzare, e questo e' sicuramente un fatto
> >oggettivo
> >che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
>
> Invece non dimostra un bel nulla fino a quando un esperimento del
> genere non verrà REALMENTE eseguito e misurato. Finora sono solo
> congetture. Le teorie non possono dimostrare se stesse.
>
Certo, non dimostra la correttezza della teoria della realtivita'.Mostra invece che
se e' giusta la relativita' si deve accettare la
realta' ( nel senso di oggettivita' e sperimentabilita') della contrazione
di Lorentz.
Se poi facendo effettivamente l'esperimento dovesse risultare che
il cavo non si spezza, sarebbe un bel problema perche' vorrebbe
dire che c'e' qualcosa di sbagliato nella relativita'.
> Per quanto riguarda questo esperimento mentale, sembra completamente e
> logicamente sbagliato: ciò che si contrae non è solo il cavo, ma si
> contrae TUTTO il sistema di riferimento distanziometrico.
Non so cosa sia il riferimento distanziometrico.
>
>
> Cioè non si contraggono solo gli oggetti, ma TUTTO lo spazio-tempo
> intorno, perciò si contrarrà anche la distanza tra le astronavi,
No. Questa e' un'intrpretazione errata (e diffusa) della contrazione di Lorentz.Si
contraggono i corpi, non lo spazio ( e tanto meno lo spazio-tempo).
> pertanto il cavo non si spezzerà, per quanto riguarda un osservatore
> esterno.
> E per un osservatore posto all'interno di una delle astronavi, la
> situazione sarà identica sia nel momento della partenza, sia quando
> viaggerà a velocità prossime a quella della luce.
Gli osservatori nelle astronavi si vedono allontanare l'uno dall'altro,ed e' per
questo che il cavo si spezza dal loro punto di vista.Ciao.
Massimo Brighi
M B
Giuseppe Pipino wrote:
> quanto precede è una prova indiscutibile della ormai famosa "ironia"
> cui, sempre più spesso cede E. Fabri.
> Egli sa benissimo che il ragionamento di Massimo Brighi è errato.
> Infatti nel sistema di riferimento S' solidale con le astronavi queste
> ultime sono ferme.
Questo e' sbagliato, perche' non esiste alcun sistema solidale con
le astronavi nel quale queste sono entrambe contemporaneamente ferme.
Lo si puo' capire, ad esempio, considerando che in S ad un certo
istante t le due astronavi hanno la stessa velocita' v(t) mentre se si
osserva il moto da S', riferimento inerziale di quiete istantanea con
la prima astronave, nel'istante t' in cui questa e' ferma, la seconda
astronave non puo' essere ugualmente ferma; infatti la
contemporaneita' in S' non e' la stessa di S.
> Perciò le distanze relative misurate fra due coppie qualsiasi di punti hanno
> gli stessi valori che venivano misurati quando le astronavi erano ferme
> [anche i regoli di cui si servono per misurare le distanze gli
> sperimentatori sulle astronanvi si sono contratti!!!]
> perciò il filo teso fra le astronavi NON si rompe.
> Tale filo NON è visto rompersi neanche dagli osservatori che sono rimasti a
> terra.
> Infatti per tali osservatori l'insieme delle due astronavi equivale a un
> corpo rigido.
> Perciò la distanza fra due coppie di punti qualsiasi di tale sistema si
> contrae sempre dello stesso fattore (g=Sqrt(1-v^2/c^2).
> Si contrae perciò la distanza fra i centri delle due astronavi e si contrae
> la distanza fra i punti A,B a cui è connesso il filo che lega le due
> astronavi, dello stesso fattore: il filo non si rompe.
No, per le ipotesi fatte la distanza tra le astronavi resta costante in S:
cioe' la prima ha un moto di eq. X_1= f(t)
e la seconda X_2 = f(t) + d.
La distanza relativa in S e' X_2 - X_1 = d costante.
>
>
> Tuttavia, come dicevo, l'ironia di Frabri è sottilissima:
Talmente sottile che la vedi solo tu ;-)
> invece di dirti
> che hai compreso poco della relatività ti domanda semplicemente: cosa
> dimostri in realtà?
>
> Ciao
> Giuseppe Pipino
Ciao,
Massimo Brighi
Vittorio
purtroppo non ho tempo di intervenire in modo sostanziale
e cercare di spiegare qualcosa.
Mi ero anche promesso di dire qualcosa sulle rotture di simmetria,
in un'altro thread, dopo averle studiate meglio, ma ora proprio
non arrivo.
Solo un'osservazione: secondo me chi sa la relativita' abbastanza bene
forse ha capito dove e' l'inghippo, ma chi non la sa non ha capito
niente.
Leggendo superficilamente il thread puo' difatti sembrare che non
esistanon sistemi di riferimento accelerati rigidi.
Qualcuno dovrebbe spiegare meglio la questione dei sistemi di
riferimento, che mi sembra un po' confusa.
Saluti
Vittorio
--
http://www-toys.science.unitn.it/laboratorio
http://www.science.unitn.it/~adesi
http://www.physics.it
http://www.mtsn.tn.it
Giuseppe Pipino
Ciao Massimo,
La domanda che devi farti è:
cosa intende E. Fabri quando ti domanda «Cosa dimostri in realtà?»
A mio parere, Fabri intende che se fosse vero il tuo ragionamento (che il
filo si spezza)
si dovrebbe concludere che NON VALE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA'.
Supponi infatti di avere due coppie di astronavi.
La prima coppia se ne sta immobile nel suo sistema di riferimento inerziale
S (e perciò per essa il filo sicuramente non si spezza). La seconda coppia
accelera e, dopo l'accelerazione, si porta a velocità costante v rispetto ad
S. Sia S' un sistema a velocità v rispetto ad S. Allora anche S' è inerziale
ed in S' le astronavi sono ferme (sicuramente ferme dopo il transitorio
della accelerazione iniziale).
Poichè secondo la tua ipotesi un osservatore solidale con S' vede che il
filo si rompe vi sarebbe la possibilità di sapere quale dei due sistemi
(S,S') è in moto. Il moto sarebbe cioè un fatto assoluto e non relativo.
Io sono d'accordo con te che la contrazione delle lunghezze è un fatto
reale, oggettivo. Tuttavia penso che la realtà di tale fatto si possa
accertare solo quando si riporta l'oggetto B ad essere di nuovo in quiete
nel sistema di riferimento S e si confronta la sua lunghezza con quella di
un oggetto A (inizialmente uguale a B) rimasto in quiete nel sistema S.
Si scoprirà che la lunghezza di B (che ha viaggiato a velocità prossime a c)
è minore di A rimasto fermo, esattamente come l'età biologica del gemello
che ha viaggiato a velocità prossime a c è inferiore all'età biologica del
gemello rimasto fermo. Ma ciò si può constatare solo quando si riporta il
gemello viaggiatore in quiete nel sistema di partenza. Mentre il gemello è
in moto niente e nessuno potrà dire se è lui che sta viaggiando (e quindi
per lui il tempo passa lentamente) oppure se è il suo gemello a viaggiare,
proprio perchè il moto è relativo.
Almeno così mi pare.
Ciao
Giuseppe Pipino
Vittorio
mi sta venendo un terribile dubbio.
Forse anche io non ho capito qualcosa...
Boh? si vedrà.
Non sarebbe la prima volta che mi accorgo di non
aver capito qualcosa leggendo su questo newsgroup e sono
contento di leggerlo proprio per questo.
Saluti
Vittorio
P.S.
non si finisce proprio mai di imparare
M B
> Ciao Massimo,
> La domanda che devi farti è:
> cosa intende E. Fabri quando ti domanda «Cosa dimostri in realtà?»
Ciao Giuseppe,
permettimi una piccola premessa:
Non capisco perche' insisti nel voler fare, e nell'invitarmi a fare,
l'esegesi dei messaggi di E. Fabri.
Mi sembra piu' logico e naturale tu dica la tua opinione,
io la mia e Fabri, se vuole la sua.
Ho gia risposto alla sua osservazione «Cosa dimostri in realtà?»;
il fatto che non replichi significa o che concorda con quanto dico o che
non e' piu' interessato all'argomento o non ha tempo o forse altro ancora.
Comunque sia non posso e non mi interessa discutere con te sulla
interpretazione delle sue parole.
Veniamo ora alla questione. Tu dici:
> A mio parere, Fabri intende che se fosse vero il tuo ragionamento (che il
> filo si spezza)
> si dovrebbe concludere che NON VALE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA'.
> Supponi infatti di avere due coppie di astronavi.
>
> La prima coppia se ne sta immobile nel suo sistema di riferimento inerziale
> S (e perciò per essa il filo sicuramente non si spezza). La seconda coppia
> accelera e, dopo l'accelerazione, si porta a velocità costante v rispetto ad
> S. Sia S' un sistema a velocità v rispetto ad S. Allora anche S' è inerziale
> ed in S' le astronavi sono ferme (sicuramente ferme dopo il transitorio
> della accelerazione iniziale).
> Poichè secondo la tua ipotesi un osservatore solidale con S' vede che il
> filo si rompe vi sarebbe la possibilità di sapere quale dei due sistemi
> (S,S') è in moto. Il moto sarebbe cioè un fatto assoluto e non relativo.
No, non c'e' nessun pericolo per il principio di relativita'.Devi tenere
presente che nel trasferirsi dal riferimento inerziale S al riferimento
inerziale S' le due astronavi aumentano la loro distanza.
Se fai i calcoli trovi che se in S la distanza era d, in S' diventa gamma*d,
dove gamma e' (1-(v/c)^2)^(-1/2) e v e' la velocita' finale delle astronavi
rispetto
ad S (ovvero la velocita' di S' relativa ad S).
D'altra parte se, simmetricamente, da S' partono due astronavi verso
S succede esattamente la stessa cosa: in S' la distanza (propria) d, diventa
gamma*d in S. Quindi S e S' sono esattamente equivalenti.
>
>
> Io sono d'accordo con te che la contrazione delle lunghezze è un fatto
> reale, oggettivo. Tuttavia penso che la realtà di tale fatto si possa
> accertare solo quando si riporta l'oggetto B ad essere di nuovo in quiete
> nel sistema di riferimento S e si confronta la sua lunghezza con quella di
> un oggetto A (inizialmente uguale a B) rimasto in quiete nel sistema S.
> Si scoprirà che la lunghezza di B (che ha viaggiato a velocità prossime a c)
> è minore di A rimasto fermo, esattamente come l'età biologica del gemello
> che ha viaggiato a velocità prossime a c è inferiore all'età biologica del
> gemello rimasto fermo. Ma ciò si può constatare solo quando si riporta il
> gemello viaggiatore in quiete nel sistema di partenza. Mentre il gemello è
> in moto niente e nessuno potrà dire se è lui che sta viaggiando (e quindi
> per lui il tempo passa lentamente) oppure se è il suo gemello a viaggiare,
> proprio perchè il moto è relativo.
> Almeno così mi pare.
Questo effetto di "memoria dei regoli" non e' previsto dalla relativita'.Non
credo che sia in contraddizione logica con la teoria, pero', se esistesse,
dovrebbe comunque essere estremamente piccolo.
Ti ho gia detto che Weyl, negli anni venti, aveva avanzato la stessa ipotesi.
In ogni caso tieni presente che non e' un ipotesi necessaria, e questo
in fisica e' un peccato mortale.Ciao,
Massimo Brighi
Giuseppe Pipino
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http://eratourania.supereva.it
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Vittorio <ad...@science.unitn.it> wrote in message
news:3C212BED...@science.unitn.it...
> Salve,
> mi sta venendo un terribile dubbio.
> Forse anche io non ho capito qualcosa...
> Boh? si vedrà.
> Non sarebbe la prima volta che mi accorgo di non
> aver capito qualcosa leggendo su questo newsgroup e sono
> contento di leggerlo proprio per questo.
> Saluti
> Vittorio
>
> P.S.
> non si finisce proprio mai di imparare
********************************************
Ciao Vittorio,
ti prego di non tenerci ancora ulteriormente nel dubbio: qual è questo
dubbio che ti è venuto?
A me i dubbi vengono sempre più grossi: come mai E. Fabri dopo avere
sostenuto che il filo si spezza non è più intervenuto per chiarire,
confermare o, eventualmente, ritrattare?
Come mai tu stesso, dopo avere fatto misteriosi accenni, non hai espresso la
tua opinione in proposito?
Vi prego, illuminateci.
Per quanto mi riguarda ho studiato relatività trent'anni fa e da allora mi
sono occupato di tutt'altro (elettronica, informatica ..)
Vado perciò molto a naso...
Ciao
Giuseppe Pipino
Vittorio
Giuseppe Pipino wrote:
........taglio.......
> Come mai tu stesso, dopo avere fatto misteriosi accenni, non hai espresso la
> tua opinione in proposito?
....taglio....
perche' non ho avuto tempo: ho avuto da lavorare.
Beh, questo fine settimana, se arrivero', scrivero' quello che penso
(che potrebbe anche essere sbagliato).
Saluti
Vittorio
Elio Fabri
smaltirla in ordine inverso...
Giuseppe Pipino ha scritto:
> La domanda che devi farti è:
> cosa intende E. Fabri quando ti domanda «Cosa dimostri in realtà?»
Gia'... cosa intendevo? Non me lo ricordo piu', perche' ho perso il
filo...
Comunque.
> La prima coppia se ne sta immobile nel suo sistema di riferimento
> inerziale S (e perciò per essa il filo sicuramente non si spezza). La > seconda coppia accelera e, dopo l'accelerazione, si porta a velocità
> costante v rispetto ad S. Sia S' un sistema a velocità v rispetto ad
> S. Allora anche S' è inerziale ed in S' le astronavi sono ferme
> (sicuramente ferme dopo il transitorio della accelerazione iniziale).
> Poichè secondo la tua ipotesi un osservatore solidale con S' vede che
> il filo si rompe vi sarebbe la possibilità di sapere quale dei due
> sistemi (S,S') è in moto. Il moto sarebbe cioè un fatto assoluto e non
> relativo.
No: ci sarebbe solo la possibilita' di sapere quale dei due sistemi per
un certo tempo ha accelerato, e questo e' un fatto assoluto.
Sulla frase "la contrazione delle lunghezze e' un fatto oggettivo" dico
che io non l'userei. In che senso oggettivo? Ciascun rif. vede contratte
le lunghezze dell'altro. E' un fatto reale, nel senso che non si tratta
di impressioni percettive, o qualcosa del genere, ma di cosa misurabile
con strumenti.
Per inciso, io sono decisamente ostile all'uso del termine "osservatore"
in tutti questi discorsi, proprio perche' rischia di sottintendere in
intervento di un qualche "essere percipiente". Invece tutto cio' di cui
si parla e' sperimentabile con strumenti, che possono registrare le
proprie misure; dopo di che le registrazioni sono a disposizione di
chiunque, possono essere trasmesse a distanza, ecc.
Quanto alla contr. delle l., non c'e' nessuna "memoria": la contrazione
dura solo finche' dura il moto relativo.
Mi pare che sia anche da chiarire il problema del rif. rigido
accelerato.
Sicuramente la coppia di astronavi di questo esempio *non e'* un rif.
rigido: e' possibile misurare in vari modi la variazione di distanza
delle astronavi. Una possibilita' e' usare un radar. Percio', visto che
la distanza cambia, non c'e' niente di strano che il filo si spezzi.
Si potrebbe realizzare un rif. rigido accelerato? Secondo me si'.
Nel caso delle due astronavi, occorre che esse non abbiamo la stessa
accel. *se misurata da un rif. inerziale*. Quella di testa deve
accelerare di meno.
Si puo' realizzare la cosa in modo che ogni possibile misura di distanza
fra le due astronavi dia risultato costante nel tempo.
Notate che ciononostante una misura di accel. (che e' possibile fare,
come mi pare di aver gia' detto, con un normale accelerometro) darebbe
risultato diverso nelle due astronavi.
Avremmo quindi un risultato "paradossale": le due astronavi mantengono
distanza costante, ma hanno accel. diverse!
Non solo: orologi posti nelle due astronavi non andrebbero d'accordo: se
si scambiano segnali, arriveranno alla conclusione che quello
dell'astronave di testa corre di piu'.
Bene: questa e' la fisica di un rif. accelerato. In particolare,
l'ultimo effetto che ho citato, se visto alla luce del principio di
equivalenza, non e' che il redshift gravitazionale.
A proposito di quello che dice Vittorio:
> Solo un'osservazione: secondo me chi sa la relativita' abbastanza bene
> forse ha capito dove e' l'inghippo, ma chi non la sa non ha capito
> niente.
Temo che tu abbia ragione, ma che si puo' fare? A questo particolare
argomento (rif. rigido accelerato: metrica di Rindler) io dedico qualche
lezione nel mio corso di cosmologia. Sono studenti del 4^ anno, e ho a
disposizione le ore che ci vogliono, piu' una lavagna per tutti i conti
e le figure necessarie.
Qui anche scrivere una formuletta e' un problema tecnico :(
Vittorio
per la verità, anche io non ho capito perchè questa benedetta corda si
deve
spezzare.
Mi sono reso conto che mi era solo sembrato di capire e che in realtà mi
stavo
arrampicando sugli specchi per cercare una spiegazione di questa
rottura.
Non che ci abbia pensato tanto, visto che si hanno altre cose da fare,
ma insomma: io questo effetto relativistico proprio non lo vedo.
Ci penserò ancora un po' e per ora mi autoincludo fra
"...chi non la sa non ha capito niente", come scrivevo.
Saluti e se lo rispieghi dettagliatamente mi(ci: siamo in tanti) fai un
piacere
Vittorio
Valter Moretti
Ciao, mi introduco anche io.
Elio Fabri wrote:
>
> Mi pare che sia anche da chiarire il problema del rif. rigido
> accelerato.
> Sicuramente la coppia di astronavi di questo esempio *non e'* un rif.
> rigido: e' possibile misurare in vari modi la variazione di distanza
> delle astronavi. Una possibilita' e' usare un radar. Percio', visto che
> la distanza cambia, non c'e' niente di strano che il filo si spezzi.
Non capisco bene cosa tu intenda con "distanza". Non c`e` un modo
univoco di pensare ad una distanza spaziale tra due curve di tipo tempo
"lontane" e arbitrarie e anche se ne scegli una di definizione
(che in genenrale non sara` simmetrica rispetto alle due curve ed
agli eventi considerati su di esse), nessuno ti dice che quella
definizione
sia quella buona da usarsi per studiare la rottura della fune.
Se siamo nella teoria classica lo spazio e` assoluto
e uno puo` schematizzare la corda come un corpo fisico che puo` essere
teso fino ad una certa lunghezza (assoluta!), e poi si rompe.
In questo senso la questione puo` essere vista senza scomodare la
caratterizzazione costitutiva della fune (il legame sforzo-deformazione
e sforzo di rottura).
In assenza di spazio assoluto tale caratterizzazione geometrica
non ha piu` senso e bisogna fare entrare in gioco la dinamica e
le relazioni costitutive della corda e fare dei discorsi di carattere
puramente locale.
Secondo me l'unica cosa da fare e` la seguente: prendo le
particelle (macroscopiche) di corda e ne descrivo la loro evoluzione
tenendo conto della dinamica della corda, includendo la relazione
sforzo-deformazione, formulata in un riferimento inerziale
istantaneo con ogni particella (macroscopica) di curva.
Ci sara` un carico di rottura oltre al quale una particella
di corda si spezza.
In ogni caso ragionando "mani e piedi" anche io mi aspetto che la
corda si spezzi perche` cio` succede classicamente, ma non sono
in grado di entrare nei dettagli dei calcoli ed il problema malgrado
sembri banale e` invece difficilissimo a volerlo affrontare seriamente.
> Si potrebbe realizzare un rif. rigido accelerato? Secondo me si'.
Anche secondo me: il riferimento e` quello individuato dalle
coordinate di Rindler come immagino che anche tu stia pensando.
> Nel caso delle due astronavi, occorre che esse non abbiamo la stessa
> accel. *se misurata da un rif. inerziale*. Quella di testa deve
> accelerare di meno.
> Si puo' realizzare la cosa in modo che ogni possibile misura di distanza
> fra le due astronavi dia risultato costante nel tempo.
> Notate che ciononostante una misura di accel. (che e' possibile fare,
> come mi pare di aver gia' detto, con un normale accelerometro) darebbe
> risultato diverso nelle due astronavi.
> Avremmo quindi un risultato "paradossale": le due astronavi mantengono
> distanza costante, ma hanno accel. diverse!
> Non solo: orologi posti nelle due astronavi non andrebbero d'accordo: se
> si scambiano segnali, arriveranno alla conclusione che quello
> dell'astronave di testa corre di piu'.
Si e` quello che succede nelle coordinate di Rindler.
Ciao, Valter
Elio Fabri
> per la verità, anche io non ho capito perchè questa benedetta corda si
> deve spezzare.
> Saluti e se lo rispieghi dettagliatamente mi(ci: siamo in tanti) fai
> un piacere
La difficolta' principale e' che debbo scrivere un po' di formule, e
vorrei alleggerirle il piu' possibile. Percio' usero' u invece di tau
per il tempo proprio, e altri simboli diversi da quelli usuali.
Cominciamo col moto iperbolico: x = q cosh(u/q), t = q sinh(u/q) dove q
e' per ora una costante assegnata.
Le componenti x e t della q.velocita' sono
wx = sinh(u/q), wt = cosh(u/q).
Le componenti x e t della q.accelerazione sono
ax = (1/q) cosh(u/q), ay = (1/q) sinh(u/q).
Da qui si vede che ax^2 - at^2 = 1/q^2: il moto e' dunque con accel.
costante, nel senso dell'invariante.
Ma e' anche con accel. costante in un altro senso: e' il moto che si
ottiene se si applica a un punto materiale di massa m una forza costante
F.
Infatti: F = dp/dt, p = Ft, ma p = m*ux, quindi ux = Ft/m.
Dal teorema delle forze vive: dE = F dx, E = Fx + cost.
Nota che per t=0 il corpo e' fermo, quindi E=m. Scelgo l'origine delle x
in modo che per t=0 sia x = m/F. Allora E = Fx.
Da E^2 - p^2 = m^2: x^2 - t^2 = (m/F)^2.
Tenendo conto che si conosce ux, si vede subito che
x = (m/F) cosh(Fu/m), t = (m/F) sinh(Fu/m).
Abbiamo dunque proprio il moto iperbolico, con q = m/F.
Osserva poi che se si cambia riferimento il moto iperbolico resta tale,
con la stessa q. Lo si puo' capire in tanti modi. Uno e' che x^2 - t^2
e' invariante per trasf. di Lorentz. Un altro e' che la componente x
della forza e' invariante, quindi se il moto e' sotto forza costante F
in un rif., e' ancora moto sotto la stessa forza costante F in ogni
altro rif. (che si muova lungo x).
Consideriamo ora un secondo moto iperbolico, con diversa q:
x = q' cosh(u'/q'), t = q' sinh(u'/q').
Dato che q' e' diversa q, e' anche diversa l'accelerazione, e la
distanza fra i due punti, *presa a un dato t*, diminuisce.
Osserviamo pero' che le q.velocita' dei due moti sono uguali, se si
prendono i tempi propri in modo che sia u/q = u'/q'. Cio' vuol dire che
se si prende il rif. tangente al primo a un certo u, questo e' anche
tangente al secondo a u' = q'u/q.
Dunque a ogni u esiste un rif. inerziale in cui *entrambi i punti sono
fermi*. La loro distanza si calcola facilmente: e' l'invariante della
separazione fra i due eventi (x,t) del primo moto calcolato in u e (x,t)
del secondo moto calcolato in u'. Fai il conto, e trovi che la distanza
vale |q-q'|, ossia e' costante.
Riepilogando: esiste una famiglia di rif. di quiete comuni ai due moti,
e in ciascuno di questi rif. la distanza fra i due punti e' sempre la
stessa. (Nota che invece l'accel. dei due punti e' costante, ma *non e'*
la stessa!)
Se ora tendi una corda tra i due punti, dato che nel rif. di quiete la
distanza resta costante, la corda rimane tesa e non si rompe.
Da qui segue che se invece il secondo punto si muove in modo diverso, in
particolare se lo facciamo muovere *con la stessa accelerazione del
primo*, le cose vanno diversamente:
- non c'e' un rif. di quiete comune
- nel rif. di quiete del primo punto il secondo punto si allontana
- quindi la corda si spezza.
Ci sarebbe ancora di dire, ma per ora penso sia meglio che mi fermi.
Cerca di assorbire tutto, e se qualcosa non ti torna ne riparliamo.
Dimenticavo: se pongo s = u/q, le relazioni iniziali che ho scritto
diventano x = q cosh s, t = q sinh s. (q,s) sono le "coordinate di
Rindler" di cui parla Valter. In queste coordinate la metrica si scrive
q^2 ds^2 - dq^2.
Visto che ormai conosci il sito ftp dove si trovano tutti i miei ...
segreti ;-) posso rimandarti, per maggiori dettagli, al cap. 2 (mi pare)
dei miei appunti di cosmologia (afrel).
Ci sarebbe anche un vecchio articolo sul "Giornale di Fisica" (roba di
almeno 10 anni fa) ma ora non ho a portata di mano l'indicazione esatta.
Elio Fabri
> Non capisco bene cosa tu intenda con "distanza". Non c`e` un modo
> univoco di pensare ad una distanza spaziale tra due curve di tipo
> tempo "lontane" e arbitrarie e anche se ne scegli una di definizione
> (che in genenrale non sara` simmetrica rispetto alle due curve ed
> agli eventi considerati su di esse), nessuno ti dice che quella
> definizione sia quella buona da usarsi per studiare la rottura della
> fune.
Volevo soltanto dire che se per es. una misura radar mi da' tempi
variabili, sicuramente i due punti non fanno parte di un corpo rigido.
Ma c'e' di piu'. Ci ho pensato un po' su, e direi che le coord. di
Rindler si possono generalizzare.
Anche qui, lasciami indicare con u il tempo proprio.
Considera una curva arbitraria di tipo tempo: t = p(u), x = q(u).
Naturalmente le due funzioni p, q soddisfano p'^2 - q'^2 = 1 (indico con
' la derivata rispetto a u).
Considera ora la trasf. di coordinate definita da
t = p(u) + s q'(u), x = q(u) + s p'(u).
Qui (u,s) sono (quasi) coord. di Rindler generalizzate.
Si vede che
dt^2 - dx^2 = (1 + p''/q')^2 du^2 - ds^2.
E' meglio usare, in luogo di u, r definita da dr = (p''/q') du. Allora
dt^2 - dx^2 = (s + p'/q'')^2 dr^2 - ds^2. (Nota che p''/q' = q''/p'.)
L'importante e' che ds^2 ha coeff. -1, quindi (r,s) definiscono un
"riferimento rigido" in moto accelerato qualsiasi.
Percio' posso usare s per misurare la distanza in generale.
Che ne pensi?
valter moretti
"Elio Fabri" <fa...@df.unipi.it> ha scritto nel messaggio
news:3C2705DD...@df.unipi.it...
> Anche qui, lasciami indicare con u il tempo proprio.
> Considera una curva arbitraria di tipo tempo: t = p(u), x = q(u).
> Naturalmente le due funzioni p, q soddisfano p'^2 - q'^2 = 1 (indico con
> ' la derivata rispetto a u).
> Considera ora la trasf. di coordinate definita da
> t = p(u) + s q'(u), x = q(u) + s p'(u).
> Qui (u,s) sono (quasi) coord. di Rindler generalizzate.
> Si vede che
> dt^2 - dx^2 = (1 + p''/q')^2 du^2 - ds^2.
> E' meglio usare, in luogo di u, r definita da dr = (p''/q') du. Allora
> dt^2 - dx^2 = (s + p'/q'')^2 dr^2 - ds^2. (Nota che p''/q' = q''/p'.)
>
> L'importante e' che ds^2 ha coeff. -1, quindi (r,s) definiscono un
> "riferimento rigido" in moto accelerato qualsiasi.
> Percio' posso usare s per misurare la distanza in generale.
>
> Che ne pensi?
Ciao, non mi hai fatto cambiare idea. Mi spiego meglio.
Di funzioni che generalizzano il concetto di distanza spaziale riferita
ad una particella che evolve lungo una curva spaziotemporale
(di tipo tempo) e un evento fuori di essa ne puoi definire infinite.
Si tratta di mostrare che e` possibile definire un fogliettamento locale
con ipersuperfici di tipo spazio, etichettatte dal tempo proprio della
curva,
che le intersechi tutte una sola volta ciascuna e perpendicolarmente a
ciascuna di esse. Ci sono infiniti modi di fare cio`. Scelto un
fogliettamento
locale come detto, la distanza spaziale tra la particella sulla curva ed
un evento e` quindi data dalla distanza tra l'intersezione della curva
e l'unica ipersuperficie che contiene l'evento, misurata su tale
ipersuperficie. Proprio perche`ci sono infiniti modi di fare cio` e`
difficile pensare che abbia qualche senso fisico una qualunque
di tale distanze (e per es. decidere che la corda si rompa perche`
in una di queste distanze e` superata la lunghezza critica mi pare
eccessivo).
Se il fogliettamento ha quelche significato interinseco, come nei
casi di Minkowski, Rindler, Schwarzschild, ecc.. in cui le ipersuperfici
sono normali ad un campo di Killing di tipo tempo della metrica,
allora le cose cambiano perche` il vettore di Killing stesso rientra nei
conti fisici (per esempio puoi definire l'energia in una di tali
ipersiperfici
contraendo il tensore energia impulso con la normale alla superfiicie
e questa quantita` si conserva nel tempo di Killing).
Ciao, Valter
PS. Aggiungo quanto segue anche se e` un po` lontano dal tema iniziale,
ma puo` essere interessante ugualmente perche` mostra come, in generale,
il concetto di distanza spaziale sia in generale molto piu` mal definibile
in teorie relativistiche di quanto si creda.
Si potrebbero pensare vie alternative per dare una nozione
intrinseca di distanza spaziale in assenza di campi di Killing e senza
fissare sitemi di riferimento : prendo due eventi in relazione spacelike
tra di essi e definisco la distanza come l'inf della lunghezza di tutte le
curve
di tipo spazio che connettono gli eventi. Purtroppo il risultato e`sempre
zero
per punti sufficientemente vicini, come puoi immaginare facilmente,
perche` posso approssimare le curve di tipo luce con curve spaziali.
Se gli eventi sono abbastanza vicini tanto da essere interni ad un intorno
geodeticamente convesso allora uno puo` definire la distanza come
la lunghezza dell'unico segmento di geodetica (che sara` spacelike) che
li connette... pero` questo funziona solo per eventi vicini e non soddisfa
il naturale requisito di minimo per il motivo detto sopra.
La cosa e` diversa per gli eventi connessi temporalmente;
in tal caso si ha una nozione intrinseca di distanza (temporale), il sup
delle lunghezze delle curve di tipo causale che li connettono. Si puo`
definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi connessi
timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le informazioni metriche e
causali dello spaziotempo: non ci possono essere due spazitempo con la
stessa varieta` ambiente e metriche o orientamento temporale diversi se
hanno la stessa funzione distanza temporale.
M B
Valter Moretti wrote:
> [...] Se siamo nella teoria classica lo spazio e` assoluto
> e uno puo` schematizzare la corda come un corpo fisico che puo` essere
> teso fino ad una certa lunghezza (assoluta!), e poi si rompe.
> In questo senso la questione puo` essere vista senza scomodare la
> caratterizzazione costitutiva della fune (il legame sforzo-deformazione
> e sforzo di rottura).
> In assenza di spazio assoluto tale caratterizzazione geometrica
> non ha piu` senso e bisogna fare entrare in gioco la dinamica e
> le relazioni costitutive della corda e fare dei discorsi di carattere
> puramente locale.
Se si fa entrare in gioco la dinamica e la struttura fisica della corda
le cose si complicano in modo esagerato. Tra l'altro mi pare anche
che non esista una teoria unica che descrive la dinamica relativistica dei
corpi estesi.
Mi sembra pero' che in questo caso non sia necessario complicarsi la vita.
Mi spiego:
E' sufficiente descrivere il moto dal riferimento inerziale S dal
quale le astronavi partono e immaginare che dopo una fase di
accelerazione si trovino alla fine fermi in un altro riferimento
inerziale S' . Ci arriveranno in tempi (propri) diversi e anche con
gli orologi desincronizzati, ma questo non ha importanza.
Il fatto rilevante e' che ora le astronavi e la corda sono fermi in S'
mentre, osservati da S, viaggiano ad una velocita' costante V.
Ora, visto che la loro distanza in S era ed e' rimasta d, in S' deve
essere gamma*d.
Di conseguenza la corda aveva lunghezza propria d ed ora ha
(se non si e' rotta) lunghezza (propria) gamma*d.
Il fatto che si rompa o meno dipende ovviamente dalla sua elasticita'
e da gamma, cioe' da V, ma quersto mi pare un aspetto marginale
(in un altro thread si parlava di una molla con due astronavi attaccate
alle sue estremita' che che rappresenta il caso limite opposto a quello
della corda inestensibile, ma il problema e' lo stesso)
Ciao.
Massimo Brighi
valter moretti
"M B" <meb...@iperbole.bologna.it> ha scritto nel messaggio
news:3C268714...@iperbole.bologna.it...
> Se si fa entrare in gioco la dinamica e la struttura fisica della corda
> le cose si complicano in modo esagerato. Tra l'altro mi pare anche
> che non esista una teoria unica che descrive la dinamica relativistica dei
> corpi estesi.
> Mi sembra pero' che in questo caso non sia necessario complicarsi la vita.
> Mi spiego: E' sufficiente descrivere il moto dal riferimento inerziale S
dal
> quale le astronavi partono e immaginare che dopo una fase di
> accelerazione si trovino alla fine fermi in un altro riferimento
> inerziale S' . Ci arriveranno in tempi (propri) diversi e anche con
> gli orologi desincronizzati, ma questo non ha importanza.
> Il fatto rilevante e' che ora le astronavi e la corda sono fermi in S'
> mentre, osservati da S, viaggiano ad una velocita' costante V.
> Ora, visto che la loro distanza in S era ed e' rimasta d, in S' deve
> essere gamma*d.
> Di conseguenza la corda aveva lunghezza propria d ed ora ha
> (se non si e' rotta) lunghezza (propria) gamma*d.
Ciao, messo cosi` forse puo' funzionare come ragionamento per
assurdo e dato che alla fine ti sei messo in una situazione in cui
c'e' un unico spazio di quiete comune ad astronavi e corda
(e ci devi arrivare in modo "adiabatico").
Certo pero` non puoi dire "quando" (rispetto a qualche
osservatore, e"dove") la corda si rompa.
Quello che critico e` proprio il "modello" di corda che non
si puo` esportare sic et simpliciter dalla fisica classica a quella
relativistica perche` la richiesta di lunghezza massima
presuppone un riferimento esteso rispetto al quale misurarla e
nei casi genenerali tale riferimento non e` assegnato e nemmeno
assegnabile in modo non ambiguo. Un po` come i corpi rigidi
che relativisticamente parlando non hanno senso.
I modelli relativistici di corpi continui (e ce ne sono
tanti proprio come tu dici) hanno come requisito quello di ridursi
a modelli classici nello spazio di quiete istantanea delle particelle
(macroscopiche), tale requisito di corrispondenza non permette
di estendere dalla meccanica classica a quella relativistica
delle caratterizzazioni globali come quella di lunghezza massima.
Ciao, Valter
---------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Elio Fabri
> Ciao, non mi hai fatto cambiare idea. Mi spiego meglio.
> Di funzioni che generalizzano il concetto di distanza spaziale
> riferita ad una particella che evolve lungo una curva spaziotemporale
> (di tipo tempo) e un evento fuori di essa ne puoi definire infinite.
> ...
> Proprio perche`ci sono infiniti modi di fare cio` e`
> difficile pensare che abbia qualche senso fisico una qualunque
> di tale distanze (e per es. decidere che la corda si rompa perche`
> in una di queste distanze e` superata la lunghezza critica mi pare
> eccessivo).
L'obiezione che ci sono infiniti modi non e' decisiva, se a uno di
questi modi puoi attribuire un significato fisico chiaro.
Quello che ti ho proposto e' di usare il rif. tangente.
Nota che. mantenendo le notazioni gia' usate, se consideri una qualunque
curva s=cost. puoi dimostrare facilmente che su tutte queste curve, neoi
pumnti con la stessa r hai la stessa velocita' (rispetto al rif.
inerziale originario). Rcco perche' parlavo di rif. rigido.
In altre parole: se immagini che a un dato r tutti questi moti s=cost/
diventino moti uniformi, ottieni un rif. inerziale nel quale le distanze
sono rimaste le stesse di quelle alla partenza.
Non ti basta per dire che in queste condizioni la corda non si rompe?
E allora, se ho una curva diversa da queste, lungo la quale s cresce,
non sono autorizzato che una corda legata a questo punto in moto
"diverso" e' costretta ad allungarsi, e quindi si spezza?
(Mi resta in verita' un dubbio, ma non te lo dico, tanto lo troverai da
solo ;-) ).
> ...
> Si puo`
> definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi
> connessi timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le
> informazioni metriche e causali dello spaziotempo: non ci possono
> essere due spazitempo con la stessa varieta` ambiente e metriche o
> orientamento temporale diversi se hanno la stessa funzione distanza
> temporale.
Questo non lo sapevo (almeno non ricordo di averlo mai sentito). E'
interessante. Puoi darmi qualche maggiore dettaglio?
Valter Moretti
> Valter ha scritto:
> > Si puo`
> > definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi
> > connessi timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le
> > informazioni metriche e causali dello spaziotempo: non ci possono
> > essere due spazitempo con la stessa varieta` ambiente e metriche o
> > orientamento temporale diversi se hanno la stessa funzione distanza
> > temporale.
>
> Questo non lo sapevo (almeno non ricordo di averlo mai sentito). E'
> interessante. Puoi darmi qualche maggiore dettaglio?
Al resto rispondero` con piu` calma, ora non ho tempo di leggere
e pensare con attenzione (ed ho anche altri impegni con la mia bimba
nata da poco). Per quanto riguarda sopra posso dirti di piu`, visto
che sto scrivendo un articolo che parte da tali fatti
(ma si occupa di cercare di estendere la "geometria noncommutativa"
di A.Connes al caso Lorentziano). Il teorema che cito non credo
che tu lo abbia mai sentito perche`, anche se ovvio,
credo di averlo dimostrato io per la prima volta nell'articolo che
sto scrivendo (forse c'e' sul testo di sotto, ma ci sono talmente
tante cose e io non l'ho mai letto tutto).
I maggiori riferimenti sulla distanza Lorentziana li trovi sul
Beem - Eherlich- Easley: "Global Lorentzian Geometry" (second edition)
Marcel Dekker Inc., New York, 1996.
Prendi uno spaziotempo = varieta` M con metrica lorentziana
(-,+...,+) ed orientamento temporale. Presi due punti p,q in M,
definisci, se q e` nel futuro causale di p (cioe`: c`e' almeno una
curva causale futura da p a q)
d(p,q) = sup {L(h) | h curva causale futura da p a q}
d(p,q) = 0 altrimenti
L(h) e` la lunghezza di h (presa con il segno positivo).
Se p e` nel passato causale di q che e` nel passato causale di r, allora
vale la disuguaglianza triangolare inversa:
d(p,r) >= d(p,q) + d(q,r)
Si prova che d ha un mucchio di proprieta` molto notevoli in uno
spaziotempo
che soddisfi qualche ipotesi cronologica/causale, in particolare se
lo spaziotempo e` globalmente iperbolico (che "mani e piedi" significa
che
esiste una ipersuperficie di tipo spazio che interseca una volta sola
tutte le
curve causali estese al massimo, in termini piu` fisici significa che
assegnando
dati di Cauchy su tale ipersuperficie prevedi l'evoluzione di qualunque
campo
descritto da un'equazione iperbolica, in tutto lo spaziotempo.
Minkowski,
Schwarzschild e quasi tutti gli spazitempo interessanti sono g.i. (non
le e`
Anti-deSitter pero`).) Per esempio, d e` finita e continua in ogni
spaziotempo
glob. iperb. e se tra p e q c`e` una curva la cui lunghezza coincide con
d(p,q)
allora la curva e` (riparametrizzabile in) una geodetica...
Tornando a d, nel caso generale, se x e y sono in un intorno
geodeticamente
convesso, allora si puo` provare che per y nel futuro causale di x
-(1/2)d(x,y)^2 = s(x,y)
s(x,y) e` la "world function" di Synge, definita come, in intorni
geod.convessi,
s(x,y) = (1/2)( (exp_x)^{-1}(y), (exp_x)^{-1}(y) )_x
Sopra con (X,Z)_x indico il prodotto scalare dei vettori X e Z nel punto
x.
La funzione esponenziale la conosci e non preciso altro.
In pratica s misura la distanza geodetica quadrata tra x e y, con il
segno
dovuto alla metrica lorentziana (+ per eventi spacelike e - per eventi
timelike
nella mia convenzione che e` opposta alla tua). Nota che c`e` solo una
geodetica
tra x e y. s(x,y) e` fondamentale in teoria dei campi quantistici in
spaziotempo
curvo.
Riducendosi a lavorare in coordinate normali attorno a x, puoi provare
facilmente
che se X e Y sono campi vettoriali definiti intorno a x allora, pensando
X_y e Y_y
come operatori differenziali che agiscono sulla variabile y:
lim_{y->x} X_y (Y_y (s(x,y))) = (X_x,Y_x)_x (1)
A secondo membro compare il prodotto scalare di X_x e Y_x per cui, dato
che X e Y
sono arbitrari, compare la metrica g_x. Il punto importante e` che il
limite per
y -> x lo possiamo fare per y nel futuro causale di x, per cui la (1)
la puoi
riscrivere
lim_{y->x} X_y (Y_y (-(1/2)d(x,y)^2)) = (X_x,Y_x)_x
Quindi la conoscenza di d(x,y) con y nel futuro causale di x,
determina la metrica in modo completo in x. Con un ragionamento analogo
provi
che determina anche l'orientamento temporale.
Se ti interessano maggiori dettagli ti mando il preprint quando e`
finito,
ma e` un paccazzo... come al solito.
Ciao, Valter
Vittorio Barone Adesi
grazie tante per la risposta. Avro' cosi' materiale per rattoppare qualche
buco culturale durante queste "vacanze".
Ne approfitto per augurare a te e a tutti i frequentatori del newsgroup
un BUON NATALE e un BUON ANNO.
Saluti a tutti
Vittorio
Valter Moretti
>
> Nota che. mantenendo le notazioni gia' usate, se consideri una qualunque
> curva s=cost. puoi dimostrare facilmente che su tutte queste curve, neoi
> pumnti con la stessa r hai la stessa velocita' (rispetto al rif.
> inerziale originario). Rcco perche' parlavo di rif. rigido.
E` vero, ho fatto il calcolo: le componenti della quadrivelocita`
sono costanti e funzione solo di r (seno e coseno iperbolici) ma non
di s.
> In altre parole: se immagini che a un dato r tutti questi moti s=cost/
> diventino moti uniformi, ottieni un rif. inerziale nel quale le distanze
> sono rimaste le stesse di quelle alla partenza.
> Non ti basta per dire che in queste condizioni la corda non si rompe?
> E allora, se ho una curva diversa da queste, lungo la quale s cresce,
> non sono autorizzato che una corda legata a questo punto in moto
> "diverso" e' costretta ad allungarsi, e quindi si spezza?
> (Mi resta in verita' un dubbio, ma non te lo dico, tanto lo troverai da
> solo ;-) ).
Non mi convince ancora: secondo me l'unica cosa sensata per dimostrare
che la corda si rompa usando la nozione di lunghezza e non
quella di tensione massima sarebbe quella di fare il calcolo,
in un riferimento inerziale, se esiste, in quiete con tutti
i punti della corda (anche solo istantaneamete): in tal caso
usando un principio di corrispondenza con la fisica non relativistica,
se la lunghezza, in tale riferimento, supera quella ammissibile,
la corda si deve rompere.
Ora non mi pare vero in generale che nello spazio di quiete
che tu consideri la corda sia in quiete. Inoltre ci sono
due possibili scelte di spazi di quiete, visto che gli osservatori
sono due e gli spazi di quiete non coincidono.
A tal proposito considera la seguente situazione. Prendi un riferimento
Minkowskiano centrato nell'evento O (coordinata orizzontale x crescente
verso destra, coordinata t crescente verticalmente).
Costruisci le coordinate di Rindler a destra di O e considera una curva
temporale delle coordinate di Rindler (s=cost).
Quindi trasla tale curva verso sinistra tale lungo x delle coordinate
di Minkowski fino ad ottenerne un'altra parallela alla prima
che parta esattamente da O. Considera dunque le due astronavi
con la stessa accelerazione costante (rispetto alle coordinate di
Minkowski)
descritte dalle due curve di universo. Ora dimmi, in base al tuo
raginamento
e *usando, per fare il tuo ragionamento, lo spazio di quiete
dell'astronave
di destra*, la corda tra le due astronavi si rompe?
Ciao, Valter
Giorgio Pastore
valter moretti wrote:
...
> Si tratta di mostrare che e` possibile definire un fogliettamento locale
...
Domanda terminologica: quello che chiami fogliettamento non si chiamava
foliazione ? O sono cose diverse ?
Ciao
Giorgio
Elio Fabri
> Prendi uno spaziotempo = varieta` M con metrica lorentziana
Molte grazie. Come spesso succede, quando un altro te lo spiega, dopo
sembra quasi ovvio...
Non conoscevo la "world function" di Synge e non ho ben capito a che
serve (voglio dire: a che scopo l'ha introdotta).
Parentesi: conosci una curiosita' su Synge? Il suo libro di RG e'
dedicato a "JB and BB". Sai chi sono? Due marche di whisky :-))
Me l'ha raccontato uno che ha conosciuto Synge...
Fine parentesi.
A proposito della tua dimostrazione: non si potrebbe per caso
semplificare?
Poniamo f(t) = d(x,exp_x(tX)) (spero di usare bene le tue notazioni).
Allora f'(0) = sqrt(-(X,X)_x): si dimostra con le coord. normali.
La conoscenza di (X,X) per 10 vettori di tipo tempo scelti bene basta a
determinare la metrica.
C'e' qualche baco?
valter moretti
"Giorgio Pastore" <pas...@univ.trieste.it> ha scritto nel messaggio
news:3C2A69DE...@univ.trieste.it...
Ciao, si e` la stessa cosa: ho fatto una libera traduzione di "foliation".
Ciao, Valter
valter moretti
> > ...
> Molte grazie. Come spesso succede, quando un altro te lo spiega, dopo
> sembra quasi ovvio...
Ciao, e` vero...
> Non conoscevo la "world function" di Synge e non ho ben capito a che
> serve (voglio dire: a che scopo l'ha introdotta).
Non saprei a che fine l'ha introdotta Synge, ma ha un'importanza decisiva
nello sviluppare la teoria dei campi (quantistica e non) in spaziotempo
curvo
come Hadamard, Riesz, Schwinger, DeWitt, Fulling, Wald, Kay, Verch,
hanno mostrato. Per esempio le soluzioni avanzate e ritardate,
il commutatore (o l'anti commutatore), parte del propagatore di Feynman, si
costruiscono usando la funzione di Synge come mattone fondamentale.
In realta` serve solo la parte della funzione che si ha quendo gli argomenti
sono causalmente relati, per cui serve solo il quadrato della distanza
Lorentziana (le situazioni "space separated"non sono molto interessanti
nella
dinamica).
Un punto difficile e` che la funzione di Synge e` definita e differenziabile
solo
per punti vicini e cio` complica a dismisura le applicazioni. Io credo di
essere
riuscito a dimostrare che in realta`, la sua parte causale, la distanza
Lorentziana,
e` differenziabile ovunque eccetto un insieme di misura nulla chiuso e senza
punti interni. Questo a patto che lo spaziotempo sia "fisico", cioe`
globalmente
iperbolico. Questo mi esce da un lemma del lavoro che sto scrivendo (per
altri
fini). Probabilmente avra` qualche conseguenza nella teoria dei campi in
spaziotempo curvo, ci pensero` piu` avanti...
> Parentesi: conosci una curiosita' su Synge? Il suo libro di RG e'
> dedicato a "JB and BB". Sai chi sono? Due marche di whisky :-))
> Me l'ha raccontato uno che ha conosciuto Synge...
Se cifosse una terza sigla interposta tra JB e BB penserei a
"Bacco, tabacco e Venere..."
> A proposito della tua dimostrazione: non si potrebbe per caso
> semplificare?
> Poniamo f(t) = d(x,exp_x(tX)) (spero di usare bene le tue notazioni).
> Allora f'(0) = sqrt(-(X,X)_x): si dimostra con le coord. normali.
> La conoscenza di (X,X) per 10 vettori di tipo tempo scelti bene basta a
> determinare la metrica.
>
> C'e' qualche baco?
Mi pare di no... io ho usato la forma piu` lunga, per usare delle note
identita' della
funzione di Synge (c`e` tutto un bestiario di identita`standard).
Per esempio (e non e` banale provarlo)
D_y S(x,y) = T_y
dove T_y e` il vettore tangente in forma covariante in y all'unica geodetica
(nell'intorno geodeticamente convesso) da x a y parametrizzata nell'ascissa
curvilinea,
quindi:
(D_x s(x,y), D_x s(x,y))_x = (D_y s(x,y), D_y s(x,y))_y= 2 s(x,y)
Mia figlia comincia a piangere, chiudo...
Ciao, Valter
M B
Valter Moretti wrote:
> "M B" <meb...@iperbole.bologna.it> ha scritto:
>
> > Mi spiego: E' sufficiente descrivere il moto dal riferimento inerziale S
> > dal quale le astronavi partono e immaginare che dopo una fase di
> > accelerazione si trovino alla fine fermi in un altro riferimento
> > inerziale S' . Ci arriveranno in tempi (propri) diversi e anche con
> > gli orologi desincronizzati, ma questo non ha importanza.
> > Il fatto rilevante e' che ora le astronavi e la corda sono fermi in S'
> > mentre, osservati da S, viaggiano ad una velocita' costante V.
> > Ora, visto che la loro distanza in S era ed e' rimasta d, in S' deve
> > essere gamma*d.
> > Di conseguenza la corda aveva lunghezza propria d ed ora ha
> > (se non si e' rotta) lunghezza (propria) gamma*d.
>
> Ciao, messo cosi` forse puo' funzionare come ragionamento per
> assurdo e dato che alla fine ti sei messo in una situazione in cui
> c'e' un unico spazio di quiete comune ad astronavi e corda
Questo che dici significa che sei d'accordo sul fatto in questo caso
la corda si deve spezzare? Non mi e' chiara la formula dubitativa
"forse puo' funzionare".
Comunque, se come me pensi che il ragionamento sia giusto allora
si puo' fare un'altro passo che ci consente di generalizzare il discorso
a qualsiasi moto delle astronavi (purche' identico se visto da S) :
Allora, la corda si spezza nel caso che le astronavi dopo una fase
di accelerazione raggiungono un riferimento inerziale S' di velocita'
V relativa a S.
Considera questi 3 eventi:
C = {la corda si rompe in un certo punto},
A1 = {l'astronave che segue raggiunge S'},
A2 = {l'astronave che precede raggiunge S'}.
In S e S' l'evento C deve precedere gli eventi A1 e A2;
questo lo si capisce considerando i fatti da S, infatti, accaduti
A1 e A2 (contemporaneamente) le velocita' delle astronavi restano
costanti e non ci puo' essere ulteriore contrazione quindi o la
corda si e' rotta gia' o non si rompe piu'.
Ma meglio ancora da S' dal quale si osserva la distanza delle
astronavi crescere (inizialmente hanno velocita' -V e alla fine sono
ferme in S'), qui A2 precede A1 quindi nell'intervallo di tempo tra
questi eventi la distanza diminuisce, poi resta costante essendo le
astronavi ferme; percio' la rottura C deve precedere A2 e a fortiori A1.
In conclusione, visto che quando raggiungono S' la corda si e' gia'
spezzata, invece di mantenere velocita' costante V, le astronavi
possono decidere di continuare con qualsiasi moto.
Si noti che se anche da qualche riferimento arbitrario l'evento C
non dovesse precedere A1 e A2 non cambierebbe nulla:
la corda che li' non si e' ancora rotta ha il destino segnato
qualunque cosa decidano di fare le due astronavi.
Sicuramente si rompera'.
> (e ci devi arrivare in modo "adiabatico").
Beh, devi dare tempo alla forza di propagarsi lungo la corda.
Cosi' ad occhio direi che se dai degli strattoni la rottura avviene piu'
facilmente.
> Certo pero` non puoi dire "quando" (rispetto a qualche
> osservatore, e"dove") la corda si rompa.
"Quando" e "dove" lo possono dire gli osservatori inerziali che se
vedono una corda di lunghezza d che va a velocita' V sanno che
ha lunghezza propria gamma*d. Quelli non inerziali siccome non
riescono a definire in modo consistente una misura di distanza
(ma su questo ho parecchi dubbi) non possono dire nulla.
Ciao, e buon anno.
Massimo Brighi
Valter Moretti
>
> Questo che dici significa che sei d'accordo sul fatto in questo caso
> la corda si deve spezzare? Non mi e' chiara la formula dubitativa
> "forse puo' funzionare".
Ciao, secondo me se prendi una corda, un cavo, un oggetto
che comunemente chiamiamo corda e lo sottoponi all'esperimento detto,
si spezza.
Il mio problema pero` e` che questo, benche` sia fisicamente intuitivo
e` difficile da essere dedotto da pricipi primi della relativita`.
Questo perche` e` difficile definire cosa sia una corda in ambiente
relativistico.
Secondo me non basta dire: e` un corpo, cosi` e cosi` che al massimo
puo`avere una certa lunghezza. Perche` il concetto di lunghezza non e`
ben definito in relativita': e` definito rispetto ad uno spazio di
quiete,
ma visto che la corda da sola non definisce in modo naturale un suo
spazio di quiete univoco (come invece un regolo), perche` si deforma e
le
diverse parti possono avere velocita` relativa non nulla, la nozione
classica
non si estende tanto facilemente
> Comunque, se come me pensi che il ragionamento sia giusto allora
penso che sia un punto di partenza.
> si puo' fare un'altro passo che ci consente di generalizzare il discorso
> a qualsiasi moto delle astronavi (purche' identico se visto da S) :
> Allora, la corda si spezza nel caso che le astronavi dopo una fase
> di accelerazione raggiungono un riferimento inerziale S' di velocita'
> V relativa a S.
Purche` le parti della corda alla fine si possano considerare in moto
lento rispetto a S' (in cui si puo` ripristinare, con qualche
approssimazione
la nozione classica in questo senso parlavo di ragiungimento
"adiabatico").
Cosa diversa e` se invece non c`e` mai il riferimento comune S' delle
due astronavi, allora secondo me e` piu` difficile dire qualcosa senza
dare
una definizione di corda...
Su quello che poi hai scritto dopo credo di essere d'accordo anche se
non ho tempo di leggerlo in dettaglio.
Scusa la fretta, ciao e buon 2002, Valter